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11-E 1 GUÍA DE EJERCICIOS MATEMATICA IV Prof. Alain Núñez TEMAS 5 Y 6: Transformada de Laplace y sus aplicaciones [1] Hallar, sin usar propiedades de la integral, 0 ( )I f t dt +¥ = ò si ()( ) ( ) ( )[ ]6 2 3 124( ) 5 9 8 2 2 2cos 2t tf t e u t t sen t t e pp p p p- - - += - - + - + . R/ 25 1626 25e [2] Una masa unitaria que cuelga de un resorte en reposo, comienza a moverse desde el equilibrio debido a una fuerza externa de 8 unidades, la cual se cambia a los dos segundos por otra de 6 unidades. Si las constantes elásticas y de amortiguación son 9 y 6 respectivamente, halle la posición al cabo de un segundo y la velocidad a los 3 segundos. R/ 381 1 49y e , 3 63 2 12 1v e e [3] Una masa de 9 unidades se suspende de un resorte y este se estira 288 unidades. Estando en reposo en esa posición comienza a moverse forzado por una excitación de 5226 te- unidades y sin resistencia del medio. Si a los 0,5 segundos el movimiento se hace libre, determine la posición a los 0,25 segundos y el sentido del movimiento a los 0,8 segundos (g = 32). [4] Halle L[f(t)] si , 3 ( ) 1, 3 6 0, 6 t t f t t t ìï <ïïïï= < <íïïï >ïïî [5] A un resorte de módulo 2 se le coloca una masa unitaria y comienza a moverse desde la posición de equilibrio a 10 m/s, en un medio cuya constante de amortiguación es 2. A los 2π segundos el movimiento se perturba por una fuerza muy grande que le imprime un impulso de 4 unidades. Hallar la posición en π/2 y la velocidad en 3π. R/ /22 10y e , 33 2 2 5v e e [6] Usando saltos e impulsos unitarios escriba la función que representa la señal (voltaje) de entrada de un circuito cuyo gráfico se muestra. E 4 3 7 2 4 5 6 t -3 11-E 2 [7] Sabiendo que 3 sL h t halle 2 03 3tL e t h t . 1 3/3 3 s R [8] Halle L f t si f es T-periódica con T<15 y parte de su gráfico es como el de la figura. 4 3 6 9 12 15 t -3 [9] Un circuito L-C con 2141 y L C , se conecta a una fuente que suministra un voltaje de magnitud 4t, la cual se sustituye a los 4s por un generador de 16v. Si en el momento de cerrar el circuito no hay corriente ni carga, halle la carga a los 5s. [10] Calcule 4 2 53 0 t sen u sen u uL du R/ 32 5 54arctan arctan 3 s s s [11] Exprese en términos de pasos unitarios la función cuyo gráfico se muestra. 3 R/ 2 4 251 43 s ss s e e ½ 2 4 t [12] Hallar L h t si 1, 0,3 ( ) , 3 t h t t t [13] Calcular 8L tf t si 3L f t s R/ 23 212 s [14] Calcular 1 8 3 24 8 L s s s R/ 21 cos2 sen2te t t 11-E 3 [15] Un circuito L-C en serie con L = 1 y C = 1/8, se encuentra inactivo 0 0, (0) 0q I en el momento en que ocurre una descarga eléctrica que produce un impulso eléctrico de 6 unidades. A los dos segundos ocurre otra descarga pero con un impulso de 4 unidades. Halle la función carga antes y después de la segunda descarga. R/ 32 sen 8 sen 8 222 t u t t [16] Resolver la siguiente ecuación integro-diferencial si (0) 0y 0 1 t y sent y u du 2/ 1 sentR t [17] A un resorte en reposo en la posición de equilibrio, se le aplica una fuerza constante de dos unidades y comienza a moverse, oponiéndose a una resistencia del medio cuyo coeficiente es 4. A los dos segundos la fuerza se duplica y a los tres segundos se golpea fuertemente la masa de 4 unidades que cuelga del resorte, provocando un impulso de 2 unidades. Halle la posición a las 2.5s si el módulo del resorte es 1. R/ 5 1 1 4 4 24 9 5e e [18] Hallar 3 5tL te sen t [19] Calcular 1 2ln 1sL s R/ 2t te e t [20] Un circuito R-LC con 1160, 1 y R L C , se cierra al conectársele una fuente de 4te voltios, la cual cesa a los dos segundos. Si no hay corriente ni carga iniciales, halle q(t) para 0 2 y 2t parat . R/ 41 cos4 sen4 , 0 2 32 8 81 cos4 sen4 cos 4 8 sen 4 8 , 2 32 te t t t q t t t e t e t t [21] Exprese en términos de funciones de Dirac y de Heaviside la función cuyo gráfico se muestra. y 5 6 2 1 2 3 4 7 t [22] Resolver usando TL 13 2 1 1 1 0 ty y y e y y 11-E 4 [23] Un circuito con un resistor de un ohmio, un condensador de medio faradio y una batería de ciento diez voltios se cierra en el momento en que no hay carga. Un segundo después ocurre una descarga eléctrica que produce un voltaje muy grande y un impulso eléctricode k unidades. ¿Para qué valor de k la corriente, medio segundo después de ocurrida la descarga, es la mitad de la corriente inicial? [24] Empleando la función de Heaviside halle f t L si el gráfico de f(t) es como se muestra: f 2cos t 2sen t R/ 2 1 1 2 2 4 sses s π t [25] Sabiendo que 16ln sg t -1=L y 1 2 f t s L , halle, sin usar propiedades de la integral, 0 3 · · · tf t g t dt R/ 12 [26] Empleando la función de Heaviside, halle f t L si el gráfico de f(t) es como se muestra: y 4 2 y t R/ 2 2 2 1 1 2se s ss 2 t [27] Un sistema masa-resorte no amortiguado que cuelga, cuya frecuencia angular natural es 3 , comienza a moverse desde la posición de equilibrio debido a una fuerza de unidades hacia abajo que se mantiene constante en el tiempo; dos segundos después se golpea hacia arriba la masa, de manera instantánea y contundente, produciéndose un impulso de 4 unidades. Determine el sentido del movimiento a los 3 segundos de iniciado el movimiento. R/ Hacia arriba. [28] Un condensador de un quinto de Faradio, una bobina de un Henrio y una batería de ciento diez voltios se conectan en serie. A los dos segundos de cerrado el circuito ocurre una descarga eléctrica que produce un voltaje muy grande y un impulso eléctrico de tres unidades. Dos segundos después de la descarga la batería se sustituye por otra de doscientos veinte voltios. Halle la carga a los tres segundos de cerrado el circuito si inicialmente no habían carga ni corriente.
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