Copia de SEMANA16 PRE_MCD-MCM-final - Patricia Torres

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PREUNIVERSITARIO
2021-2
Máximo Común Divisor y 
Mínimo Común Múltiplo
16
2
3
4
5
6
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) 
Y
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)
7
Su vida es poco conocida, salvo
que vivió en Alejandría durante el
reinado de Ptolomeo I. Ciertos
autores árabes afirman que
Euclides era hijo de Naucrates.
Su obra ELEMENTOS es una de las producciones científicas más
conocidas del mundo y era una recopilación del conocimiento impartido
en el ámbito académico de entonces. En ella se presenta de manera
formal, partiendo únicamente de cinco POSTULADOS, el estudio de las
propiedades de líneas y planos, círculos y esferas, triángulos y conos, etc.
EUCLIDES
8
DIOFANTO
• Matemático griego que vivió en el siglo III,
considerado el padre del Álgebra y conocido
principalmente por su obra Aritmética, la
primera obra en la que se trata esta materia
de forma sistemática.
• Un tipo de ecuaciones desarrolladas por
Diofanto en Aritmética son las que se
conocen como ecuaciones diofánticas, que
relacionan dos o más incógnitas mediante
sumas, multiplicaciones y divisiones, y de
las que sólo se consideran las soluciones
enteras.
9
Máximo Común Divisor (MCD) en los enteros 
Conjunto de los divisores comunes positivos.
Si dI A entonces d  IAI y si d I B, entonces d  IBI, por lo tanto los
divisores comunes forman un conjunto finito, teniendo un elemento
mínimo: la unidad y un elemento máximo, al cual llamaremos máximo
común divisor.
Definición.
El máximo elemento del conjunto de los divisores comunes positivos
de dos o más números enteros no nulos, recibe el nombre de máximo
común divisor.
Ejemplo:
El conjunto de los divisores comunes positivos de 12, –18 y 30 es
{1, 2, 3, 6}. Luego: MCD(12, –18,30) = 6
10
Aplicación 1
Primero debemos calcular el MCD 
MCD (540, 576, 324) = 36
Luego determinamos los 9 divisores de 36:
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36
Resulta que hay 6 múltiplos de 3.
La cantidad de divisores comunes y múltiplos de tres que tienen los
números 540, 576 y 324 es
A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 9
Resolución
Respuesta: 6
11
Aplicación 2
Resolución
Se han colocado postes igualmente espaciados en el contorno de un
campo triangular, cuyos lados miden 240; 288 y 320 m, respectivamente.
Además hay un poste en cada vértice y la distancia entre poste y poste, es
entera y la mayor posible, ¿cuántos postes se colocaron?
𝟑𝟐𝟎
𝟐𝟖𝟖
𝟐𝟒𝟎
Sea 𝒅 la distancia entre poste y poste, como debe haber un poste
en cada vértice de los lados del terreno, entonces, 𝒅 debe ser un
divisor de común de 𝟐𝟒𝟎, 𝟐𝟖𝟖 y 𝟑𝟐𝟎; pero 𝒅 es el mayor posible
𝒅 = 𝑀𝐶𝐷(240; 288; 320) 240 − 288 − 320
60 − 72 − 80
120 − 144 − 160
15 − 18 − 20
2
2
4
𝒅 = 𝟏𝟔
Luego:
#postes=
𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
𝑑
=
240 + 288 + 320
16
= 53
𝒅
𝒅
𝒅
𝒅
𝒅
𝒅
𝒅
𝒅
𝒅
𝒅
Respuesta: 𝟓𝟑
12
Mínimo Común Múltiplo (MCM) en los enteros
De manera similar se puede definir el mínimo común múltiplo.
Múltiplos comunes
Sean A y B dos números enteros no nulos. Si A I M y B I M, decimos
que M es un múltiplo común de A y B.
Ejemplo:
Los múltiplos comunes de 12 y -20 son  60,  120,  180, 240,...
Al igual que en el caso anterior limitaremos nuestra atención a los
múltiplos comunes positivos.
13
Conjunto de los múltiplos comunes positivos.
Este conjunto está dado por {MZ+ / A I M y B I M }, el cual es un conjunto
no vacío ya que A.B es un múltiplo de A y de B.
Por otro lado se deduce que este conjunto posee un elemento mínimo al
cual llamaremos mínimo común múltiplo, pero no posee un elemento
máximo.
Definición.
El menor elemento del conjunto de los múltiplos comunes positivos de dos
o más números enteros no nulos se denomina mínimo común múltiplo
Ejemplo: El conjunto de los múltiplos comunes positivos de 12 y –20
es {60, 120, 180, 240, …}
Luego, MCM (12, -20) = 60
Mínimo Común Múltiplo (MCM) en los enteros
14
Propiedad 1
Si A y B son dos números enteros no nulos tales que B I A, entonces MCD
(A, B ) = I B I y el MCM(A, B ) = I A I.
Ejemplo: MCD (48 , -16) = I –16 I = 16 y MCM (48 , -16) = 48
PROPIEDADES DEL MCD Y MCM
Propiedad 2
Si se tienen dos o más números primos entre sí, entonces el MCD de ellos 
es la unidad.
Ejemplo: MCD( - 4, 5, 9) = 1
Si se tienen dos o mas números primos entre si, dos a dos, el MCM será el 
producto de los valores absolutos de ellos.
Ejemplo: MCM(- 4,5,9) = I-4I I5I I9I = 180
15
Si dos o más números enteros no nulos se multiplican o dividen por otro
entero no nulo, entonces tanto el MCD como el MCM de ellos queda
multiplicado o dividido por el valor absoluto de dicho número.
Ejemplo:
Sabemos que MCD(32 , 24)= 8, el cual lo podemos calcular de la siguiente
manera: MCD (32, 24) = MCD (8x4, 8x3)= 8 MCD ( 4, 3) = 8 x 1 = 8
Mientras que para el MCM( 32, 24 ) hacemos:
MCM ( 32, 24) = MCM ( 8x4, 8x3) = 8 MCM (4, 3) = 8 x 12 = 96.
En general: MCD (A 𝒌, B 𝒌, C 𝒌) = MCD(A,B,C) I𝒌I
MCD (A/ 𝒌, B/ 𝒌, C/ 𝒌) = MCD(A,B,C) / I𝒌I , 𝒌 es divisor del MCD
MCM (A 𝒌, B 𝒌, C 𝒌) = MCM(A,B,C) I𝒌I
MCM (A/ 𝒌, B/ 𝒌, C/ 𝒌) = MCM(A,B,C)/ I𝒌I , 𝒌 es divisor del MCD
Propiedad 3
16
Sabiendo que MCD 𝑎𝑏, 𝑏𝑐 = 9 y 𝑎𝑏. 𝑏𝑐 = 2 268 , calcule:
MCM 𝑎𝑏𝑎𝑏, 𝑏𝑐𝑏𝑐 . Dar como respuesta la suma de cifras del resultado.
A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 E) 22
Aplicación 3 
Resolución
MCD( 𝑎𝑏 ; 𝑏𝑐) x MCM( 𝑎𝑏 ; 𝑏𝑐) = 𝑎𝑏. 𝑏𝑐
Se cumple:
9 x MCM( 𝑎𝑏 ; 𝑏𝑐) = 2268
MCM( 𝑎𝑏 ; 𝑏𝑐) = 252
MCM( 𝑎𝑏𝑎𝑏 ; 𝑏𝑐𝑏𝑐) = MCM(101 𝑎𝑏 ; 101 𝑏𝑐) = 101 x MCM( 𝑎𝑏 ; 𝑏𝑐) 
= 101 x 252
MCM( 𝑎𝑏𝑎𝑏 ; 𝑏𝑐𝑏𝑐) = 25 452 Suma de cifras = 18 Respuesta: 𝟏𝟖
Luego:
17
Todo número entero que sea divisor común de otros dos, divide también a
su MCD; mientras que todo número entero que sea múltiplo común de
otros dos, también lo será del MCM.
Ejemplo:
Tenemos que 4 es un divisor común de 32 y 24 
por lo tanto será un divisor de 8 (donde 8 = MCD ( 32, 24 )).
Ejemplo: 
Tenemos que 120 es un múltiplo común de 12 y 15 
por lo tanto será un múltiplo de 60 (donde 60 = MCM (12, 15)).
Propiedad 4
18
Si varios números se dividen entre el MCD de ellos, los cocientes que se
obtienen son primos entre si, y si el MCM se divide entre cada uno de
ellos, los cocientes que se obtienen también son primos entre si.
Si el MCD( A, B, C ) = d, entonces IAI = d.p, IB I = d.q y ICI = d.r, donde p,
q y r son primos entre si (PESI).
Si MCM ( A, B, C ) = m, tenemos I A I = m / p, I B I = m / q y I C I = m / r,
donde p, q y r son primos entre si (PESI).
Propiedad 5
Propiedad 6
MCD( Na -1, Nb -1, . . . , Nc -1) = NMCD(a,b,…,c) -1 (En Naturales)
Ejemplo: MCD( N6 -1, N12 -1, N15 -1) = NMCD(6,12,15) -1 = N3 -1
19
Aplicación 4
Calcular el MCD de los números 𝑨 = (257– 𝟏) y 𝑩 = (287– 𝟏)
A) 7 B) 15 C) 31 D) 63 E) 127
Resolución
Por propiedad, el MCD es de la forma 2x – 1 
Donde x es el MCD de 57 y 87
57 = 3x19 87 = 3x29 x = 3
MCD = 23 – 1 = 7 Respuesta: 7
Como:
Por lo tanto:
20
El producto de los valores absolutos de dos números enteros no nulos, es
igual al producto del mínimo común múltiplo por su máximo común
divisor.
|A| . |B| = MCD(A, B) x MCM(A, B)
Generalización. 
Para n números enteros no nulos A1, A2, … ,An tenemos:
I A1 I.I A2 I...I anI = MCM (A1, A2, ... ,An ).d1 .d2 ...dn
Donde: d1 = MCD (A1, A2), d2 = MCD (A1.A2 / d1, A3), 
d3 = MCD (A1.A2.A3 / (d1d2), A4), ..., dn-1 = MCD(A1.A2 ...An-1/ ( d1.d2. ... . dn-1 )).
Propiedad 7
21
Aplicación 5
𝑎𝑏𝑐 + 245 = 𝑘𝑝 ; 𝑎𝑏𝑐 = 𝑘𝑞 → 245 = 𝑘(𝑝 – 𝑞)
además: 1050 = 𝑘. 𝑝. 𝑞
𝑝 = 10; 𝑞 = 3 ; 𝑘 = 35
Entonces 𝑎𝑏𝑐 = 𝑘. 𝑞 = 105
Luego determinamos la suma: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 6
Sabiendo que el MCM de los números 𝑎𝑏𝑐 y (𝑎𝑏𝑐 + 245) es 1050.
Calcular el valor de 𝑎 + 𝑏 + 𝑐.
A) 6 B) 8 C) 9 D) 11 E) 12
Resolución
Respuesta: 𝟔
𝑝 − 𝑞
𝑝. 𝑞
=
245
1050
=
7
30
22
Aplicación 6
El MCM de un número “N” y de 4 732 es 170 352. Calcule la suma de
todos los posibles valores naturales de N.
A) 35 136 B) 70 272 C)140 544 D)210 816 E) 421 632
Resolución
𝑁 = 𝑑𝑘, 4 732 = 𝑑𝑞
𝑀𝐶𝑀(𝑁, 4 732) = 170 352
𝑘𝑑𝑞 = 170 352,
𝑑𝑞 = 4732
4 732 = 4 × 7 × 13 × 13
q d N=36d
7 676 24 336
13 364 13 104
91 52 1 872
169 28 1 008
1
4 1441 183
4 732 170 352
Suma de valores de N: 210 816
𝑘 =
170 352
4 732
= 36
𝑞 PESI con 36∧
Respuesta: 𝟐𝟏𝟎 𝟖𝟏𝟔
23
Aplicación 7
¿Cuál es la última cifra del MCM de 233 – 1 y 242 – 1?
A) 2 B) 3 C) 7 D) 8 E) 9
Resolución
Respuesta: 9
Ya se sabe que el MCD es 23 – 1 = 7 
Propiedad: El producto del MCD y el MCM de dos números es
igual al producto de los números.
7 . MCM = (233 – 1).(242 – 1)
7 . MCM = ( . . . 1)( . . .3) MCM = . . . 9
24
Propiedad 8
Si en un conjunto de números, parte de ellos se reemplaza por el MCD,
entonces el MCD no varía, algo similar se cumple para el MCM
Ejemplo: MCD(A,B,C,D) = MCD( MCD(A,B), MCD(A,B,C), D )
Ejemplo: MCM(A,B,C,D) = MCM( MCM(A,B,C), MCM(C,D) )
Propiedad 9
En la división euclidiana D = d.q + r, entonces MCD(D, d) = MCD(d, r)
Ejemplo:
Tenemos MCD(1463, 532) = MCD(532, 399) = MCD(399, 133) = 133
Consecuencia: Propiedad de la linealidad del MCD. 
Sean A y B dos números enteros no nulos y sea d = MCD ( A, B), entonces 
existen dos números enteros no nulos 𝒎 y 𝒏 tales que 𝒅 = 𝒎𝑨 + 𝒏 𝑩
25
Aplicación 8 
Resolución:
Si: MCD(3A ; 24C) = 18N , MCD(B ; 2C) = 2N y el MCD(A ; 4B; 8C) =
210. Calcule: N
Se tiene: MCD(3A ; 24C ) = 18N 
𝟑 𝟑 𝟑
MCD(A ; 8C) = 6N … (I)
… (II)
Además: MCD(2C ; B) = 2N MCD(𝟒 × B ; 𝟒 ×2C ) = 𝟒 × 2N 
MCD(4B ; 8C) = 8N
Luego: MCD(A ; 4B; 8C) = 210
Por la propiedad anterior: MCD( MCD(A, 8C) , MCD(4B,8C)) = 210
MCD( 6N ; 8N) = 210 N x MCD( 6 ; 8) = 210 N x 2 = 210 
N = 𝟏𝟎𝟓
Respuesta: 𝟏𝟎𝟓
26
División
𝐴 = 𝐵 . 𝑞 + 𝑟 , 𝑑 = 𝑀𝐶𝐷(𝐵, 𝑟)
𝐵 = 𝑟 . 𝑞1 + 𝑟1, 𝑑 = 𝑀𝐶𝐷(𝑟 , 𝑟1) , 𝑟1 < 𝑟
𝑟 = 𝑟1 . 𝑞2 + 𝑟2 , 𝑑 = 𝑀𝐶𝐷(𝑟1, 𝑟2) , 𝑟2 < 𝑟1
𝑟1 = 𝑟2 . 𝑞3 + 𝑟3 , 𝑑 = 𝑀𝐶𝐷(𝑟2, 𝑟3) , 𝑟3 < 𝑟2
𝑟2 = 𝑟3 . 𝑞4 + 𝑟4 , 𝑑 = 𝑀𝐶𝐷(𝑟3, 𝑟4) , 𝑟4 < 𝑟3
. . . 
𝑟𝑛−1 = 𝑟𝑛 . 𝑞𝑛+1 + 𝑟𝑛+1, 𝒅 = 𝑴𝑪𝑫(𝒓𝒏 , 𝒓𝒏+𝟏) = 𝒓𝒏
Propiedad 10: Algoritmo de Euclides
Sean A y B números enteros diferentes de cero. Para calcular el
MCD(A, B) podemos utilizar la propiedad 9 varias veces, de la
siguiente forma, sea d = MCD(A, B)
27
ALGORITMO DE EUCLIDES
Cocientes 𝒒 𝒒𝟏 𝒒𝟐 … … 𝒒𝒏 𝒒𝒏+𝟏
𝑨 𝑩 𝑟 𝑟1 ... 𝑟𝑛−2 𝑟𝑛−1 𝒓𝒏
Restos 𝒓 𝒓𝟏 𝒓𝟐 … 𝒓𝒏−𝟏 𝒓𝒏 0
MCD
𝑴𝑪𝑫(𝑨,𝑩) = 𝒓𝒏
Nota: Si 𝒓𝒏 = 𝟏 , los números son PESI.
Para el cálculo del MCD de A y B, se divide el número mayor entre el
menor, luego B entre el resto encontrado y así sucesivamente entre los
restos que se van obteniendo hasta que resulta una división exacta. El
último residuo es el MCD de A y B.
28
Calcular el 𝑴𝑪𝑫(𝟑𝟑𝟔,−𝟏𝟎𝟐)
APLICACIÓN DEL ALGORITMO DE EUCLIDES
Entonces el 𝑴𝑪𝑫(𝟑𝟑𝟔,−𝟏𝟎𝟐) = 𝟔
-4 -2 1 1 2 2
336 -102 72 42 30 12 6
72 42 30 12 6
29
Aplicación 9
Al calcular el MCD de dos números por el algoritmo de Euclides se han
obtenido como cocientes sucesivos 3; 3 y 2. Si el MCM de dichos
números, es un número de 3 cifras que termina en 3. Calcular dicho
MCM
A) 333 B) 363 C) 393 D) 433 E) 483
Resolución
MCM = (23)(7)(k) = 𝑎𝑏3
Se deduce que K = 3
entonces: MCM = 483
3 3 2
23K 7K 2K K
2K K
Respuesta: 𝟒𝟖𝟑
30
OTROS MÉTODOS PARA CALCULAR EL MCD Y EL MCM
Por descomposición canónica individual
Se descompone cada número como producto de sus factores primos.
El MCD será el producto de los factores primos comunes elevados al menor 
exponente.
El MCM será el producto de los factores primos comunes y no comunes
elevados al mayor exponente
Ejemplo:
Calcular el MCD y MCM de
180, 252 y 270
180= 22.32.5
252= 22. 32.7
270= 2 . 33.5
MCD = 2. 32 = 18
MCM = 22.33.5.7= 3780
31
Aplicación 10
Resolución
Sean los números: A = 560  90m , B = 560m  90. Se sabe que MCD(A ; B)
tiene 775 divisores compuestos. Determine el valor de m.
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
𝐴 = (7 × 24 × 5) × (2 × 32 × 5)𝑚
Realizando una descomposición canónica, a cada número:
𝐵 = (7 × 24 × 5)𝑚 × (2 × 32 × 5)
𝐴 = 2𝑚+4 × 32𝑚 × 5𝑚+1 × 7
𝐵 = 24𝑚+1 × 32 × 5𝑚+1 × 7𝑚
Luego: 𝑀𝐶𝐷(𝐴; 𝐵) = 2𝑚+4 × 32 × 5𝑚+1 × 7 𝐶𝐷𝑀𝐶𝐷(𝐴;𝐵) = (𝑚 + 5)(3)(𝑚 + 2)(2)
𝐶𝐷𝑀𝐶𝐷(𝐴;𝐵) = 1 + 𝐶𝐷𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜𝑠 + 𝐶𝐷𝑐𝑜𝑚𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜𝑠
𝑚 + 5 3 𝑚 + 2 2 = 1 + 4 + 775 = 780 𝑚 + 5 𝑚 + 2 = 130 𝒎 = 𝟖
𝟏𝟑 . 𝟏𝟎
Sabemos:
Respuesta: 𝟖
32
POR DESCOMPOSICIÓN SIMULTÁNEA EN FACTORES PRIMOS
Para calcular el MCM de varios
números se les descompone
simultáneamente en factores
primos y luego se multiplican los
factores comunes y no comunes,
con exponentes mayores.
Ejemplo:
Calcular el MCD y MCM de 240, 336 y 360
240 336 360 2
120 168 180 2
60 84 90 2
30 42 45 3
10 14 15 2
5 7 15 3
5 7 5 5
1 7 1 7
1 1 1 
MCD = 24
MCM = 5040 
Para calcular el MCD de varios
números se descomponen
simultáneamente en factores
primos, multiplicando luego
solo los factores comunes, con
menor exponente.
33
Aplicación 11
Si MCM (N + 3, N – 24) = 66, determine la cantidad de formas de
descomponer N como el producto de dos factores PESI.
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E)6
Resolución
MCM 𝑁 + 3,𝑁 − 24 = 66 = 𝑑. 𝑝. 𝑞 … (1)
𝑁 + 3 = 𝑑. 𝑝
𝑁 − 24 = 𝑑. 𝑞
27 = 𝑑(𝑝 − 𝑞)
𝒅 es el MCD; 𝒑 y 𝒒 son PESI
𝑑 𝑝 − 𝑞 = 3 × 3 × 3
De (1): 𝑑. 𝑝. 𝑞 = 2 × 3 × 11 𝑑 = 3; 𝑝 = 11; 𝑞 = 2
𝑁 + 3 = 𝑑. 𝑝 𝑁 = 𝑑. 𝑝 − 3 = 30 = 2 × 3 × 5
Respuesta: 𝟐𝟑−𝟏 = 𝟒
34
FRACCIÓN CONTINUA SIMPLE FINITA
Definición
Es una expresión de la forma:
Donde: 𝒂𝒐 es entero y los
números 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑,· · · · 𝒂𝒏 son
enteros positivos y 𝒏 es finito es
una fracción continua simple
finita
La expresión anterior se puede 
expresar por:
[𝒂𝒐; 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑,· · · , 𝒂𝒏] y también por: 
𝒂𝟎 +
𝟏
𝒂𝟏 +
𝟏
𝒂𝟐 +
𝟏
𝒂𝟑 +
𝟏
𝒂𝒏−𝟏 +
𝟏
𝒂𝒏
⋱
𝑭 =
𝒂𝟎 +
𝟏
𝒂𝟏 +
𝟏
𝒂𝟐 +
𝟏
𝒂𝟑 +
…
𝟏
𝒂𝒏
35
Ejemplo:
= 2 +
Entonces: = [2; 3, 4, 2]
58
134
58
18
= 2 +
9
29
1
= 2 +
9
2
3
1
+
2/9
1
3
1
+
1
2
1
3
1
4
2
+
+
+
= = 
=
58
134
2 +
1
2
1
3
1
4
2
+
+
+
58
134
Expresar la fracción F=134/58, mediante fracciones continuas
36
Representación de un número racional 𝑨/𝑩 mediante
fracción continua simple
Se realiza el algoritmo de
Euclides (división por
defecto) para el cálculo del
MCD(𝑨 ,𝑩)
Entonces:
𝒙 𝒚 𝒛 . . 𝒗 𝒘
𝑨 𝑩 _ _ . . _ 𝒅
_ _ _ . . 𝑑 0
𝒙 +
𝟏
𝒚 +
𝟏
𝒛 +
𝟏
𝒗 +
𝟏
𝒘
⋱
𝑨
𝑩
=
37
Ejemplo:
= = [2; 3, 4, 2] 
Exprese mediante fracciones continuas 
87
201
q 2 3 4 2
201 87 27 6 3
r 27 6 3 0
1
2
1
3
1
4
2
+
+
+
Entonces:
87
201
38
Aplicación 12
Si 𝑓 =
421
262
representado como fracción continua es 𝑎1; 𝑎2; 𝑎3; … ; 𝑎8
entonces la suma de los términos de dicha fracción continua es
A) 15 B) 16 C) 17 D)18 E) 19
Resolución
Aplicando el algoritmo, 
se tiene:
q→ 1 1 1 1 1 5 4 2
421 262 159 103 56 47 9 2 1
159 103 56 47 9 2 1
 
421
1; 1; 1; 1;1; 5 ; 4 ; 2
262
= Suma de términos = 𝟏𝟔
Respuesta: 𝟏𝟔
39
TEOREMA
Todo número racional puede ser representado mediante una fracción
continua simple finita y tal representación es básicamente única. Además
toda fracción continua simple finita representa a un número racional.
Definición:
Se denomina convergente o aproximante de orden 𝒊 de 𝑪, a la expresión:
𝑪𝒊 = [𝒂𝒐; 𝒂𝟏, … , 𝒂𝒊 ] , 𝑖 = 0,1,2,3,…
𝑪𝒊 es un racional 𝑪𝒊 = 𝒑𝒊 /𝒒𝒊 , 𝑖 = 0,1,2,3,…
𝒑𝒊 es el 𝑖 -ésimo numerador y 𝒒𝒊 es el 𝑖 -ésimo denominador
Pueden obtenerse en forma recurrente.
40
Fórmulas de recurrencia
𝒑𝒊 ∙ 𝒒𝒊−𝟏 − 𝒑𝒊−𝟏 ∙ 𝒒𝒊=(−𝟏)
𝒊−𝟏
y 𝒒𝒊 es siempre positivo, ya que en su expresión no interviene 𝒂𝒐. De 
hecho 𝒒𝒊 coincide con el numerador de la fracción [𝒂𝟏; 𝒂𝟐, 𝒂𝟑, . . . , 𝒂𝒊 ]
𝒊 = 2, 3, 4, ……
con valores iniciales𝒑𝒐 = 𝒂𝒐 , 𝒑𝟏 = 𝒂𝒐 . 𝒂𝟏 + 𝟏
𝒒𝒐 = 𝟏 , 𝒒𝟏 = 𝒂𝟏
La fracción 𝒑𝒊/𝒒𝒊 es irreducible (se deduce de la relación):
𝒒𝒊 = 𝒂𝒊 . 𝒒𝒊−𝟏 + 𝒒𝒊−𝟐
𝒑𝒊 = 𝒂𝒊 . 𝒑𝒊−𝟏 + 𝒑𝒊−𝟐
41
El nombre de convergentes para los 𝑪𝒊 obedece al siguiente resultado:
i) Los convergentes pares 𝑪𝟐𝒊 forman una sucesión creciente y los impares
𝑪𝟐𝒊+𝟏 una sucesión decreciente.
ii) Cada convergente impar es mayor que cada convergente par y el valor
de la fracción continua está entre los convergentes pares y los impares.
Observación:
Para 𝑪 = [𝒂𝒐; 𝒂𝟏,· · · 𝒂𝒏] es evidente que 𝑪𝒏 coincide con el valor de 𝑪 y es
un número racional. 
Estos resultados se apreciarán mejor con un ejemplo numérico. 
Calcularemos los convergentes en el desarrollo de 
30
37
42
Convergentes
C3 =
Ejemplo: Para Co = 1
C1 = = 1,2537 7 1 1 1
1 1 1 1
30 2 130 30
4 4
77 7
2
1
 = 1
1
4
1
3
2
= + = + = + = +
+ +
+
+
+
= [ 1; 4, 3, 2 ] 
1 5
 1
4 4
+ =
1 1 3 16
 1 1 1
1 13 13 13
4
3 3
+ = + = + =
+
C2 = = 1,230769... 
= 1,23333...
1 1 1 1 7 37
1 1 1 1 1
1 1 2 30 30 30
4 4 4
1 7 7 7
3
2 2
+ = + = + = + = + =
+ + +
+
30
37
Observación: 
C0 < C2 < C4 <…..C …..< C5 < C3 < C1
43
RESOLUCIÓN 
DE PROBLEMAS
44
PROBLEMA 1
Resolución
Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. El MCD de dos números primos negativos es -1
II. El producto del MCD y MCM de dos números enteros es igual al
producto de dichos números.
III. Si MCD(A, B) = D1 y el MCD(B, C) = D2, entonces el MCD(A, B, C) = D1. D2.
A) VVV B) FFV C) FVF D) VFF E) FFF
I) El MCD es positivo, MCD (a,b)=1 si a y b son PESI (F)
II) MCD(A,B) x MCM(A,B) = 𝐴 × 𝐵 (F)
II) MCD(24, 36) = 12, MCD ( 36, 84) =12, MCD(24,36,84)=12 (F)
CLAVE E
45
PROBLEMA 2
Resolución
Si al calcular el MCD de dos números PESI, mediante el algoritmo de
Euclides se obtuvo de cocientes los 5 primeros primos, en forma
creciente, determine la suma de las cifras del número mayor.
A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24
2 3 5 7
11
11
78
78
401
401
BA
11
1
---1
𝐵 = 3 × 401 + 78 = 1281
𝐴 = 2 × 𝐵 + 401
𝐴 = 2 × 1281 + 401 = 2963
Suma de cifras = 20
CLAVE A
46
PROBLEMA 3
Resolución
Se tiene dos números M y N proporcionales a los números A y B, tal que al
calcular el MCD de dos números A y B, primos entre sí, mediante el
algoritmo de Euclides se obtuvo como cocientes sucesivos: 2; 2; 2; 2; y 2.
Si el MCM de los números es 18 270, calcule la diferencia de los números M y
N.
A) 327 B) 357 C) 369 D) 393 E) 507
2 2 2 2
2
2
5
5
12
12
BA 1
1
𝐵 = 2 × 12 + 5 = 29
2
𝐴 = 2 × 29 + 12 = 70
𝑀 = 70𝐾 ∧ 𝑁 = 29𝐾
𝑀𝐶𝑀 70𝐾, 29𝐾 = 18270
𝐾 =
18270
70 × 29
= 9
𝑀 −𝑁 = 41𝐾 = 𝟑𝟔𝟗
CLAVE C
47
PROBLEMA 4
Resolución
¿Cuántos pares de números de tres cifras cada uno cumplen que su
MCM es igual a 221 veces su MCD y que la suma de los dos números es
también un número de tres cifras?.
A) 25 B) 26 C) 28 D) 29 E) 30
𝑀𝐶𝐷 𝐴, 𝐵 = 𝑑
𝐴 = 𝑑𝐾
𝐵 = 𝑑𝑞
𝑀𝐶𝑀 𝐴,𝐵 = 𝑑𝑘𝑞
221𝑑 = 𝑑𝑘𝑞
221 = 𝑘𝑞 = 13 × 17
𝐴 = 13𝑑
𝐵 = 17𝑑
𝐴 + 𝐵 = 30𝑑
𝑑 = 8,9, … 33
𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠:
𝟑𝟑 − 𝟕 = 𝟐𝟔
CLAVE B
48
PROBLEMA 5
Resolución
Si A2 – B2 = 5200 y MCM(A,B) = 765, el valor de A – B es:
A) 30 B) 40 C) 50 D) 75 E) 90
𝑀𝐶𝐷 𝐴, 𝐵 = 𝑑
𝐴 = 𝑑𝐾
𝐵 = 𝑑𝑞
𝑀𝐶𝑀 𝐴,𝐵 = 𝑑𝑘𝑞 = 765
𝑑𝑘 2 − 𝑑𝑞 2 = 5200
𝑑2 𝑘2 − 𝑞2 = 5200
𝑑2𝑘2𝑞2
𝑑2 𝑘2 − 𝑞2
=
7652
5200
𝑘 = 17 ∧ 𝑞 = 9 ∧ 𝑑 = 5
𝑨 − 𝑩 = 𝟒𝟎
CLAVE B
𝑘2𝑞2
𝑘2 − 𝑞2
=
172 × 92
208
𝐴 − 𝐵 = 8𝑑
49
PROBLEMA 6
El producto y el cociente de MCM y MCD de dos números A y B son
4 050 y 50 respectivamente. ¿Cuál es el mayor valor de A? 6PC-CEPRE
A) 330 B) 345 C) 390 D) 405 E) 450
Resolución
𝑀𝐶𝐷 𝐴, 𝐵 × 𝑀𝐶𝑀 𝐴,𝐵 = 4050
𝑀𝐶𝑀 𝐴, 𝐵 = 50 ×𝑀𝐶𝐷 𝐴, 𝐵
𝑀𝐶𝑀 𝐴,𝐵 2 = 50 × 4050
𝑀𝐶𝑀 𝐴,𝐵 = 450
𝑀𝐶𝐷 𝐴, 𝐵 = 9
𝐴 = 9𝑝 ∧ 𝐵 = 9𝑞, 𝑝 𝑦 𝑞 𝑃𝐸𝑆𝐼
450 = 9𝑝𝑞 → 𝑝𝑞 = 50
𝑞 = 1 ∧ 𝑝 = 50
𝑨𝑴𝒂𝒙 = 𝟗 × 𝟓𝟎 = 𝟒𝟓𝟎
CLAVE E
50
PROBLEMA 7
Si 𝑨 = 𝟒𝟎. 𝟑𝟎𝒏, 𝑩 = 𝟔𝟎. 𝟐𝟎𝒏 y el MCD (𝐴, 𝐵) = 12 000, determine el valor
de 𝒏.
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
Resolución
𝐴 = 23 × 5 × 2 × 3 × 5 𝑛
𝐴 = 2𝑛+3 × 3𝑛 × 5𝑛+1
𝐵 = 22 × 3 × 5 × 22 × 5 𝑛
𝐵 = 22𝑛+2 × 3 × 5𝑛+1
𝑀𝐶𝐷 𝐴, 𝐵 = 2𝑛+3 × 3 × 5𝑛+1
2𝑛+3 × 3 × 5𝑛+1 = 12000
2𝑛+3 × 5𝑛+1 = 4000 = 25 × 53
𝒏 = 𝟐
CLAVE A
51
PROBLEMA 08
Resolución
Si A y B son dos números naturales que son entre sí como 4 es a 5, y cuyo
MCM y MCD difieren en 741, calcule la suma de dichos números.
A) 342 B) 342 C) 344 D) 351 E) 356
𝑀𝐶𝑀 𝐴;𝐵 −𝑀𝐶𝐷 𝐴;𝐵 = 741
𝐴
𝐵
=
4
5
𝐴 + 𝐵 = 39(4 + 5)
𝑘 = 394 . 5 . 𝑘 − 𝑘 = 741
= 𝟑𝟓𝟏
Clave D
𝑘
𝑘
52
Problema 9
Si los números 𝑎𝑏 y 𝑏0 difieren en 36 y que su MCD es 12, determine el MCM
de dichos números.
A) 450 B) 472 C) 474 D) 480 E) 486
Resolución: 
MCD 𝑎𝑏; 𝑏0 = 12 𝑎𝑏 = 𝟏𝟐𝒎
𝑏0 = 𝟏𝟐𝒏
𝒎𝒚 𝒏 𝒔𝒐𝒏 𝑷𝑬𝑺𝑰
𝑎𝑏 − 𝑏0 = 𝟑𝟔
𝟏𝟐(𝒎− 𝒏)
𝒎−𝒏 = 𝟑
𝟓
𝟓𝟖
𝑵𝒐𝒔 𝒑𝒊𝒅𝒆𝒏:
𝐌𝐂𝐌 𝒂𝒃; 𝒃𝟎 = 𝟏𝟐.𝒎. 𝒏
𝟖 𝟓
𝐌𝐂𝐌 𝒂𝒃; 𝒃𝟎 = 𝟒𝟖𝟎
53
Problema 10
Si el MCD de 𝒕𝒕𝒏𝒏𝒑𝟓𝟕 y 𝒎𝟖𝒑𝒑𝟖𝒎𝟏𝟐 es el mayor número de dos cifras
del sistema ternario, determine el valor de (𝒎 + 𝒑).
A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16
Resolución: 𝑴𝑪𝑫 𝒕𝒕𝒏𝒏𝒑𝟓𝟕;𝒎𝟖𝒑𝒑𝟖𝒎𝟏𝟐 = 𝟐𝟐(𝟑) = 𝟖
𝟖
𝟎
𝟖
𝟎
𝒕𝒕𝒏𝒏𝒑𝟓(𝟖−𝟏) = 𝟖
𝟎
+−+−+−
𝟓 − 𝒑 + 𝒏 − 𝒏 + 𝒕 − 𝒕 = 𝟖
𝟎
𝟓 − 𝒑 = 𝟖
𝟎
𝒑 = 𝟓
𝒎𝟖𝒑𝒑𝟖𝒎(𝟏𝟐) = 𝟖
𝟎
𝒎.𝟏𝟐𝟓 + 𝟖. 𝟏𝟐𝟒 + 𝒑. 𝟏𝟐𝟑 + 𝒑. 𝟏𝟐𝟐 + 𝟖. 𝟏𝟐 +𝒎 = 𝟖
𝟎
𝟖
𝟎
𝒎 = 𝟖
𝟎
𝒎 = 𝟖
𝑵𝒐𝒔 𝒑𝒊𝒅𝒆𝒏:
𝒎 + 𝒑 = 𝟏𝟑
54
Problema 11
La cantidad de alumnos que se presentaron a un examen de selección está
comprendida entre 2 000 y 4 000. Si se distribuyen 45 alumnos por aula, un aula
quedaría con 34 alumnos. Si se eligiera un pabellón de aulas más grandes y se
distribuyeran a 60 alumnos por aula, a un aula le faltaría 11 alumnos para que
todas tengan igual cantidad, pero si por motivo de pandemia se quisiera guardar
la distancia social, el total de los alumnos se podrían distribuir en cierta cantidad
de aulas de 18 alumnos, y siete aulas de 19. Determine la cifra de segundo orden,
de la máxima cantidad de alumnos que se presentaron al examen de selección.
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
Resolución: 𝑨𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒏 𝑵 𝒂𝒍𝒖𝒎𝒏𝒐𝒔 (𝟐𝟎𝟎𝟎 < 𝑵 < 𝟒𝟎𝟎𝟎)
𝑵
𝟒𝟓
𝟎
+ 𝟑𝟒
𝟔𝟎
𝟎
− 𝟏𝟏
𝑵 = 𝟏𝟖𝒏 + 𝟕. 𝟏𝟗
𝟏𝟖
𝟎
+ 𝟏
𝟏𝟖
𝟎
+ 𝟕
+𝟏𝟑𝟓
+𝟏𝟖𝟎
+𝟏𝟔𝟐
𝑵
𝟒𝟓
𝟎
+ 𝟏𝟔𝟗
𝟔𝟎
𝟎
+ 𝟏𝟔𝟗
𝟏𝟖
𝟎
+ 𝟏𝟔𝟗
𝑵 = 𝑴𝑪𝑴(𝟒𝟓; 𝟔𝟎; 𝟏𝟖)
𝟎
+ 𝟏𝟔𝟗 𝑵 = 𝟏𝟖𝟎
𝟎
+ 𝟏𝟔𝟗
𝑵 = 𝟏𝟖𝟎𝒌 + 𝟏𝟔𝟗
𝟐𝟎𝟎𝟎 < 𝟏𝟖𝟎𝒌 + 𝟏𝟔𝟗 < 𝟒𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟎, 𝟏𝟕 < 𝒌 < 𝟐𝟏, 𝟐𝟖 𝒌(𝒎𝒂𝒙) = 𝟐𝟏 𝑵 = 𝟑𝟗𝟒𝟗
𝑳𝒂 𝒄𝒊𝒇𝒓𝒂 𝒅𝒆 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐 𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏 𝒆𝒔 𝟒
55
𝑀𝐶𝐷(𝐴, 𝐵) = 4𝑀𝐶𝐷(567,462) − 1
PROBLEMA 12
Dados A = 777 … 77 (8) (378 cifras) y B = 333 … 33(4) (462 cifras), determine
la suma de las cifras del MCD(A; B), cuando esté expresado en base 16.
A) 42 B) 126 C) 142 D) 153 E) 160
Resolución
𝐴 = 8378 − 1
𝐴 = 43×189 − 1 = 4567 − 1
𝐴 = 23 2×189 − 1
𝐵 = 4462 − 1
𝑀𝐶𝐷(𝐴, 𝐵) = 421 − 1
𝑀𝐶𝐷(𝐴, 𝐵) = 42 10 × 4 − 1
𝑀𝐶𝐷(𝐴, 𝐵) = 4 × 16 10 − 1
𝑀𝐶𝐷(𝐴, 𝐵) = 400…00 16 − 1
= 3 15 15 … 15 15 16 − 1
11 cifras
Suma de cifras=3+10(15)=153
CLAVE D
56
Problema 13
Resolución
Si el número N se eleva al cuadrado y se le resta la unidad es divisible
entre 8 y el MCM de N y el cociente obtenido es 3 720, determine dicho
cociente.
A) 35 B) 15 C) 120 D) 31 E) 30
CLAVE: C
𝑁2 − 1 = 8 = 8𝑘° 𝑀𝐶𝑀 𝑁; 𝑘 = 3 720 = 23 × 3 × 5 × 31
par Son divisores 
de 3 720
impa
r
𝑁: 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
Se cumple para 𝑁 = 31 𝑦 𝒌 = 𝟏𝟐𝟎
57
Problema 14
Resolución
Si MCM 𝑎𝑏, (𝑎 + 1)(𝑏 + 1) = 132, entonces (𝑎 + 𝑏), es
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 9
CLAVE: C
Se debe cumplir 
132 = 𝑎𝑏 × 𝑝
132 = (𝑎 + 1)(𝑏 + 1) × 𝑞
PESI
𝑎𝑏 𝑦 𝑎 + 1 𝑏 + 1 son divisores
de 132 = 22. 3.11, quese
diferencian en 11 unidades
𝑎𝑏: 11,22,33
Se cumple para 𝑎𝑏 = 33
𝒂 + 𝒃 = 𝟔
58
PROBLEMA 15
Resolución
Determine la suma de dos números enteros, sabiendo que contienen 5
y 11 veces a su MCD y que este número es el menor número impar de
6 divisores positivos.
A) 180 B) 540 C) 620 D) 720 E) 750
𝑀𝐶𝐷(𝐴, 𝐵) = 𝑑
𝐴 = 5𝑑
𝐵 = 11𝑑
𝑑 = 𝑝2 × 𝑞
𝑑 = 32 × 5 = 45
𝐴 = 5 × 45 = 225
𝐵 = 11 × 45 = 495
𝑨 + 𝑩 = 𝟕𝟐𝟎
CLAVE D
59
Problema 16
Resolución
¿Cuántas parejas de números enteros positivos que estén comprendidos
entre 120 y 480 existen tales que su menor múltiplo común sea 1 200?
A) 5 B) 6 C) 8 D) 10 E) 15
CLAVE: B
𝑀𝐶𝑀 𝐴;𝐵 = 1 200 = 24. 3. 52 donde 120 < A y B < 480
Son divisores 
de 1 200
A y B ∈ {150, 200, 240, 300, 400}
𝑀𝐶𝑀(𝐴, 𝐵)
𝐴 𝑜 𝐵
: 8, 6, 5, 4, 3
Existen 6 parejas de 
números que son PESI
60
PROBLEMA 17
Resolución
Calcule la suma de dos números naturales, sabiendo que son entre sí
como 4 es a 5 y que la diferencia de su MCM y MCD es 247.
A) 117 B) 135 C) 153 D) 99 E) 120
Respuesta: 𝐀 + 𝐁 = 𝟏𝟏𝟕
A = 4t B = 5t MCM(A,B) – MCD(A,B) = 247
4*5t – t = 247 t = 13
61
PROBLEMA 18
Resolución
Si el producto del MCM por el MCD de 𝑎𝑏 y 𝑎𝑏𝑎𝑏 es 17 069, calcule la
suma de (a + b)
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Respuesta: a+b=4
MCM(A,B) . MCD(A,B) = 17069
𝐌𝐂𝐃 𝐚𝐛; 𝐚𝐛𝐚𝐛 .𝐌𝐂𝐃 𝐚𝐛; 𝟏𝟎𝟏. 𝐚𝐛 = 𝐚𝐛. 𝟏𝟎𝟏. 𝐚𝐛 = 𝟏𝟑. 𝟏𝟑. 𝟏𝟎𝟏
62
PROBLEMA 19
Resolución
Determine la diferencia de dos números naturales sabiendo que al
calcular su MCD por el algoritmo de Euclides se obtiene cuatro cocientes
impares consecutivos crecientes, donde los tres primeros son primos;
siendo además la suma de los residuos 518.
A) 2 303 B) 2 961 C) 4 332 D) 5 054 E) 7 357
3 5 7 9
K
K
9K
9K
64K
64K
BA
…
𝐵 = 5 × 64𝐾 + 9𝐾 = 329𝐾
𝐴 = 3 × 329𝐾 + 64𝐾 = 1051𝐾
64𝐾 + 9𝐾 + 𝐾 = 518, 𝐾 = 7
𝐴 − 𝐵 = 1051𝐾 − 329𝐾 = 722𝐾
𝑨 − 𝑩 = 𝟕𝟐𝟐 × 𝟕 = 𝟓𝟎𝟓𝟒
CLAVE D
63
PROBLEMA 20
Resolución
Al calcular el MCD de dos números naturales por el algoritmo de Euclides
se obtuvo como cocientes sucesivos 3; 3; 2 y 2. Calcule la suma de las
cifras del MCM de ambos números sabiendo que es el menor múltiplo
común de 13 y 11.
A) 10 B) 12 C) 16 D) 20 E) 24
Respuesta: 𝟐𝟎
𝐀
𝐁
= [𝟑; 𝟑, 𝟐, 𝟐]
𝐀
𝐁
=
𝟓𝟔
𝟏𝟕
A = 56t
B = 17t
MCM(A,B) = 𝟏𝟕. 𝟓𝟔. 𝟏𝟑. 𝟏𝟏 = 𝟏𝟑𝟔𝟏𝟑𝟔
64
PROBLEMA 21
Resolución
La distancia entre dos ciudades A y B es un número de kilómetros 
comprendidos entre 180 y 218. Un ómnibus lo recorre en 3 h 20 min a 
una velocidad en km/h que también es un número entero. Calcule la 
distancia entre A y B (en kilómetros).
A) 190 B) 200 C) 205 D) 210 E) 215
Espacio: e
Velocidad: V en km/h
tiempo: t = 3
1
3
hora
𝑒 = 𝑉 × 𝑡 = 𝑉 ×
10
3
, 180 < 𝑉 ×
10
3
< 218, 54 < 𝑉 < 65,4 𝑉 = 63
𝒆 = 𝟔𝟑 ×
𝟏𝟎
𝟑
= 𝟐𝟏𝟎
CLAVE D
65
PROBLEMA 22
Un comerciante de vino tiene tres barriles de vino de 720; 1280 y 1680
litros de capacidad. Se desea vender este vino en recipientes iguales,
cuya capacidad esté comprendida entre 35 y 56 litros, además está
contenida exactamente en los tres barriles. Calcule la cantidad de
recipientes que se utilizaron.
A) 40 B) 46 C) 80 D) 86 E) 92
Resolución
Barriles de Vino
720 L
1280 L
1680 L
V = MCD (720, 1280, 1680)
720 1280 1680 10
72 128 168 4
18 32 42
#envases: 18+32+42=92
CLAVE E
66
PROBLEMA 23
Resolución
Al determinar el MCD de dos números mediante el algoritmo de 
Euclides, se observa que la suma de los dos primeros cocientes y los 
dos primeros residuos es 16 y 444, respectivamente. Si el primer 
residuo es 7 veces el MCD de los dos números y la diferencia de los 
números es 259, determine la suma de dichos números.
A) 8 299 B) 8 305 C) 8 35 D) 8 399 E) 8 433
𝑞1 = 𝑞2 =
7k=
𝐴 = 𝐵𝑞1 + 7𝐾
𝐴 − 𝐵 = 𝐵𝑞1 + 7𝐾 − 𝐵
𝐵𝑞1 + 7𝐾 − 𝐵 = 259
𝑞1 = 1 ∧ 𝐾 = 37
A= B=
1
259
15
259
185 𝐵 = 259 × 15 + 185 = 4070
𝐴 = 4070 + 259 = 4329
40704329
A+B=8399
CLAVE D
67
PROBLEMA 24
Resolución
Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. Si MCD 32 ; 𝑎3 = 𝑏 entonces MCM 𝑏 ; 𝑏 + 2; 𝑏 + 4 = 15.
II. Si 𝐴 = MCD 𝑐5 ; 𝑐7; 𝑐9 y 𝐵 = MCD 4! ; 5! ; 6! ; … ; 𝑑7! entonces
𝐴 + 𝐵 = 25.
III. Si MCD(A, B, C, D) = 1 entonces el MCM A, B, C, D = A. B. C. D.
A) VVF B) FFV C) FVF D) VVV E) FFF
I) 32, 𝑎3 son PESI
b=1, MCM(1, 3, 5) = 15
II) A=MCD ( 𝑐5, 𝑐7, 𝑐9 ) = 1
( V )
B=MCD (4!, 5!, 6! , 𝑑7!) = 4! = 24
A + B = 1 + 24 = 25
( V )
III) MCD (A, B, C, D) = 1
A, B, C, D son PESI
MCM (A, B, C, D) = ABCD, 
cuando son PESI 2 a 2
( F )
CLAVE A
68
PROBLEMA 25
Resolución
Sean 𝐴 y 𝐵 números naturales,
𝐴
𝐵
expresado en fracción continua simple
es:
𝐴
𝐵
= [1 , 2 , 3 , 4 , 5]y M𝐶𝐷 𝐴, 𝐵 = 18. Calcule la mayor diferencia de las
cifras significativas de 𝐴. ( 6PC-CEPRE )
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
𝑃𝑜𝑟 𝐴𝑙𝑔𝑜𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝐸𝑢𝑐𝑙𝑖𝑑𝑒𝑠
A B
1 2
--
90
18
378
90
1224
3781224
3 4 5
d=18
𝐵 = 2 × 1224 + 378 = 2826
𝐴 = 1 × 𝐵 + 1224 = 4050
𝐶𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝐴: 4, 0, 5, 0
Mayor diferencia: 5-4=1
69
Problema 26 Resolución: 
Sea la fracción continua 𝑓
𝑓 = 1 +
1
2 +
1
1 +
1
1 +
1
2 +
1
3
Dar como respuesta el
numerador de su fracción
irreductible equivalente.
A) 61 B) 62 C) 63
D) 64 E) 65
𝑓 = 1 +
1
2 +
1
1 +
1
1 +
3
7
= 1 +
1
2 +
1
1 +
7
10
𝑓 = 1 +
1
2 +
10
17
= 1 +
17
44
𝑓 =
61
44
Respuesta : N = 61
70
PROBLEMA 27
Resolución
Si:
𝑎𝑏𝑐
𝑑𝑒
= 2 , 1, 3 , 4 , 5 , además:
𝑐𝑒
𝑎𝑑
= 𝑚 +
1
𝑛 +
1
𝑝 +
1
𝑞
Calcule: 𝑚2 + 𝑛2 + 𝑝2 + 𝑞2
A) 36 B) 40 C) 48 D) 60 E) 72
Aplicando el Algoritmo de Euclides
2 1 3 4
5k
5k
21k
21k
68k
68k
𝑑𝑒𝑎𝑏𝑐
5
k
---k
𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑑𝑒 = 89𝑘 , 𝑎𝑏𝑐 = 246k
𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑘 = 1, 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒 es un número 
de 2 cifras
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎𝑏𝑐 = 246 , 𝑑𝑒 = 89, 𝑐 = 6,
𝑒 = 9, 𝑐𝑒 = 69; 𝑎 = 2, 𝑑 = 8, 𝑎𝑑 = 28
69 28
2
13
13
2
2
2
6
1
1
2
− −
Respuesta: 𝑚2 + 𝑛2 + 𝑝2 + 𝑞2 = 22 + 22 + 62 + 22 = 48
71
PROBLEMA 28
Sea 𝐹 =
𝑎
𝑏
una fracción cuyos términos son PESI y expresada como
fracción continua es 3𝑛, 𝑛 + 1 , 𝑛, 2𝑛 ]. Si además, se cumple que
𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)(𝑛+3) = 𝑚000(3), determine la suma de (𝑎 + 𝑏).
A) 21 B) 28 C) 35 D) 38 E) 41
Resolución
𝑛 𝑛 + 1 𝑛 + 2 𝑛+3 = 𝑚0003
𝑛 𝑛 + 3 2 + 𝑛 + 1 𝑛 + 3 + 𝑛 + 2 = 𝑚 33
𝑛3 + 7𝑛2 + 14𝑛 + 5 = 27𝑚
𝑚 = 1 ∧ 𝑛 = 1
𝑓 = 3, 2, 1, 2
3 2 1 2
1
---1
2
2
3
3
827
𝑎 = 27 ∧ 𝑏 = 8, 𝒂 + 𝒃 = 𝟑𝟓
CLAVE C
72
PROBLEMA 29
Sabiendo que
385
143
= [𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑], determine: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑.
A)9 B) 10 C) 11 D)12 E) 13
Resolución
𝑓 = 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑
2 1 2 4
11
---11
44
44
99
99
143385
CLAVE A
Aplicando el algoritmo de Euclides, se tiene:
Por tanto: a+b+c+d= 9
q
r
73
PROBLEMA 30
Resolución
Si:
𝑎5
𝑏𝑐
= 1 , 1, 1 , 3 , 𝑎 , aplicando el algoritmo de Euclides, determine:
𝑎 + 𝑏 + 𝑐.
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
𝑓 = 1, 1, 1, 3, 𝑎
1 1 1 3
ak
ak
3ak+k
3ak+k
4ak+k
4ak+k
𝒃𝒄𝒂𝟓
a
k
---k
𝑏𝑐 = 7𝑎𝑘 + 2𝑘
𝑎5 = 11𝑎𝑘 + 3𝑘
𝑎5 = 𝑘 11𝑎 + 3
𝑎 = 2 ∧ 𝑘 = 1
𝑏𝑐 = 𝑘 7𝑎 + 2 = 16
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 =9
CLAVE C