Integrais Duplas

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DESCRIÇÃO
Aplicação do conceito de Integração Dupla.
PROPÓSITO
Definir a integral dupla e suas propriedades por meio das integrais simples iteradas em coordenadas cartesianas e em coordenadas polares, bem
como a integração dupla em alguns problemas de cálculo integral com duas variáveis.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica, ou use a calculadora de seu
smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Calcular a integral dupla
MÓDULO 2
Calcular a integral dupla na forma polar
MÓDULO 3
Aplicar o conceito de integração duplaProcessing math: 85%
INTRODUÇÃO
MÓDULO 1
 Calcular a integral dupla
INTRODUÇÃO
A integração definida, estudada no cálculo de uma variável, foi uma operação criada por meio de um somatório para resolver problemas que
envolviam determinação de áreas.
AO SE APLICAR PROCEDIMENTOS ANÁLOGOS, SERÁ DEFINIDA A INTEGRAL DUPLA, POR
MEIO DE UM SOMATÓRIO DUPLO, COM O OBJETIVO PRINCIPAL DE CALCULAR VOLUME DE
UM SÓLIDO GERADO ENTRE O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO ESCALAR DO R² E O PLANO XY
Este módulo definirá a integração dupla e ensinará a realizar o seu cálculo.
DEFINIÇÃO DE INTEGRAL DUPLA
Você já deve ter estudado o procedimento em que se substituía a área, que se desejava calcular, por um somatório de áreas retangulares. Esse
somatório era denominado soma de Riemann.
Processing math: 85%
Vamos relembrar, rapidamente, esse procedimento.
SOMA DE RIEMANN PARA FUNÇÕES REAIS
Desejava-se obter a área entre uma função real f(x), isto é, de apenas uma variável real, e o eixo x, para um domínio definido pelo intervalo [a,b],
com a e b reais.
O primeiro passo foi a criação de uma partição P desse intervalo P= {u0, u1, ..., un}, que dividia [a,b] em n subintervalos [ui − 1, ui], tal que a = u0 <
u1 < ... < un − 1 < un =b.
A amplitude de cada subintervalo [ui − 1, ui] era dada por Δui = u1 − ui − 1.
Depois, em cada subintervalo [ui − 1, ui] da partição P, foi escolhido, arbitrariamente, um ponto pi. Assim, foi definida a soma de Riemann de f(x)
em relação à partição P e ao conjunto de pontos pi por meio da expressão:
∑ NI = 1F PI ∆ UI = F P1 ∆ U1 + F P2 ∆ U2 + … + F PN ∆ UN
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Cada parcela f pi ∆ ui pode ser analisada com a área de um retângulo de base ∆ ui e altura f pi . Portanto, podia-se cobrir toda a área por um
conjunto de retângulos correspondente a cada subintervalo da partição do domínio [a,b], conforme mostra a Figura 1.
Dessa forma, a soma de Riemann foi vista como uma boa aproximação para o valor da área desejada.
 
Fonte: O autor
 Figura 1
É óbvio que essa aproximação ficava cada vez melhor quando se diminuía a largura da base dos retângulos, por meio do aumento do número de
subintervalos da partição P. Quando esse número de retângulos tendia para infinito, tinha-se a melhor aproximação.
COM ISSO, FOI POSSÍVEL DEFINIR A INTEGRAL DEFINIDA COMO UM LIMITE DA SOMA DE
RIEMANN PARA QUANDO O NÚMERO DE SUBINTERVALOS TENDE AO INFINITO:
∫BAF(X)DX = LIM
N → ∞
∑ NI = 1F PI ∆ UI
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
Processing math: 85%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
SOMA DUPLA DE RIEMANN PARA FUNÇÕES ESCALARES
A integral dupla será uma operação matemática definida para uma função escalar com domínio em um subconjunto do R², isto é, dependendo de
duas variáveis reais.
Seja um retângulo fechado R definido por:
R = (X, Y) ∈ R2 / A ≤ X ≤ B E C ≤ Y ≤ D , COM A, B, C E D REAIS.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 COMENTÁRIO
De forma análoga ao realizado no caso da função de uma variável com o intervalo [a,b], vamos definir uma partição P para o retângulo R. A
diferença, agora, é que essa partição é por área, envolvendo duas dimensões.
Seja P1 : a ≤ x0 < x1 < … < xn = b eP2 : c ≤ y0 < y1 < … < ym = d partições dos intervalos [a,b] e [c,d], respectivamente. As amplitudes dos
intervalos serão definidas por ∆ xi e ∆ yj.
O conjunto definido por:
P = XI, YJ / 0 ≤ I ≤ N E 0 ≤ J ≤ M , I E J INTEIROS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
é denominado de partição do retângulo R.
Para esse caso, a partição P determinará m.n retângulos, cada qual definido por:
RIJ = (X, Y) ∈ R
2 / XI - 1 ≤ X ≤ XI E YJ - 1 ≤ Y ≤ YJ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
{ }
{( ) }
{ }
Processing math: 85%
 
Fonte: GUIDORIZZI, H. L. Cálculo. Vol. 3. 5. ed. São Paulo: LTC, 2013
 Figura 2
Considere, agora, um conjunto S ⊂ R². O conjunto S será limitado se existir um retângulo R, tal que todo S está contido nesse retângulo, isto é, S
⊂ R.
 ATENÇÃO
Agora já podemos utilizar procedimentos semelhantes e definir a soma dupla de Riemann para a função escalar com domínio no R². Seja a
função escalar f(x,y) com domínio no conjunto S ⊂ R², com S limitado. Assim, existirá um retângulo R, tal que S está totalmente contido em R.
Seja a partição P do retângulo R, isto é, P = xi, yj / 0 ≤ i ≤ n e 0 ≤ j ≤ m}, com i e j inteiros. Para cada sub-retângulo Rij da partição P, escolhe-
se um ponto pij arbitrariamente.
PIJ = UI, VJ , COM XI - 1 ≤ UI ≤ XI E YJ - 1 ≤ VJ ≤ YJ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DESEJAMOS DEFINIR UM SOMATÓRIO CUJAS PARCELAS SERÃO DO TIPO F PIJ ∆ XI ∆ YJ. O
PROBLEMA É QUE A FUNÇÃO F(X,Y) SOMENTE É DEFINIDA PARA S, E OS PONTOS PIJ PODEM
CAIR EM UMA REGIÃO DO RETÂNGULO R QUE NÃO PERTENCE A S.
Por exemplo, na Figura 3 a seguir, o ponto p11 está contido em S, existindo, portanto f(p11). No entanto, o ponto p34, não está contido em S, não
sendo possível definir f(p34).
{( )
( )
( )
Processing math: 85%
 
Fonte: O autor
 Figura 3
Para resolver esse problema, usaremos a seguinte definição para f(pij):
F PIJ =
F PIJ , SE PIJ ∈ S
0, SE PIJ ∉ S
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, podemos definir a soma dupla de Riemann da função f(x,y) relativa a uma partição P e aos pontos arbitrários pij, pela expressão:
∑ NI = 0 ∑
M
J = 0F PIJ ∆ XI ∆ YJ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se o valor de f pij ≥ 0, a parcela f pij ∆ xi ∆ yj pode ser interpretada como o volume do paralelepípedo de base no retângulo Rij e alturaf pij ,
conforme mostra a figura 4. Caso o valor de f pij < 0, a parcela representará o volume do paralelepípedo multiplicado por (– 1).
 ATENÇÃO
Repare que, como os pontos que não pertencem a S tem valor de função zero, as parcelas do somatório referentes a eles serão nulas. Portanto,
a soma dupla de Riemann em S será igual à soma dupla de Riemann em R.
( ) { ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
Processing math: 85%
 
Fonte: GUIDORIZZI, H. L. Cálculo. Vol. 3. 5. ed. São Paulo: LTC, 2013
 Figura 4
Se f(x,y) ≥ 0 para todos os pontos do seu domínio S, a soma dupla de Riemann pode ser considerada uma aproximação do volume do sólido
formado entre o gráfico da função z = f(x,y) e o plano xy, para a região S definida pelo seu domínio.
Para o caso de se ter, em alguns pontos, f(x,y) < 0, a soma dupla de Riemann será a aproximação da diferença entre (o volume do sólido formado
por f(x,y) acima do plano xy) e (o volume do sólido formado por f(x,y) abaixo do plano xy).
 COMENTÁRIO
É obvio que, quanto menor for a base dos paralelepípedos definidos na partição ou quanto maior for o número deles (n e m tendendo a infinito),
melhor será a aproximação do volume do sólido pela soma de Riemann.
Portanto, a integral dupla da função f(x,y) na região S será definida por um limite da soma dupla de Riemann:
∬
S
F(X, Y)DXDY = LIM
∆ → 0
∑ NI = 0 ∑
M
J = 0F PIJ ∆ XI ∆ YJ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
em que ∆ → 0 representa que todas as amplitudes de ∆ xi e ∆ yj tendem para zero.
Se o limite existir, então a função f será integrável em S, eo valor da integral dupla será o valor obtido pelo cálculo do limite.
De forma similar, f(x,y) será denominada de integrando, e a integral dupla terá um limite inferior e superior de integração para cada uma das
integrais.
EXEMPLO 1
Determine ∬
S
3 dxdy, em que S é o retângulo formado por 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 3.
SOLUÇÃO
∬
S
3DXDY = LIM
∆ → 0
∑ NI = 0 ∑
M
J = 0F PIJ ∆ XI ∆ YJ
( )
( )
Processing math: 85%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Entretanto, f pij = 3, para todos pij
∬
S
3DXDY = LIM
∆ → 0
∑ NI = 0 ∑
M
J = 03 ∆ XI ∆ YJ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
∑ NI = 0 ∑
M
J = 03 ∆ XI ∆ YJ = 3∑
N
I = 0 ∑
M
J = 0 ∆ XI ∆ YJ = 3∑
N
I = 0 ∆ XI∑
M
J = 0 ∆ YJ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pela propriedade da soma telescópica:
∑ TK = 0 ∆ ZK = ZT - Z0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
3∑ NI = 0 ∆ XI∑
M
J = 0 ∆ YJ = 3(B - A)(D - C) = 3. (2 - 0). (3 - 0) = 18
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
∬
S
3DXDY = LIM
∆ → 0
∑ NI = 0 ∑
M
J = 03 ∆ XI ∆ YJ = LIM
∆ → 0
18 = 18
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DA MESMA FORMA QUE OCORREU COM O CÁLCULO DE INTEGRAIS SIMPLES, A
DETERMINAÇÃO DAS INTEGRAIS DUPLAS NÃO SERÁ FEITA PELO CÁLCULO DO LIMITE DE
SUA DEFINIÇÃO, CONFORME VISTO NO EXEMPLO ANTERIOR. EM TÓPICO POSTERIOR, SERÁ
ESTUDADO O TEOREMA DE FUBINI, QUE NOS PERMITE CALCULAR A INTEGRAL DUPLA POR
MEIO DO CÁLCULO DE DUAS INTEGRAIS SIMPLES.
PROPRIEDADES DA INTEGRAL DUPLA
Podemos apresentar algumas propriedades para a integral dupla. A demonstração de todas elas é feita por meio de sua definição pela soma
dupla de Riemann.
Considere as funções f(x,y) e g(x,y) integráveis em S e k uma constante real:
( )
Processing math: 85%
1)
∬
S
[F(X, Y) ± G(X, Y)]DXDY = ∬
S
F(X, Y)DXDY ± ∬
S
G(X, Y)DXDY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2)
∬
S
KF(X, Y)DXDY = K∬
S
F(X, Y)DXDY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3) Se f(x,y) ≥ 0 em S:
∬
S
F(X, Y)DXDY ≥ 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Pode-se utilizar a mesma analogia para f(x,y) ≤ 0, f(x,y) > 0 e f(x,y) < 0.
4) Se f(x,y) ≥ g(x,y) em S:
∬
S
F(X, Y)DXDY ≥ ∬
S
G(X, Y)DXDY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Obs.: Pode-se usar a mesma analogia para f(x,y) ≤ g(x,y), f(x,y) > g(x,y) e f(x,y) < g(x,y)
5) Seja S1 e S2, tais que S1 ∪ S2 = S e S1 ∩ S2 = ∅
 
∬
S
F(X, Y)DXDY = ∬
S1
F(X, Y)DXDY + ∬
S2
F(X, Y)DXDY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Processing math: 85%
CÁLCULO DE INTEGRAIS DUPLAS
No cálculo integral de uma variável, foi estudado que era possível se calcular as integrais definidas de uma forma mais direta, usando as integrais
imediatas por meio do Teorema Fundamental do Cálculo. Assim, não se necessitava determinar as integrais pelo cálculo do limite da soma de
Riemann.
Para o caso da integral dupla, o cálculo do limite da soma dupla de Riemann é ainda mais complicado. Desse modo, buscaremos uma alternativa
mais simples.
A SOLUÇÃO SERÁ CALCULAR A INTEGRAL DUPLA POR MEIO DE DUAS INTEGRAIS SIMPLES,
QUE SERÃO DENOMINADAS DE INTEGRAIS ITERADAS, COM PROCEDIMENTO DEFINIDO PELO
TEOREMA DE FUBINI E SEUS COROLÁRIOS.
TEOREMA DE FUBINI
O Teorema de Fubini não será demonstrado neste Tema, mas daremos uma interpretação geométrica para o caso de f(x,y) positivo que
justificará a sua validade.
Seja f(x,y) uma função escalar, integrável, definida em S ⊂ R2. O conjunto S é um retângulo definido por
S = (X, Y) ∈ R2 / A ≤ X ≤ B E C ≤ Y ≤ D
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
com a,b,c e d reais.
Mantendo a variável y fixa, podemos integrar parcialmente f(x,y) em relação a variável x pela expressão:
A(Y) = ∫BAF(X, Y)DX, Y ∈ [C, D]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
A integração apresentada segue a mesma lógica da derivada parcial, isto é, integra-se em x, mantendo a variável y constante.
Para cada valor fixo de y, dentro do intervalo [c,d], por exemplo y0 , obteremos uma função A(y0). Para o caso de f(x,y0) ≥ 0, essa função pode ser
interpretada como a área entre o gráfico da função f(x,y0) e o plano xy.
Vejamos a Figura 5 a seguir:
{ }
Processing math: 85%
javascript:void(0)
 
Fonte: GUIDORIZZI, H. L. Cálculo. Vol. 3. 5. ed. São Paulo: LTC, 2013
 Figura 5
Podemos, então, enxergar o cálculo do volume do sólido entre f(x,y) e o plano xy por meio da soma de vários prismas com base dada por A(y) e
a altura dada por dy, para c ≤ y ≤ d.
Portanto:
∬
S
F(X, Y)DXDY = ∫DCA(Y)DY = ∫
D
C ∫
B
AF(X, Y)DX DY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A integral ao lado direito da expressão apresentada é denominada integral iterada. Esse nome se deve ao fato de que, primeiro, integramos
parcialmente em relação a uma variável e, depois, integraremos em relação a outra. O uso ou não dos colchetes separando as integrais é
opcional.
NA INTEGRAL INDICADA, OS VALORES A E B SERÃO OS LIMITES DA INTEGRAL EM X, E DE C
E D LIMITES DA INTEGRAL EM Y. A ORDEM DA COLOCAÇÃO DE DX E DY DEVE SEGUIR O
APRESENTADO, ISTO É, O PRIMEIRO DIFERENCIAL SE REFERE À INTEGRAL DE DENTRO E O
ÚLTIMO DIFERENCIAL A INTEGRAL DE FORA. 
Vamos, agora, enunciar o Teorema de Fubini após ter visto uma justificativa de sua validade.
TEOREMA DE FUBINI
Seja f(x,y) uma função escalar integrável no retângulo por
S = (X, Y) ∈ R2 / A ≤ X ≤ B E C ≤ Y ≤ D
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Suponha que ∫baf(x, y)dx exista para todo c ≤ y ≤ d e que ∫
d
cf(x, y)dy exista para todo a ≤ x ≤ b, então:
∬
S
F(X, Y)DXDY = ∫DC∫
B
AF(X, Y)DXDY = ∫
B
A∫
D
CF(X, Y)DYDX
[ ]
{ }
Processing math: 85%
S
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que, para esse caso, tanto faz integrar parcialmente em relação à variável x e depois y, ou vice-versa. Em certos casos, a escolha da
ordem de integração pode simplificar ou complicar o cálculo da integral.
REPARE NA NOTAÇÃO QUE, DEPENDENDO DA ORDEM ESCOLHIDA, A POSIÇÃO DE DX E DY
MUDA. COMO DITO, OS LIMITES DA INTEGRAL DE DENTRO ESTÃO RELACIONADAS AO
PRIMEIRO DIFERENCIAL QUE APARECE E DA INTEGRAL DE FORA AO SEGUNDO
DIFERENCIAL
Pode ser provado que, para o caso de se ter f(x,y) = g(x)h(y), a integral dupla para quando os limites são numéricos pode ser analisada como um
produto de duas integrais simples.
∬
S
F(X, Y)DXDY = ∫DC∫
B
AG(X)H(Y)DXDY = ∫
B
AG(X)DX ∫
D
CH(Y)DY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por exemplo:
∫DC∫
B
A8 XY
2DXDY = ∫BA8XDX ∫
D
CY
2DY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por fim, como a integral dupla será calculada com a determinação de duas integrais simples, é importante relembramos as integrais simples
imediatas e os métodos de integração estudados no cálculo de uma variável.
EXEMPLO 2
Determine o valor de ∬
S
2x2 + 3y dxdy, em que S é um retângulo definido por 1 ≤ x ≤ 3 e 0 ≤ y ≤ 4.
SOLUÇÃO
Usando as integrais iteradas:
∬
S
2X2 + 3Y DXDY = ∫40∫
3
1 2X
2 + 3Y DXDY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ou
∬
S
2X2 + 3Y DXDY = ∫31∫
4
0 2X
2 + 3Y DYDX
( )( )
( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
Processing math: 85%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Escolheremos a segunda, mas você pode realizar a primeira como exercício e verificar o mesmo resultado.
∬
S
2X2 + 3Y DXDY = ∫31∫
4
0 2X
2 + 3Y DYDX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontalVamos integrar parcialmente ∫40 2x
2 + 3y dyy em relação à variável y, mantendo x constante. Lembremos da regra de integração:
∫YΒ DY =
YΒ + 1
Β + 1 + K, K REAL E Β ≠ 1 E ∫K DY = Y + K, K REAL
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
A(X) = ∫40 2X
2 + 3Y DX = 2X2Y
4
0 + 3 
1
2 Y
2 4
0
= 2X2(4 - 0) +
3
2 4
2 - 02 = 8X2 + 24
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
∬
S
2X2 + 3Y DXDY = ∫31 8X
2 + 24 DX
 
∫31 8X
2 + 24 DX =
8
3 X
3
3
1
+ 24X|31 =
8
3 3
3 - 13 + 24(3 - 1)
 
∬
S
2X2 + 3Y DXDY =
8
3 . 26 + 24.2 =
208
3 + 48 =
352
3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( ) ( )
( )
( ) | | ( )
( ) ( )
( ) | ( )
( )
Processing math: 85%
EXEMPLO 3
Calcule o volume do sólido formado por todos os pontos (x,y,z), tais que 1 ≤ x ≤ e, 1 ≤ y ≤ 2e e 0 ≤ z ≤ ln (xy).
SOLUÇÃO
Repare que o exercício está pedindo o cálculo do volume entre o gráfico de uma função z = f(x,y) e o plano xy. Observe que f(x,y) ≥ 0 para todo
seu domínio 1 ≤ x ≤ e, 1 ≤ y ≤ e.
Esse volume pode ser obtido por meio da integral dupla:
∬
S
LN(XY)DXDY = ∫E1∫
2E
1 LN(XY)DY DX = ∫
2E
1 ∫
E
1LN(XY)DX DY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo, inicialmente, em relação à variável x, mantendo a variável y constante:
∫E1LN(XY)DX = ∫
E
1(LNX + LNY)DX = ∫
E
1LNX DX + ∫
E
1LNY DX 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A segunda integral é mais rápida:
∫E1LNY DX = LNY ∫
E
1DX = LNY X|
E
1 = (E - 1)LNY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na primeira integral, devemos utilizar a integração por partes:
∫E1LNX DX , ONDE U = LN X → DU =
1
X E DV = DX → V = X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
∫E1LNX DX = [X LNX]
E
1 - ∫
E
1X
1
X DX = [X LNX]
E
1 - ∫
E
1DX = [X LNX]
E
1 - [X]
E
1
 
∫E1LNX DX = ELNE - 1LN1) - (E - 1) = E - 0 - E + 1 = 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(
Processing math: 85%
Dessa forma
∫E1LN(XY)DX = 1 + (E - 1)LNY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Retornando:
∬
S
LN(XY)DXDY = ∫2E1 1 + (E - 1)LNY DY
 
∫2E1 1 + (E - 1)LNY DY = ∫
2E
1 DY + (E - 1)∫
2E
1 LNY DY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
a) ∫2e1 dy = [y]
2e
1 = 2e - 1
b) (e - 1)∫2e1 lny dy, usando a integral por partes já realizadas para o x:
∫LNY DY = YLN Y - Y + K, K REAL
 
(E - 1)∫2E1 LNY DY = (E - 1) [Y LNY]
2E
1 - [Y]
2E
1
 
(E - 1)([2ELN2E - 1LN1] - [2E - 1]) = (E - 1)(2ELN2E - 2E + 1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No entanto:
LN(2E) = LN2 + LNE = LN2 + 1
 
(E - 1)(2ELN2E - 2E + 1) = (E - 1)(2ELN2 + 2E - 2E + 1) = (E - 1)(2ELN2 + 1)
( )
Processing math: 85%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Finalmente:
∬
S
LN(XY)DXDY = ∫2E1 1 + (E - 1)LNY DY = 2E - 1 + (E - 1)(2ELN2 + 1)
 
∬
S
LN(XY)DXDY = 2E - 1 + 2E2LN2 + E - 2ELN2 - 1 = 3E - 2 + 2E2LN2 - 2ELN2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Até o momento, aplicamos o Teorema de Fubini para quando o domínio é um retângulo. Vejamos, agora, um corolário desse teorema que permite
calcular a integral dupla para qualquer domínio fechado de f(x,y).
Veremos que a única diferença em relação ao caso anterior é que, neste, os limites de integração da variável y dependerão da variável x, ou vice-
versa. A consequência disso é que não teremos mais a liberdade de escolher a ordem das integrações.
TEOREMA DE FUBINI – COROLÁRIO 1
Seja f(x,y) uma função escalar integrável no domínio S ⊂ R². Sejam c(x) e d(x) duas funções contínuas em [a,b] e tais que c(x) ≤ d(x).
Seja o conjunto
S = (X, Y) ∈ R2 / A ≤ X ≤ B E C X ≤ Y ≤ D X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
∬
S
F(X, Y)DXDY = ∫BA∫
D ( X )
C ( X ) F(X, Y)DYDX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que, como a variação de y depende de x, obrigatoriamente a integração parcial em relação à variável y deve ser realizada primeiro.
TEOREMA DE FUBINI – COROLÁRIO 2
Seja f(x,y) uma função escalar integrável no domínio S ⊂ R2. Sejam a(y) e b(y) duas funções contínuas em [c,d] e tais que a(y) ≤ b(y).
Seja o conjunto
S = (X, Y) ∈ R2 / A Y ≤ X ≤ B Y E C ≤ Y ≤ D
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
{ ( ) ( )}
{ ( ) ( ) }
Processing math: 85%
∬
S
F(X, Y)DXDY = ∫DC∫
B ( Y )
A ( Y ) F(X, Y)DXDY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De forma contrária, nesse caso, como a variação de x depende da variável y, a integração parcial em relação a x deve ser feita primeiramente.
EXEMPLO 4:
Determine o valor de ∬
S
2x2 + 3y dxdy, em que
S = {(X, Y) / 0 ≤ X ≤ 1 E 0 ≤ Y ≤ X}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
SOLUÇÃO
Observe que, diferentemente do exemplo já resolvido para essa função, não estamos mais integrando em um retângulo, mais, sim, em uma
região, como mostra a Figura 6:
 
Fonte: O autor
 Figura 6
 ATENÇÃO
Como os limites da variável y dependerão de x, a integral parcial em y deve ser feita em primeiro lugar, uma vez que, para um x fixo, a variável y
irá variar de 0 até x.
Usando as integrais iteradas:
∬
S
2X2 + 3Y DXDY = ∫10∫
X
0 2X
2 + 3Y DYDX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
( ) ( )
Processing math: 85%
Vamos integrar parcialmente ∫x0 2x
2 + 3y dy em relação à variável y, mantendo x constante.
A(X) = ∫X0 2X
2 + 3Y DX = 2X2Y
X
0 + 3 
1
2 Y
2 X
0
= 2X2(X - 0) +
3
2 X
2 - 02 = 2X3 +
3
2 X
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
∬
S
2X2 + 3Y DXDY = ∫10 2X
3 +
3
2 X
2 DX
 
∫10 2X
3 +
3
2 X
2 DX =
2
4 X
4
1
0
+
3
2 .
1
3 X
3
1
0
=
1
2 1
4 - 04 +
1
2 1
3 - 03 =
1
2 +
1
2 = 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É óbvio que a região S poderia ser analisada de outra forma, escolhendo um valor de y e fazendo x variar entre 0 e y. Assim, a integral também
poderia ser resolvida como:
∬
S
2X2 + 3Y DXDY = ∫10∫
1
Y 2X
2 + 3Y DXDY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Só que, para esse caso, a integral parcial em relação à variável x deve ser feita primeiramente. Essa segunda solução ficará como exercício para
se verificar o mesmo resultado do anterior.
 ATENÇÃO
É preciso que as integrais sejam sempre separadas em regiões onde a dependência de uma variável em relação à outra seja igual. Veja o caso
representado na Figura 7 para um domínio S
( )
( ) | | ( )
( ) ( )
( ) | | ( ) ( )
( ) ( )
Processing math: 85%
 
Fonte: o Autor
 Figura 7
Repare que a variação de y em relação a x tem uma composição para a ≤ x ≤ b e outra para b ≤ x ≤ c. Dessa forma:
∬
S
F(X, Y)DXDY = ∫BA∫
D1 ( X )
C1 ( X ) F(X, Y)DYDX + ∫
C
B∫
D2 ( X )
C2 ( X ) F(X, Y)DYDX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 5
Determine o valor de ∬
S
2x2 + 3y dxdy, em que
S = {(X, Y) / 0 ≤ X ≤ 2 E 0 ≤ Y ≤ G(X)}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
, e g(x) =
x, 0 ≤ x ≤ 1
4, 1 ≤ x ≤ 2
SOLUÇÃO
Observe que, diferentemente do exemplo anterior, devemos dividir o intervalo de integração em razão de a dependência da variação de y em
relação a x ser diferente para cada intervalo.
∬
S
2X2 + 3Y DXDY = ∫10∫
X
0 2X
2 + 3Y DYDX + ∫21∫
4
0 2X
2 + 3Y DYDX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A primeira integral ∫10∫
x
0 2x
2 + 3y dydx já foi realizadano exemplo anterior e vale 1.
( )
{
( ) ( ) ( )
( )
Processing math: 85%
Vamos resolver a segunda integral que está faltando ∫21∫
4
0 2x
2 + 3y dydx
Integrando, inicialmente, em y, ∫40 2x
2 + 3y dy, mantendo a variável x constante:
∫40 2X
2 + 3Y DY = 2X2Y
4
0 + 3 
1
2 Y
2 4
0
= 2X2(4 - 0) +
3
2 4
2 - 02 = 8X2 + 24
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
∫21∫
4
0 2X
2 + 3Y DYDX = ∫21 8X
2 + 24 DX
∫21 8X
2 + 24 DX =
8
3 X
3
2
1
+ 24X|21 =
8
3 2
3 - 13 + 24(2 - 1) =
64
3 + 48
∬
S
2X2 + 3Y DXDY = 1 +
64
3 + 48 =
211
3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESUMO DO MÓDULO 1
( )
( )
( ) | | ( )
( ) ( )
( ) | ( )
( )
Processing math: 85%
TEORIA NA PRÁTICA
Use a integração dupla para determinar o volume de um cilindro de raio de 3 cm e altura de 10 cm.
SOLUÇÃO
Veja a seguir a solução desta questão:
MÃO NA MASSA
1. DETERMINE O VALOR DE 
4
∫
1
2
∫
0
2Y + 3√X DYDX
A) 30 + 12√2
B) 15√2
C) 40
D) 54
E) 75√3
2. DETERMINE ∬
S
U SEN(UV)DUDV, SENDO
S = (U, V) ∈ R2 / 0 ≤ U ≤ 1 E 0 ≤ V ≤
Π
2
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) 1 +
2
π
( )
{ }
Processing math: 85%
B) 1 -
2
π
C) 
2
π
D) 
2
π
E) 4 -
2
π
3. DETERMINE O VALOR DA ∬
S
H(U, V)DUDV, EM QUE H(U,V) = 4UV² E A REGIÃO
S = (U, V) ∈ R2 / 0 ≤ V ≤ 2 E 2 ≤ U ≤ V
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) -
64
15
B) -
128
5
C) -
128
15
D) -
64
5
E) -
256
15
4. DETERMINE O VALOR DA ∬
R
F(X, Y)DX DY, EM QUE F(X,Y) = 2LN(Y) E A REGIÃO
R = (X, Y) ∈ R2 / 1 ≤ Y ≤ 2 E 0 ≤ X ≤
1
Y
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) ln 2
B) ln 4
C) ln 8
D) (ln 4)²
E) (ln 2)²
5. DETERMINE ∬
R
G(X, Y)DXDY, EM QUE G(X,Y) = X + 2Y E R É UM PARALELOGRAMO DE VÉRTICES (0,0), (3,0),
(2,2) E (5,2).
A) 27
B) 54
C) 76
D) 81
E) 98
6. DETERMINE A INTEGRAL DUPLA ∬
S
2XY + 4X3 DXDY, EM QUE S É A REGIÃO DELIMITADA PELAS CURVAS
Y = X² E X = 2 – Y, COM X ENTRE [0,2].
{ }
{ }
( )
Processing math: 85%
A) 
289
3
B) 
289
6
C) 
389
6
D) 
589
6
E) 
589
3
GABARITO
1. Determine o valor de 
4
∫
1
2
∫
0
2y + 3√x dydx
A alternativa "C " está correta.
Como os limites de integração não dependem entre si, podemos integrar em qualquer ordem.
Integraremos parcialmente em relação ao y, mantendo a variável x constante:
2
∫
0
2y + 3√x dy = 2 
1
2 y
2
2
0
+ 3√x y|20 = 22 - 02 + 3√x(2 - 0) = 4 + 6√x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
4
∫
1
2
∫
0
2y + 3√x dydx =
4
∫
1
4 + 6√x dx = 4 x|41 + 6 
1
3
2
x
3
2
4
1
= 4 x|41 + 6 
2
3 x
3
2
4
1
 
4
∫
1
2
∫
0
2y + 3√x dydx = 4 (4 - 1) + 4 4
3
2 - 1
3
2 = 12 + 4 4√4 - 1 = 12 + 32 - 4 = 40
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine ∬
S
u sen(uv)dudv, sendo
S = (u, v) ∈ R2 / 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤
π
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "B " está correta.
Como os limites de integração não dependem entre si, podemos integrar em qualquer ordem.
1
∫
0
π / 2
∫
0
u sen(uv)dv du
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Integraremos parcialmente em relação a v, mantendo a variável u constante:
π / 2
∫
0
u sen(uv)dv = u
π / 2
∫
0
 sen(uv)dv = u 
1
u ( - cos(uv)|
π
20
 
π / 2
∫
0
u sen(uv)dv = - cos
π
2 u + cos(0) = 1 - cos
π
2 u
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
( ) | ( )
( ) ( ) | |
( ) ( ) ( )
{ }
( ) ( )
Processing math: 85%
Assim:
1
∫
0
π / 2
∫
0
u sen(uv)dv du =
1
∫
0
1 - cos
π
2 u du
 
1
∫
0
1 - cos
π
2 u du =
1
∫
0
du -
1
∫
0
cos
π
2 u du = u|
1
0 -
2
π sen
π
2 u
1
0
 
1
∫
0
1 - cos
π
2 u du = (1 - 0) -
2
π sen
π
2 - sen(0) = 1 -
2
π
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Determine o valor da ∬
S
h(u, v)dudv, em que h(u,v) = 4uv² e a região
S = (u, v) ∈ R2 / 0 ≤ v ≤ 2 e 2 ≤ u ≤ v
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "C " está correta.
∬
S
h(u, v)dudv =
2
∫
0
v
∫
2
4uv2dudv
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A variação de u depende da variável v, de modo que devemos realizar a integral em relação a u primeiramente:
v
∫
2
4uv2du = 4v2
v
∫
2
udu = 4v2 
1
2 u
2
v
2
= 2v2 v2 - 22 = 2v4 - 8v2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
∬
S
h(u, v)dudv =
2
∫
0
2v4 - 8v2 dv = 2 
1
5 v
5
2
0
- 8 
1
3 v
3
2
0
=
2
5 2
5 -
8
3 2
3
 
∬
S
h(u, v)dudv =
64
5 -
64
3 = -
128
15
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Determine o valor da ∬
R
f(x, y)dx dy, em que f(x,y) = 2ln(y) e a região
R = (x, y) ∈ R2 / 1 ≤ y ≤ 2 e 0 ≤ x ≤
1
y
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "E " está correta.
∬
R
f(x, y)dx dy =
2
∫
1
1
y
∫
0
2 ln(y)dx dy
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A variação de x depende da variável y, de forma que devemos realizar a integral em relação a x primeiramente:
1
y
∫
0
2 ln(y)dx dy = 2 ln(y)
1
y
∫
0
dx = 2 ln(y)
1
y - 0 =
2
y lny
 
2
∫
1
1
y
∫
0
2 ln(y)dx dy =
2
∫
1
2
y lny dy
( ( ))
( ( )) ( ) ( ) ( ) |
( ( )) ( )( ( ) )
{ }
| ( )
( ) | |
{ }
( )
Processing math: 85%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição de variável:
u = lny → du = 
1
y
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim 
2
y lny = 2u du
Para y = 1 → u = ln 1 = 0 e y = 2 → u = ln 2
2
∫
1
2
y lny dy =
ln 2
∫
0
2u du = u2
ln 2
0 = (ln2)
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Determine ∬
R
g(x, y)dxdy, em que g(x,y) = x + 2y e R é um paralelogramo de vértices (0,0), (3,0), (2,2) e (5,2).
A alternativa "A " está correta.
Veja a resolução da questão no vídeo a seguir:
6. Determine a integral dupla ∬
S
2xy + 4x3 dxdy, em que S é a região delimitada pelas curvas y = x² e x = 2 – y, com x entre [0,2].
A alternativa "B " está correta.
Veja a resolução da questão no vídeo a seguir:
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE O VALOR DE
1
∫
0
2
∫
0
2YX + 3X2 DYDX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
|
( )
( )
Processing math: 85%
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
2. DETERMINE O VALOR DE ∬
S
4XY DX EM QUE S É A REGIÃO DELIMITADA PELA RETA Y = X E A PARÁBOLA Y
= X², PARA X ENTRE [0,1].
A) 
1
2
B) 
1
4
C) 
1
6
D) 
2
3
E) 
3
2
GABARITO
1. Determine o valor de
1
∫
0
2
∫
0
2yx + 3x2 dydx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "D " está correta.
 
Como os limites de integração não dependem entre si, podemos integrar em qualquer ordem. Integraremos parcialmente em relação ao y,
mantendo a variável x constante:
2
∫
0
2yx + 3x2 dy = 2x 
1
2 y
2
2
0
+ 3x2 y|20 = x 2
2 - 02 + 3x2(2 - 0) = 4x + 6x2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
1
∫
0
4x + 6x2 dx = 4 
1
2 x
2
1
0
+ 6 
1
3 x
3
1
0
= 2(1 - 0) + 2(1 - 0) = 2 + 2 = 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine o valor de ∬
S
4xy dx em que S é a região delimitada pela reta y = x e a parábola y = x², para x entre [0,1].
A alternativa "C " está correta.
 
Repare que os limites da variável x dependem de y, ou vice-versa. Vamos considerar o valor de x variando de [0,1] e, assim, o valor de y irá variar
entre os valores dados pela parábola e os valores dados pela reta.
Observe que, para x entre [o,1], a reta y = x sempre darávalores superiores do que a parábola y = x²
1
∫
0
x
∫
x2
4xy dy dx
( )
( ) | ( )
( ) | |
Processing math: 85%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral em y, mantendo x constante:
x
∫
x2
4xy dy = 4x 
1
2 y
2
x
x2
= 2x x2 - x2
2
= 2x3 - 2x5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
1
∫
0
x
∫
x2
4xy dy dx =
1
∫
0
2x3 - 2x5 dx = 2
1
4 x
4
1
0
- 2
1
6 x
6
1
0
 
1
∫
0
x
∫
x2
4xy dy dx =
1
2 1
4 -
1
3 1
6 =
1
2 -
1
3 =
1
6
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 2
 Calcular a Integral dupla na forma polar
INTRODUÇÃO
Em alguns problemas, devido à sua simetria, pode ficar mais fácil resolver a integral dupla transformando o integrando para sua forma polar.
Este módulo apresentará o cálculo da integral dupla por meio de sua forma polar.
INTEGRAL DUPLA EM COORDENADAS POLARES
O sistema de coordenada polares já foi estudado para representar curvas no plano. Para definirmos esse sistema, necessitamos de um ponto
(origem) e de uma semirreta, que parte dessa origem, denominada eixo polar.
UTILIZANDO OS EIXOS CARTESIANOS X E Y, COLOCAMOS A ORIGEM DO SISTEMA POLAR NA
ORIGEM DO SISTEMA CARTESIANO, ISTO É, NO PONTO O, QUE É A INTERSEÇÃO DOS DOIS
EIXOS, E O EIXO POLAR SERÁ O EIXO POSITIVO DO EIXO X.
As coordenadas polares de um ponto serão:
A distância do ponto à origem do sistema polar, representada por ρ.
O ângulo que a reta OP faz com o eixo polar, representada por θ, medido no sentido anti-horário.
Dessa forma, o ponto P em coordenadas polares será representado por P(ρ,θ).
| ( ( ) )
( ) | |
Processing math: 85%
 
Fonte: O autor
 Figura 08
A relação entre o sistema cartesiano (x,y) e polar (ρ,θ) será dado pelas equações:
X = Ρ COSΘ
Y = Ρ SENΘ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
e
Ρ = √X2 + Y2
TG Θ =
Y
X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Imaginemos, agora, a situação em que desejamos calcular a integral dupla ∬
S
f(x, y)dxdy, na qual a região S pode ser mais facilmente
representada por sua equação polar do que sua equação retangular.
PARA ESSES CASOS, SERIA MAIS FÁCIL TERMOS UM MÉTODO DE RESOLVER A INTEGRAL
DUPLA COM A FUNÇÃO NA SUA FORMA POLAR. NO ENTANTO, A INTEGRAL DUPLA É
DEFINIDA POR MEIO DE UMA SOMA DUPLA DE RIEMANN, QUE FOI DEFINIDA ATRAVÉS DE
UMA PARTIÇÃO DO DOMÍNIO DA FUNÇÃO EM RETÂNGULOS. DESSE MODO, TORNA-SE
NECESSÁRIO, PARA O CASO DA INTEGRAL EM COORDENADAS POLARES, RETOMARMOS À
DEFINIÇÃO DA INTEGRAÇÃO.
O desejo é obter os limites e integração determinados pelas variáveis polares ρ e θ. Assim, as partições da região S não poderiam mais serem
feitas na forma de retângulos que possuem áreas do tipo ∆x∆y , mas sim de retângulos polares, que serão definidos por ∆ρ e ∆θ.
Portanto, a partição será dividida em sub-retângulos polares do tipo:
RIJ = ΡI, ΘJ /ΡI - 1 ≤ Ρ ≤ ΡI E ΘJ - 1 ≤ Θ ≤ ΘJ 
{
{
{( ) }Processing math: 85%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Fonte: o Autor
 Figura 09
A área desse retângulo polar pode ser calculada pela subtração de dois setores circulares:
∆ AIJ =
1
2 Ρ
2
I ∆ ΘI -
1
2 Ρ
2
I - 1 ∆ ΘI =
1
2 ∆ ΘI Ρ
2
I - Ρ
2
I - 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
Ρ2I - Ρ
2
I - 1 = ΡI + ΡI - 1 ΡI - ΡI - 1 = ΡI + ΡI - 1 ∆ ΡI
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como vamos trabalhar com retângulo polares muito pequenos, pois faremos, posteriormente, o número de retângulo tendendo a infinito 
ρi ≈ ρi - 1 → ρi + ρi - 1 = 2ρi
Assim
∆ AIJ =
1
2 Ρ
2
I ∆ ΘI -
1
2 Ρ
2
I - 1 ∆ ΘI =
1
2 ∆ ΘI ΡI + ΡI - 1 ∆ ΡI =
1
2 ∆ ΘI2ΡI ∆ ΡI = ΡI ∆ ΘI ∆ ΡI
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No caso das coordenadas retangulares, a área de Rij era dada por ∆ xi ∆ yi e deduzimos a soma dupla de Riemann como:
∑ NI = 0 ∑
M
J = 0F PIJ ∆ XI ∆ YJ = ∑
N
I = 0 ∑
M
J = 0F XPI, YPI ∆ AIJ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para cada um desses sub-retângulos, será escolhido, arbitrariamente, um ponto pij, com coordenadas polares ρpi, θpj .
O valor da área infinitesimal em relação às coordenadas polares será ∆ Aij = ρi ∆ θi ∆ ρi.
( )
( ) ( )( ) ( )
( ) )
( )
( ) ( )
( )
Processing math: 85%
Assim, a soma dupla de Riemann será dada por:
∑ NI = 0 ∑
M
J = 0F XPI, YPJ ∆ AIJ = ∑
N
I = 0 ∑
M
J = 0F ΡPICOSΘPJ, ΡPISENΘPJ ΡI ∆ ΘI ∆ ΡI
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Calculando o limite da soma dupla de Riemann, temos:
∬
S
F(X, Y)DXDY = ∬
SP
F(Ρ COSΘ, Ρ SENΘ) ΡDΡDΘ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
em que S é o domínio da função f em coordenadas retangulares e Sp é o domínio da função f em coordenadas polares.
COMO AS INTEGRAIS SÃO CALCULADAS EM RELAÇÃO AOS LIMITES DE INTEGRAÇÃO
DIFERENTES, TORNA-SE NECESSÁRIO UM FATOR DE CORREÇÃO NO INTEGRANDO. PARA O
CASO DA TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADA RETANGULAR PARA POLAR, ESSE FATOR É Ρ,
CONFORME DEMONSTRAMOS PELOS NOSSOS CÁLCULOS.
Caso não fosse colocado o fator de correção ρ, os limites de integração em relação a ρ e θ não representariam uma região de forma polar, mas,
sim, um retângulo normal, não representando corretamente a região S.
 RESUMINDO
Seja f(x,y) integrável no retângulo polar definido por a≤ρ≤b e α ≤ θ ≤ β, com β- α menor do que uma volta completa, isto é, β- α ≤ 2π. Então:
∬
S
F(X, Y)DXDY = ∫ΒΑ∫
B
AF(Ρ COSΘ, Ρ SENΘ) ΡDΡDΘ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o caso de as variações angulares de θ dependerem da variável radial ρ, ou vice-versa, deve ser usado os corolários do Teorema de Fubini
para determinar a ordem de integração.
EXEMPLO 1
Determine o volume do cilindro de raio de 3 cm e altura de 10 cm.
SOLUÇÃO
No item Teoria na Prática do Módulo 1, resolvemos esse exercício por meio de coordenadas retangulares, solucionando a integral dupla:
∬
S
F(X, Y)DXDY = ∫ 3- 3∫ √9 - X
2
-√9 - X210 DYDX = 90Π CM
3
( ) ( )
Processing math: 85%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No entanto, se observarmos o domínio S utilizado: x2 + y2 = 9, pela sua simetria, poderia ser representado pela curva polar ρ = 3, com 0 ≤ θ ≤ 2π.
Desse modo:
∬
S
F(X, Y)DXDY = ∫2Π0 ∫
3
010 ΡDΡDΘ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como os limites são números, podemos resolver a integrais iteradas em qualquer ordem, inicialmente, resolvendo em relação à variável ρ:
∫3010 ΡDΡ = 10∫
3
0 ΡDΡ = 10
1
2 Ρ
2
3
0
= 5 32 - 02 = 45
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
∬
S
F(X, Y)DXDY = ∫2Π0 45 DΘ = 45 Θ|
2Π
0 = 45(2Π - 0) = 90Π CM
3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 DICA
Compare as duas soluções e veja como foi muito mais rápido pelo uso das coordenadas polares.
EXEMPLO 2
Determine ∬
s
2 cos x2 + y2 dxdy, sendo:
S = (X, Y) ∈ R2 /X2 + Y2 ≤ 1 E Y ≥ 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
SOLUÇÃO
A superfície S é uma semicircunferência de raio 1.
Como x2+y2=ρ2, em coordenadas polares, esta terá uma equação ρ = 1, com 0 ≤ θ ≤ π. O valor de θ foi limitado a π, pois é apenas metade da
circunferência e não ela inteira.
| ( )
( )
{ }
Processing math: 85%
Convertendo a função cos(x2+y2 ) para coordenada polar, temos cos(ρ2 ).
Então:
∬
S
2 COS X2 + Y2 DXDY = ∫Π0 ∫
1
0COS Ρ
2 ΡDΡDΘ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo, primeiramente, a integral em θ, mantendo ρ constante:
∫Π0COS Ρ
2 ΡDΘ = ΡCOS Ρ2 ∫Π0DΘ = ΡCOS Ρ
2 Θ|Π0 = ΠΡCOS Ρ
2 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagemhorizontal
Então:
∫10COS Ρ
2 ΡDΡDΘ = ∫10ΠΡ COS Ρ
2 DΡ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fazendo a substituição u = ρ2 → du = 2ρdρ. Para ρ = 0 → u = 0 e ρ = 1 → u = 1
∫10ΠΡ COS Ρ
2 DΡ =
Π
2 ∫
1
0COS(U)DU =
Π
2 SEN(U)|
1
0
 
∫10ΠΡ COS Ρ
2 DΡ =
Π
2 SEN(U)|
1
0 =
Π
2 (SEN(1) - SEN(0)) =
Π
2 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Caso montássemos a integral de forma errada, como:
∫Π0 ∫
1
0COS Ρ
2 DΡDΘ 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
Processing math: 85%
isto é, sem colocar o fator ρ, não estaríamos integrando em relação a um semicírculo de raio 1, mas sim em relação a um retângulo de lados (π -
0 = π) e lado (1 – 0 = 1). Não sendo isso o que foi pedido no problema.
EXEMPLO 3
Determine o valor da integral ∬
S
4 ρdρdθ, em que S é uma região definida por
S = (Ρ, Θ) / -
Π
4 ≤ Θ ≤
Π
4 E 0 ≤ Ρ ≤ 2COSΘ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
SOLUÇÃO
Π
4
∫
-
Π
4
2COSΘ
∫
0
4 ΡDΡDΘ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como a variação de ρ depende de θ, a integral de ρ deve ser feita primeiramente:
2COSΘ
∫
0
4 ΡDΡ = 4 
1
2 Ρ
2
2COSΘ
0
= 2(2 COSΘ)2 = 8 COS2Θ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim
Π
4
∫
-
Π
4
2COSΘ
∫
0
4 ΡDΡDΘ =
Π
4
∫
-
Π
4
8 COS2Θ DΘ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a fórmula do arco duplo cos2θ =
1
2 cos 2θ +
1
2
{ }
|
( )
Processing math: 85%
Π
4
∫
-
Π
4
8 COS2Θ DΘ =
Π
4
∫
-
Π
4
(4COS(2Θ) + 4)DΘ = 4
Π
4
∫
-
Π
4
COS(2Θ) DΘ + 4
Π
4
∫
-
Π
4
 DΘ
 
Π
4
∫
-
Π
4
8 COS2Θ DΘ = 4 
1
2 SEN 2Θ
Π
4
-
Π
4
+ 4 Θ)|
Π
4
-
Π
4
= 2 SEN
Π
2 - SEN -
Π
2 + 4
Π
4 - -
Π
4
 
Π
4
∫
-
Π
4
2COSΘ
∫
0
4 ΡDΡDΘ = 2(1 + 1) + 4
Π
4 +
Π
4 = 4 + 2Π
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Este módulo apresentou apenas o caso das coordenadas polares. A análise também poderia ter sido feita com a obtenção da expressão geral
para mudança de variável em uma integral dupla, sendo a mudança de coordenadas retangulares para polares um caso particular dessa
expressão geral.
 DICA
As mudanças gerais não serão abordadas neste Tema, mas podem ser estudadas em nossa bibliografia de referência.
RESUMO MÓDULO 2
( ) | ( ( ) ( )) ( ( ))
( )
Processing math: 85%
TEORIA NA PRÁTICA
Um reservatório de água tem a forma de um paraboloide de concavidade para baixo. Sua forma pode ser modelada por meio de um sólido
formado entre o paraboloide de equação z = 4 – x2 – y2 e o plano z = 0. Determine o volume desse reservatório.
RESOLUÇÃO
Veja a seguir a solução desta questão:
MÃO NA MASSA
1. MARQUE A ALTERNATIVA QUE REPRESENTA CORRETAMENTE A INTEGRAL ∬
S
2XY DXDY, , EM QUE S É
UMA SEMICOROA CIRCULAR LIMITADA PELAS EQUAÇÕES X² + Y² = 1 E X² +Y² = 4 COM Y ≥ 0.
A) 
2
∫
0
2π
∫
0
ρ3 cos(2θ) dρdθ
B) 
2
∫
1
π
∫
0
ρ3 sen(2θ) dρdθ
C) 
2
∫
1
2π
∫
0
ρ2 sen(2θ) dρdθ
D) 
2
∫
1
π
∫
0
ρ3 cos(2θ) dρdθ
E) 
2
∫
0
π
∫
0
ρ4 cos(2θ) dρdθ
2. MARQUE A ALTERNATIVA QUE PERMITE CALCULAR A INTEGRAL 
Π
∫
0
1
1 + COS2Θ
∫
0
1
2 Ρ
4SEN2ΘCOSΘDΡ DΘ POR
MEIO DE SUA FORMA RETANGULAR.
√
Processing math: 85%
A) 
√2
∫
0
1
2 -
1
2 x
2
∫
-
1
2 -
1
2 x
2
2x2y dy dx
B) 
1
∫
- 1
1
2 -
1
2 y
2
∫
-
1
2 -
1
2 y
2
4xy dy dx
C) 
1
∫
-√2
√1 - 2x2
∫
-√1 - 2x2
(x + y) dx dy
D) 
1
∫
0
1
2 -
1
2 y
2
∫
-
1
2 -
1
2 y
2
x2y dx dy
E) 
1
∫
0
√1 - 2x2
∫
0
(2x + y) dx dy
3. DETERMINE
4
∫
0
√4 - X2
∫
0
X2 + 2Y2 DY DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
 
, USANDO A INTEGRAL NA FORMA POLAR.
A) π
B) 2π
C) 3π
D) 4π
E) 5π
4. DETERMINE O VOLUME DO SÓLIDO FORMADO ABAIXO DO PARABOLOIDE DE EQUAÇÃO Z = X² + Y² E
ACIMA DO DISCO X² + Y² ≤ 4.
A) 4π
B) 8π
C) 24π
D) 54π
E) 72π
5. A ÁREA DE UMA REGIÃO R PODE SER DETERMINADA PELA INTEGRAL DUPLA ∬
R
DXDY. SEJA R A REGIÃO
DEFINIDA POR -
Π
8 ≤ Θ ≤
Π
8 E ≤ Ρ ≤ COS4Θ, MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA O VALOR DE SUA
ÁREA.
√
√
√
√
√
√
( )
Processing math: 85%
A) 
π
6
B) 
π
64
C) 
π
8
D) 
π
32
E) 
π
16
6. DETERMINE A INTEGRAL
∬
R
2(X2 + Y2 DXDY
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
, ONDE R É UMA REGIÃO CONTIDA PELA FIGURA DEFINIDA PELA EQUAÇÃO X² + Y² – 2X = 0.
A) π
B) 2π
C) 3π
D) 4π
E) 5π
GABARITO
1. Marque a alternativa que representa corretamente a integral ∬
S
2xy dxdy, , em que S é uma semicoroa circular limitada pelas
equações x² + y² = 1 e x² +y² = 4 com y ≥ 0.
A alternativa "B " está correta.
Usando a transformação de retangular para polar: x = ρ cosθ e y = ρ sen θ.
A circunferência x² + y² = 1 será representada por ρ² = 1 → ρ = 1.
A circunferência x² + y² = 4 será representada por ρ² = 4 → ρ = 2.
Como está limitada apenas para y ≥ 0, a variação angular será de 0 ≤ θ ≤ π.
Assim, a região S em coordenadas polares será representada por 1 ≤ ρ ≤ 2 com 0 ≤ θ ≤ π.
Por fim, f(x,y) = 2xy → f(ρ,θ) = 2ρ cosθ ρ senθ = 2ρ² cosθ senθ = ρ² sen(2θ).
Portanto
∬
S
2xy dxdy = ∬
Sp
f(ρ, θ)ρ dρdθ
 
∬
S
2xy dxdy =
2
∫
1
π
∫
0
ρ2 sen(2θ)ρ dρdθ =
2
∫
1
π
∫
0
ρ3 sen(2θ) dρdθ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa correta é a letra B.
2. Marque a alternativa que permite calcular a integral 
π
∫
0
1
1 + cos2θ
∫
0
1
2 ρ
4sen2θcosθdρ dθ por meio de sua forma retangular.
A alternativa "D " está correta.
Veja a resolução da questão no vídeo a seguir:
)
√
Processing math: 85%
3. Determine
4
∫
0
√4 - x2
∫
0
x2 + 2y2 dy dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
, usando a integral na forma polar.
A alternativa "C " está correta.
Ao se analisar a região coberta pelos limites de integração, verifica-se que 0 ≤ x ≤ 4 e 0 ≤ y ≤ √4 - x2.
Essa região corresponde a um quarto de um círculo de equação y² = 4 - x² → x² + y² = 4
Passando para coordenadas polares, a região será representada por ρ² = 4 → ρ = 2, com o valor de 0 ≤ θ ≤
π
2
Transformando a função x² + 2y² =(x² + y²) + y² = ρ² + (ρ senθ)² = ρ² (1 + sen²θ)
Portanto:
4
∫
0
√4 - x2
∫
0
x2 + 2y2 dy dx =
π
2
∫
0
2
∫
0
ρ2 1 + sen2θ ρdρdθ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
π
2
∫
0
2
∫
0
ρ2 1 + sen2θ ρdρdθ =
2
∫
0
ρ3dρ
π
2
∫
0
(1 + sen2θ dθ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
* 
2
∫
0
ρ3dρ =
1
4 ρ
4
2
0
=
16
4 = 4
 
* 
π
2
∫
0
(1 + sen2θ dθ =
π
2
∫
0
dθ +
π
2
∫
0
 sen2θdθ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
π
2
∫
0
(1 + sen2θ dθ =
π
2
∫
0
dθ +
π
2
∫
0
1
2 -
1
2 cos2θ dθ =
3
2
π
2
∫
0
dθ -
1
2
π
2
∫
0
cos2θdθ
 
π
2
∫
0
(1 + sen2θ dθ =
3
2 θ
π
2
0
-
1
2 
1
2 sen(2θ)
π
2
0
=
3π
4 -
1
4 (sen(π) - sen(0)) =
3π
4
 
4
∫
0
√4 - x2
∫
0
x2 + 2y2 dy dx = 4. 
3π
4 = 3π
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Determine o volume do sólido formado abaixo do paraboloide de equação z = x² + y² e acima do disco x² + y² ≤ 4.
( )
( ) ( )
( ) )
|
)
) ( )
) | |
( )
Processing math: 85%
A alternativa "B " está correta.
Verificando o enunciado, o sólido é definido entre um disco do plano xy e um paraboloide centrado na origem de concavidade para cima,
conforme indica a figura a seguir:
 
Fonte: O autor
 Figura 10
Para calcular o volume do sólido, podemos considerar que o paraboloide é definido pela função z = f(x,y) = x² + y², de modo que o volume entre o
gráfico e o plano é obtido pela integral dupla:
∬
D
x2 + y2 dxdy
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
em que D é o disco dado pela equação x²+ y² = 4, que é um disco centrado na origemde raio 2.
Essa integral é mais simples em coordenadas polares:
f(x, y) = x2 + y2 → f(ρ, θ) = ρ2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A região de integração, o disco de raio 2. Podemos considerar, em coordenadas polares, o seguinte limite de integração: 0 ≤ θ ≤ 2π e 0 ≤ ρ ≤ 2.
Assim:
∬
D
x2 + y2 dxdy =
2π
∫
0
2
∫
0
ρ2 ρdρdθ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como os limites de integração são números:
2π
∫
0
2
∫
0
ρ2 ρdρdθ =
2π
∫
0
dθ 
2
∫
0
ρ3dρ = θ|2π0 .
1
4 ρ
4
2
0
= 2π
1
4 2
4 = 8π
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. A área de uma região R pode ser determinada pela integral dupla ∬
R
dxdy. Seja R a região definida por -
π
8 ≤ θ ≤
π
8 e ≤ ρ ≤ cos4θ,
marque a alternativa que apresenta o valor de sua área.
A alternativa "E " está correta.
A = ∬
R
dxdy = ∬
Rp
ρdρdθ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
A =
π
8
∫
-
π
8
cos4θ
∫
0
ρ dρdθ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
( )
|
Processing math: 85%
Resolvendo, inicialmente, a integral em ρ:
cos4θ
∫
0
ρ dρ =
1
2 ρ
2 cos4θ
0 =
1
2 cos
24θ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a fórmula do arco duplo:
cos24θ =
1
2 +
1
2 cos8θ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
A =
π
8
∫
-
π
8
cos4θ
∫
0
ρ dρdθ =
π
8
∫
-
π
8
1
4 +
1
4 cos8θ dθ =
1
4 θ|
π
8
-
π
8
+
1
4
1
8 sen8θ
π
8
-
π
8
 
A =
π
8
∫
-
π
8
cos4θ
∫
0
ρ dρdθ =
1
4
π
8 - -
π
8 +
1
32 (senπ - sen(-π)) =
1
4 .
π
4 =
π
16
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Determine a integral
∬
R
2(x2 + y2 dxdy
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
, onde R é uma região contida pela figura definida pela equação x² + y² – 2x = 0.
A alternativa "C " está correta.
Veja a resolução da questão no vídeo a seguir:
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE O VALOR DA INTEGRAL
∬
S
2X2 + Y2 DY DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
, EM QUE S É UM CÍRCULO CENTRADO NA ORIGEM DE RAIO 1.
|
( ) |
( ( ))
)
( )
Processing math: 85%
A) 
3π
8
B) 
3π
4
C) 
π
4
D) 
3π
5
E) 
3π
2
2. A ÁREA DE UMA REGIÃO R PODE SER DETERMINADA PELA INTEGRAL DUPLA ∬
R
DXDY. ESTABELEÇA A
ÁREA DE UMA PÉTALA DE UMA ROSÁCEA DEFINIDA PELA EQUAÇÃO -
Π
4 ≤ Θ ≤
Π
4 E ≤ Ρ ≤ COS2Θ, MARQUE A
ALTERNATIVA QUE APRESENTA O VALOR DE SUA ÁREA.
A) 
π
6
B) 
π
4
C) 
2π
3
D) 
π
8
E) 
π
2
GABARITO
1. Determine o valor da integral
∬
S
2x2 + y2 dy dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
, em que S é um círculo centrado na origem de raio 1.
A alternativa "B " está correta.
A região de integração terá equação x² + y² = 1, que será, em coordenadas polares, ρ² = 1 → ρ = 1, com 0 ≤ θ ≤ 2π
Transformando a função 2x² + y² = (x² + y²) + x² = ρ² + (ρ cosθ)² = ρ² (1 + cos²θ)
Portanto:
∬
S
2x2 + y2 dy dx =
2π
∫
0
1
∫
0
ρ2 1 + cos2θ ρdρdθ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
2π
∫
0
1
∫
0
ρ2 1 + cos2θ ρdρdθ =
1
∫
0
ρ3dρ
2π
∫
0
(1 + cos2θ dθ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
* 
1
∫
0
ρ3dρ =
1
4 ρ
4
1
0
=
1
4
 
* 
2π
∫
0
(1 + cos2θ dθ =
2π
∫
0
dθ +
2π
∫
0
 cos2θdθ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2π
∫
0
(1 + cos2θ dθ =
2π
∫
0
dθ +
2π
∫
0
1
2 +
1
2 cos2θ dθ =
3
2
2π
∫
0
dθ +
1
2
2π
∫
0
cos2θdθ
( )
( ) ( )
( ) )
|
)
) ( )Processing math: 85%
 
2π
∫
0
(1 + sen2θ dθ =
3
2 θ
2π
0
+
1
2 
1
2 sen(2θ)
2π
0
=
6π
2 -
1
4 (sen(4π) - sen(0)) = 3π
 
4
∫
0
√4 - x2
∫
0
x2 + 2y2 dy dx = 
1
4 . 3π =
3π
4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. A área de uma região R pode ser determinada pela integral dupla ∬
R
dxdy. Estabeleça a área de uma pétala de uma rosácea definida
pela equação -
π
4 ≤ θ ≤
π
4 e ≤ ρ ≤ cos2θ, marque a alternativa que apresenta o valor de sua área.
A alternativa "D " está correta.
 
A = ∬
R
dxdy = ∬
Rp
ρdρdθ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
A =
π
4
∫
-
π
4
cos2θ
∫
0
ρ dρdθ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo, inicialmente, a integral em ρ:
cos2θ
∫
0
ρ dρ =
1
2 ρ
2 cos2θ
0 =
1
2 cos
22θ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a fórmula do arco duplo:
cos22θ =
1
2 +
1
2 cos4θ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
A =
π
4
∫
-
π
4
cos2θ
∫
0
ρ dρdθ =
π
4
∫
-
π
4
1
4 +
1
4 cos4θ dθ =
1
4 θ|
π
4
-
π
4
+
1
4
1
4 sen4θ
π
4
-
π
4
 
A =
π
4
∫
-
π
4
cos3θ
∫
0
ρ dρdθ =
1
4
π
4 - -
π
4 +
1
16 (senπ - sen(-π)) =
1
4 .
π
2 =
π
8
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 3
 Aplicar o conceito de integração dupla
INTRODUÇÃO
) | |
( )
|
( ) |
( ( ))
Processing math: 85%
Existem várias aplicações no cálculo diferencial e integral com duas variáveis em que a ferramenta da integração dupla é usada. Entre tais
aplicações, podemos citar: cálculo de área de superfície, densidades superficiais, momentos e centro de massa.
Este módulo apresentará algumas dessas aplicações na resolução de alguns problemas de cálculo.
CÁLCULO DE ÁREA DE UMA REGIÃO NO PLANO
A integral dupla pode ser utilizada para se calcular área de um conjunto de pontos em um plano.
Foi visto que ∬
S
f(x, y)dxdy representa o volume entre a função f(x,y) e o plano xy. Esse volume foi obtido dividindo-se o domínio da função em
retângulos com dimensões que tendiam a zero, desse modo, aproximando-se o volume por uma soma de paralelepípedos com base dxdy e
altura f(x,y).
Se fizermos o valor de f(x,y) = 1, o volume se converte apenas à área da base. Como estamos integrando em S, a área do conjunto de pontos
que compões a região S.
Assim, seja S ⊂ R²:
ÁREA S = ∬
S
DS = ∬
S
DXDY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 1
Determine a área da superfície S definida por
S = (X, Y) ∈ R2 / 0 ≤ X ≤ 2 E 0 ≤ Y ≤ EX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
SOLUÇÃO
A área S pode ser representada pela figura a seguir:
 
Fonte: O autor
 Figura 11
Assim:
{ }
Processing math: 85%
ÁREA S = ∬
S
DS = ∫20∫
EX
0 DY DX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o limite da variável y depende da variável x, a integral parcial em y deve ser resolvida primeiramente:
∫E
X
0 DY = Y|
EX
0 = E
X
 
ÁREA S = ∫20E
XDX = EX
2
0 = E
2 - E0 = E2 - 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos, agora, repetir a solução do exercício analisando a área S contendo uma variação de x dependendo da variável y.
 COMENTÁRIO
A resolução da integral por esse caminho é mais complexa do que a primeira solução, mas serve como exercício para fixar o conteúdo. Esse é
um bom exemplo de que, às vezes, a ordem escolhida para integração pode simplificar ou complicar a resolução de um problema.
Para tal caso, a área S deveria ser separada em duas regiões:
S = S1 ∪ S2
 
S1 = (X, Y) ∈ R2 / 0 ≤ Y ≤ E0 E 0 ≤ X ≤ 2
 
S2 = (X, Y) ∈ R2 / E0 ≤ Y ≤ E2 E LN Y ≤ X ≤ 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembre-se de que, se y = ex → x = ln y
A região S1 é um retângulo de área 2e0 = 2 . 1 = 2
Para região S2
|
{ }
{ }
Processing math: 85%
ÁREA S2 = ∬
S2
DS = ∫E
2
1 ∫
2
LNYDX DY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontalResolvendo a integral em x:
∫ 2LNYDX = X|
2
LN Y = 2 - LNY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
ÁREA S2 = ∫
E2
1 (2 - LNY) DY = ∫
E2
1 2DY - ∫
E2
1 LNYDY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A primeira parcela
∫E
2
1 2DY = 2Y|
E2
1 = 2E
2 - 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para a segunda parcela, já foi calculado, neste tema, o valor da integral por meio da integração por partes
∫LNZ DZ = ZLN Z - Z + C, C CTE
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
ÁREA S2 = ∫
E2
1 LNY DY = (YLN Y - Y)|
E2
1 = E
2LNE2 - E2 - 1LN1 - 1) = 2E2 - E2 + 1 = E2 + 1
 
A ÁREA S2 = 2E
2 - 2 - E2 + 1 = E2 - 3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma, a área S = 2 + e2 – 3 = e2 – 1, que foi o mesmo resultado obtido anteriormente.
( ) (
( )
Processing math: 85%
EXEMPLO 2
Determine, por meio de uma integração dupla, a área de um círculo de 2 cm de raio.
SOLUÇÃO
Para esse caso, pela simetria de S, é mais fácil usarmos as coordenadas polares. Assim, a região S será dada por ρ = 2 e 0 ≤ θ ≤ 2π.
Portanto:
ÁREA S = ∬
S
DS = ∬
S
DXDY = ∬
S
Ρ DΡDΘ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Obs.: Essa mudança de variável na integral já foi vista no módulo anterior.
Portanto:
ÁREA S = ∬
S
Ρ DΡDΘ = ∫20∫
2Π
0 ΡDΘDΡ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo, inicialmente, a integral em θ:
∫2Π0 ΡDΘ = Ρ Θ|
2Π
0 = Ρ (2Π - 0) = 2ΠΡ
 
ÁREA S = ∫202ΠΡ DΡ = 2Π 
1
2 Ρ
2
2
0
= Π Ρ2
2
0 = 4Π
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CÁLCULO DE MASSA E CENTRO DE MASSA
A massa de um objeto plano pode ser definida por meio de uma função que determina a densidade superficial de massa (δ).
Lembremos do conceito que estabelece que δ é a razão entre a massa e a área da superfície, de modo que:
Δ = LIM
∆ S → 0
∆ M
∆ S =
DM
DS KG /M²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
| |
( )
Processing math: 85%
Se a massa se dividir igualmente em toda superfície, então δ será constante, e a massa pode ser obtida multiplicando-se δ pela área. Entretanto,
quando a superfície não é homogênea, tendo densidade superficial de massa diferente em cada ponto, devemos usar a integração dupla para
obter a massa.
Δ =
DM
DS → DM = ΔDS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
MASSA S = ∬
S
Δ(X, Y)DXDY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Foi dado um exemplo de aplicação para densidade superficial de massa, mas ele pode ser estendido para várias grandezas estudadas na Física,
por exemplo, densidade superficial de carga, densidade superficial de corrente etc. Em todos os casos, o valor da grandeza será obtido pelo
cálculo de uma integral dupla similar à utilizada para calcular a massa.
A Física também nos ensina que o centro de massa de um objeto plano pode ser obtido pela divisão do momento pela massa total. Para um
objeto com densidade superficial e massa dada por δ(x,y), as coordenadas do centro de massa podem ser obtidas pelas expressões:
X̄ =
∬
S
XΔ ( X , Y ) DXDY
M E Ȳ =
∬
S
YΔ ( X , Y ) DXDY
M
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
M = ∬
S
Δ(X, Y)DXDY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos fazer um exercício para verificar a aplicação das expressões.
EXEMPLO 3
Uma chapa tem a forma de um triângulo retângulo de catetos 3, 4 e 5. Este triângulo possui vértices nos pontos (0,0), (3,0) e (0,4). Determine a
massa e o centro de massa da chapa, sabendo que
δ = 5 kg/m²
SOLUÇÃO
Se tem uma chapa homogênea, m = δ Área.Processing math: 85%
Como é um triângulo retângulo de catetos 3 e 4, a área será A = 
1
2 3.4 = 6
Logo, a massa será m = 5 . 6 = 30 kg.
Para centro de massa:
X̄ =
∬
S
XΔ ( X , Y ) DXDY
M =
1
30∬
S
5X DXDY =
1
6∬
S
X DXDY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para sabermos os limites de integração, necessitamos da equação da reta que une os vértices (3,0) e (4,0), uma vez que, fixando o valor de x, a
variável y irá variar de zero até essa reta (hipotenusa do triângulo).
A geometria analítica nos ensina que a equação da reta poderá ser tirada através do determinante:
X Y 1
3 0 1
0 4 1
= 0 → 12 - 4X - 3Y = 0 → Y = 4 -
4
3 X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, para o triângulo poderíamos definir os limites de duas formas:
i) 0 ≤ x ≤ 4 e 4 -
4
3 x
ou
ii) 0 ≤ y ≤ 3 e 0 ≤ x ≤ -
3
4 y
Usaremos o primeiro caso:
X̄ =
1
6∬
S
X DXDY =
1
6 ∫
4
0∫
4 -
4
3 X0 XDYDX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral em y:
1
6 ∫
4 -
4
3 X0 X DY =
1
6 X Y|
4 -
4
3 X0 =
X
6 4 -
4
3 X =
2
3 X -
2
9 X
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
X̄ = ∫40
2
3 X -
2
9 X
2 DX =
2
3 
1
2 X
2 4
0 -
2
9 
1
3 X
3 4
0 =
16
3 -
128
27 =
16
9
| |
( )
( ) | |Processing math: 85%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Continuando:
Ȳ =
∬
S
YΔ ( X , Y ) DXDY
M =
1
6∬
S
Y DXDY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Já calculamos os limites de integração, mas usaremos a segunda configuração para esse caso:
Ȳ =
1
6∬
S
Y DXDY =
1
6 ∫
3
0∫
3 -
3
4 Y0 YDX DY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral em x:
1
6 ∫
3 -
3
4 Y0 Y DX =
1
6 Y X|
3 -
3
4 Y0 =
Y
6 3 -
3
4 Y =
1
2 Y -
1
8 Y
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim
Ȳ = ∫30
1
2 Y -
1
8 Y
2 DY =
1
2 
1
2 Y
2 3
0 -
1
8 
1
3 Y
3 3
0 =
9
4 -
9
24 =
25
24
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo, as coordenadas do centro de massa serão 
16
9 ,
25
24
EXEMPLO 4
Uma chapa tem a forma de um triângulo retângulo de catetos 3, 4 e 5. Esse triângulo possui vértices nos pontos (0,0), (3,0) e (0,4). Determine a
massa e o centro de massa da chapa sabendo que
δ(x,y) = (1 + x + y) kg/m²
SOLUÇÃO
Nesse caso, a chapa é não homogênea, de forma que:
M = ∬
S
Δ(X, Y)DXDY
( )
( ) | |
( )
Processing math: 85%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os limites de integração já foram definidos no exemplo anterior.
M = ∬
S
(1 + X + Y) DXDY = ∫40∫
4 -
4
3 X0 (1 + X + Y) DYDX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral em y:
∫4 -
4
3 x0 (1 + x + y )dy = (1 + x)y|4 -
4
3 x0 +
1
2 y
2 4 -
4
3 x
0 = (1 + x) 4 -
4
3 x +
1
2 4 -
4
3 x
2
 
= 4 -
4
3 x + 4x -
4
3 x
2 + 8 -
16
3 x +
8
9 x
2 = 12 -
8
3 x -
4
9 x
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
M = ∫40 12 -
8
3 X -
4
9 X
2 DX = 12X|40 -
8
3 
1
2 X
2 4
0 -
4
9 
1
3 X
3 4
0 = 48 -
64
3 -
256
27 =
464
27 KG
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para centro de massa:
X̄ =
∬
S
XΔ ( X , Y ) DXDY
M =
1
M∬
S
(1 + X + Y)X DXDY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituiremos m apenas no fim:
X̄ =
1
M∬
S
(1 + X + Y)X DXDY =
1
M ∫
4
0∫
4 -
4
3 X0 X + X2 + XY DYDX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral em y:
∫4 -
4
3 X0 X + X2 + XY DY = X + X2 Y|4 -
4
3 X0 + X 
1
2 Y
2
4 -
4
3 X
0
 
| ( ) ( )
( ) | |
( )
( ) ( ) |
Processing math: 85%
∫4 -
4
3 X0 X + X2 + XY DY = X + X2 4 -
4
3 X +
X2 4 -
4
3 X
2
 
= 4X -
4
3 X
2 + 4X2 -
4
3 X
3 + 8X -
16
3 X
2 +
8
3 X
3 = 12X -
8
3 X
2 -
4
9 X
3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
∫40 12x -
8
3 x
2 -
4
9 x
3 dx = 12
1
2 x
2
4
0
-
8
3 
1
3 x
3 4
0 -
4
9 
1
4 x
4 4
0 = 96 -
512
9 -
256
9 =
32
3 x
3
 
x̄ =
1
m∬
S
(1 + x + y)x dxdy =
1
464
27
32
3 =
27
464 .
32
3 =
18
19
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Continuando:
Ȳ =
∬
S
YΔ ( X , Y ) DXDY
M =
1
M∬
S
(1 + X + Y) Y DXDY
 
Ȳ =
1
M∬
S
Y + XY + Y2 DXDY =
1
M ∫
3
0∫
3 -
3
4 Y0 Y + XY + Y2 DXDY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral em x:
∫3 -
3
4 y0 y + xy + y2 dx = y + y2 x|3 -
3
4 y0 + y 
1
2 x
2
3 -
3
4 y
0
= y + y2 3 -
3
4 y +
y
2 3 -
3
4 y
2
 
= 3y -
3
4 y
2 + 3y2 -
3
4 y
3 +
9
2 y -
9
4 y
2 +
9
32 y
3 =
15
2 y -
15
32 y
3
 
∫30
15
2 y -
15
32 y
3 dy = 
15
2
1
2 y
2
3
0
-
15
32
1
4 y
4
3
0
=
135
4 -
1215
128 =
3105
128
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CÁLCULO DE MOMENTO DE INÉRCIA
( ) ( )( ) ( )
( ) | | |
( ) ( )
( ) ( ) | ( ) ( ) ( )
( ) | |
Processing math: 85%
A MECÂNICA ESTUDA O MOMENTO DE INÉRCIA DE UM OBJETO. O MOMENTO DE INÉRCIA
QUANTIFICA A DIFICULDADE DE MUDAR UM ESTADO DE ROTAÇÃO DE UM OBJETO EM
TORNO DE UM EIXO E DE UM PONTO. QUANTO MAIOR FOR O MOMENTO DE INÉRCIA DE UM
OBJETO, MAIS DIFÍCIL SERÁ GIRÁ-LO OU ALTERAR SUA ROTAÇÃO.
Considere uma partícula pontual de massa m. O momento de inércia dessa partícula em torno de um eixo é dado por md2, em que d é a distância
da partícula ao eixo.
Vamos, agora, considerar um objeto no plano com massa dada por sua densidade superficial de massa δ(x,y). Esse objeto está definido por uma
área dada por S. Estamos interessados em calcular o momento de inércia do objeto em relação ao eixo x e ao eixo y.
Dividiremos o objeto em partículas pontuais de massa dm, localizada em um ponto (x,y). Dessa forma, o momento de inércia em relação ao eixo
x será dado por y2dm, do mesmo modo que em relação ao eixo x, será de x2dm.
Se somarmos os momentos de inércia de todas as partículas que compõem o objeto, obteremos o momento de inércia do corpo desejado.
Devemos lembrar que dm = δ dS
Assim:
IX = ∬
S
Y2DM = ∬
S
Y2Δ X, Y DS
 
IY = ∬
S
X2DM = ∬
S
X2Δ X, Y DS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Também podemos calcular o momento de inércia referente a origem, lembrando que a distância de um ponto (x,y) para origem é dada por 
√x2 + y2. Assim, o momento de inércia em torno da origem é dado por:
IO = ∬
S
X2 + Y2 DM = ∬
S
X2 + Y2 Δ X, Y DS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 5
Determine o momento de inércia em torno da origem para o disco de 2 cm de raio e centro na origem, que apresenta densidade superficial de
massa de 4 kg/m².
SOLUÇÃO
IO = ∬
S
X2 + Y2 Δ X, Y DS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
Processing math: 85%
Pela simetria, é melhor trabalharmos com coordenadas cartesianas, da seguinte forma:
IO = ∬
S
Ρ2Δ(Ρ, Θ) ΡDΡDΘ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas o disco é homogêneo, isto é, δ é constante e vale 4.
I0 = ∫
2
0∫
2Π
0 Ρ
2 4Ρ DΡDΘ = 4∫20∫
2Π
0 Ρ
3 DΡDΘ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral em θ:
4∫2Π0 Ρ
3 DΘ = 4Ρ3 2Π
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
I0 = ∫
2
08ΠΡ
3DΡ = 8Π
1
4 Ρ
4
2
0
= 32Π KG CM2 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESUMO DO MÓDULO 3
|
Processing math: 85%
TEORIA NA PRÁTICA
A placa de um capacitor tem a forma de um disco de 4 cm raio. Considere que a origem do sistema se encontra no centro do disco. Sabe-se que
esse disco é carregado eletricamente com uma densidade superficial de carga dada por σ(x,y)= 2x² + x + y + 2y², medido em C/m². Determine a
carga total da placa do capacitor.
RESOLUÇÃO
Veja a seguir a solução desta questão:
MÃO NA MASSA
1. SEJA A REGIÃO S LIMITADA SUPERIORMENTE PELA RETA Y = X + 1 E INFERIORMENTE PELA PARÁBOLA Y
= X² - 2X + 1. DETERMINE A ÁREA DA REGIÃO S.
A) 
1
3
B) 
2
3
C) 
1
2
D) 
3
2
E) 
5
2
2. DETERMINE A ÁREA DA REGIÃO CONTIDA ABAIXO DA PARÁBOLA Y = – 4X² + 4 E ACIMA DA PARÁBOLA Y =
9 X² – 9.
A) 523
B) 263
C) 525Processing math: 85%
D) 4423
E) 283
3. DETERMINE A MASSA DE UM OBJETO PLANAR QUE OCUPA A REGIÃO DEFINIDA POR S E TEM UMA
DENSIDADE DE MASSA SUPERFICIAL Δ(X,Y) = LN(X). SABE-SE QUE:
S=X,Y / 1≤X≤2 E 0≤Y≤2X
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) ln 2
B) ln²2
C) ln³2
D) ln²3
E) ln³3
4. DETERMINE O MOMENTO DE INÉRCIA EM TORNO DO EIXO Y DO OBJETO PLANAR QUE OCUPA A REGIÃO
DEFINIDA POR S E TEM DENSIDADE DE MASSA SUPERFICIAL Δ(X,Y) = 14X2Y. SABE-SE QUE:
S=X,Y / 0≤X≤2 E 0≤Y≤X
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) 64
B) 128
C) 256
D) 512
E) 1024
5. DETERMINE O MOMENTO DE INÉRCIA EM TORNO DA ORIGEM PARA UMA LÂMINA QUE APRESENTA UMA
DENSIDADE SUPERFICIAL DE MASSA Δ(X,Y) = XY E QUE OCUPA UMA ÁREA DEFINIDA POR:
R=Ρ,Θ / 0≤Θ≤Π2 E 1≤Ρ≤2
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) 14
B) 174
C) 294
D) 214
E) 514
6. DETERMINE A ABSCISSA DO CENTRO DE MASSA DE UMA LÂMINA QUE TEM A FORMA DE UM TRIÂNGULO
COM VÉRTICES NOS PONTOS (0,2), (1,0) E (– 1,0). SABE-SE QUE A DENSIDADE SUPERFICIAL DE MASSA DO
OBJETO VALE Δ(X,Y)= 2X + 3Y.Processing math: 85%
A) 16
B) -16
C) -13
D) 13
E) 25
GABARITO
1. Seja a região S limitada superiormente pela reta y = x + 1 e inferiormente pela parábola y = x² - 2x + 1. Determine a área da região S.
A alternativa "D " está correta.
A área da região S é obtida por ∬Sdxdy.
É necessário, inicialmente, obter-se a interseção entre a reta e a parábola:
 
Fonte: o Autor
 Figura 12
As equações que definem as curvas representadas na figura são:
y=x+1y=x2-2x+1→x+1=x2-2x+1→x2-3x=0→x=0 ou x=3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a região S será definida por 0 ≤ x ≤ 3 e x² - 2x + 1 ≤ y ≤ x.
A=∫03∫x2-2x+1xdydx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral em y:
∫x2-2x+1xdy=yx2-2x+1x=x-x2-2x+1=-x2+3x-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
A=∫03-x2+3x-1dx=-13x303+ 32x203-x03=-273+272-3=96=32
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine a área da região contida abaixo da parábola y = – 4x² + 4 e acima da parábola y = 9 x² – 9.
A alternativa "A " está correta.
Achando as interseções entre as duas curvas:
y=-4x2+4y=9x2-9→13x2-13=0→x=±1Processing math: 85%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, as curvas se interceptam em x = – 1 e x = 1.
A=∫-11∫9x2-94-4x2dydx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Integrando, inicialmente, em relação à variável y:
∫9x2-94-4x2dy=4-4x2-9x2-9=-13x2+13
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Integrando na variável x:
A=∫-11( -13x2+13)dx
 
A=-13 13x3-11+13 x-11=-1331--1+131--1=26-263=523
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Determine a massa de um objeto planar que ocupa a região definida por S e tem uma densidade de massa superficial δ(x,y) = ln(x).
Sabe-se que:
S=x,y / 1≤x≤2 e 0≤y≤2x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "B " está correta.
Se a densidade superficial de massa vale
δ(x,y) = ln(x)→m=∬Sln (x) dxdy
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da equação utilize a rolagem horizontal
Pela definição da região S:
m=∫12∫02xln (x) dy dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Integrando em y:
∫02xln xdy=ln x y02x=2xln x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
m=∫122xln xdx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fazendo u = ln(x) →du=1xdx, portanto 2xln xdx=2u du
Se x = 1 → u =ln (1) = 0 e x = 2 → u = ln (2)
m=∫0ln (2)2u du=2 12u20ln (2)=ln22
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Determine o momento de inércia em torno do eixo y do objeto planar que ocupa a região definida por S e tem densidade de massa
superficial δ(x,y) = 14x2y. Sabe-se que:
S=x,y / 0≤x≤2 e 0≤y≤x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "B " está correta.
O momento de inércia em torno do eixo y será dado por:Processing math: 85%
Iy=∬Sx2δ(x,y)dS=∬Sx2 14x2y dxdy=∬S14x4y dxdy
 
Iy=∬S14x4y dxdy=∫02∫0x14x4y dydx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo inicialmente para variável y:
∫0x14x4y dy=14x4 12y20x=7x6
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
Iy=∬S14x4y dxdy=∫027x6dx=717x702=27=128
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Determine o momento de inércia em torno da origem para uma lâmina que apresenta uma densidade superficial de massa δ(x,y) = xy
e que ocupa uma área definida por:
R=ρ,θ / 0≤θ≤π2 e 1≤ρ≤2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "D " está correta.
Veja a resolução da questão no vídeo a seguir:
6. Determine a abscissa do centro de massa de uma lâmina que tem a forma de um triângulo com vértices nos pontos (0,2), (1,0) e (–
1,0). Sabe-se que a densidade superficial de massa do objeto vale δ(x,y)= 2x + 3y.
A alternativa "A " está correta.
Veja a resolução da questão no vídeo a seguir:
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
Processing math: 85%
1. DETERMINE A MASSA DE UMA LÂMINA QUE OCUPA A REGIÃO DEFINIDA POR S E TEM UMA DENSIDADE DE
MASSA SUPERFICIAL Δ(X,Y) = X + 2Y SABE-SE QUE:
S=X,Y 1≤Y≤2 E 0≤X≤Y
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) 32
B) 72
C) 65
D) 45
E) 23
2. DETERMINE O MOMENTO DE INÉRCIA EM TORNO DO EIXO X DO OBJETO PLANAR QUE OCUPA A REGIÃO
DEFINIDA POR S E TEM UMA DENSIDADE DE MASSA SUPERFICIAL Δ(X,Y) = 15X² 2Y . SABE-SE QUE:
S=X,Y / 0≤X≤2 E 0≤Y≤X
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) 613
B) 1303
C) 1603
D) 2343
E) 3193
GABARITO
1. Determine a massa de uma lâmina que ocupa a região definida por S e tem uma densidade de massa superficial δ(x,y) = x + 2y Sabe-
se que:
S=x,y 1≤y≤2 e 0≤x≤y
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "B " está correta.
 
Se a densidade superficial de massa vale
δ(x,y)=x+2y→m=∬S(x+y) dxdy
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pela definição da região S:
m=∫12∫0y(x+y) dx dy
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Integrando em x:
∫0yx+ydx= 12x20y+y x0y=12y2+2y2=32y2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:Processing math: 85%
m=∫1232y2dy= 32 13y312=1223-13=72
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine o momento de inércia em torno do eixo x do objeto planar que ocupa a região definida por S e tem uma densidade de
massa superficial δ(x,y) = 15x² 2y . Sabe-se que:
S=x,y / 0≤x≤2 e 0≤y≤x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "C " está correta.
 
O momento de inércia em torno do eixo x será dado por:
Iy=∬Sy2δ(x,y)dS=∬Sy2 15x2y dxdy=∬S15x2y2 dxdy
 
Iy=∬S15x2y2 dxdy=∫02∫0x15x2y2 dydx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo, inicialmente, para variável y:
∫0x15x2y2 dy=15x2 13y30x=5x5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
Iy=∬S15x2y2 dxdy=∫025x5dx=516x602=5626=1603
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste Tema, apresentamos e aplicamos o conceito da integral dupla de funções escalares.
No primeiro módulo, definimos a integral dupla e estudamos como se calcula a integral em coordenadas retangulares. Vimos que o Teorema de
Fubini permitiu o cálculo da integral dupla por meio de duas integrais simples iteradas.
No segundo módulo, apresentamos a integral dupla em sua forma polar, permitindo o cálculo mais simples para algumas simetrias.
Por fim, vimos exemplos de aplicação de integral dupla no cálculo de áreas, no cálculo de massa e centro de massa, bem como no momento de
inércia.
Acreditamos que você, neste momento, já saiba definir e trabalhar com a integração dupla de funções escalares.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
APOSTOL, T. M. Cálculo. 2 ed. Estados Unidos: John Wiley & Sons, 1969. Cap. 11, p. 353-378, 392-405. Vol 2.
Processing math: 85%
GUIDORIZZI, H. L. Cálculo. 5 ed. São Paulo: LTC, 2013. Cap. 2, p. 37-48; Cap. 3, p. 49-74 e Cap. 4, p. 75-104. Vol 3.
STEWART, J. Cálculo. 5 ed. São Paulo: Thomson Learning, 2008. Cap. 16, p. 978-1019. Vol 2.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste Tema, pesquise sobre integrais duplas e suas aplicações na internet e em nossas referências.
CONTEUDISTA
Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
 CURRÍCULO LATTES
Processing math: 85%
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