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Matemáticas Financieras
Dr. Daniel A. Jaume Prof. Gonzalo Molina
Esta versión: 1 mei 2011
ii
Inhoudsopgave
1 Variación proporcional 1
1.1 Variación proporcional directa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Series de fracciones equivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Reparto simple directo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Variación proporcional inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Reparto simple inverso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Variación proporcional conjunta o compuesta. . . . . . . . . . . . 9
1.4.1 Reparto compuesto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Relaciones recursivas 15
2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Relaciones recursivas lineales de primer orden a coe�cientes con-
stantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Caso I: g (k) = cte: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Caso g 6= cte: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Caso g (k) es un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6 Caso III: g (k) es una función exponencial . . . . . . . . . . . . . 23
2.7 Caso IV: g (k) combinación de un polinomio y una función expo-
nencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.8 Ejercitación general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Sistemas de capitalización simple 29
3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.1 Funciones del dinero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.2 Trueque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.3 Un esquema del surgimiento del dinero �duciario . . . . . 31
3.2 Valor-tiempo del dinero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Sistema de capitalización simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4 Equivalencia de tasas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5 Equivalencia �nanciera de dos series de capitales . . . . . . . . . 45
3.5.1 Tasa media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5.2 Vencimiento medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.6 Descuento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.6.1 Descuento simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.6.2 Equivalencia de tasas de descuento simple. . . . . . . . . 63
3.6.3 Equivalencia entre tasas de descuento y de capitaliación
simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.6.4 Equivalencia �nanciera revisada . . . . . . . . . . . . . . . 65
iii
iv INHOUDSOPGAVE
4 Sistemas de capitalización compuesta 69
4.1 Sistema de capitalización compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2 Tasas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2.1 Equivalencias de tasas compuestas . . . . . . . . . . . . . 77
4.2.2 Breve diccionario de tasas nominales . . . . . . . . . . . . 83
4.3 Equivalencia de capitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3.1 Tasa media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3.2 Vencimiento medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.4 Capitalización subperíodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.4.1 Convenio discreto o de truncamiento . . . . . . . . . . . . 97
4.4.2 Convenio exponencial o continuo . . . . . . . . . . . . . . 98
4.4.3 Convenio lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.5 Descuento a interés compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.5.1 Equivalencia de tasas de descuento compuesto. . . . . . . 107
4.5.2 Equivalencia entre tasas de descuento y capitalización. . . 108
4.5.3 Descuento Racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5 Capitalización Continua 115
5.1 Capitalización continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.2 Equivalencia de capitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.3 Tasa media continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.4 Equivalencia entre tasas continuas y discretas . . . . . . . . . . . 127
5.5 Vencimiento medio continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.6 Descuento continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6 Composición de tasas 131
6.1 Rentabilidad real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.2 Efecto de las comisiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.2.1 Efecto de las comisiones cobradas al principio de la op-
eración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.2.2 Efecto de las comisiones cobradas al �nal de la operación 136
6.3 Tasas negativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.3.1 Depreciación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.3.2 Impuestos, seguros y comisiones varias . . . . . . . . . . . 141
6.3.3 Impuestos sobre la renta �nanciera y su efecto sobre la
rentabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.4 Tipo de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.5 Tasa de devaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.5.1 Tasas de devaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.6 índice de precios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.7 In�ación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.8 Indexación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.9 Composición de tasa en el sistema continuo . . . . . . . . . . . . 170
7 Rentas 173
7.1 Rentas generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.2 Rentas constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7.3 Rentas vencidas o pospagables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7.4 Multiplicadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.5 Métodos númericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
INHOUDSOPGAVE v
7.5.1 Método de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.5.2 Método de la secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.6 Rentas prepagables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7.7 Rentas perpetuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
7.7.1 Rentas perpetuas constantes vencidas (pospagables) . . . 199
7.7.2 Rentas perpetuas constantes adelantadas (prepagables) . 201
7.8 Rentas diferidas y anticipadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
7.9 Rentas aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
7.10 Rentas geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
7.11 Rentas variables en progresión geométrica . . . . . . . . . . . . . 215
7.12 In�ación: su efecto sobre rentas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
7.13 Otros tipos de rentas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
7.14 Rentas a capitalización continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
8 Préstamos 231
8.1 Préstamos comerciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
8.2 Préstamos a interés sobre saldos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
9 Préstamo francés 239
9.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
9.2 Usufructo y nuda propiedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
9.3 Período de gracia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
9.4 CFT: costo �nanciero total. Efecto de impuestos, gastos y seguros 255
9.5 Cancelación anticipada total o parcial . . . . . . . . . . . . . . . 266
9.6 Adelanto de cuotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
9.7 Punitorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
9.8 Préstamo francés a interes variable . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
9.9 In�ación y su efecto sobre los préstamos . . . . . . . . . . . . . . 277
9.10 Devaluación y su efecto sobre los préstamos . . . . . . . . . . . . 277
10 Préstamo alemán 279
10.1 Introducción . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
11 Préstamo americano 287
11.1 Variantes habituales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
11.1.1 Fondo de amortización en renta constante . . . . . . . . . 292
11.1.2 Fondo de amortización en renta variable . . . . . . . . . . 293
A Soluciones 295
A.1 Soluciones del capitulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
B Diccionarios de fórmulas 297
C Tabla de días 299
vi INHOUDSOPGAVE
Hoofdstuk 1
Variación proporcional
1.1 Variación proporcional directa.
Dadas dos variables x e y, diremos que la variable y es directamente propor-
cional a la variable x si para alguna k 2 R
y = kx;
donde k es conocida como la constante de proporcionalidad (directa).
Observemos que si duplicamos la variable x, se duplica el valor de la variable
y (similarmente, si la variable x reduce su valor a la mitad, lo propio ocurre con
la variable y), por ejemplo si
y = 3x
entonces
x 1 2 4 8
y 3 6 12 24
es decir
x0 �! x1 = 2x0;
kx0 = y0 �! y1 = kx1 = k (2x0) = 2kx0 = 2y0;
y ambas cambian al mismo ritmo:
x1
x0
=
2x0
x0
= 2 =
2kx0
kx0
=
2y0
y0
=
y1
y0
:
En general:
x0 �! x1;
kx0 = y0 �! y1 = kx1;
x1
x0
=
kx1
kx0
=
y1
y0
:
Esto no es otra cosa que la conocida �regla de tres simples directa�.
Ejercicio 1.1 Tres lineas de producción producen 15500 pañales descartables
por hora, si agregamos dos lineas de producción adicionales. Cuantos pañales
descartables serán producidos en una hora.
1
2 HOOFDSTUK 1. VARIACIÓN PROPORCIONAL
Ejercicio 1.2 Cuatro personas ejecutaron un trabajo por el cual cobraron $ 16
500. ¿Cuánto le corresponde a cada uno si una de las personas trabajo 14 días,
otra 12 días, otra 10 días y la última trabajo 7 días?
Ejercicio 1.3 Si un automóvil recorre 100 km con 6.5 litros de gasolina. ¿Qué
distancia recorrerá con 25 litros (bajo las mismas condiciones de velocidad y
resistencia al avance)?
Ejercicio 1.4 Un campamento militar con 300 hombres tiene provisiones para
35 días. Si se quiere que las provisiones duren 12 días más, ¿cuántos hombres
habrá que retirar del campamento?
Ejercicio 1.5 Un restaurant, de una ciudad turística, necesita 5 personas para
servir 850 almuerzos (en promedio) durante cualquier día de la temporada baja.
Durante la temporada alta se estima que el número de almuerzos diarios a servir
sube a 12500 (en promedio). ¿Cuántas personas más deberá contratar?
Ejercicio 1.6 Bajo ciertas condiciones, la distancia de frenado (con las ruedas
trabadas) es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad. En un acci-
dente un vehículo deja unas huellas de rayado (o patinaje) de 51 m. El conductor
declara que conducía a 55 km=h. Se sabe que a 60 km=hora un auto de las car-
acterísticas del vehículo siniestrado deja unas huellas de rayado de 19 m de
longitud. ¿A qué velocidad se desplazaba auto antes de comenzar a frenar?
Ejercicio 1.7 Dadas unas condiciones de luz, el tiempo necesario para lograr
una buena fotografía es directamente proporcional al cuadrado del número f
de la lente de la camara (este número indica la dimensión de la abertura del
diafragma). Los valores habituales de difragma son: f=1:4, f=2, f=2:8, f=4,
f=5:6, f=8, f=11, f=16 y f=22. En esta escala, cada abertura permite el paso
de la mitad de luz que la anterior. Si con una abertura f=11 y sol brillante se
logra una buena fotografía con
1
125
segundos de exposición. Bajo las mismas
condiciones de luz, llenar el cuadro de tiempo de exposiciones para diferentes
aberturas:
f=x segundos
f=1:4
f=2
f=2:8
f=4
f=5:6
f=8
f=11
1
125
f=16
f=22
1.2 Series de fracciones equivalentes.
Llamaremos serie de fracciones equivalentes una expresión de la forma
�1
�1
=
�2
�2
= � � � = �n
�n
= �
1.2. SERIES DE FRACCIONES EQUIVALENTES. 3
con �i�i 6= 0 para i = 1; 2; : : : ; n (i.e., son todos no nulos). También diremos que
la serie de números ��s son proporcionales a la serie de números ��s. El valor
común � se llama razón de proporcionalidad. La expresión anterior se puede
reescribir como n ecuaciones (relaciones de proporcionalidad):
�i = ��i, para i = 1; 2; : : : ; n:
Multiplicando las igualdades anteriores por n números reales ki, para i =
1; 2; : : : ; n:
ki�i = �ki�i, para i = 1; 2; : : : ; n:
Al sumar las igualdades anteriores obtenemos
nX
i=1
ki�i = �
nX
i=1
ki�i:
Si la expresión anterior es no nula, podemos obtener una nueva fracción equiv-
alente a las dadas
nX
i=1
ki�i
nX
i=1
ki�i
= �: (1.1)
Dado un par de series numéricas proporcionales, el procedimiento anterior nos
permite generar una in�nidad de nuevas fracciones equivalentes.
Notación 1.8 Usaremos la notación de sumatoria habitual:
nX
i=1
�i := �1 + �2 + � � �+ �n:
Ejemplo 1.9 Por ejemplo las siguientes fracciones son equivalentes
3
5
=
6
10
;
entonces, también son equivalentes a las dadas
9
15
=
3
5
=
6
10
=
15
25
;
Además, podemos generar otras fracciones equivalentes con diferente razón de
proporcionalidad. Por ejemplo a partir de
9
15
=
3
5
obtenemos
18
6
=
9
3
=
15
5
entre otras.
4 HOOFDSTUK 1. VARIACIÓN PROPORCIONAL
Ejemplo 1.10 En general si
a
b
=
c
d
entonces las siguientes son equivalentes a las anteriores
a� c
b� d =
a
b
=
c
d
=
ma+ nc
mb+ nd
para cualesquiera valores de m y n. Además podemos formar las siguientes frac-
ciones equivalentes con razón de proporcionalidad diferente
a+ c
a� c =
b+ d
b� d ;
entre otras.
Ejercicio 1.11 Hallar 5 fracciones equivalentes a las dadas, y generar 3 pares
adicionales de fracciones equivalentes (con razones de proporcionalidad difer-
entes)
2
7
=
a
2 + b
:
Estas relaciones simpli�can la resolución de ciertas ecuaciones
Ejemplo 1.12 Resolver
2
3 + x
=
5
3� x
Por la relación (1.1) cualesquiera de estas fracciones es equivalente a la frac-
ción que se obtiene al sumar numerador con numerador y denominador con
denominador:
2
3 + x
=
2 + 5
(3 + x) + (3� x) =
7
6
Ahora es más fácil despejar x
2
3 + x
=
7
6
2 =
7
6
(3 + x)
12
7
= 3 + x
12
7
� 3 = x
�9
7
= x
Ejercicio 1.13 Resolver
2� x
2 + x
=
x
1� x
Ejercicio 1.14 Resolver
1 + x
x
=
x� 2
x+ 4
1.2. SERIES DE FRACCIONES EQUIVALENTES. 5
Ejercicio 1.15 Resolver
1)
a
b+ x
=
c
b� x; 3)
x+ a
x
=
x+ b
x� b ;
2)
x
b+ x
=
a� x
c� x ; 4)
x+ a
x
=
x
x� b :
El reparto proporcional es la distribución de una cantidad atendiendo a
un criterio de proporcionalidad con respecto a una o varias series de números.
Este puede ser simple o compuesto, directo o inverso, dependiendo de la can-
tidad de series de números involucradas y su relación de proporcionalidad con
la cantidad a repartir. En lo que sigue supondremos siempre que el reparto se
hace entre n agentes, por lo que las series de números tendrán longitud n.
1.2.1 Reparto simple directo.
Es cuando la serie de datos es proporcional a la serie de incógnitas.
� Datos
1. Cantidad a repartir: Q.
2. Serie de números con respecto a la cual se hace el reparto propor-
cional: �1; �1; : : : ; �n:
� Incógnitas
1. Cantidades a ser repartidas: x1; x1; : : : ; xn:
� Relaciones:
1. Se debe repartir Q, i.e.:
nX
i=1
xi = Q:
2. Las series de las ��s y de las x�s deben ser directamente propor-
cionales:
xi = ��i para i = 1; 2; : : : ; n
Sumando estas ecuaciones podemos expresar la constante de proporcionali-
dad en función de la cantidad a repartir Q y la serie de los ��s
nX
i=1
xi =
nX
i=1
��i
Q = �
nX
i=1
�i;
de donde
� =
Q
�1 + : : :+ �n
:
Lo que nos permite escribir
x1
�1
=
x2
�2
= : : : =
xn
�n
=
Q
�1 + : : :+ �n
6 HOOFDSTUK 1. VARIACIÓN PROPORCIONAL
Ejemplo 1.16 Un emprendimiento agrícola reportó unas ganancias netas de $
875 000. Esta cantidad debe ser repartida entre 5 socios, los cuales aportaron
$ 15 000, $ 17 000, $ 38 000, $ 51 000 y $ 25 000 respectivamente. ¿Cuánto
recibe cada socio?
Solución: Es claro que quien más aportó, más debe recibir. Estamos en un
caso de reparto proporcional simple directo. Tenemos entonces que
Q = 875000
= x1 + x2 + x3 + x4 + x5;
x1 = 15000�;
x2 = 17000�;
x3= 38000�;
x4 = 51000�;
x5 = 25000�;
donde
x1 + x2 + x3 + x4 + x5
15000 + 17000 + 38000 + 51000 + 25000
=
875000
146000
= �:
Por lo tanto
x1 = 89:897; 26 $
x2 = 101:883; 56 $
x3 = 227:739; 73 $
x4 = 305:650; 68 $
x5 = 149:828; 77 $
1.3 Variación proporcional inversa.
Dadas dos variables x e y, diremos que la variable y es inversamente propor-
cional a la variable x si para alguna k 2 R
yx = k;
donde k recibe el nombre de constante de proporcionalidad (inversa).
Observe que si duplicamos la variable x el valor de la variable y debe reducirse
a la mitad
x0 �! x1 = 2x0;
y0x0 = k �! y1x1 = k ) y1 =
k
x1
=
k
2x0
=
1
2
y0
y ambas variables cambian a ritmos recíprocos
2 =
2x0
x0
=
x1
x0
=
kx1
kx0
=
k
x0
k
x1
=
k
x0
k
2x0
=
y0
y1
=
1
y1
y0
:
lo que implica que
y1
y0
=
1
2
1.3. VARIACIÓN PROPORCIONAL INVERSA. 7
En general:
x0 �! x1;
y0x0 = k �! y1x1 = k;
x1
x0
=
kx1
kx0
=
k
x0
k
x1
=
y0
y1
=
1
y1
y0
:
Esto no es otra cosa que la conocida �regla de tres simple inversa�.
Ejemplo 1.17 Tres albañiles levantan una pared en 4 días, ¿Cuanto tardarán
5 albañiles?
Se puede suponer que más albañiles terminaran el trabajo en menos días, asum-
iendo que todos los albañiles tienen la misma productividad y no hay efectos de
interferencia, podemos suponer una proporcionalidad inversa, lo cual es razon-
able (hasta cierto punto), entre los días de obra y la cantidad de obreros
(días de obra) (número de albañiles) = k
Para determinar k, utilizamos las condiciones iniciales:
(4 días de obra) (3 albañiles) = k
luego
k = 12 (días de obra) (albañiles)
Ahora, si disponemos de 5 albañiles
días de obra =
12 (días de obra) (albañiles)
(5 albañiles)
= 2:4 (días de obra)
Es decir 5 albañiles deberían terminar la obra en 2 días, 9 horas y 36 minutos.
Ejercicio 1.18 Dos grifos (surtidores) iguales llenan una piscina con agua en
14 horas. ¿Cuánto tiempo se empleará en llenar la piscina si usamos otros 5
grifos iguales?
Ejercicio 1.19 Un libro tiene 550 páginas de 285 cm2 cada una. Se desea reed-
itarlo usando páginas A4 (197 mm por 210 mm). Si el tipo de letra usado es el
mismo, ¿cuántas páginas tendrá la nueva edición?
Ejercicio 1.20 Una rueda dentada de 40 dientes engrana con otra de 52 di-
entes. Si la primera rueda gira a 75 rpm (revoluciones por minuto), ¿A cuántas
rpm gira la segunda?
1.3.1 Reparto simple inverso:
Es cuando la serie de datos es inversamente proporcional a la serie de incógnitas.
� Datos
1. Cantidad a repartir: Q.
8 HOOFDSTUK 1. VARIACIÓN PROPORCIONAL
2. Serie de números con respecto a la cual se hace el reparto proporcional
inverso: �1; �2; : : : ; �n:
� Incógnitas
1. Cantidades a ser repartidas: x1; x1; : : : ; xn:
� Relaciones:
1. Se debe repartir Q, i.e.:
nX
i=1
xi = Q:
2. Las series de las ��s y de las x�s deben ser inversamente propor-
cionales:
�ixi = � para i = 1; 2; : : : ; n
o de manera equivalente
xi = �
1
�i
para i = 1; 2; : : : ; n
Sumando estas n ecuaciones se puede deducir el valor de � en función de los
datos
nX
i=1
xi =
nX
i=1
�
1
�i
Q = �
nX
i=1
1
�i
Por lo tanto
� =
Q
1
�1
+ : : :+
1
�n
Esto nos permite escribir
�1x1 = �2x2 = : : : = �nxn =
Q
1
�1
+ : : :+
1
�n
;
o equivalentemente
x1
1
�1
=
x2
1
�2
= : : : =
xn
1
�n
=
Q
1
�1
+ : : :+
1
�n
:
Ejemplo 1.21 Para fomentar la productividad una empresa decide repartir un
bono de $ 1 000 entre 4 empleados de acuerdo con el tiempo que tardan en re-
alizar una determinadad tarea. Si los tiempos son 45 minutos, 1 hora 5 minutos,
2 horas y 2 horas 15 minutos. ¿Cuánto recibe cada empleado?
1.4. VARIACIÓN PROPORCIONAL CONJUNTA O COMPUESTA. 9
Solución: Quién tarda menos en hacer la tarea es más productivo y por lo
tanto debe recibir una mayor parte del bono. Estamos en un caso de reparto
proporcional inverso. Llevando todos los tiempos a minutos tenemos que
Q = 1000
= x1 + x2 + x3 + x4;
45x1 = �;
65x2 = �;
120x3 = �;
135x4 = �;
Lo cual puede ser reescrito como
x1
1
45
=
x2
1
65
=
x3
1
120
=
x4
1
135
;
de donde
x1 + x2 + x3 + x4 + x5
1
45
+
1
65
+
1
120
+
1
135
=
1000
749
14040
= �:
Por lo tanto
x1 = 416:56 $;
x2 = 288:38 $;
x3 = 156:21 $;
x4 = 138:85 $:
1.4 Variación proporcional conjunta o compuesta.
Dadas dos series de variables y1; y2; : : : ; yn y x1; x2; : : : ; xm diremos que satis-
facen una relación de proporcionalidad conjunta o compuesta si
nY
i=1
yi = k
mY
j=1
xj :
donde k recibe el nombre de constante de proporcionalidad conjunta.
Notación 1.22 Usaremos la notación de productoria habitual:
nY
i=1
�i := �1�2 � � ��n:
1.4.1 Reparto compuesto.
Es cuando hay más de una serie de datos los cuales tienen una relación de
proporcionalidad conjunta con la serie de incognitas.
� Datos
10 HOOFDSTUK 1. VARIACIÓN PROPORCIONAL
1. Cantidad a repartir: Q.
2. m series de números con respecto de las cuales el reparto es directa-
mente proporcional:
�k1 ; �
k
2 ; : : : ; �
k
n; para k = 1; 2; : : : ;m:
3. t series de números con respecto de las cuales el reparto es inversa-
mente proporcional:
�j1; �
j
2; : : : ; �
j
n; para j = 1; 2; : : : ; t
� Incognitas:
Cantidades a ser repartidas: x1; x2; : : : ; xn:
� Relaciones:
1. Se debe repartir Q, i.e.:
nX
i=1
xi = Q
2. Las series son conjuntamente proporcionales:
xi
tY
j=1
�ji = �
mY
k=1
�ki , para i = 1; 2; : : : ; n
Observe que hemos planteado una ecuación para cada agente.
Clari�car que en esta ecuación se �ja el
agente y se mueven las series.!!!!!!!!!!!!!!!
Estas últimas relaciones pueden ser reescritas a modo de fracciones equiva-
lentes:
x1
tY
j=1
�j1
mY
k=1
�k1
=
x2
tY
j=1
�j2
mY
k=1
�k2
= : : : =
xn
tY
j=1
�jn
mY
k=1
�kn
= �;
o, de manera equivalente
x1
mY
k=1
�k1
tY
j=1
�j1
=
x2
mY
k=1
�k2
tY
j=1
�j2
= : : : =
xn
mY
k=1
�kn
tY
j=1
�jn
= �;
de donde se puede deducir que la constante de proporcionalidad � es
� =
Q
nX
i=1
mY
k=1
�ki
tY
j=1
�ji
;
1.4. VARIACIÓN PROPORCIONAL CONJUNTA O COMPUESTA. 11
Ejemplo 1.23 El departamento de matemáticas de una universidad divide su
presupuesto anual de $ 289.000 entre tres áreas. Las áreas que atienden más
alumnos son las que reciben más presupuesto: el A1 atiende 230 alumnos, el
A2 atiende 720 alumnos, y el A3 atiende 173 alumnos. Por otro lado a �n de
equilibrar las áreas, mientras mayor es el número de miembros de un área, menor
debe ser su parte de presupuesto anual: el A1 tiene 12 docentes, el A2 tiene 21
docentes, y el A3 tiene 15 docentes. Por otro lado las áreas más productivas
(número de trabajo publicados) reciben más presupuesto: el A1 tiene 13 trabajos
publicados este año, el A2 tiene 6 trabajos publicados, y el A3 tiene 35 trabajos
publicados. ¿Cuánto recibe cada área?
Solución: Es claro estamos en un caso de reparto proporcional compuesto.
Series directamente proporcionales a las cantidades a repartir x1; x2; y x3:
1. Número de alumnos: 230, 720, y 173.
2. Número de trabajos publicados: 13, 6, y 35.
Serie inversamente proporcional a las cantidades a repartir
1. Cantidad de docentes en el área: 12, 21, y 15
Tenemos entonces que
Q = 289000
= x1 + x2 + x3;
12x1 = 230 � 13 � �;
21x2 = 720 � 6 � �;
15x3 = 173 � 35 � �:
donde
� =
289000
36059
42
=
x1 + x2 + x3
230 � 13
12
+
720 � 6
21
+
173 � 35
15
:
Por lo tanto
x1 = 83873:24 $;
x2 = 69246:51 $;
x3 = 135880:25 $:
Regla de compañía
Se denomina así al sistema de reparto proporcional compuesto de bene�cios
entre socios. Principalmente se tiene en cuenta dos factores:
1. El tiempo durante el que ha estado invertido un capital.
2. La cantidad de capital invertido.
Ambas variables son directamente proporcionales a la cantidad a repartir.
Ejercicio 1.24 Una fábrica produce 5 000 camisas en 4 días utilizando 25 tra-
bajadoras. ¿Cúantas camisas se producirán en 3 días con 32 trabajadoras?. Si
se necesitan producir 18 000 camisas en 9 días, ¿Cuántas trabajadoras se nece-
sitan?. Si hay una huelga y sólo trabajan 7 empleadas, ¿Cuántos días serán
necesariospara producir 3 000 camisas?
12 HOOFDSTUK 1. VARIACIÓN PROPORCIONAL
Ejercicio 1.25 Un grupo de 5 cosechadores, trabajando 6 horas diarias, lev-
antan la cosecha de una �nca en 3 días. ¿Cuántos cosechadores se necesitarán
para levantar la cosecha en no más de dos días, trabajando 8 horas diarias?
Ejercicio 1.26 Un campamento militar con 250 hombres, tiene provisiones
para 30 días a razón de 3 comidas diarias por hombre. Si se suman 53 hombres,
¿cuantos días durarán las provisiones si cada hombre come sólo dos veces por
día?
Ejercicio 1.27 Tres profesores de inglés de un instituto impartieron clases par-
ticulares a un grupo de ejecutivos de una empresa. El instituto cobro $ 15 000
por el servicio. El instituto se queda con el 15 %, y reparte el resto en función del
número de días y las horas diarias de clases. El primer profesor trabajó 2 horas
diarias durante 40 días, el segundo, una hora diaria durante 20 días, y el tercero
trabajó 3 horas diarias durante 30 días. ¿A cuánto ascienden los honorarios de
cada uno?
Ejercicio 1.28 Tres productos P1; P2; y P3, tardan 3, 4 y 5 horas, respectiva-
mente, para ser fabricados. Se sabe que el costo de fabricación de cada uno de los
productos es directamente proporcional al tiempo empleado. Sabiendo que cuesta
$ 1500 fabricar el producto P2,¿Cuánto cuesta fabricar los otros productos? Si
el costo de un cuarto producto de características similares es $ 2 100, ¿Cuánto
tiempo se emplea para fabricarlo?
Ejercicio 1.29 Una empresa de transporte utiliza un cuadro tarifario direc-
tamente proporcional al peso del paquete, y a la distancia entre el origen y el
destino del mismo. Sabemos el costo de enviar un paquete de 5 kg, una distancia
de 150 km es: $ 12. ¿Cuánto costará enviar un paquete de 8 kg, 90 km? Si nos
cobraron $ 35 por enviar un paquete 30 km ¿Cuánto pesaba el mismo? Si nos
costó $ 10 enviar un paquete de 15 kg ¿A que distancia lo mandamos?.
Ejercicio 1.30 Una empresa fabrica 5 productos, los cuales le proporcionan
los mismos ingresos. Se producen 320 unidades diarias del producto P1, 220
unidades diarias del producto P2, 110 unidades diarias del producto P3, 420
unidades diarias del producto P4, y 52 unidades diarias del producto P5. ¿Qué
precios relativos les corresponden a cada uno de los productos?
Ejercicio 1.31 Para ser socio de una compañía de seguros hay que aportar
$ 500 000. Este año la compañía reportó una ganancia neta de $ 1 250 600,
sabiendo que son 5 socios, que los dos primeros colocaron el capital durante
el mismo tiempo, el tercero coloco el capital el triple del tiempo que los dos
primeros, y los que restan colocaron el capital la mitad del tiempo que el tercero
¿Cuánto le tocada a cada uno?
Ejercicio 1.32 Una empresa reportó una ganancia anual neta de $ 17 000 000.
Los socios tiene como regla, ahorrar el 18% de las ganancias, y repartir el resto.
Si son 9 socios, de los cuales 3 son socios fundadores, lo cuales aportaron $ 250
000 hace tres años al fundar la empresa. Dos años atras, se agregaron 2 socios
más, quienes contribuyeron con $ 300 000 (lo que ayudo a �nanciar una expan-
ción de la empresa). Hace un año atras se agregaron otros dos socios quienes
aportaron $ 1 000 000 y $ 150 000 (los que fueron usados para informatizar la
1.4. VARIACIÓN PROPORCIONAL CONJUNTA O COMPUESTA. 13
empresa). Hace 6 meses se incorparon el resto de los socios, quienes aportaron
$ 300 000 cada uno (lo que fue usado para abrir una nueva sucursal en Brasil).
¿Cuánto le toca a cada uno de los socios?.
Ejercicio 1.33 Una empresa repartirá proporcionalmente un premio de $ 80
000 entre sus cuatro gerentes regionales. A �n de fomentar las ganancias, mien-
tras más ventas tenga una región mayor será el premio. A �n de fomentar la
productividad, mientras menor sea la cantidad de personal, mayor será el pre-
mio. A �n de fomentar la lealtad a la empresa, mientras más antigüedad, mayor
será el premio, y a �n de fomentar una política de austeridad, mientras menores
sea los gastos de la sucursal, mayor será la parte del premio que reciben. Los
datos están arreglados en la siguiente tabla
Ventas en $ Personal Antiguedad en años Gastos en $
Sucursal Norte 7 560 050 15 5 1 950 000
Sucursal Sur 6 890 300 13 8 2 150 000
Sucursal Este 4 230 650 8 9 2 500 000
Sucursal Oeste 12 560 890 16 4 3 000 500
¿Cuánto recibe cada uno de los gerentes?
Ejercicio 1.34 La cantidad de pintura necesaria para pintar una columna cilín-
drica varía conjuntamente con el radio y la altura de la columna. Compare la
cantidad de pintura necesaria para pintar una columna de 7 m de alto y 60 cm
de radio, con la cantidad de pintura necesaria para pintar una columna de 9 m
de alto y 50 cm de radio.
14 HOOFDSTUK 1. VARIACIÓN PROPORCIONAL
Hoofdstuk 2
Relaciones recursivas
2.1 Introducción
El siguiente ejemplo ilustra la situación típica que queremos resolver.
Ejemplo 2.1 Una persona realiza un depósito a plazo �jo de $ 10.000 por 6
meses. El banco le paga una tasa del 1,25 % mensual. ¿Cuánto tendrá al �nal
del sexto mes?.
Solución: Denotaremos con fk al monto acumulado hasta el mes k. Es claro
que el monto fk acumulado hasta el mes k, depende del monto acumulado hasta
el mes anterior: fk�1. La relacción es
fk = fk�1 + 0; 125fk�1 (2.1)
= (1 + 0; 0125) fk�1
Además sabemos que
f0 = 10:000 (2.2)
Luego:
f1 = (1 + 0; 0125) 10:000 = 10:125
f2 = (1 + 0; 0125) 10:125 = 10:251; 5625
f3 = (1 + 0; 0125) 10:251; 5625 = 10:379; 7070312
f4 = (1 + 0; 0125) 10:379; 7070312 = 10:509; 4533691
f5 = (1 + 0; 0125) 10:509; 4533691 = 10:640; 8215362
f6 = (1 + 0; 0125) 10:640; 8215362 = 10:773; 8318054
Es decir, tendrá $ 10.773,83.
Típicamente trabajaremos con funciones a valores reales cuyo dominio es Z.
Dada
f : Z! R
para cada k 2 Z, denotaremos
fk := f (k)
15
16 HOOFDSTUK 2. RELACIONES RECURSIVAS
Nota 2.2 La siguiente �gura muestra la posición de cada uno de los fk en la
recta. Observe que el 1er. período comienza en el cero y términa en el uno,
y en general el k�ésimo período empieza en el momento k � 1 y términa en
el momento k, i.e., cada intervalo o período recibe el nombre de su extremo
derecho.
0 1 2 3 k � 1 k k + 1
f0 f1 f2 f3 fk�1 fk fk+1
1er período k-ésimo período
La ecuación (2.1) es un ejemplo de una relación recursiva. La ecuación
(2.2) es un ejemplo de condiciones iniciales.
De�nición 2.3 Decimos que una función f : A! R, con A � Z, se de�ne
recursivamente siempre que
B algún conjunto �nito de valores, generalmente el primero o los primeros, se
especi�quen, los que llamaremos condiciones iniciales,
R los valores restantes de la función están de�nidos en término de valores pre-
vios. Una fórmula que hace esto recibe el nombre de fórmula o relación
recursiva.
Ejemplo 2.4 Las siguientes son ejemplos de relaciones recursivas:
1. fk+1 � fk = 3; con k 2 Z+ y f0 = 2
2. senkfk + cos (k � 1) fk�1 + sen (k � 2) fk�2 = 0; con k 2 Z+
De�nición 2.5 Una solución de una relación recursiva es toda función que
satisfaga la relación de recurrencia en cuestión.
Ejemplo 2.6 La función
fk =
k (k � 1)
2
+ C
donde C es una constante arbitraria, es una solución de la relación recursiva
fk+1 � fk = k;
pues para k 2 Z
fk+1 � fk =
(k + 1) k
2
� k (k � 1)
2
=
�
k2 + k
�
�
�
k2 � k
�
2
= k
2.2. RELACIONES RECURSIVAS LINEALES DE PRIMERORDENA COEFICIENTES CONSTANTES.17
2.2 Relaciones recursivas lineales de primer or-
den a coe�cientes constantes.
Básicamente trabajaremos con relaciones recursivas de la forma
a1fk+1 + a0fk = g (k)
donde a1; a2 son constantes no nulas arbitrarias, y g una función, g : Z! R.
Nosotros analizaremos los siguientes casos: cuando g es un polinomio en k, o
una función exponencial en k, o una combinación lineal de un polinomio en k
con una exponencial en k.
Ejemplo 2.7 La relaciones recursivas con la que trabajaremos serán de simi-
lares a
1. 2fk+1 + 5fk = 2k;
2. �1
2
(fk � fk�1) = fk + k2;
3. 6fk+1 +
3
4
fk =
1
3
e�k;
4. k3 � fk = 3k � fk+1:
Ejemplo 2.8 Todos los meses ud. ahorra $ 550, los cuales deposita en una
cuenta de ahorroque le paga el 0,5 % de interés mensual. Hallar la relación
recursiva que describe la situación:
La relación recursiva es
fk = 1; 005fk�1 + 550
con la condición inicial
f0 = 550
2.3 Caso I: g (k) = cte:
Esta es la situación más simple. Queremos resolver la relación recursiva
a1fk+1 + a0fk = c (2.3)
donde a1; a2; y c son constantes arbitrarias, con a1 6= 0. La relación anterior
puede reescribirse
fk+1 = Afk +B
donde
A = �a0
a1
B =
c
a1
18 HOOFDSTUK 2. RELACIONES RECURSIVAS
Ahora usaremos el método inductivo para conjeturar la forma de la solución:
f1 = Af0 +B
f2 = Af1 +B
= A (Af0 +B; ) +B
= A2f0 +B (1 +A)
f3 = Af2 +B
= A
�
A2f0 +B (1 +A)
�
+B
= A3f0 +B
�
1 +A+A2
�
...
fk = Afk�1 +B
= Akf0 +B
�
1 +A+ � � �+Ak�1
�
Ahora hay dos situaciones: A = 1 o A 6= 1. Si A = 1 es claro que
fk = f0 + kB
Por otro lado, si A 6= 1, la expresión
1 +A+ � � �+Ak�1
es una serie geométrica de razón A, para la cuál es facil hallar una versión
cerrada: llamemos S a la suma de la serie
S = 1 +A+A2 + � � �+Ak�2 +Ak�1 (2.4)
multipliquemos ambos miembros por A
AS = A+A2 +A3 + � � �+Ak�1 +Ak (2.5)
Si hacemos (2.4) menos (2.5) obtenemos
S �AS = 1�Ak
S =
1�Ak
1�A (2.6)
Por lo tanto si A 6= 1 la solución de la relación recursiva (2.3) debe ser
fk = A
kf0 +B
1�Ak
1�A :
Resumiendo, el método inductivo sugiere que la solución de la relación recursiva
(2.3) debe ser de la forma
fk =
8
<
:
Akf0 +B
1�Ak
1�A si A 6= 1;
f0 + kB si A = 1:
(2.7)
Para probarlo debemos usar inducción dos veces: una para A 6= 1, y otra
para A = 1. Haremos la primera (la otra queda como tarea para el lector).
2.3. CASO I: G (K) = CTE: 19
Veri�caremos que si A 6= 1, y fk es una solución de la relación recursiva (2.3),
entonces fk tiene la forma fk = Akf0 +B
1�Ak
1�A :
Paso base: k = 1 esto no es más que la fórmula de recursión:
f1 = Af0 +B = A
1f0 +B
1�A1
1�A
Hipótesis inductiva: supongamos que la relación recursiva es cierta para k�1,
i.e.:
fk�1 = A
k�1f0 +B
1�Ak�1
1�A
Ahora veamos que ocurre lo propio para k
fk = Afk�1 +B
= A
�
Ak�1f0 +B
1�Ak�1
1�A
�
+B
= Akf0 +B
�
A�Ak
1�A + 1
�
= Akf0 +B
1�Ak
1�A :
Ejemplo 2.9 Todos los meses la srta. Viviana ahorra $ 550, y los deposita en
una cuenta de ahorro que le paga el 0,5 % de interés mensual. Hace 8 meses
que comenzo a ahorrar. ¿Cuánto tiene ahorrado?¿Cuantos meses más deberá
ahorrar para poder comprarme un televisor de LED de 42"que cuesta $ 8.500?
Ya hemos hallado la relación recursiva que describe esta situación:
�
fk = 1; 005fk�1 + 550
f0 = 550
Como A = 1; 005 6= 1 y B = 550, por (2.7) tenemos que
fk = 550 � 1; 005k + 550
1� 1; 005k
1� 1; 005
= 550 � 1; 005k + 110:000
�
1; 005k � 1
�
= 110:550 � 1; 005k � 110:000
Por lo tanto, a los 8 meses la srta. Viviana tendrá (pesos)
f8 = 110:550 � 1; 0058 � 110:000 = 5:050; 1637
Para averiguar cuantos meses más deberá ahorrar para tener por lo menos $
8.500, debemos plantear la siguiente desigualdad donde la incógnita es k
8:500 < fk = 110:550 � 1; 005k � 110:000
Es decir
118:500
110:550
< 1; 005k
20 HOOFDSTUK 2. RELACIONES RECURSIVAS
como el logaritmo es una función monótona creciente, al tomar logaritmos de
ambos lados no se altera el sentido de la desigualdad anterior:
log
�
118:500
110:550
�
< k log (1; 005)
por lo tanto
14; 92370427 =
log
�
118:500
110:550
�
log (1; 005)
< k
luego, la srta. Viviana deberá ahorrar 15 meses para juntar al menos $ 8.500.
Es decir, faltan 7 meses para que se pueda comprar el televisor.
Ejercicio 2.10 Resolver las siguientes relaciones recursivas
1. 3fk+1 � 6fk = 1, con f0 =
2
3
:
2. fk+1 � 3fk = 2, con f2 = 17:
Ejercicio 2.11 Los costos mensuales de un proyecto de construcción de tres
años de duración guardan la siguiente relación: los costos totales de cada mes
son los costos del mes anterior más $ 12.000. La inversión inicial fue de $
20.000. ¿Cuál será el costo del penúltimo mes de vida del proyecto? ¿En qué
mes los costos mensuales superan los $ 100.000?
2.4 Caso g 6= cte:
En general si g es una función, tenemos que cualquier solución f de la relación
recursiva
a1fk+1 + a0fk = g (k) (2.8)
tiene la forma
fk = hk + pk
donde hk es la solución de la relación de recursiva homogénea (lo que signi�ca
igualada a cero) asociada a (2.8):
a1fk+1 + a0fk = 0
y pk es una solución particular de (2.8). Es decir que pk debe satisfacer la relación
recursiva
a1pk+1 + a0pk = g (k)
La función pk debe ser de la misma clase que g, i.e., si g es un polinomio de
grado n, la solución particular pk también, si g es una función exponencial de
base a, lo mismo ocurre con pk. La solución particular pk se haya por el método
de los coe�cientes indeterminados.
Observe que una solución fk de la forma fk = hk + pk satisface la relación
recursiva (2.8):
a1fk+1 + a0fk = a1 (hk+1 + pk+1) + a0 (hk + pk)
= (a1hk+1 + a0hk) + (a1pk+1 + a0pk)
= 0 + (a1pk+1 + a0pk)
= g (k)
2.5. CASO G (K) ES UN POLINOMIO 21
2.5 Caso g (k) es un polinomio
Estudiaremos la relación recursiva
a1fk+1 + a0fk = Pn (k) (2.9)
donde
Pn (k) = �nk
n + �n�1k
n�1 + � � �+ �1k + �0
i.e., Pn (k) es un polinomio en k de grado n.
Primero hallamos la solución homogénea asociada, usando el método desar-
rollado anteriormente:
a1hk+1 + a0hk = 0
hk+1 = Ahk
donde
A = �a0
a1
La solución homogénea asociada es
hk =
�
Akh0 si A 6= 1;
h0 si A = 1:
Para hallar la solución particular asociada a (2.9) proponemos una solución
particular pk de la forma
pk =
�
�nk
n + �n�1k
n�1 + � � �+ �1k + �0 si A 6= 1;
k
�
�nk
n + �n�1k
n�1 + � � �+ �1k + �0
�
si A = 1:
donde los ��s son constantes a determinar.
Ejemplo 2.12 Resolver la siguiente relación recursiva:
2fk+1 � 3fk = 4k2 + 1; (2.10)
f0 = 5:
La ecuación homogénea asociada es
2hk+1 � 3hk = 0
la cual reescribiremos
hk+1 =
3
2
hk
Como
3
2
6= 1, la solución homogénea asociada es
hk =
�
3
2
�k
h0
Como g es un polinomio de grado 2 y
3
2
6= 1, debemos proponer como solución
partícular
pk := �2k
2 + �1k + �0
22 HOOFDSTUK 2. RELACIONES RECURSIVAS
Ahora
4k2 + 1 = 2fk+1 � 3fk
= 2
h
�2 (k + 1)
2
+ �1 (k + 1) + �0
i
� 3
�
�2k
2 + �1k + �0
�
= ��2k2 + (4�2 � �1) k + (2�2 + 2�1 � �0) :
Como dos polinomios a cor�cientes reales son iguales si, y sólo si sus coe�cientes
son iguales, podemos determinar los ��s resolviendo el sistema
8
<
:
� �2 = 4
� �1 + 4�2 = 0
��0 + 2�1 + 2�2 = 1
De donde
�0 = �41
�1 = �16
�2 = �4
Por lo tanto la solución de (2.10) es de la forma
fk = h0
�
3
2
�k
� 4k2 � 16k � 41
Donde resta por determinar el valor de h0. Usaremos la condición inicial para
ajustar el valor de h0 :
5 = f0 = h0 � 41;
lo que implica que h0 = 46, por lo tanto la solución de (2.10) es
fk = 46
�
3
2
�k
� 4k2 � 16k � 41:
En el siguiente ejemplo abordaremos el caso A = 1.
Ejemplo 2.13 Resolver la relación recursiva
fk+1 � fk = 2k � 3;
f1 = 4:
La ecuación homogénea asociada es
hk+1 � hk = 0
Luego la solución homogénea asociada es constante:
hk = h0
Observe que si proponemos una solución particular de la forma
pk = �1k + �0
2.6. CASO III: G (K) ES UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL 23
tenemos que
2k � 3 = fk+1 � fk
= (�1 (k + 1) + �0)� (�1k + �0)
= �1
Lo cual es imposible, pues esta ecuación debe ser válida para todo k.
Como g es un polinomio de grado 1 y A = 1, debemos proponer como
solución particular
pk = k (�1k + �0) :
Ahora
2k � 3 = fk+1 � fk
= [(k + 1) (�1 (k + 1) + �0)]� [k (�1k + �0)]
= 2�1k + (�1 + �0) :
De donde
�0 = �4;
�1 = 1;
Por lo tanto la solución de (2.10) es de la forma
fk = h0 + k (k � 4) :
Ahora usaremos la condición inicial para ajustar el valor de h0 :
4 = f1 = h0 � 3;
lo que implica que h0 = 7, por lo tanto la solución de (2.10) es
fk = 7 + k (k � 4) :
Nota 2.14 La idea de usar k
�
�nk
n + �n�1k
n�1 + � � �+ �1k + �0
�
, en lugar de
�nk
n+�n�1k
n�1+ � � �+�1k+�0, si A = 1, viene de la técnica introducida por
Liouville para hallar una nueva solución a una ecuación diferencial ordinaria,
a partir de una solución conocida.
2.6 Caso III: g (k) es una función exponencial
El tipo derelación recursiva que deseamos resolver es
a1fk+1 + a0fk = cb
k;
con b > 0; b 6= 1.
La solución homogénea asociada se calcula como antes. La solución particular
es
pk =
�
�bk; si A 6= b;
�kbk; si A = b:
donde A = �a0a1 ; y el coe�ciente � es hallado usando el método de los coe�cientes
indeterminados.
24 HOOFDSTUK 2. RELACIONES RECURSIVAS
Ejemplo 2.15 Resolver la relación recursiva
fk+1 = 4fk + 3 2
k; con k � 1;
f0 = 1:
La relación recursiva homogénea asociada es
fk+1 � 4fk = 0;
por lo tanto la solución homogénea asociada es
hk = h04
k:
Como A = � (�4) 6= 2, la solución particular debe ser de la forma
pk = �2
k:
Usando el método de los coe�cientes indeterminados
3 � 2k = pk+1 � 4pk
= �2k+1 � 4�2k
= �2�2k:
Luego
� = �3
2
:
Por lo tanto la solución general es
fk = h04
k � 3
2
2k:
Ahora ajustamos el valor de h0 para que se satisfaga la condición inicial:
1 = f0 = h0 �
3
2
;
luego
h0 =
5
2
:
Por lo tanto
fk =
5
2
4k � 3
2
2k:
Ejemplo 2.16 Resolver la relación recursiva
fk+1 � 3fk = 12 � 3k; con k � 1;
f0 = 2:
La solución homogénea asociada es
hk = h03
k:
Como A = � (�3) = 3, la solución particular asociada debe ser de la forma
pk = �k3
k:
2.7. CASO IV:G (K) COMBINACIÓN DE UN POLINOMIO Y UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL25
Usando el método de los coe�cientes indeterminados
12 3k = pk+1 � 3pk
= � (k + 1) 3k+1 � 3�k3k
= �3k+1;
de donde
� = 4:
Por lo tanto la solución general es de la forma
fk = h03
k + 4k3k:
Usando la condición inicial, ajustamos el valor de h0
2 = f0 = h0:
Luego la solución general es
fk = 2 � 3k + 4k3k:
Ejercicio 2.17 Resolver las siguientes relaciones recursivas
1. 3fk+1 � 6fk = 3 � 2k, con f0 =
2
3
:
2. 3fk+1 � fk =
1
3k
, con f2 = 5:
Ejercicio 2.18 Ud. invierte $ 180 000. Esa inversión de duplica cada año, pero
ud. retira al cabo del primer año $ 10 000, del segundo año $ 20 000, del tercero
$ 40 000, del cuarto $ 80 000, etc. Establecer una relación recursiva que describa
el problema. ¿Cuanto tendrá al cabo del 7mo. año?
2.7 Caso IV: g (k) combinación de un polinomio
y una función exponencial
Ahora resolveremos relaciones recursivas de la forma
a1fk+1 + a0fk = Pn (k) + cb
k; (2.11)
donde
Pn (k) = �nk
n + �n�1k
n�1 + � � �+ �1k + �0;
es un polinomio de grado n, y b > 0 y b 6= 1. De nuevo todo el problema es
hallar una solución particular, pues la homogénea asociada no ofrece di�cultad.
La solución particular propuesta debe ser de la misma clase que g
pk =
8
<
:
�nk
n + �n�1k
n�1 + � � �+ �1k + �0 + �bk; si A =2 f1; bg ;
k
�
�nk
n + �n�1k
n�1 + � � �+ �1k + �0
�
+ �bk; si A = 1;
�nk
n + �n�1k
n�1 + � � �+ �1k + �0 + �kbk; si A = b:
donde A = �a0a1 :
26 HOOFDSTUK 2. RELACIONES RECURSIVAS
Ejercicio 2.19 Resolver las siguientes relaciones recursivas:
1.
�
fk+1 � 2fk = 3 � 4k + 4k;
f0 = 4:
2.
(
fk+1 � fk =
2
5
3k + k � 1;
f1 = 4:
3.
�
fk+1 � 3fk = 4 � 3k � 2k;
f0 = 2:
2.8 Ejercitación general
Ejercicio 2.20 Decidir si la funciones propuestas son o no solución de las rela-
ciones recursivas dadas (c reprsenta una constante abitraria)
Función propuesta Relación recursiva
1 fk = 3 fk � fk�1 = 0;
2 fk = c fk � fk�1 = 0;
3 fk = �3 � 5k fk = 5fk�1;
4 fk = c3k fk = 3fk�1;
6 fk = 2ck fk = cfk�1;
7 fk = k fk+1 � fk = 1;
8 fk = c+ k (k + 1) fk+2 � fk+1 = 2k + 3;
9 fk =
c
1 + ck
fk = 3fk � 1;
10 fk =
1
2
�
3k+1 + 1
�
fk+1 =
fk
1 + fk
;
11 fk = 3
�
2k+1 � 1
�
fk + 2fk�1 � 1 = 0:
Ejercicio 2.21 Hallar la solución de cada una de las siguientes relaciones re-
cursivas
1.
�
fk+1 � fk = 1;
f0 = 4:
2.
(
2fk+1 � fk = 3;
f0 =
1
2
:
3.
�
fk+1 = �2fk;
f0 = 4:
4.
8
><
>:
1
3
fk+1 �
4
3
fk = 6;
f0 =
2
3
:
5.
�
4fk � fk+1 = 1;
f1 = 2:
6.
(
4fk+1 � fk = 3;
f3 =
1
2
:
2.8. EJERCITACIÓN GENERAL 27
7.
�
fk+1 + fk = 3k + 1;
f0 = 2:
8.
(
fk+1 � 3fk = 5k2;
f0 =
1
2
:
9.
�
fk+1 = fk + 4k;
f1 = 0:
10.
�
fk+1 � fk = 2k2 + k;
f2 = 1:
11.
�
2fk+1 � 2fk = 3k � 1;
f3 = 0:
12.
(
2fk+1 + 3fk = 5 � 2k;
f0 =
1
2
:
13.
�
fk+1 � 2fk = 6 � 2k;
f0 = 1:
14.
�
fk+1 + 3fk = 2 � 4k � k;
f1 = 0:
15.
(
3fk � fk�1 =
1
3k
;
f1 = 0:
16.
(
3fk + fk+1 =
1
3k
;
f0 = 2:
17.
�
2fk�1 � fk = 4k�1 � 3k + 8;
f1 = 4:
Ejercicio 2.22 Una persona tiene hoy $ 40 000 y a partir de la segunda se-
mana gasta cada semana la tercera parte de lo que tenía la semana anterior.
¿Cuántas semanas tarda en tener menos de $ 10? ¿Cuántas semanas tarda en
gastar todo su capital?.
Ejercicio 2.23 Una compañía de seguros ofrece a sus inversionista el siguiente
esquema de pagos: cada año el inversionista tendrá un acumulado igual a 5/4
de lo que tenía el año anterior, pero le descuentan cada año una doceava parte
del total acumulado. ¿Cuánto tendrá al cabo de 8 años una persona que invierte
$ 3 000 000? ¿Cuánto tiempo tardará en duplicar su capital un inversionista
cualquiera?
Ejercicio 2.24 Se invierten hoy $ 6 000 000. Está inversión rinde un 12%
trimestralmente, i.e., cada trimestre se agrega el 12% del capital acumulado
hasta el trimestre anterior. Al comienzo del segundo trimestre se agregan $ 25
000, al comienzo del tercero $ 30 000, del cuarto $ 35 000, y así sucesivamente.
Además al �nalizar cada trimestre se retiran $ 75 000. ¿Cuál será el total acu-
mulado al cabo de 5 años? ¿Cuánto tiempo tardará en triplicar su capital el
inversionista?
28 HOOFDSTUK 2. RELACIONES RECURSIVAS
Hoofdstuk 3
Sistemas de capitalización
simple
3.1 Introducción
El tema de este libro es el valor-tiempo del dinero: escencialmente un peso hoy
no vale lo mismo que un peso dentro de un año, en el sentido de la cantidad de
bienes y servicios que podemos adquirir es diferente. Esto se debe principalmente
a dos factores: el costo de oportunidad y la in�ación.
Pero, ¿Qué es el dinero?
De�nición 3.1 El dinero es todo aquello que constituye un medio de cambio o
de pago comúnmente aceptado.
Características:
1. Carece de valor intrínseco: nos interesa porque podemos usarlo para adquirir
bienes y servicios.
2. El estado es el único que puede imprimirlo: moneda de curso legal.
3. No son sólo monedas y billetes:
(a) Monedas y billetes,
(b) Depósitos a la vista o cuentas corrientes (cheques y tarjetas débito)
y tarjetas de crédito,
(c) Bonos y acciones,
(d) Depósitos a plazos.
(e) Rentas (sueldos, jubilaciones, becas, etc.),
(f) Instrumentos �nancieros (futuros, opciones, seguros, etc.),
(g) Bienes (casas, autos, propiedades, muebles, etc.)
Los tipos de �dinero� listados arriba, están ordenado de más líquidos a menos
líquidos. Un valor es más líquido cuanto más fácil sea intercambiarlo por bienes
y servicios.
29
30 HOOFDSTUK 3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
3.1.1 Funciones del dinero
Las funciones que cumple el dinero son tres:
1. Es un depósito de valor.
2. Es una unidad de medida o cuenta.
3. Es un medio de cambio.
Decimos que el dinero es un depósito de valor pues nos permite transferir
poder adquisitivo espacial y temporalmente. El dinero que ganamos en un lugar
puede ser usado para adquirir bienes y servicios en otro lugar, y el dinero ganado
hoy puede ser intercambiado por bienes y servicios en algún momento del futuro.
Decimos que el dinero es una unidad de medida o cuenta pues es en
términos de dinero que se expresan los precios y las deudas. El dinero es el
patron con el que medimos las transacciones económicas.
Decimos que el dinero es un medio de cambio, todas las personas e insti-
tuciones aceptan intercambiar bienes y servicios por dinero.
Es claro que no todos los bienes conservan su valor el tiempo, por ejemplo las
manzanas recién cosechadas tienen claramente un valor (pueden ser intercambi-
adas por otros bienes y servicios), pero después de un tiempo es poco probable
que alguién acepte intercambiar sus bienes por lo que quede de nuestras vie-
jas manzanas. Por otro lado si deseamos adquirir algún bien en algún punto
lejano a nuestro lugar de residencia, algunos bienes son más transportables que
otros, por ejemplo, es más fácil mover oro que sandias (considereando la relación
peso/valor).
Es claro quepodríamos usar oro como depósito de valor, pero este es muy
incomodo como unidad de medida y cuenta, pues todos deberíamos disponer
de equipos (balanzas) y conocimientos de metalurgía (pues el oro viene con
distintos grados de pureza), para poder intercambiar la cantidad adecuada de
oro por los bienes y servicios que deseamos adquirir.
3.1.2 Trueque
La mejor forma de entender las funciones del dinero es imaginar como era el
mundo antes de su aparición, lo que se conoce como economía de intercambio
o trueque. El dinero es una e�caz herramienta que surgió de manera natural a
medida que las sociedades fueron desarrollando economías cada vez más com-
plejas. Las primeras sociedades tenían una economía de trueque: los bienes eran
intercambiados directamente por otros bienes. La principal desventaja de este
tipo de economías es que requiere de una doble coincidencia de deseos (tem-
poral y espacial) para que dos agentes intercambien bienes. Por ejemplo, si yo
hoy tengo peras y deseo cuchillos, debo hallar (espacial) alguién que hoy quiera
peras y que hoy tenga cuchillos (temporal). Esto lleva de manera natural a:
1. una baja división del trabajo (poca especialización),
2. una economía sencilla: sólo se pueden hacer transacciones muy sencillas.
3. es di�cíl trasladar valor temporalmente, e inclusve espacialmente.
3.2. VALOR-TIEMPO DEL DINERO 31
El dinero permite transacciones indirectas, y en este sentido es muy superior
al trueque, donde debe existir una doble coincidencias de deseos para realizar
intercambios.
3.1.3 Un esquema del surgimiento del dinero �duciario
El dinero que no tiene valor intrínseco se denomina dinero �duciario, ya que se
establece como dinero por decreto. Esto es lo normal en casi todos los paises de
mundo, aunque históricamente las economías utilizaron durante mucho tiempo
mercancías con valor intrínseco a modo de dinero: semillas de cacao, conchas
de mar, aceite de oliva, sal, plata, oro, etc.. Estos son ejemplos de lo que se
denomina dinero mercancía.
No es difícil de entender como surje un dinero mercancía como el oro: facilita
el intercambio (todo el mundo esta dispuesto a aceptarlo por su valor intrínseco),
es fácil de transportar (con respecto a la relación peso/valor) y además sirve para
trasladar valor en el tiempo al conservar generalmente su valor en el tiempo.
Es más di�cil entender como surje el dinero �duciario. ¿Qué hizo que la gente
comenzara a valorar algo que carece de valor intrínseco: esos pedazos de papel
que llamamos dinero? En realidad el proceso tomo varios siglos, pero se puede
resumir al siguiente esquema. En una economía que usa oro como dinero mer-
cancía, la gente debe llevar consigo bolsas con oro. Para efectuar una transacción
comprador y vendedor deben concordar en el peso y la pureza del oro a ser in-
tercambiado por el servicio o mercancía. Este proceso de pesado y veri�cación
de la pureza lleva su tiempo y requiere de conocimientos de metalurgía. Para
simpli�car la operación y reducir sus costes el gobierno decide acuñar monedas
de oro de un peso y pureza conocidos. Están monedas son más fáciles de llevar
y usar que el oro en bruto. Al poco tiempo todo el mundo usa las monedas y
casi no circula oro sin acuñar. Luego, el gobierno y los bancos empiezan a emitir
certi�cados de oro: trozos de papel que dicen que Juan Perez tiene 12 kg. de oro
el banco tal o cual, o certi�cados de oro del gobierno que dicen, por ejemplo,
vale por medio kilo de oro. La gente empieza a aceptar estos papeles, y los van
a canjar por oro (al banco o al ayuntamiento). Una vez que la gente comienza a
veri�car la veracidad de estas promesas de pago, y al ser más fáciles de guardar
y llevar, estos certi�cados se vuelven tan valiosos como el mismo oro y a la
larga nadie lleva oro, sino estos certi�cados o�ciales respaldados por oro: los
certi�cados se convierten en el patron monetario. Ya solo resta un paso para el
surgimiento del dinero �duciario: si nadie se molesta en canjear los billetes por
oro, el respaldo del oro deja de ser relevante. Mientras todo el mundo continue
aceptando los billetes de papel, estos tendrán valor y servirán de dinero.
3.2 Valor-tiempo del dinero
La matemática �nanciera se ocupa de modelar el efecto del tiempo sobre el
valor nominal del dinero. Es lo que llamaremos el valor-tiempo del dinero. El
siguiente par de ejemplos clari�ca la cuestión:
Ejemplo 3.2 Tener hoy $ 1.000 es mejor que tener (hoy) sólo $ 50.
Ejemplo 3.3 Es mejor tener $ 100 hoy que tener $ 100 dentro de un año.
32 HOOFDSTUK 3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
De este par de ejemplos podemos concluir:
Conclusión 3.4 De dos montos disponibles al mismo instante de tiempo, prefe-
rimos el mayor.
Conclusión 3.5 De dos montos iguales disponibles en diferentes momentos,
preferimos el monto disponible antes.
Problema 3.6 En base a las conclusiones anteriores. ¿Qué es mejor? $ 100
hoy o $ 75 dentro de un año.
El problema surge al comparar montos distintos disponibles en diferentes
momentos del tiempo (donde el monto futuro es mayor que el monto presente):
¿Qué es mejor, $1.000 hoy, o $1.350 dentro de un año?
Todo depende del agente considerado y de su costo de oportunidad. El
costo de oportunidad hace referencia al hecho de que cada vez que optamos
por una cosa, hay un universo de alternativas que desechamos. La alternativa
desechada de mayor rendimiento es el costo de oportunidad en el que incurrimos
al tomar una decisión.
Volviendo a nuestro problema de decidir que es mejor, si $ 1.000 hoy o $
1.350 dentro de un año. Si el agente puede invertir los $ 1.000 de hoy y ganar
con certeza $ 500 extras al cabo de un año, a �n de año tendrá $ 1.500, lo que
es mejor que los $ 1 350. Para este agente $ 1.000 pesos hoy son mejores que
$ 1.350 dentro de un año (su costo de oportunidad es mayor que el rendimieno
ofrecido al agente). Para otro agente los $ 1.000 hoy son lo mismo que $ 1.350
dentro de un año, en el sentido de que el puede invertir estos $ 1.000 en alguna
otra opción de inversión y obtener la misma ganancia de $ 350 al cabo de un
año. Este agente es indiferente entre $ 1.000 hoy o $ 1.350 a �n de año. Para
�nalizar, para un tercer agente $ 1.000 hoy es una peor inversión que recibir $
1.350 a �n de año, pues todas las otras alternativas de inversión que posee le
reportan al cabo de un año menos de $ 350 de ganancia.
En el análisis anterior la noción suyacente es la de equivalencia �naciera:
De�nición 3.7 Dos capitales C1 y C2, impuestos en momentos t1 y t2, re-
spectivamente, son �nancieramente equivalentes para un agente dado, si el
agente es indiferente entre ellos: el valor del capital C1 al momento t2 es igual
a C2 (recíprocamente el valor del capital C2 al momento t1 es igual a C1):
C2 al momento t1 = C1
C1 al momento t2 = C2
C1
t1
(C1; t1)
C2
t2
(C2; t2)
equivalentes
Nota 3.8 Cada cantidad de dinero debe ser informada junto con el instante de
tiempo en que esta disponible, i.e., en matemáticas �nancieras (implícitamente)
trabajamos con pares
(monto; tiempo)
3.2. VALOR-TIEMPO DEL DINERO 33
Para medir el rendimiento de una inversión introducimos otro concepto fun-
damental ,la noción de tasa de interés. Recordemos que una tasa es una
medida de la magnitud relativa de cambio: Si una cantidad cambia de Ci a Cf
en un período de tiempo dado, la tasa de cambio es
t :=
Cf � Ci
Ci
:
Gra�camente
t =
Cf�Ci
Ci
Ci Cf
Cuando pasamos de Ci a Cf , podemos pensar que cada unidad pasa de 1 a
1 + t pues
(1 + t)Ci = Cf : (3.1)
Ejemplo 3.9 Al invertir $ 1.000, obtenemos una ganancia de $ 1.350, tenemos
que la tasa de rendimiento asociada es
t =
1:350� 1:000
1:000
= 0; 35
Observe que la tasa es una magnitud adimensional, aunque implícitamente
está asociada a una unidad de tiempo:
el período de tiempo entre Ci y Cf .
Ejemplo 3.10 Continuando con el ejemplo anterior, si los $ 1.000 pasan a $
1.350, en un día, o en un mes, o en un año, son tres situaciones muy distin-
tas, aunque les corresponda la misma tasa. Por eso agregaremos la información
temporaly hablaremos de una tasa 0,35 diaria, o de una tasa 0,35 mensual, o
de una tasa 0,35 anual.
t = 0:35
$1000 $1350
1 día
t = 0:35
$1000 $1350
1 mes
t = 0:35
$1000 $1350
1 año
34 HOOFDSTUK 3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
De�nición 3.11 Un k-período de tiempo, es una unidad temporal que cabe k
veces el año.
Por ejemplo, un 12-período es un mes: 12 meses hacen un año, un 365-
período es un día: pues en un año caben 365 días, un 6-período es un bimestre:
6 bimestres hacen un año, etc.
k-período tiempo
1-período año,
2-período semestre,
3-período cuatrimestre,
4-período trimestre,
6-período bimestre,
12-período mes,
52-período semana,
360-período día comercial,
365-período día civil.
Nota 3.12 Observe que en t años entran
k � t k-períodos,
por ejemplo, en 3 años hay 12 � 3 = 36 12-períodos, i.e., 36 meses; en 2.5 años
hay 52 � 2; 5 = 130 52-períodos, i.e., 130 semanas.
De�nición 3.13 Una tasa k-períodica t, es una tasa t que actua sobre un
k-período, i.e., nos dice cuanto cambia una unidad en un k-período de tiempo.
Diremos que una tasa k-períodica capitaliza k veces en un año. También se
suele decir que la tasa tiene frecuencia de capitalización k. Por ejemplo una tasa
mensual, capitaliza 12 veces en el año o, lo que es lo mismo, tiene frecuencia de
capitalización 12.
En el día a día, las tasas son informadas como porcentajes (i.e., numeradores
de cocientes de denominador 100) junto con una unidad temporal. Por ejemplo
una tasa mensual del 22,3 % hace referencia a una tasa 0; 223 12-períodica.
Para hallar la tasa asociada a una tasa tporcentual informada porcentualmente
hacemos
t =
tporcentual
100
En matemática �nancieras usaremos i(k) para denotar una tasa k-períodica.
Las más usadas son:
i anual,
i(2) semestral,
i(3) cuatrimestral,
i(4) trimestral,
i(6) bimestral,
i(12) mensual,
i(52) semanal,
i(360) diaria comercial,
i(365) diaria civil.
3.3. SISTEMA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE 35
Nota 3.14 Observar que en lugar de i(1) para la tasa anual se usa simplemente
i.
De�nición 3.15 Dados un capital original Co en un instante de tiempo to y
un capital �nal Cf en un instante de tiempo posterior tf . Llamaremos interés
I a la diferencia
I := Cf � Co
Si tf � to es un k-período, hay una tasa k-períodica asociada:
i(k) =
Cf � Co
Co
De donde se deduce una relación inmediata entre el interés I y la tasa k-períodica
i(k):
I = Coi
(k)
Sea i(k) la tasa k-períodica que podemos obtener, para cualquier capital C
disponible el día de hoy podemos hallar un capital equivalente un k-período en
el futuro Cf o un k-período hacia el pasado Cp.
Cf =
�
1 + i(k)
�
C
Cp =
C�
1 + i(k)
�
Cuando movemos un capital hacia el futuro en matemáticas �nanceras se habla
de capitalización. Mientras que si lo movemos hacia el pasado se habla de
actualización.
C Cf
Capitalización
un k-período hacia el futuro
Cp C
Actualización
un k-período hacia el pasado
Pero típicamente debemos movermos más de un período, hacia atrás o hacia
adelante. Cuando debemos calcular los intereses de varios períodos surge un
interrogante natural: Los intereses de un período deben ser considerados o no
para el cálculo de los intereses del período siguiente. El cómo se hace esto recibe
el nombre de ley �nanciera.
3.3 Sistema de capitalización simple
El sistema de capitalización simple es la ley �nanciera que establece que los
intereses generados en un período dado no son considerados para el cálculo de
los intereses del período siguiente.
De�nición 3.16 Se llama capitalización simple a la ley �nanciera que es-
tablece que los intereses de cada período se calculan sobre el mismo capital
inicial o principal.
36 HOOFDSTUK 3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Dado un capital inicial C0, una tasa de capitalización p-períodica i(p) y n
p-períodos tenemos que los intereses de cada período son iguales:
I1 = I2 = � � � = In = C0i(p)
El interés total IT es, por de�nición, la suma de los intereses de cada uno de
los períodos considerados:
IT :=
nX
h=1
Ih
= nC0i
(p)
Dado h 2 f1; :::; ng, el capital acumulado hasta el momento h, es el capital
acumulado hasta el período anterior, h� 1, más los intereses generados:
Ch = Ch�1 + C0i
(p);
con la condición inicial C0 := Co (a la izquierda es capital a momento cero, a
la derecha tenemos el capital inicial u original). Por lo que usando la teoría de
relaciones recursivas ya desarrollada, caso g (k) = cte, con A = 1, concluimos
que:
Ch = C0 + C0i
(p)h
= C0
�
1 + hi(p)
�
(3.2)
para 0 � h � n.
tiempo
$
0 1 2 3 n� 1 n
C0 C0 C0 C0 C0 C0
I1 I1 I1 I1 I1
I2 I2 I2 I2
I3 I3 I3
In�1 In�1
In
C0
C1
C2
C3
Cn�1
Cn
IT
3.3. SISTEMA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE 37
En particular
Cn = C0
�
1 + ni(p)
�
(3.3)
la cual es la fórmula habitual en la literatura.
Nota 3.17 Note que en la fórmula (3.3) existe una relación temporal entre los
capitales Cn y C0.
Esta en el futuro
(a la derecha)
del capital C0z}|{
Cn = C0|{z}
Esta en el pasado
(a la izquierda)
del capital Cn
�
1 + ni(p)
�
Nota 3.18 Se puede deducir de la formula (3.3) con un argumento inductivo:
El capital al �nal del primer período, C1, es la suma de C0, el capital al inicio
del período, más C0i(p), los intereses generados durante este período:
C1 = C0 + C0i
(p)
Similarmente C2, el capital al �nal del segundo período, es la suma de C1, el
capital al inicio del período, más C0i(p), los intereses generados durante este
período
C2 = C1 + C0i
(p)
pero como C1 = C0 + C0i(p), obtenemos
C2 = C0 + C0i
(p) + C0i
(p)
= C0 + 2C0i
(p)
Análogamente C3, el capital al �nalizar el tercer período, es la suma de C2, el
capital al comienzo del período, más C0i(p), los intereses generados durante este
período:
C3 = C2 + C0i
(p)
y ya que C2 = C0 + 2C0i(p), obtenemos
C3 = C0 + 3C0i
(p)
De estas expresiones podemos inferir inductivamente que el capital acumulado
al momento n será
Cn = C0 + nC0i
(p) (3.4)
tiempo
Cn�1
n� 1
Cn
n
i(k)
(modi�car dibujo)
38 HOOFDSTUK 3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
La fórmulas (3.2) y (3.3) nos indican como se traslada un capital de un in-
stante de tiempo dado a otro de forma �nancieramente equivalente. Por ejemplo,
a una tasa mensual del 1,2 %, $ 200 pesos son �nancieramente equivalentes a $
216,8 en 7 meses (usando capitalización simple):
216; 8 = 200 (1 + 7 � 0; 012)
Nota 3.19 En la fórmula (3.3) aparecen 4 variables relacionadas:
capital inicial C0
capital �nal Cn
tiempo n
tasa i(p)
Unas observaciones al respecto:
1. El problema tipo es: dadas tres magnitudes hallar la cuarta. Por lo que
tenemos problemas donde debemos hallar el capital �nal Cn (se les suele
llamar problemas de capitalización), una variación de este tipo de proble-
mas es hallar el interés total generado. Problemas donde debemos hallar el
capital inicial C0 (se les suele llamar problemas de actualización). Prob-
lemas donde debemos hallar el tiempo n, y �nalmente problemas donde
debemos hallar la tasa i(p).
2. Dimensionalmente hablando, C0 y Cn son dinero. El tiempo y la tasa deben
ser dimensionalmente compatibles: si la tasa es k-períodica, el tiempo debe
estar dado en p-períodos, por ejemplo, si la tasa es mensual, n debe ser
una cantidad de meses. Similarmente si n es una cantidad de trimestres,
la tasa debe ser trimestral: una i(4).
Ejemplo 3.20 Calcular el capital �nal o montante de $ 2.500.000 al 15 %
anual, colocado durante a) 20 días, b) 3 meses, c) 4 cuatrimestres, d) 5 años,
e) t p-períodos.
Todo el problema es compatibilizar las unidades temporales de los intervalos
de tiempo y la tasa. Por ahora sólo podemos convertir los distintos períodos de
tiempo a años:
Ejemplo 3.21 a) 20 días son 20365 años, por lo que al cabo de 20 días tendremos
C20 días = C 20
365 años
= 2:500:000
�
1 +
20
365
0; 15
�
= 2520547; 9452 pesos.
b) 3 meses son 312 años, por lo que al cabo de 3 meses tendremos
C3 meses = C 3
12 años
= 2:500:000
�
1 +
3
12
0; 15
�
= 2593750 pesos.
c) 4 cuatrimestres son 43 años, por lo que al cabo de 4 cuatrimestres ten-
dremos
C4 cuatrimestres = C 4
3 años
= 2:500:000�
1 +
4
3
0; 15
�
= 3:000:000 pesos.
3.3. SISTEMA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE 39
d) Al cabo de 5 años tendremos
C5 años = 2:500:000 (1 + 5 � 0; 15) = 4:375:000 pesos.
e) En general si tenemos t p-períodos, tenemos tp años, por lo que tendremos
Ct p�per�{odos = C t
k
años = C0
�
1 +
t
p
i
�
Ejemplo 3.22 Hoy extraemos del banco $ 281.300. ¿Cuál fue el capital origi-
nal, o principal, si nos han pagado una tasa mensual del 32% y el depósito fue
pactado a 15 meses?
Sabemos que
Cn = C0
�
1 + ni(p)
�
de donde
C0 =
Cn
1 + ni(p)
(3.5)
y como hay compatibilidad temporal entre la tasa y la unidad temporal, ambas
son mensuales:
C0 =
281:300
1 + 15 � 0; 32
= 48:500
i.e., debimos depositar hace 15 meses la suma de $ 48.500 a una tasa mensual
del 32% para poder extraer hoy $ 281.300.
Ejemplo 3.23 Determinar el interés total obtenido al depositar $ 15.000 a
plazo �jo por el término de 6 bimestres a una tasa bimestral del 14%.
Otra forma de de�nir el interés total: es la diferencia entre el capital �nal y
el capital inicial.
IT = C�nal � Coriginal
Veamos que esta de�nición es equivalente a la dada previamente:
IT = Cn � C0
= C0
�
1 + ni(p)
�
� C0
= C0ni
(p) (3.6)
Reemplazando
IT = 15:000 � 6 � 0; 14
= 12:600
Esto nos dice que un plazo �jo de $ 15.000 a 6 bimestres, a una tasa bimestral
del 14% producen un interés total de $ 12.600.
Ejemplo 3.24 Hallar el capital que produce unos intereses de $ 12.787,5 al
cabo de 75 días, a una tasa diaria del 0,31%.
40 HOOFDSTUK 3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Del problema anterior sabemos que
IT = C0ni
(p)
(donde n es una cantidad de p-períodos). Luego
C0 =
IT
ni(p)
(3.7)
reemplazando
C0 =
12:787:5
75 � 0; 0031
= 55:000
Por lo tanto unos $ 55.000 producen un interés de $ 12.787,5 al cabo de 75
días, a una tasa diaria del 0,31%.
Ejemplo 3.25 Depositamos en un banco $ 450.000 y al cabo de 18 meses nos
entregan $ 820.601,52. ¿Cuál es la tasa mensual que nos pagó el banco?
Como
Cn = C0
�
1 + ni(p)
�
tenemos que
i(p) =
Cn � C0
nC0
(3.8)
Luego
i(12) =
820:601; 52� 450:000
18 � 450:00
= 0:045753274
i.e., el banco nos pagó una tasa mensual del 4,5753274%.
Ejemplo 3.26 Durante cuantos días hay que imponer un capital de $ 3.500.000
a una i(4) = 0; 2455, para obtener no menos de $ 5.100.000.
Como
Cn = C0
�
1 + ni(p)
�
de donde depejamos n
n =
Cn � C0
C0i(p)
(3.9)
Ahora nosotros deseamos
9:100:000 � 3:500:000 (1 + n � 0; 2455)
luego
n � 9:100:000� 3:500:000
3:500:000 � 0; 2455
� 6:517311609
luego debemos imponer el capital al menos 7 días.
3.3. SISTEMA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE 41
Nota 3.27 El sistema de capitalización simple esta prácticamente en desuso.
En la actualidad la capitalización compuesta es el sistema más usado (en sus
versiones discreta y continua), el cual será estudiado en los capitulos subsigu-
ientes.
Ejercicio 3.28 Calcular el capital �nal o montante que se obtendrá al colocar $
25.500 a 6 meses a una tasa anual del 12,5%. ¿A cuánto ascienden los intereses
totales?
Ejercicio 3.29 Calcular el montante que producirá un capital de $ 724.230,
colocado al 7% semestral durante 4 años.
Ejercicio 3.30 Determinar el interés obtenido por una empresa que efectuó un
depósito a plazo �jo por el término de 30 días, con excedentes de fondos por $
80.000 a una tasa del 11 % anual.
Ejercicio 3.31 Obtenga los intereses totales que produce un capital de $ 22.300.000
impuestos al 3% trimestral durante 36 meses.
Ejercicio 3.32 Hallar el capital necesario para producir un interés de $ 1.030
en una colocación por un plazo de 50 días en una entidad bancaria al 18 %
anual.
Ejercicio 3.33 Los intereses al cabo de un año, calculados según el año civil,
de un C capital ascienden a $ 784.720 ¿A cuánto ascenderán según el año
comercial (suponer i(360) = i(365))?
Ejercicio 3.34 Hace 87 días invertimos una cierta suma de dinero al 0,02%
diario a interés simple. Hoy nos entregan $ 75.420,50 ¿Cuál fue el monto in-
vertido originalmente?
Ejercicio 3.35 Depositamos en un banco $ 150.000 y al cabo de 8 meses nos
entregan $ 160.672,50. ¿Cuál es la tasa de interés que nos pagó el banco?
Ejercicio 3.36 Un inversor reembolsará $ 499.500,50 por un depósito concer-
tado a 90 días por $ 300.700. Averiguar la tasa anual pactada.
Ejercicio 3.37 Hallar la tasa anual necesaria para que un depósito por $ 11.000
reditúe al inversor en 180 días, la mitad de la colocación.
Ejercicio 3.38 ¿Cuál es la tasa de interés p-períodica que nos permite duplicar
el capital al cabo de n p-períodos?
Ejercicio 3.39 ¿Cuánto tiempo es necesario que transcurra para triplicar un
capital al 5% bimestral?
Ejercicio 3.40 ¿Cuántos períodos son necesarios para duplicar un capital a
una tasa p-períodica i(p)? Y para triplicarlo. Y para obtener un múltiplo dado.
Ejercicio 3.41 Una empresa con excedentes de fondos por $ 200.000 efectúa
dos colocaciones para cubrir necesidades futuras. Una durante 45 días al 1,5%
mensual, y otra durante 15 días al 1,25% mensual. Averiguar los importes de
los depósitos, sabiendo que las inversiones producen igual interés.
42 HOOFDSTUK 3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Ejercicio 3.42 Ud. posee $ 355.000. Decide invertilos en dos proyectos que le
pagarán respectivamente el 1,2 % bimestral y el 2,1% trimestral. Qué porcentaje
de sus ahorros debe invertir en cada proyecto, para recibir el mismo monto en
concepto de intereses al cabo de 6 meses. Si ahora deseamos que ambos proyectos
nos paguen los mismos intereses totales a lo largo de 1 año ¿cuánto deberemos
poner en cada uno de los proyectos?
Ejercicio 3.43 Un capital por $ 38.000 se impuso a interés simple durante 7
días al 11,2%; luego el mismo capital por el término de 15 días al 11,7%; y por
último se consiguió colocarlo 30 días al 13,5%. Calcular el interés total y la tasa
real de la operación citada.
Ejercicio 3.44 Una empresa coloca excedentes de fondos en las siguientes al-
ternativas:
1. Mercado de �nanciamiento o�cial, $ 86.000 al 12%.
2. Mercado de �nanciamiento marginal, $ 72.000 al 18,5%.
Determinar el plazo de las colocaciones que le permiten percibir montos
iguales.
Ejercicio 3.45 Se desea saber cómo in�uirá una comisión de gastos �ja sobre
el rendimiento de una inversión. A este efecto se nos comenta que, cualquiera
sea la inversión, la comisión ascenderá a $ 3.000. ¿Qué incidencia tendrá so-
bre nuestra inversión de $ 2.000.000 al 12%?, i.e., ¿Cuál es la tasa real de la
operación?. ¿Y si la inversión fuera de $ 500.000 al mismo tipo?
3.4 Equivalencia de tasas
Consideremos las siguientes operaciones: colocar $ 100 al 12% anual durante un
año, colocar los mismos $ 100 al 1% mesual también durante un año. Ambas
producen idéntico capital �nal o montante.
100 (1 + 0; 12) = 112 = 100 (1 + 12 � 0; 01) :
Este es un ejemplo de tasa equivalentes, uno de los conceptos fundamentales de
matemáticas �nancieras:
De�nición 3.46 Diremos que dos tasas i(p) y i(q), son equivalentes, bajo una
ley �nanciera dada, si aplicadas a un mismo capital inicial, producen idéntico
capital �nal durante un mismo intervalo de tiempo, aunque tengan distinta fre-
cuencia de capitalización (p 6= q).
t años
C0 Cf
ip
iq
3.4. EQUIVALENCIA DE TASAS 43
Ahora podemos deducir la ecuación fundamental de equivalencia de tasas
en el sistema de capitalización simple: Supongamos que un capital inicial C0 es
impuesto durante t años, donde t > 0 es un número real (no necesariamente
entero). La tasa p-períodica i(p) y la tasa q-períodica i(q), con p; q 2 Z+, son
equivalentes si producen idéntico capital �nal:
C0
�
1 + tpi(p)
�
= Cf = C0
�
1 + tqi(q)
�
;
Al simpli�car nos queda
pi(p) = qi(q):
Por lo tanto:
Proposición 3.47 Dados p; q 2 Z+, en el sistema de capitalización simple
dos tasas i(p) y i(q), son �nancieramente equivalentes si cumplen la siguiente
relación de proporcionalidad:
pi(p) = qi(q): (3.10)
Ejemplo 3.48 ¿Cuál es la tasa mensual equivalente a una tasa trimestral del
7%?
Una tasa mensual es una i(12), mientras que una trimestral es una i(4) (recor-
dar que hay 4trimestres en un año). Usando la ecuación (3.10) de equivalencias
de tasas:
12i(12) = 4i4;
12i(12) = 4 � 0; 07
i(12) =
0; 28
12
i(12) = 0; 02333333 : : :
Esto nos dice que es lo mismo poner $ 1.000 durante 6 meses a una tasa trimestral
del 7%, que ponerlos a una tasa mensual del 2.33333...%.
1000 (1 + 2 � 0; 07) = 1:140 = 1:000 (1 + 6 � 0; 02333333 : : :) ;
O que es lo mismo poner $ 500 durante 8 meses con cualquiera de estas dos
tasas:
500
�
1 +
8
3
0; 07
�
= 593:33333 : : : = 500 (1 + 8 � 0; 02333333 : : :)
Nota 3.49 Como muestra el ejemplo anterior y como puede concluirse de la
propia dedución de fórmula (3.10), la equivalencia de tasas en capitalización
simple es independiente del intervalo de tiempo considerado: Si dos tasas pro-
ducen igual montante al cabo de t1 años, producirán igual montante al cabo de
t2 años.
Ejercicio 3.50 Dada una i(2) = 0; 03, hallar la i(k) equivalente para k 2 f1; 3; 4; 6; 12; 52; 360; 365g.
Ejercicio 3.51 Dada una tasa de interés anual del 25%. Hallar las tasas
subperíodicas equivalentes, i.e., hallar i(k) equivalente a la tasa dada para
k 2 f2; 3; 4; 6; 12; 52; 360; 365g. Expresar los resultados usando porcentajes.
44 HOOFDSTUK 3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Ejercicio 3.52 Demostrar que si i(365) y i(360) son equivalentes (a capital-
ización simple) entonces
i(365)
i(360)
=
72
73
Ejercicio 3.53 Dados p; q 2 Z+, y un número real c > 0. Si
i(p) = c = i(q);
para cualquier C0 > 0 (dinero) y cualquier t > 0 (tiempo en años) demostrar
que
C0
�
1 + tpi(p)
�
< C0
�
1 + tqi(q)
�
;
si y sólo si
p < q:
Es decir, dadas dos tasas de igual nominal, la que capitaliza con mayor frecuen-
cia produce mayor montante.
Un problema habitual es comparar entre diferentes inversiones, y decidir cual
tiene mayor rendimiento. Consideremos las siguientes inversiones:
1. Invertir $ 1.000 nos da una ganacia de $ 250 al cabo de un mes.
2. Invertir $ 1.000 nos da una ganacia de $ 250 al cabo de un año.
3. Invertir $ 5.000 nos da una ganacia de $ 250 al cabo de un mes.
4. Invertir $ 900 nos da una ganacia de $ 450 al cabo de 2 meses.
Es facil concluir que la inversión 1 rinde más que la inversión 2 y que la
inversión 3, pero es más di�cil decidir si rinde más o menos que la inversión
4. En general, lo mejor es comparar tasas de rendimiento de cada una de las
operaciones consideradas. La inversión 1 tiene una tasa mensual de rendimiento
t
(12)
1 = 0; 25
mientras que la tasa de rendimiento de la inversión 4 es bimestral
t
(6)
4 = 0; 5
Para decidir cual es mejor, hayamos la mensual equivalente a t(6)2
6t
(6)
4 = 12t
(12)
4
6 � 0; 5 = 12t(12)4
luego
t
(12)
4 = 0; 25
Como ambas operaciones tienen el mismo rendimiento mensual (medido por sus
respectivas tasas mensuales de rendimiento)
t
(12)
1 = 0:25 = t
(12)
4 ;
Decimos que ambas inversiones rinden lo mismo.
3.5. EQUIVALENCIA FINANCIERA DE DOS SERIES DE CAPITALES 45
Ejercicio 3.54 Cuál inversión es mejor
Opción 1 Opción 2
1)
$ 1.100 producen una ganacia
de $ 250 un mes.
$ 850 producen una ganacia
de $ 460 en dos meses.
2)
$ 1.200 producen una ganacia
de $ 450 un año.
$ 6.500 producen una ganania
de $ 500 en 20 semanas
Ejercicio 3.55 ¿Qué oferta es más conveniente para una persona que desea
comprar una casa: $ 40.000 iniciales y $ 60.000 al cumplirse los 6 meses o $
60.000 iniciales y $ 40.000 al cumplirse el año? La tasa a usar es del 6% anual.
3.5 Equivalencia �nanciera de dos series de cap-
itales
Una vez que sabemos calcular el equivalente �nanciero de un capital para
distintos momentos, podemos veri�car cuando dos series de capitales son �-
nancieramente equivalentes, este último es el segundo concepto fundamental de
las matemáticas �nancieras.
De�nición 3.56 Una serie de capitales A1; A2; : : : ; An disponibles en los mo-
mentos ta1 ; t
a
2 ; : : : ; t
a
n, es equivalente a la serie de capitales B1; B2; : : : ; Bm disponibles
en los momentos tb1; t
b
2; : : : ; t
b
m, a una fecha focal f , para un agente dado (tasa),
bajo una ley �nanciera dada (sistema), si
nX
j=1
Aj al momento f =
mX
j=1
Bj al momento f: (3.11)
A1 A2 A3 Anf
B1 B2 B3 Bm
Pm
j=1Bj al momento f
Pn
j=1Aj al momento f
El equivalente �nanciero de un capital dado, a la fecha focal f y a una tasa
p-períodica i(p) en el sistema de capitalización simple es
Aj al momento f = Aj
�
1 + jf � tj j i(p)
�sgn(f�tj)
Nota 3.57 De�nimos la función signo como:
sgn (x) :=
8
<
:
1 si x > 0
0 si x = 0
�1 si x < 0
46 HOOFDSTUK 3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
De donde, si f > tj (capitalización)
Aj al momento f = Aj
�
1 + (f � tj) i(p)
�
si f = tj
Aj al momento f = Aj
y si f < tj (actualización)
Aj al momento f =
Aj
1 + (tj � f) i(p)
En todas las fórmulas anteriores f y tj estan expresados en p-períodos, para que
sean compatibles con la tasa usada.
En particular para el sistema de capitalización simple tenemos que la de�ni-
ción de equivalencia de capitales toma la forma
De�nición 3.58 Una serie de capitales A1; A2; : : : ; An disponibles en los mo-
mentos ta1 ; t
a
2 ; : : : ; t
a
n, es equivalente a la serie de capitales B1; B2; : : : ; Bm disponibles
en los momentos tb1; t
b
2; : : : ; t
b
m, a una fecha focal f , para una tasa p-períodica
i(p), en el sistema de capitalización simple si
nX
j=1
Aj
�
1 +
��f � taj
�� i(p)
�sgn(f�taj )
=
mX
h=1
Bh
�
1 +
��f � tbh
�� i(p)
�sgn(f�tbh)
:
(3.12)
Nota 3.59 Es claro que despejar f de la ecuación (3.13) es casi siempre im-
posible, y son necesarios métodos numéricos para hallar f , en particular suele
ser útil usar soft mátematico como Matlab, Maple V, Mathematica, o Derive,
en cualquiera de sus versiones. (los valores de f1 y f2 se obtubieron con Maple
V Release 4, version 4.00c (1996), student edition).
El problema típico (el cual no implica el uso de computadoras) es: dada una
serie de capitales, hallar una segunda serie �nancieramente equivalente. En el
sistema de capitalización simple, lo matemáticamente correcto es llevar todos los
capitales al origen de la serie conocida, porque no se deben usar los intereses en
los cálculos, lo cual no siempre es posible, ya que muchas veces desconoceremos
la fecha de origén de la operación.
Ejemplo 3.60 Debemos realizar 3 pagos, el primero de $ 400 dentro de tres
meses, el segundo de $ 300 dentro de 6 meses y último de $ 500 a los 9 meses.
Por razones de �ujo de caja (disponibilidad de efectivo) queremos sustituir estos
3 pagos por 2: uno de $ 500 dentro de 5 meses y otro de monto a determinar
a los 10 meses. Se conviene una tasa de 2.5% mensual. Calcular el monto del
último pago usando la siguientes fechas focales: el origen, a los 6 meses, a los
10 meses.
Debemos igualar los valores de ambas operaciones a la fecha focal dada:
valor de la
operación original
a la fecha focal f
=
valor de la
operación nueva
a la fecha focal f
Fecha focal el origen: f = 0
3.5. EQUIVALENCIA FINANCIERA DE DOS SERIES DE CAPITALES 47
meses0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
$ 400 $ 300 $ 500
$ 500 C
fecha focal
Serie (operación) original
Serie (operación) nueva
Nota 3.61 Convendremos en dibujar las series originales debajo del eje tem-
poral, y pondremos las series nuevas sobre el mencionado eje.
Tenemos que actualizar todos los capitales al momento cero:
400
1 + 3 � 0:025 +
300
1 + 6 � 0:025 +
500
1 + 9 � 0:025 =
500
1 + 5 � 0:025 +
C
1 + 10 � 0:025
1041:125854 = 444:4444445 +
C
1:25
;
de donde concluimos que
C = 745:8517624:
Fecha focal a los seis meses: f = 6
meses0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
$ 400 $ 300 $ 500
$ 500 C
fecha focal
Ahora debemos llevar todos los capitales a los seis meses, por lo que algunos
serán capitalizados (los que están disponibles antes de los 6 meses), otros serán
actualizados (los disponibles en fechas posteriores), y los disponibles a los 6
meses no cambian
400 (1 + 3 � 0:025)| {z }
Capitalización
+ 300|{z}
Sin cambios
+
500
1 + 3 � 0:025| {z }
Actualización
= 500 (1 + 0:025) +
C
1 + 4 � 0:025
1195:116279 = 512:500 +
C
1:1
;
de donde
C = 750:877907
48 HOOFDSTUK