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2012-1 1 GUÍA DE EJERCICIOS MATEMÁTICA IV Prof. Alain Núñez TEMA 3: Ecuaciones lineales de orden superior REDUCCIÓN DE ORDEN [1] Halle la solución “general”. Si es posible determine soluciones singulares. a) 12 0xy y y R/ 2 329 4 1y x b) 22 1yy y R/ 22 4 1x y c) 22 0yy y d) 3xy y y R/ 22x y e) 2xy y x y f) yy ye g) 0y y h) xy y xsenx i) 2y y y j) 21ay y , 0 , 0 0y a y (Catenaria, cable suspendido entre dos puntos fijos) k) 1xy y R/ 2y Cx K x EXISTENCIA Y UNICIDAD [2] Determine los mayores intervalos donde pueda asegurarse existencia y unicidad de soluciones del PVI. a) 2 2 0x y xy y b) 13 lnxy y xy x , 1 3, 1 5y y c) 1 x y senx , 0 1x d) 21 tanx y xy y x , 1 0, 1 2y y OPERADORES [3] Calcule. a) 2 32 2 x xD e xe b) 21 2 cos2D D senx x x d) 1 2 1/xD xD x e) 2 2 23 2 4 1 sen /x D xD x x x f) 2 , , , , kxaD bD c e abc k ctes g) 2 2 2 , kx D xD x k cte [4] Hallar a, b, c constantes tal que 4 3 5 2a c b y 2 2 22 4 0x D xD ax bx c . 2012-1 2 [5] Hallar 1 2L L . a) 1 3 2L xD , 2L xD b) 1 3 2L xD , 2 2L xD c) 21 xL e D D , 22 xL e D D d) 2 21 10 2L x D , 2 2 2 3L x D [6] ¿Porqué 2: 1 ln 1L x x D x D x es de orden 2 en (-1,1) pero de orden 1 en (-1,0)? [7] Compruebe que 2 2 1xD xD no puede aplicarse usando distributiva. [8] Escriba en la forma estándar 22 1 0( ) ( ) ( )a x D a x D a x I a) 21xD b) 3 1 1xD D c) 1 3 1D xD d) 2 2x D x D x e) 22D x x D x f) xD D x [9] Expresar como producto de dos operadores de orden menor. a) 22 5 2D D b) 24 4 1D D c) 2 3 2D D [10] Compruebe que 1 2 2 1LL LL . a) 1 21, L tD L D t b) 1 21, L tD L D t [11] Demostrar que son lineales los operadores del ejercicio anterior. [12] Demuestre que L es lineal en C ssi 1 1 2 2 1 1 2 2L f f L f L f 1 2 1 2, , ,f f C . [13] Compruebe que 1 2 2 1LL LL , donde 2 1 1 1 1L aD bD c y 2 2 2 2 2L a D bD c . LINEALES HOMOGÉNEAS [14] Dada 065 yyy a) Verifique que xexg 6)( es solución. b) Pruebe que xxx eeeS 61 , y xxx eeeS 62 3, son sistemas fundamentales de soluciones. c) Exprese g como combinación lineal de las funciones de 1S . Haga lo mismo con 2S . [15] ¿Pueden ser las siguientes funciones los Wronskianos en (-1,1) de alguna EDOLH? a) xexf 23)( b) 2)( xxg c) 11)( xxh d) 0)( xm [16] Demuestre que si 1y y 2y son soluciones l.i. de una misma EDOLH en (a,b), entonces a) No existe bax ,0 tal que 1y y 2y se anulen en 0x . b) No existe punto extremo de 1y ni de 2y en (a,b). 2012-1 3 LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES [17] Determinar las soluciones particulares linealmente independientes (l.i.) asociadas a las raíces del polinomio característico dado. a) 322 1029 b) 32 22 c) 22 22 d) 22 4 [18] Resolver 0Ly con las condiciones iniciales indicadas, donde L es el operador dado. a) 3 23 2D D D , 2)0( y , 3)0( y , 1)0( y R/ 2( ) 2 x xy x e e b) 3 22 3D D , 0)0( y , 9)0( y , 1)0( y c) 3 23D D , 0)0( y , 2)0( y , 9)0( y R/ 3( ) 1 xy x x e d) 3 24 4D D D , (0) 3y , 3)0( y , 0)0( y R/ 29 32 2( ) 6 x xy x e xe e) 3 2 4 4D D D , 0)0( y , (0) 5y , 0)0( y R/ 52( ) 2y x sen x f) 32D , 1)0( y , (0) 2y (0) 5y LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES VARIABLES [19] Hallar la solución general de 0L y x para x<0 y para x>0, donde L es el operador dado. a) 2 24x D I R/ 1 2( ) lny x C C x x b) 2 1 2D x D x I c) 2 2 6x D I d) 2 2 9 16x D xD R/ 41 2( ) lny x C C x x e) 2 110 8xD D x f) 2 2100 100 1x D xD R/ 10 101 2( ) ln coslny x Csen x C x g) 2 23 8 2x D xD h) 2 22 7 3x D xD i) 2 24 4 1x D xD [20] Hallar una solución de 0Ly , donde L es el operador dado, linealmente independiente con py , usando la fórmula de Abel. a) 2 2 2 6x D xD , 2xyp b) 2 21 2 2x D xD , xyp c) 2 1xD D x , xp ey d) 21 1x x D xD , xyp R/ ln 1y x x e) 22 2 cos2 2 2 cos2 cotsen x D x D sen x x x , senxyp f) 2 1xD D x , xpy e R/ 12 xy x e 2012-1 4 [21] Como el ejercicio anterior pero empleando el método de reducción de orden. [22] Hallar la solución general de 0Ly , o del PVI, donde L es el operador dado. a) 21x x D D b) 2 2cot 0D x D c) 2 1 1 0xD x D , 11 y , 01 y , xp ey R/ 1 1xy e x LINEALES NO HOMOGÉNEAS [23] Hallar )0(f , )0(f y )0(IVf , si [ ] 1L f x x , (0) 1f , (0) 1f y f es suficientemente derivable, donde 2 2 xL D x D e . [24] Determine un SFS de 0Ly y use el método de los coeficientes indeterminados para indicar la forma de una solución particular de Ly b , donde L y b son, respectivamente: a) 32 2 2D D , 2 2 2 cosx x x senx R/ 22 2, cos , , cos , , cos , cosx x x x x x pe senx e x xe senx xe x x e senx x e x y Ax Bx C D x Esenx b) 2 2 35 2 8 4 16D D D D , 4 22 3 2 2 3te t sen t sen t R/ 2 4 32 4 4 21, , , , , 2 ,cos2 , , cos2 2 cos3 3tt tt t e te sen t t y At e Bt Ct D t F t Esen t t G t Hsen tp c) 42 23 1D D D , 3 3 23 cos3 5y yseny y e e y R/ d) 2 21D D D i D i , 2 3 2 5z zz e e senz R/ e) 2 32 2 4D D D , 43cos2 3t tt e e R/ 3 4 2 22 4 2 31, , , , , , , , ,cos , , cos , cost tt t t t t pt t e e te t e t e sent t tsent t t y At Bt e Ce Dsent E t t f) 4 23 214 2 4 1D D D , 2ln2 t te e sent R/ g) 23 23 2 1D D , 2 2 2 22 22 1 3cos t t e t tsen t t R/ [25] Hallar la solución general usando el método de los coeficientes indeterminados. a) senxexxyy x 2543 2 R/ 2 1 11 2 2 25 2 cosx xy C Ce x x x xe senx x b) xxsenxyy 6cos42 c) 27xyyIV 2012-1 5 [26] Resolver. a) 2 22 1 2 2 8 4xD D y x e x x , 1)0( y , 1)0( y b) 3 2 22 2 4 5 20costD D D y t t e t , 1)0( y , 3)0( y , 4)0( y R/ 2 1 2 3 2 cos 4 sen 3ty c t c t t c t e c) 3 2 36 9 216 54tD D D u t e t , (0) 13u , (0) 3u , (0) 3u R/ 3 3 316 17 3 3 12 2 3 4t t ty e te e t t [27] Usando el método de Lagrange, halle la solución general de Ly b , donde L y b son respectivamente a) 2 2 9x D xD , 1 x x R/ 17 1 12 2 23 3 1 1 12 11 2 3 11 35 5y kx k x x x x b) 2xD D , 23 xx xe R/ 2 2 5 711 2 2 2 23 xy k k x x x e c) 2 2 4 6x D xD , 442/x R/ 2 3 41 2y kx k x x d) 2 4D , sec2x e) 2 2D D , 6 xxe R/ 2 2 2 21 2 3 9x x xy ke ke x x e f) 2 2 2D D , cscxe x g) 2 2 1D D , 32 /xe x h) 2D D , 5 6 xxe i) 3 27 6D D , 226 cosxe x j) 2 1 1xD x D , 22 xx e [28] Hallar la solución general o del PVI. Donde sea posible use los dos métodos. a) 2 1 cotD y x b) 2 21 senD y x c) 2 1 cosD y x x R/ 11 2 4cos cosy csenx c x x xsenx x d) 2 24 4 xD D y xe R/ 52 241 2 15 xy c c x x e e) 3 tanD D y x R/ 1 2 3ln cos cos cos ln sec tan seny c x c x x c x x x f) 2 21 2 2 4 12 3 1x D x D y x g) 2 23 2 3 xD D y x e R/ 2 211 2 2 32 3 1x x xy ce ce ex x h) 3 2 1xD D y e x R/ 211 2 3 2cos 2xy c c senx c x e x x i) 3 3 2 2 13 6 6x D x D xD y x R/ 21 2 3 124xy c cx cx x j) 2 2 26 4x D y x , (1) 1y , (1) 7y R/ 3 2 2y x x x
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