S05 s2 - Criterio 1 Derivada

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Matemáticas para ingenieros 1 
Función Creciente y Decreciente. Extremos 
Relativos. Criterio de la primera derivada.
http://pormasmatematica.com.ar/por-mas-matematica/funcion/gif-estudio-de-funcion/
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Temario:
• Función Creciente y Decreciente
• Extremos Relativos
• Criterio de la 1ra derivada
• Ejercicios
• Conclusiones
Datos/Observaciones
Logro de la sesión:
Al finalizar la sesión de aprendizaje, el estudiante conoce e interpreta el
criterio de la primera derivada, calcula los puntos críticos y determina los
valores extremos para la solución de ejercicios.
Utilidad
La derivada de una función permite modelar los problemas de las ciencias básicas: 
Economía, Física, Biología, Química; y de las ciencias aplicadas e ingeniería.
• Se utiliza en la economía para resolver problemas de optimización, determinación de 
máximos y mínimos y realizar cálculos marginales entre otros.
• Se utiliza en la física con respecto a la termodinámica, resistencia de materiales, 
electrostática entre otros.
• Se utiliza en las ingeniería para estudiar la contaminación, reducir costes al fabricar 
un producto, tratamientos de aguas residuales y representar fenómenos mediante las 
ecuaciones diferenciales.
https://www.pinterest.es/pin/347762402472573325/
https://www.fisicalab.com/apartado/optimizacion-funcion
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Datos/Observaciones
Funciones crecientes y decrecientes
Sea 𝑓 una función definida en un intervalo 𝐼, entonces:
𝑓 es creciente en 𝐼, si para dos números cualesquiera
𝑥1, 𝑥2 en 𝐼, donde 𝑥1 < 𝑥2 se cumple que 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2)
𝑓 es decreciente en 𝐼, si para dos números cualesquiera
𝑥1, 𝑥2 en 𝐼, donde 𝑥1 < 𝑥2 se cumple que 𝑓(𝑥2) < 𝑓(𝑥1)
x
y
𝑥1 𝑥2
f (𝑥1)
f (𝑥2)
x
y
𝑥1 𝑥2
f (𝑥2)
f (𝑥1)
Teorema
Sea 𝑓 diferenciable en el intervalo ]𝑎; 𝑏[, entonces:
Si 𝑓′(𝑥) > 0 para todo 𝑥 en ]𝑎; 𝑏[, entonces 𝑓
es creciente en 𝑎; 𝑏 ,
Si 𝑓′(𝑥) < 0 para todo 𝑥 en ]𝑎; 𝑏[, entonces 𝑓
es decreciente en 𝑎; 𝑏 ,
x
y
𝑎 𝑏 x
y
𝑎 𝑏
Datos/Observaciones
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐:
Determine los intervalos donde la función 𝑓 𝑥 = 𝑥5 − 5𝑥3 − 20𝑥 − 2
es creciente y decreciente.
Datos/Observaciones
Máximo absoluto de una función 
Sea 𝐷 el dominio de 𝑓, se dice que en 𝑥0𝐷 ocurre máximo 
absoluto de 𝑓 si: 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥0) para todo 𝑥 en 𝐷.
El número 𝑓 𝑥0 se llama valor máximo absoluto de 𝑓 en 𝐷 y
ocurre en 𝑥0.
Mínimo absoluto de una función 
Sea 𝐷 el dominio de 𝑓, se dice que en 𝑐𝐷 ocurre mínimo 
absoluto de 𝑓 si: 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) para todo 𝑥 en 𝐷.
El número 𝑓 𝑥0 se llama valor mínimo absoluto de 𝑓 en 𝐷 y
ocurre en 𝑥0.
Extremos absolutos de una función
x
y
𝑥0
f (𝑥0)
x
y
f (𝑥0)
𝑥0
Datos/Observaciones
Extremos relativos de una función
Máximo relativo de una función 
Sea 𝐷 el dominio de 𝑓, se dice que en 𝑥0 ∈ 𝐷 ocurre un máximo
relativo de 𝑓 si:
𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥0) cuando 𝑥 es cercano a 𝑥0
El número 𝑓 𝑥0 se llama valor máximo relativo y ocurre en 𝑥0.
Mínimo relativo de una función 
Sea 𝐷 el dominio de 𝑓, se dice que en 𝑐 ∈ 𝐷 ocurre un mínimo 
relativo de 𝑓 si:
𝑓(𝑥0) ≤ 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 es cercano a 𝑥0
El número 𝑓 𝑥0 se llama valor mínimo relativo y ocurre en 𝑥0.
x
y
𝑥0
f (𝑥0)
x
y
𝑥0
f (𝑥0)
Datos/Observaciones
Valor crítico y punto crítico
Si 𝑥0 está en el dominio de 𝑓 y 𝑓
′ 𝑥0 = 0 o 𝑓
′(𝑥0) no está definida,
entonces 𝑥0 se denomina valor crítico de 𝑓
Si 𝑥0 es un valor crítico, entonces el par ordenado (𝑥0; 𝑓 𝑥0 ) se denomina
punto crítico.
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐𝒔:
Determine los valores y puntos críticos.
𝑎) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 5 𝑏) 𝑓 𝑥 =
3
𝑥2
Datos/Observaciones
Criterio de la 1ra derivada para extremos relativos
x
y
x
y
x
y
𝑓′(𝑥) > 0
𝑓′(𝑥) < 0
𝑓′ 𝑥 = 0
𝑓′ 𝑥 = 0
𝑓′(𝑥) > 0 La función es creciente
𝑓′ 𝑥 = 0
La función tiene un 
máximo o mínimo relativo.
𝑓′(𝑥) < 0 La función es decreciente
𝑥0
Sea 𝑓 es una función continua en 𝑎; 𝑏 y diferenciable en 𝑎; 𝑏 , si 𝑥0 ∈ 𝑎; 𝑏 es un valor crítico y 𝑓′(𝑥)
está definida en 𝑎; 𝑏 excepto posiblemente en 𝑥0, entonces:
i) Si ቊ
𝑓′ 𝑥 > 0, 𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑥0
𝑓′ 𝑥 < 0, 𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎 𝑑𝑒 𝑥0
⟹ 𝑓(𝑥0) es un valor máximo relativo de 𝑓.
ii) Si ቊ
𝑓′ 𝑥 < 0, 𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑥0
𝑓′ 𝑥 > 0, 𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎 𝑑𝑒 𝑥0
⟹ 𝑓 𝑥0 es un valor mínimo relativo de 𝑓.
x
y
x
y
𝑥0 𝑥0
+ − +−
(𝑥0; 𝑓 𝑥0 )
(𝑥0; 𝑓 𝑥0 )
f (𝑥0)
f (𝑥0)
Datos/Observaciones
Ahora pongamos en práctica lo aprendido, para ello 
deberás hacer lo siguiente:
1. Desarrollarás con tu docente los ejercicios 1 y 2.
2. Se resolverá el ejercicio 3 de forma individual o grupal, una vez
terminado, subirá la solución del ejercicio al foro de la sesión 1 de la
semana 10 para que el docente valide el desarrollo y realice la
retroalimentación.
Datos/Observaciones
Ejercicio 1
𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥 + 2
Determine los valores máximos y mínimos relativos de la función
Datos/Observaciones
Ejercicio 2
𝑓 𝑥 =
𝑥 + 1
𝑥2 + 𝑥 + 1
Determine los valores máximos y mínimos relativos de la función
Datos/Observaciones
AHORA TE TOCA A TI!
Datos/Observaciones
Ejercicio 3
𝑓 𝑥 = 2𝑒𝑥
2−4𝑥
Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos
relativos de la función.
• El criterio de la primera derivada consiste en
determinar los valores máximos y mínimos relativos
en un determinado intervalos.
• Los valores críticos son candidatos a ser valores
máximos o mínimos, ya que estos puedan estar
definidos en el dominio o no de la función.
Conclusiones:
Consulte, desarrolle las 
actividades y practique……
Muchas gracias!
“Hay dos maneras de vivir la vida: 
una como si nada fuese un 
milagro, la otra como si todo 
fuese un milagro.”
Albert Einstein