Economia e Administração Curso 0509

Prévia do material em texto

Economia e 
Administração
PROF. ELTON DIETRICH
Matemática Financeira: 
Regimes de Capitalização
Juros:
Juros são uma recompensa para que uma pessoa ou uma instituição 
financeira deixe de receber hoje o que irá receber somente no futuro 
ou, no caso da poupança ou investimento, é uma recompensa pela 
abstinência de tomar posse hoje de um bem que ela necessita ou 
deseja, para faze-lo somente no futuro.
Juro pode ser entendido como o custo do crédito ou a remuneração 
pelo capital aplicado durante um período de tempo.
No caso de capital aplicado, ou seja, o adiamento do consumo, são 
formadas poupanças, extremamente importantes para a geração de 
novos investimentos na economia de um país.
Matemática Financeira: 
Taxa de Juros
Taxa de Juros:
Taxa de juros é o coeficiente que determina o valor do juro, 
isto é, quanto o capital investido deverá ter de retorno 
durante um período de tempo.
O valor da taxa de juros varia bastante, ele é afetado por:
◦ ações especulativas;
◦ crises econômicas;
◦ abundância ou falta de créditos;
◦ riscos envolvidos na operação;
◦ tempo de duração e o valor da operação (empréstimo ou 
investimento);
◦ações do governo; entre outras.
Matemática Financeira: 
Taxa de Juros simples e composta
Regime de Capitalização Simples - O valor dos juros, 
independente do período/ tempo é sempre calculado 
sobre o valor inicial do empréstimo, não se 
registrando juros sobre os juros acumulados ou juros 
sobre juros.
Ano Saldo no início de 
cada ano
Juros apurados para cada ano Saldo devedor no final de 
cada ano
Crescimento anual 
do saldo devedor
Início 1º ano - - 1.000,00 -
Fim do 1º ano 1.000,00 0,10 X 1.000,00 = 100,00 1.100,00 100,00
Fim do 2º ano 1.100,00 0,10 X 1.000,00 = 100,00 1.200,00 100,00
Fim do 3º ano 1.200,00 0,10 X 1.000,00 = 100,00 1.300,00 100,00
Fim do 4º ano 1.300,00 0,10 X 1.000,00 = 100,00 1.400,00 100,00
Fim do 5º ano 1.400,00 0,10 X 1.000,00 = 100,00 1.500,00 100,00
Matemática Financeira: 
Taxa de Juros simples e composta
Regime de Capitalização Composta, ou Juros 
Compostos, leva em conta os juros que são auferidos 
ao final de cada período de tempo. 
Ano Saldo no início de cada 
ano
Juros apurados para cada ano Saldo devedor no final de 
cada ano
Início 1º ano - - 1.000,00
Fim do 1º ano 1.000,00 0,10 X 1.000,00 = 100,00 1.100,00
Fim do 2º ano 1.100,00 0,10 X 1.100,00 = 110,00 1.210,00
Fim do 3º ano 1.210,00 0,10 X 1.210,00 = 121,00 1.331,00
Fim do 4º ano 1.331,00 0,10 X 1.331,00 = 133,10 1.464,10
Fim do 5º ano 1.464,10 0,10 X 1.464,10 = 146,41 1.610,51
Tipos de Regimes de Capitalização
Regime de Capitalização: é o processo em que os juros são 
formados e incorporados ao capital inicial.
Capitalização contínua: Regime em que a incorporação dos juros é 
processada em intervalos bem reduzidos, um dia por exemplo. Como 
não é um processo prático não é usado.
Capitalização Descontínua: É o regime onde os juros auferidos são 
incorporados ao capital somente no final de cada período. Exemplo 
é a poupança. 
◦ Se o capital for resgatado antes do final do período de apuração os 
juros de todo o período são perdidos pois estes são incorporados 
somente no dia que a aplicação faz aniversário (mês, semestre, 
ano, etc.).
Cálculo dos Juros Simples
onde:
J = valor dos juros expressos em unidades monetárias;
C = Valor do capital investido ou emprestado. É expresso em unidades monetárias
i – Taxa de juros, expressa em sua forma unitária; (i de interest ou juros em Inglês) 
n – Prazo ou número de períodos .
Por dedução Algébrica:
J = C x i x n 
𝑪 =
𝑱
𝒊 𝒙 𝒏
𝒊 =
𝑱
𝑪 𝒙 𝒏
𝒏 =
𝑱
𝑪 𝒙 𝒊
Regras
Tanto o prazo da operação como a taxa de juros devem, 
necessariamente, estar expressos em uma mesma unidade de 
tempo. 
◦ Se a taxa de juros está expressa em meses, exemplo 2,5% ao mês, e o período 
em trimestre ou anos, estes últimos devem ser convertidos para meses. 
◦ 1 trimestre = 3 meses
◦ 1 ano = 12 meses
◦ 60 dias = 2 meses (mês comercial, considerar sempre 30 dias)
Taxa percentual e taxa unitária
 As taxas de juros podem ser apresentadas na forma 
percentual ou na forma unitária.
 Para efeito de cálculos usar sempre a forma 
unitária;
Taxa Percentual Taxa Unitária
1,5% 0,015
8% 0,08
17% 0,16
86% 0,86
120% 1,20
1,500% 15,0
Exemplo
 Um capital de R$ 80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao 
mês durante um trimestre. Determine o valor dos juros 
acumulados neste período.
C = R$ 80.000,00
i = 2,5% a.m ou 0,025 (taxa unitária)
n = 1 trimestre ou 3 meses
J = ?
J = Cin
J = 80.000,00 * 0,025 * 3
J = R$ 6.000,00
Exercícios
1 – Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros 
simples de 6% ao mês durante 9 meses. Ao final deste período, calculou em 
R$ 270.000,00 o total de juros auferidos na operação. Determinar o valor do 
empréstimo.
2 – Um capital de R$ 40.000,00 foi aplicado num fundo de poupança por 12 
meses, produzindo um rendimento financeiro de R$ 9.680,00. Qual a taxa de 
juros oferecida por esta operação?
3 – Uma aplicação de R$ 250.000,00, rendendo a uma taxa de juros de 1,8% 
ao mês produz, ao final de um determinado período, juros no valor de R$ 
27.000,00. Calcular o prazo da aplicação.
Montante
 Um capital aplicado a uma taxa periódica de juros por um 
determinado tempo produz um valor acumulado chamado de 
MONTANTE. O montante é identificado pela letra M.
Montante é a soma do capital aplicado mais os juros 
auferidos durante o período da aplicação ou empréstimo.
𝑴 = 𝑪+ 𝑱
Como
𝑱 = 𝑪 𝒙 𝒊 𝒙 𝒏
Então
𝑴 = 𝑪+ 𝑪 𝒙 𝒊 𝒙 𝒏
Ou
𝑴 = 𝑪 𝒙 ( 𝟏 + 𝒊 𝒙 𝒏)
Capital a partir do Montante
 Se for fornecido o valor do Montante, o período e a 
taxa de juros,
Por transformação algébrica temos:
𝑪 =
𝑴
(𝟏+𝒊 𝒙 𝒏)
 O valor do Capital aplicado é chamado de Valor 
Presente e o Montante é chamado de Valor Futuro
 A expressão 𝟏 + 𝒊 𝒙 𝒏 é chamada de fator de 
capitalização, ou seja, se multiplicarmos o valor do capital 
investido por esta expressão teremos o valor futuro.
Exercícios:
1 - Uma pessoa aplica R$ 18.000,00 à taxa de 1,5% ao mês durante 8 
meses. Qual o valor apurado (montante) ao final deste período?
M = C (1 + i*n)
M = ?
C = R$ 18.000,00
i = 1,5% ou 0,015
n = 8
M = 18.000,00 (1 + 0,015 * 8)
M = 18.000,00 * 1,12
M = R$ 20.160,00
Exercícios:
2 – Uma dívida de R$ 900.000,00 irá vencer em 4 
meses. O credor está oferecendo um desconto de 7% 
ao mês caso o devedor antecipasse o pagamento 
para hoje. Calcule o valor que deveria ser pago se 
esta oferta fosse aceita.
Taxa Proporcional e Taxa Equivalente
Toda a operação de capitalização envolve dois prazos:
1 - Prazo a que se refere a taxa de juros
2 - Prazo de capitalização ou ocorrência de juros
Supondo um empréstimo bancário a uma taxa nominal de 24% ao ano:
Se a periodicidade de ocorrência ou capitalização dos juros for ao final dos 12 
meses, ou seja, se os juros incidirão sobre o capital somente no final do período, os
dois prazos são considerados coincidentes. Exemplo: Crédito Direto ao 
Consumidor CDC (taxa e capitalização mensal)
Se a periodicidade de capitalização dos juros for diferente (normalmente inferior) ao 
prazo da taxa de juros, devemos ratear o prazo da taxa ao período de capitalização. 
Exemplo: Caderneta de polpação onde a taxa é anual (6%) e a capitalização dos 
juros é mensal (0,5% ao mês)
Para efeito de cálculo, prazos diferentes devem ser expressos na mesma base de 
tempo
Taxa proporcional em juros simples
No sistema de juros simples, para achar a taxa proporcional quando 
os prazos não são coincidentes, devemos dividir a taxa de juros 
considerada na operação, pelo número de períodos de capitalização.
Exemplo: Uma taxa de 18% de juros ao ano que será capitalizada 
mensalmente (12 meses):
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 =
18%
12
= 1,5% ao mês.
Aplicação: Operações de curtíssimo prazo como: cálculo de juros de 
mora, descontos bancários, apuração de juros sobre saldo devedor 
da conta bancária, etc.
Em juros simplesestas taxas são chamadas também de nominal ou 
linear;
Taxas de juros simples equivalentes:
 As taxas de juros simples se dizem equivalentes quando, aplicadas 
a um mesmo capital e pelo mesmo intervalo de tempo, produzem o 
mesmo montante linear de juros:
Exemplo: Um capital de R$ 500.000,00, se aplicado a 2,5 ao mês ou 
15% ao semestre, pelo prazo de um ano, produz o mesmo montante 
linear de juros
1 – J (2,5% a.m.) = R$ 500.000,00 * 0,025 * 12 = R$ 150.000,00
2 – J (15% a.s.) = R$ 500.000,00 * 0,15 * 2 = R$ 150.000,00
OBS: Este assunto será tratado com mais profundidade em juros 
compostos.
Exemplo:
1 – Calcular a taxa anual proporcional a: (a) 6% ao 
mês, (b) 10% ao bimestre.
◦A) i = 6% *12 = 72% ao ano;
◦B) i = 10% * 6 = 60% ao ano
2 – Calcular a taxa de juros semestral proporcional a: 
(a) 60% ao ano, (b) 9% ao trimestre.
◦A) i = 60% / 2 = 30% ao semestre;
◦B) i = 9% / 3 * 6 = 18% ao semestre;
Exercícios:
1 – Demonstre se 36% ao ano é proporcional a 12% ao 
trimestre%.
2 – Calcular o montante de um capital de R$ 600.000,00 
aplicado à taxa de 2,3% ao mês pelo prazo de um ano e 5 
meses;
3 – Uma dívida de de R$ 30.000,00 que irá vencer dentro de 
um ano é saldada 3 meses antes. Para sua quitação 
antecipada, o credor concede um desconto de 15% ao ano. 
Antecipar o valor da dívida a ser pago antecipadamente.
Juro exato e Juro comercial:
Em operações de curto prazo, é comum o prazo ser definido em número 
de dias. Neste caso o número de dias pode ser calculado de duas 
maneiras:
A) Tempo Exato – Usa-se o calendário do ano civil onde são 
computados 365 dias. O juro apurado neste caso é chamado de Juro 
Exato
12% ao ano equivale a 
𝟏𝟐%
𝟑𝟔𝟓 𝒅𝒊𝒂𝒔
= 0,032877% ao dia
A) Ano comercial– Usa-se o calendário com meses de 30 dias onde são 
computados 360 dias. O juro apurado neste caso é chamado de Juro 
comercial ou ordinário
12% ao ano equivale a 
𝟏𝟐%
𝟑𝟔𝟎 𝒅𝒊𝒂𝒔
= 0,0333333% ao dia
Equivalência Financeira
Dois ou mais capitais representativos de uma certa data, dizem-se 
equivalentes quando, a uma certa taxa de juros, produzem resultados 
iguais numa data comum ou Data Focal.
Este é um conceito importante para a análise de investimentos e de 
riscos;
Exemplo:
R$ 120.00 vencíveis daqui a um ano e R$ 100,00 na data de hoje 
são equivalentes a uma taxa de juros simples de 20%, pois.
M = 120,00 
C = 100,00
i = 20% ao ano ou 0,20
n = 1 ano
M = C * (1 + 0,20 * 1) -> M = 100,00 * 1,20 -> M = 120,00
C = M / ( 1 + 0,20 * 1) -> C = 120,00 / 1,20 -> C = 100,00
Equivalência Financeira
Graficamente:
M = 100,00 * (1 + 0,20 * 1)
C = 120,00 / ( 1 + 0,20 * 1)
R$ 100,00 R$ 120,00
Exemplo:
Determinar se R$ 438.080,00 vencíveis daqui a 8 
meses é equivalente a se receber hoje R$ 296.000,00, 
admitindo-se uma taxa de juros simples de 6% ao 
mês
C = 296.000,00
M = 438.080,00
i = 6% ou 0,06
n = 8 meses
M = 296.000,00 * (1 + 0,06 * 8) 
M = 296.000,00 * 1,48 = 438.080,00
C = 438.090,00 / (1 + 0,06 * 8)
C = 438.080,00 / 1,48 = 296.000,00
Equivalência de Capitais
Representação Gráfica
Os capitais A1, A2, B1, B2 e B3 dizem-se equivalentes se, quando expressos em valores de 
uma data comum ou data focal e a mesma taxa de juros, apresentam resultados 
iguais.
Sendo a data de comparação, ou momento focal = 0, tem-se:
𝑨𝟏
( 𝟏+𝒊 𝒙 𝟏)
+ 
𝑨𝟐
( 𝟏+𝒊 𝒙 𝟐)
= 
𝑩𝟏
( 𝟏+𝒊 𝒙 𝟑)
+ 
𝑩𝟐
( 𝟏+𝒊 𝒙 𝟒)
+ 
𝑩𝟑
( 𝟏+𝒊 𝒙 𝟓)
Sendo o momento 6 escolhido como fata focal temos:
𝑨𝟏 𝟏 + 𝒊 𝒙 𝟓 + 𝑨𝟐 𝟏 + 𝒊 𝒙 𝟒 = 𝑩𝟏 𝟏 + 𝒊 𝒙 𝟑 + 𝑩𝟐 𝟏 + 𝒊 𝒙 𝟐 + 𝑩𝟑 𝟏 + 𝒊 𝒙 𝟏
0 1 2 3 4 5 n
A1
A2 B1 B2 B3
Exemplo:
Vamos supor que A deva para B R$ 130.000,00 e irá restituir este valor em dois 
pagamentos de:
1 – R$ 50.000,00 de hoje em 4 meses;
2 – R$ 80.000,00 de hoje em 8 meses;
Devido a sua previsão de fluxo de caixa, A está com dificuldades de pagar desta 
forma e fez a seguinte proposta:
1 – R$ 10.000,00 na data de hoje;
2 – R$ 30.000,00 de hoje em 6 meses;
3 – R$ o restante (X) de hoje em 12 meses;
Sabendo-se que B cobra uma taxa de 2% ao mês, pede-se apurar o valor a ser 
pago no final de 12 meses de maneira que este valor seja equivalente ao que ele 
receberia originalmente.
Solução do problema:
Considerando a data focal = 0 (hoje)
𝟓𝟎.𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎
𝟏+𝟎,𝟎𝟐 𝒙 𝟒
+ 
𝟖𝟎.𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎
𝟏+𝟎,𝟎𝟐 𝒙 𝟖
= 10.000,00 + 
𝟑𝟎.𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎
𝟏+𝟎,𝟎𝟐 𝒙 𝟔
+ 
𝑿
𝟏+𝟎,𝟎𝟐 𝒙 𝟏𝟐
46.296,30 + 68.695,50 = 10.000,00 + 26.785,70 + 
𝑿
𝟏,𝟐𝟒
115.261,80= 36.785,70 + 
𝑿
𝟏,𝟐𝟒
𝑿
𝟏,𝟐𝟒
= 78.476,10
X = 78.476,10 x 1,24 X = 97.310,40
Solução do problema
Considerando a data focal = 12 ( Final do período)
𝟓𝟎. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 𝒙 𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟐 𝒙 𝟖 + 𝟖𝟎. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 𝒙 (𝟏 +
𝐗 = 𝐑$ 𝟗𝟖. 𝟒𝟎𝟎, 𝟎𝟎
Juros Compostos....
Regime de capitalização onde os juros do período são 
acrescidos ao capital formando o montante. No 
período seguinte este montante passa a ser o capital 
do próximo período – Juros sobre Juros
Fórmula de Cálculo
𝑭𝑽 = 𝑷𝑽(𝟏 + 𝒊)𝒏
Onde:
FV = Valor Futuro ou Montante
PV = Valor Presente ou Capital
i = taxa no período
n = Período
Juros Compostos
Por transformação algébrica
Cálculo do Valor Presente ou Capital
(𝟏 + 𝒊)𝒏 = Fator de Capitalização ou valor Futuro. É 
expresso como FCC (i , n)
𝟏
(𝟏+𝒊)𝒏
= Fator de atualização ou Valor Presente. É 
expresso como FAC (i , n)
𝑷𝑽 =
𝑭𝑽
(𝟏 + 𝒊)𝒏
Juros compostos
Representação Gráfica
OBS: por esta representação é possível observar que 
tanto PV como FV podem ser calculados em qualquer 
momento do período de capitalização
FV = PV * FCC (i , n)
PV = FV * FAC (i , n)
PV PV FV FV
Exemplos:
1. Se uma pessoa deseja obter R$ 27.500,00 dentro 
de um ano, quanto deverá depositar hoje numa 
alternativa de poupança que rende 1,7% de juros 
compostos ao mês?
FV = R$ 27.500,00
N = 1 ano (12 meses)
i = 1,7% ao mês (0,017)
PV = ?
𝑃𝑉 =
𝐹𝑉
(1 + 𝑖)𝑛
𝑃𝑉 =
27.500,00
(1 + 0,017)12
𝑃𝑉 =
27.500,00
1,224197
PV = R$ 22.463,70
Valor monetário dos Juros
Sabe-se que o valor dos juros (J) é apurado pela 
diferença entre o Valor Futuro
𝐽 = 𝐹𝑉 − 𝑃𝑉
Como
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 𝑥 1 + 𝑖 𝑛
Então
𝐽 = 𝑃𝑉 𝑥 ( 1 + 𝑖 𝑛 - 1)
Valor Monetário dos Juros
Diferente dos juros simples que possuem um 
crescimento linear durante o período, os juros 
compostos crescem de forma exponencial
Exercício 1
Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 
12.000,00 em um título pelo prazo de 8 meses à taxa 
de juros compostos de 3,5% ao mês.
Resposta: R$ 15.801,71
Exercício 2
Determinar a taxa mensal composta de juros de uma 
aplicação de R$ 40.000,00 que produz um montante 
de R$ 43.894,63 ao final de uma quadrimestre.
Resposta: 2,35% a.m
Exercício 3
Uma aplicação de R$ 22.000,00 efetuada em certa 
data produz, à taxa composta de juros de 2,4% ao 
mês, um montante de R$ 26.596,40 em certa data 
futura. Calcular o prazo da operação.
Resposta: 8 meses.
Exercício 4
Determinar o juro pago de um empréstimo de R$ 
88.000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa composta de 
4,5% ao mês.
Resposta: 21.664,02
Posso usar J = FV – PV
Ou
𝐽 = 𝑃𝑉 𝑥 ( 1 + 𝑖 𝑛 - 1)
Antecipação ou adiamento de pagamentos
O valor presente (FV) não precisa estar obrigatoriamente 
ao momento zero
 Usar a fórmula do Valor Presente com n igual aos 
meses de antecipação
O mesmo se aplica para o adiamento de pagamentos
Usar a fórmula do Valor Futuro com n igual aos meses 
de atraso.
OBS: Em juros compostos, problemas envolvendo FV e PV 
permitem capitalizações mesmo com diversos valores de 
prestações.
Exemplo:
Considere o seguinte fluxo de prestações para 
pagamento de uma dívida tomada:
Calcula o pagamento em valor único no momento 
zero à taxa de 3% ao mês.
𝑃𝑉 = ൗ15.000 1,032 + ൗ
40.000
1,035 + ൗ
50.000
1,036 + ൗ
70.000
1,038
PV = R$ 145.776,15 
R$ 15.000,00 R$ 40.000,00 R$ 50.000,00R$ 70.000,00
0 2 5 6 8
42
Taxas equivalentes – Juros Compostos
Duas taxas equivalentes, quando aplicadas a um
mesmo capital inicial (principal ou PV), durante um
mesmo período de tempo, produzem o mesmo capital
disponível (montante ou FV) acumulado ao final
daquele período.
         astmd iiiii  11111
2412360
Taxas equivalentes – Juros Compostos
Em juros compostos, para acharmos a taxa 
equivalente de uma determinada taxa apresentada, 
devemos usar a fórmula:
Onde q = número de períodos de capitalização:
Exemplo: Qual a taxa equivalente composta mensal 
de 10.3826% ao semestre.
𝑖6 =
6 1 + 0,103826 - 1 = 1.0166 -1 = 0,066 ou 1,66% a.m
𝑖𝑞=
𝑞
1 + 𝑖 - 1
Exemplo:
Quais as taxas de juros compostos mensal e 
trimestral equivalentes a 25% ao ano?
Mensal
i = 25% a.a
q = 12 meses
𝑖12=
12
1 + 0,25 - 1
𝑖12= 1,877% a.m
Trimestral
i = 25% a.a
q = 4 trimestres
𝑖4=
4
1 + 0,25 - 1
𝑖4= 5.737% a.t
Cuidados em relação a equivalência dos juros 
compostos
Exemplo. Um banco divulga que a rentabilidade oferecida 
por uma aplicação é de 12% ao semestre ou 2% ao mês. 
Neste caso, R$ 10.000,00 renderiam R$ 11,200,00 ao final 
de 6 meses.
Incorreto:
R$ 10.000,00 aplicado por um semestre seria:
𝐹𝑉 = 10.000,00 𝑥 (1 + 0,02)6 = R$ 11.261,62
Correto
𝑖6 = 6 1,12 - 1 = 0,0191 = 1,91% a.m
𝐹𝑉 = 10.000,00 𝑥 (1 + 0.0191)6 = R$ 11.200,00
Taxa Efetiva e Taxa Nominal
Taxa efetiva de juros é a taxa apurada durante todo o 
período ou prazo “n”.
Exemplo:
Uma taxa de 3,8% ao mês (juros compostos) equivale 
a uma taxa efetiva de 56,44% a.a.
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝐸𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑖𝑓 = 1 + 𝑖
𝑞
- 1 onde q é o número 
de períodos
𝑖𝑓 = 1 + 0,038
12
- 1 = 56,44% ao ano
- Unidade de tempo não coincide com a unidade de tempo dos
períodos de capitalização.
- Exemplos
(I) 12% a.a capitalizados mensalmente
(II) 24% a.a capitalizados trimestralmente
Uma taxa nominal de operação para um período de 1 ano por exemplo,
como 36% a.a equivaleria uma taxa proporcional simples de 3% ao mês
ou 36/12.
Neste caso em juros composto, a taxa efetiva seria de 42,6% a.a
𝑖𝑓 = (1 +
0,36
12
)12−1 = 42,6% a.a
Taxa Nominal
Nomenclatura de Taxa de Juros
Taxa Efetiva x Taxa Nominal
Caderneta de Poupança: 
6% a.a. ou 0,5 % ao mês?
   
 0617,1
005,112
0
12
0
C
CC


6,17% 
a.a.
Taxa nominal : 6 % a.a. capitalizados mensalmente
Taxa efetiva mensal: 0,5% a.m.
Taxa efetiva anual: 6,17% a.a.
As três taxas acima são Equivalentes pois quando aplicadas
ao mesmo capital inicial, durante um mesmo prazo, produzem
o mesmo montante.
INFLAÇÃO
É a elevação geral dos preços de todos os bens e serviços, fazendo 
com que o dinheiro perca valor, ou seja, aumento contínuo e 
generalizado dos preços
A inflação alta é prejudicial para a economia de um país. Quando alta 
ou fora de controle, pode gerar diversos problemas e distorções 
econômicas. Taxas de inflação altas são aquelas que ficam acima de 
6% ao ano.
◦ Desvalorização da moeda do país.
◦ Alta do dólar e aumento dos preços dos importados
◦ Diminuição dos investimentos no setor produtivo
◦ Clima econômico desfavorável
◦ Aumento da especulação financeira
◦ Elevação da taxa de juros
◦ Aumento do desemprego
Topologias da inflação
Inflação de demanda
Inflação de custos
Inflação Inercial
Quando há um excesso de demanda para uma
quantidade restrita de bens. Isso faz com que os
preços dos bens subam.
Quando ocorre aumentos nos custos de produção
em virtude de quebras de safras, guerras,
dificuldade de transporte, novos impostos,
aumento dos custos dos insumos (Crise do
petróleo em 1973 e 1979).
Mesmo que todas as causas da inflação
desapareçam os agentes continuam reajustando
os preços, na expectativa que os preços subirão
(Brasil no início dos anos 1990)
•Quando um país privilegia o mercado externo em detrimento do
mercado interno, a falta do produto nesse mercado interno
poderá levar à inflação de demanda, conhecida como Inflação
Exportada.
•Quando ocorre aumento do preço de insumos no mercado
internacional, pode haver uma inflação de custos, conhecida
como inflação importada.
Inflação exportada e Inflação importada
Topologias da inflação
• Em ambientes inflacionários a depreciação deve ser corrigida 
para que o dinheiro não perca seu valor durante o tempo
Índices de Preço 
Procedimento estatístico que permite medir as 
variações ocorridas nos preços de um período para o 
outro
No Brasil são usados vários índices de preços, 
originários de amostragens e critérios desiguais e 
elaborados por diferentes instituições
Ex. IGP – Índice Geral de Preços da FGV para um 
determinado exercício.
Índices de preços
Mês Maio Junho Julho Agost
o
Setembro Outubro Novembr
o
Dezembro
IGP 649,79 703,38 800,31 903,79 1.009,67 1.152,63 1.353,79 1.576,56
Para se apurar a inflação de um período devemos relacionar o índice do 
fim do final do período desejado com o índice do final do período 
anterior.
Inflação do segundo semestre = 
1.576,56
703,38
− 1 = 2,2414 = 124,14%
Neste período os preços cresceram 2.2414 vezes.
𝐼 =
𝑃𝑛
𝑃𝑛 − 𝑡
− 1
I = taxa de inflação
P = índice de preços usado
n , n-t = respectivamente a data de 
determinação da taxa de inflação e o mês 
anterior ao período considerado.
Cálculo da Inflação
Para atualizar o valor monetário com base na inflação, basta 
multiplicar o valor original do bem ou serviço, verificado no início do 
período, pela inflação do período.
Exemplo: Um imóvel comprado por R$ 60.000,00 foi vendido por 
R$ 80.000,00 após um ano. Considerando que a inflação no período 
foi de 40%, esta venda foi vantajosa ou não?
𝐺𝑎𝑛ℎ𝑜 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 =
80.000,00
60,000,00
− 1 = 33,31%
Valor corrigido = 60.000,00 x 1,40 = 84.000,00
Não foi vantajosa a venda.
Comportamento exponencial da inflação
O comportamento da inflação se processa de maneira 
exponencial, da mesma forma que os juros compostos. 
Ex. Considere as taxas de inflação de 2,8%, 1,4% e 3,0% 
para os três primeiros meses de um ano. Um ativo de R$ 
10.000,00 corrigido plenamente por esta inflação 
apresentaria os seguintes valores:
1º Mês = 10.000,00 * 1.028 = R$ 12.336,00
2º Mês = 12.336,00 * 1.014 = R$ 12.508,70
3º Mês = 12.508,70 * 1,030 = R$ 12.883,97
Inflação acumulada no trimestre
Inflação no trimestre =
12.883,97
10.000,00
= 7,37
Inflação no trimestre = 𝑰𝒒 = ( 𝟏. 𝟎𝟐𝟖 𝒙 𝟏, 𝟎𝟏𝟒 𝒙 𝟏, 𝟎𝟑𝟎 ) − 𝟏 = 𝟕, 𝟑𝟕%
Taxa Equivalente Mensal (Iq) = 
3
1.0737 − 1 = 2,4% ao mês
Séries Uniformes
Chama-se série uniforme a uma série de "n" 
pagamentos (ou recebimentos) iguais e sucessivos. O 
primeiro ocorre no final do período 1 e o último no 
final do período "n" (conversão de final de período).
As operações de pagamentos ou recebimentos 
podem ser periódicas e não periódicas e podem ser 
feitas pelo regime de capitalização de juros simples 
ou juros compostos.
Tipos de Pagamentos
Quanto ao tempo
Temporária ou limitada: quando tem um número limitado de pagamentos;
Indeterminada: quando tem um número indefinido de pagamentos.
Quanto à constância ou periodicidade
Periódicos: quando os pagamentos ocorrem em intervalo de tempo iguais;
Não periódicos: quando os pagamentos ocorrem em intervalos de tempo 
variáveis.
Quanto ao valor de pagamentos
Fixo ou Uniformes: quando todos os pagamentos são iguais;
Variáveis: quando os valores dos pagamentos ocorrem variam.
d) Quanto ao vencimento do primeiro pagamento.
Imediata: quando o primeiro pagamento ocorre exatamente no 
primeiro período da série;
Diferida: quando o primeiro pagamento não ocorre no primeiro 
período da série, ou seja, ocorrerá em período subsequentes.
e) Quanto ao momento dos pagamentos
Antecipada: quando o primeiro pagamento ocorre no momento “0” 
da série de pagamentos (ato do negócio);
Postecipada: quando o primeiro pagamento ocorre após o negócio 
(um período após o negócio).
Classificação das Séries de pagamentos
Fluxo de Caixa
0 1 2 3 4 n-1 n (tempo)
PV
PMT PMT PMT PMT PMT PMT
0 1 2 3 4 n-1 n(tempo)
PV= valor dívida
PMT = Prestações
Do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
 Do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
Modelo padrão ou básico : quando renda ou série uniforme for, 
simultaneamente, temporária, constante, imediata, postecipada
e periódica
Temporária ou limitada – O prazo total do fluxo de caixa é 
conhecido a priori sendo finito em número de termos;
Constantes – Os valores dos termos que compõe o fluxo de 
caixa serão iguais entre si;
Imediata – O primeiro pagamento irá ocorrer no primeiro 
período da série;
Postecipada - O primeiro pagamento/recebimento começa a 
ocorrer no final do primeiro período;
Periódica – Os intervalos entre os pagamentos serão idênticos 
entre si.
Modelo Padrão
Cálculo do Valor Presente
0 1 2 3 4 n-1 n (tempo)
PV
PMT PMT PMT PMT PMT PMT
𝑃𝑉 =
𝑃𝑀𝑇
(1+𝑖)
+ 
𝑃𝑀𝑇
(1+𝑖)1
+
𝑃𝑀𝑇
(1+𝑖)2
+
𝑃𝑀𝑇
(1+𝑖)3
+
𝑃𝑀𝑇
(1+𝑖)4
+⋯ +
𝑃𝑀𝑇
(1+𝑖)𝑛−1
+
𝑃𝑀𝑇
(1+𝑖)𝑛
𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 𝑥 (
1
(1+𝑖)
+ 
1
(1+𝑖)1
+
1
(1+𝑖)2
+
1
(1+𝑖)3
+
1
(1+𝑖)4
+⋯ +
1
(1+𝑖)𝑛−1
+
1
(1+𝑖)𝑛
)
𝑷𝑽 = 𝑷𝑴𝑻 𝒙
𝟏 − (𝟏 + 𝒊)−𝒏
𝒊
FV = PMT x (1 + i)n -1
i
Exemplo: 
Determinado bem é vendido em 7 pagamentos 
mensais, iguais e consecutivos. Para uma taxa de 
2,6% a.m., até que preço compensa adquirir o bem a 
vista.
PMT = R$ 4.000,00
I = 2,6 a.m. 0,026
N = 7
PV = ?
𝑷𝑽 = 𝑷𝑴𝑻 𝒙
𝟏 − (𝟏 + 𝒊)𝒏
𝒊
𝑷𝑽 = 𝟒. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 𝒙
𝟏 − (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟐𝟔)𝟕
𝟎, 𝟎𝟐𝟔
𝑷𝑽 = 𝟒. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 𝒙 𝟔, 𝟑𝟐𝟓𝟐𝟗𝟒 = 𝑹$ 𝟐𝟓. 𝟑𝟎𝟏, 𝟏𝟖
Exemplo: 
Um empréstimo de R$ 20.000,00 é concedido para 
pagamento em 5 prestações mensais, iguais e 
sucessivas de R$ 4.300,00. Calcular o custo mensal 
deste empréstimo.
PMT = R$ 4.300,00
I = ?
N = 5
PV = 20.000,00
𝑷𝑽 = 𝑷𝑴𝑻 𝒙
𝟏 − (𝟏 + 𝒊)−𝒏
𝒊
𝑷𝑽 = 𝟒. 𝟑𝟎𝟎, 𝟎𝟎 𝒙
𝟏 − (𝟏 + 𝒊)−𝟓
𝒊
𝒊 = 𝟐, 𝟒𝟔%
Exemplo: 
Um empréstimo de R$ 20.000,00 é concedido para 
pagamento em 5 prestações mensais, iguais e 
sucessivas de R$ 4.300,00. Calcular o custo mensal 
deste empréstimo.
PMT = R$ 4.300,00
I = ?
N = 5
PV = 20.000,00
𝑷𝑽 = 𝑷𝑴𝑻 𝒙
𝟏 − (𝟏 + 𝒊)−𝒏
𝒊
𝑷𝑽 = 𝟒. 𝟑𝟎𝟎, 𝟎𝟎 𝒙
𝟏 − (𝟏 + 𝒊)−𝟓
𝒊
𝒊 = 𝟐, 𝟒𝟔%
Exemplo: 
Uma pessoa irá necessitar de R$ 22.000,00 daqui a um ano para 
realizar uma viagem. Para tanto está fazendo uma economia mensal 
de de R$ 1.250,00 numa poupança que rende 4% ao mês. 
Determinar se esta pessoa terá o montante necessário.
PMT = R$ 1.250,00
I = 4% - 0,04
N = 12
𝑭𝑽 = 𝟏. 𝟐𝟓𝟎, 𝟎𝟎 𝒙
𝟏. 𝟎𝟒𝟏𝟐 − 𝟏
𝟎, 𝟎𝟒
𝑭𝑽 = 𝟏. 𝟐𝟓𝟎, 𝟎𝟎 𝒙 𝟏𝟓. 𝟎𝟐𝟓𝟖𝟎𝟓 = 𝑹$ 𝟏𝟖. 𝟕𝟖𝟐, 𝟐𝟔
FV = PMT x (1 + i)n -1
i
Sistemas de Amortização de Empréstimos e 
Financiamentos
Desenvolvidos basicamente para operações de 
empréstimos e financiamentos de longo prazo
Existem várias maneiras de amortizar uma dívida, o 
importante é que o processo seja previamente acordado 
entre o credor e o mutuário, devendo estar, 
preferencialmente, firmado em contrato.
Para cada tipo de amortização é construída uma planilha 
financeira que relaciona os fluxos de pagamento e 
recebimento. Para este curso serão estudadas:
◦O Sistema de Amortização Constante – SAC
◦O Sistema de Amortização Francês – Tabela PRICE ou SAF
Definições Básicas
Encargos Financeiros (despesas) – Representam os 
juros da operação (custo para o devedor e retorno 
para o credor)
◦Pós-Fixado – Desmembramento entre juros e 
correção monetária (juro real)
◦Prefixados – Engloba os juros reais mais uma taxa 
de inflação, ou expectativa de inflação, prefixada.
Amortização – Refere-se exclusivamente ao 
pagamento do principal. Parte do pagamento 
desvinculada dos juros e da correção monetária
Definições Básicas
Saldo Devedor – Representa o valor do principal da 
dívida em determinado momento, após a dedução do 
valor já pago a título de amortização.
Prestação – É composto do valor da amortização mais 
os encargos financeiros devidos em determinado 
período de tempo
◦Prestação = Amortização + Encargos Financeiros
Carência – Diferimento na data convencional de 
início do pagamento. Acordado entre as partes. 
Exemplo - FIES
Sistema de Amortização Constante - SAC
Amortizações do valor principal da dívida são sempre 
iguais ou constantes, durante todo o prazo da 
operação
◦O valor da amortização é obtido mediante a divisão 
do capital emprestado pelo número de prestações.
Juros incidem sobre o saldo devedor. Como o 
montante da dívida é decrescente, os juros também 
são decrescentes.
As prestações são periódicas e sucessivas e 
decrescem em progressão aritmética.
Exemplo de construção da Tabela - SAC
Supor a seguinte operação de empréstimo.
◦Valor principal: R$ 100.000,00
◦Prazo da Operação: 5 anos
◦Taxa de Juros: 30% ao ano (efetiva)
◦Quitado em 10 prestações semestrais
◦Sem carência.
Tabela - SAC
Períodos 
(Semestres) Saldo Devedor
Amortização Juros Prestação
0 R$ 100.000,00 R$ - R$ - R$ -
1 R$ 90.000,00 R$ 10.000,00 R$ 14.017,54 R$ 24.017,54 
2 R$ 80.000,00 R$ 10.000,00 R$ 12.615,79 R$ 22.615,79 
3 R$ 70.000,00 R$ 10.000,00 R$ 11.214,03 R$ 21.214,03 
4 R$ 60.000,00 R$ 10.000,00 R$ 9.812,28 R$ 19.812,28 
5 R$ 50.000,00 R$ 10.000,00 R$ 8.410,53 R$ 18.410,53 
6 R$ 40.000,00 R$ 10.000,00 R$ 7.008,77 R$ 17.008,77 
7 R$ 30.000,00 R$ 10.000,00 R$ 5.607,02 R$ 15.607,02 
8 R$ 20.000,00 R$ 10.000,00 R$ 4.205,26 R$ 14.205,26 
9 R$ 10.000,00 R$ 10.000,00 R$ 2.803,51 R$ 12.803,51 
10 R$ - R$ 10.000,00 R$ 1.401,75 R$ 11.401,75 
Total R$ 100.000,00 R$ 77.096,48 R$ 177.096,48 
Expressões de cálculo do SAC
𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑧𝑎çã𝑜 =
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑒𝑚𝑝𝑟é𝑠𝑡𝑖𝑚𝑜
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çõ𝑒𝑠
Taxa equivalente =
No exemplo dado: 35% a.a. é equivalente à ? a.s
𝑖2=
2 1 + 0,30 - 1 = 1,30 - 1 = 14,0175% ao semestre
𝑖𝑞=
𝑞
1 + 𝑖 - 1
Expressões de cálculo do SAC
Qual o valor dos juros em um determinado Período? 
Exemplo no período 7 ou sétimo semestre:
𝑗7 =
100.000,00
10
𝑥 10 − 7 + 1 𝑥 0,140175
𝑗7 = 10.000,00 𝑥 4 𝑥 0,140175
𝑗7 = 5.607,00
𝑗𝑡 =
𝑃𝑉
𝑛
𝑥 𝑛 − 𝑡 + 1 𝑥 𝑖
Expressões de cálculo do SAC
Qual o valor da prestação (PMT) de um determinado 
Período? Exemplo no período 5 ou quinto semestre:
PMT = Amortização + juros = PMT = 𝑃𝑉
𝑛
+ (
𝑃𝑉
𝑛
𝑥 𝑛 − 𝑡 + 1 𝑥 𝑖)
𝑃𝑀𝑇5 =
100.000,00
10
𝑥 1 + (10 − 5 + 1 𝑥 0,140175
𝑃𝑀𝑇5 = 10.000,00 𝑥 (1 + 6 𝑥 0,140175
𝑃𝑀𝑇5 = 10.000,00 𝑥 1.84105 = 𝑅$ 18.410,50
PMT =
𝑃𝑉
𝑛
(1 + 𝑛 − 𝑡 + 1 𝑥 𝑖)
Sistema de Amortização Francês – SAF ou 
Tabela Price.
No Sistema de Amortização Francês, as prestações 
são iguais, periódicas e sucessivas
◦Equivalem ao modelo padrão do fluxo de caixa
◦É o mais usado no Brasil
O juros são decrescentes e as amortizações crescem 
pois as prestações permanecem iguais.
Exemplo de construção da Tabela - SAC
Supor a seguinte operação de empréstimo.
◦Valor principal: R$ 100.000,00
◦Prazo da Operação: 5 anos
◦Taxa de Juros: 30% ao ano (efetiva)
◦Quitado em 10 prestações semestrais
◦Sem carência.
Exemplo da tabela Price
Períodos (Semestres) Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
0 R$ 100.000,00 R$ - R$ - R$ -
1 R$ 94.833,05 R$ 5.166,95 R$ 14.017,50 R$ 19.184,45 
2 R$ 88.941,82 R$ 5.891,23 R$ 13.293,22 R$ 19.184,45 
3 R$ 82.224,79 R$ 6.717,03 R$ 12.467,42 R$ 19.184,45 
4 R$ 74.566,20 R$ 7.658,59 R$ 11.525,86 R$ 19.184,45 
5 R$ 65.834,07 R$ 8.732,13 R$ 10.452,32R$ 19.184,45 
6 R$ 55.877,91 R$ 9.956,16 R$ 9.228,29 R$ 19.184,45 
7 R$ 44.526,15 R$ 11.351,76 R$ 7.832,69 R$ 19.184,45 
8 R$ 31.583,15 R$ 12.943,00 R$ 6.241,45 R$ 19.184,45 
9 R$ 16.825,87 R$ 14.757,28 R$ 4.427,17 R$ 19.184,45 
10 R$ - R$ 16.825,88 R$ 2.358,57 R$ 19.184,45 
Total R$ 100.000,01 R$ 91.844,49 R$ 191.844,50 
Expressões de cálculo do Sistema de 
Amortização Francês. - PRICE
Cálculo da Prestação - PMT
𝑷𝑽 = 𝑷𝑴𝑻 𝒙
𝟏 − (𝟏 + 𝒊)−𝒏
𝒊
OU..
𝑷𝑴𝑻 =
𝑷𝑽
𝟏 − (𝟏 + 𝒊)−𝒏
𝒊
𝑷𝑴𝑻 =
𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎
𝟏 − (𝟏 + 𝟎, 𝟏𝟒𝟎𝟏𝟕𝟓)−𝟏𝟎
𝟎, 𝟏𝟒𝟎𝟏𝟕𝟓
𝑷𝑴𝑻 =
𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎
𝟓. 𝟐𝟏𝟐𝟓𝟓𝟓
PMT = R$ 19.184,40
Expressões de cálculo do Sistema de 
Amortização Francês. - PRICE
Cálculo da Amortização em determinado semestre. 
Exemplo, semestre 4 ou t = 4
◦Primeiro calcula-se a amortização do 1º período
◦𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡 = 𝑃𝑀𝑇 − 𝐽 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡1 = 𝑃𝑀𝑇 − 𝐽1
◦𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡1 = 𝑃𝑀𝑇 − (𝑃𝑉 𝑥 𝑖)
◦𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡1 = 19.184,40 − 100.000,00 𝑥 0.140175 = 5.166,90
◦ Como o crescimento da amortização é exponencial no tempo, 
então.
◦𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡4 = 5.166,90 𝑥 1 + 0.140175
4 −1 = R$ 7.658,60
𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡𝑡 = 𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡1 𝑥 1 + 𝑖
𝑡 −1
Expressões de cálculo do Sistema de 
Amortização Francês. - PRICE
Saldo Devedor (SD) de qualquer período.
◦O saldo devedor é calculado pela diferença entre o saldo 
devedor anterior ao período e a amortização do período. 
Exemplo para o período t = 6 ou sexto semestre.
◦Solução: Para encontrar o saldo devedor, devemos 
multiplicar o valor da prestação, pelo Fator do Valor 
Presente para o período.
◦FVP =
𝟏 −(𝟏+𝒊)−𝒏
𝒊
onde n, neste caso, é igual a n-t
◦𝑆𝐷𝑡 = 𝑃𝑀𝑇 𝑥
1 −(1+𝑖)−(𝑛−𝑡)
𝑖
Expressões de cálculo do Sistema de 
Amortização Francês. - PRICE
Saldo Devedor (SD) para t = 6
n total = 10
𝑡 = 6
i = 0,140175 PMT = 19.184,40
FVP =
𝟏 −(𝟏+𝟎,𝟏𝟒𝟎𝟏𝟕𝟓)−(𝟏𝟎−𝟔)
𝟎,𝟏𝟒𝟎𝟏𝟕𝟓
= 
𝑆𝐷6 = 19.184,40 𝑥
1 −(1+0.140175)−(10−6)
0.140175
𝑆𝐷6 = 19.184,40 𝑥 2,912667 = R$ 55.877,90
Expressões de cálculo do Sistema de 
Amortização Francês. - PRICE
Saldo Devedor (SD) para t = 6
n total = 10
𝑡 = 6
i = 0,140175 PMT = 19.184,40
FVP =
𝟏 −(𝟏+𝟎,𝟏𝟒𝟎𝟏𝟕𝟓)−(𝟏𝟎−𝟔)
𝟎,𝟏𝟒𝟎𝟏𝟕𝟓
= 
𝑆𝐷6 = 19.184,40 𝑥
1 −(1+0.140175)−(10−6)
0.140175
𝑆𝐷6 = 19.184,40 𝑥 2,912667 = R$ 55.877,90
Expressões de cálculo do Sistema de 
Amortização Francês. - PRICE
Cálculo dos Juros (J) para um determinado período “t”
Os juros incidem sempre sobre o saldo devedor do início do período, que equivale 
aos saldo devedor apurado no final do período anterior ou 𝑆𝐷𝑡 −1 Para encontrar o 
total de juros pagos no período, basta multiplicar este Saldo Devedor apurado no 
final do período anterior à “t” pela taxa de juros “i”
𝐽𝑡 = 𝑆𝐷𝑡 −1 𝑥 𝑖
Aproveitando o cálculo anterior onde achamos o Saldo devedor do sexto 
semestre, pede-se achar os juros totais do sétimo semestre (t=7)
t = 7
𝑆𝐷𝑡 − 1 =R$ 55.877,90
i = 0,140175
𝐽7 = 55.877,90 𝑥 0.140175 = 7.832,70
86
Exercícios
1) Um automóvel Gol 1000-16V, de valor à vista de R$ 
24.600,00, foi comprado, dando-se um Gol GL usado na troca, 
avaliado em R$ 13.200,00 e com o saldo financiado em 18 
parcelas mensais iguais, na taxa pré-fixada de 2,75% ao mês. 
Determinar o valor das prestações. (R$ 811,46)
2) Quanto deveremos depositar mensalmente numa 
caderneta de poupança que oferece uma taxa de juro de 1,98% 
ao mês, em média, para termos acumulado ao final de 10 anos 
um montante de R$ 84.000? considere renda antecipada. (R$ 
171,41)
Séries Uniformes
87
Exercícios
3) Ao adquirir uma mercadoria, uma pessoa dá como 
entrada 25% do preço à vista e compromete-se a efetuar mais 
12 pagamentos mensais de R$ 340. Se a loja cobra a taxa de 
juro de 1,9% ao mês, qual é o preço à vista dessa mercadoria? 
(R$ 4.823,73)
Séries Uniformes
Exercícios:
Exercício Exemplo
Um título vence daqui a 4 meses apresentando um 
valor nominal de resgate de R$ 407.164,90. O banco 
propõe ao aplicador a troca deste título por outro no 
valor nominal de R$ 480.000,00 vencível daqui a 8 
meses. Considerando que o aplicador exige uma taxa 
de 5% ao mês de rentabilidade, pede-se avaliar se a 
troca é vantajosa.
Resposta: Taxa auferida pela nova proposta é de 4,2% 
a.m. , ou seja, a troca não é vantajosa.
Exercícios:
1 – Uma pessoa deve a um banco dois títulos com 
valores de resgate de R$ 4.000,00 e R$ 9.000,00 
vencíveis, respectivamente, em 5 e 7 meses. 
Desejando antecipar a liquidação de toda a dívida 
para o momento atual (data zero), pede-se 
determinar o valor a ser pago, considerando uma 
taxa de juros de 1,9% ao mês:
R: R$ 11.529,76
Exercícios:
Calcular a taxa mensal de juros compostos de uma 
aplicação de R$ 6.600,00 que produz um montante 
de R$ 7.385,81 ao final de 7 meses.
R. 1,62% a.m
Uma aplicação de R$ 78.000,00 gerou o montante de 
R$ 110.211,96 numa certa data. Sendo a taxa de 2,5% 
ao mês, calcular o prazo da aplicação.
R. 14 meses.