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Paginaeducativa.com 01. Calcular el lado y la apotema de un cuadrado, si el radio de la circunferencia circunscrita mide 3 2 . a) 3 2 3 y 2 b) 4 y 2 2 c) 9 y 3 2 d) 6 y 3 e) 8 y 4 Resolución 4L ?= , donde: 4L R 2= 4a ?= , donde: 4a R 2 2 = Reemplazando el circunradio R 3 2= 4L 3 2 2= 4a 3 2 = 2 2 4L 6= 4a = 3 6 y 3 Rpta. 02. En un cuadrilátero inscriptible ABCD, los ángulos BDA y ACD miden 17º y 19º respectivamente. Si la longitud de la diagonal BD es 10 2 5+ . Hallar la longitud del radio de la circunferencia circunscrita al cuadrilatero. a) 3 1+ b) 2 1+ c) 5 1+ d) 2 1− e) 5 1− Resolución: Por dato: BD 10 2 5= − …. ( I ) En la figura, BD = 5l Entonces: R BD 10 2 5 2 = − … ( II ) De ( I ) y ( II ): R 10 2 5 10 2 5 2 − = + De donde: R = 5 1 + Rpta. 03. Determinar el apotema de un dodecágono regular si su circunradio mide 2 2 3− . a) 1.5 b) 2 c) 2.5 d) 1 e) 0.5 Solución Conocemos que: 12a R 2 3 ? 2 = + = ; R 2 2 3= − Reemplazando: 12a 2 = 2 3 2 − 2 3+ 12a = 1 Rpta. 3 2 3 2 45º 3 ap= 3 3 A B R O R 17º 36º 36º 1 7 º 1 9 º 72º D P C https://paginaeducativa.com/ Paginaeducativa.com 04. La longitud del lado de un dodecágono regular ABCDEF…… es 6 3 3− . Hallar: AE. a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 e) 8 Resolución: En el AOE: x R 3= Pero por dato: 12l 6 3 3= − Además: 12l R 2 3= − R 2 3 3 2 3− = − De donde: R 3= Reemplazando: x 3 3.= x = 3 Rpta. 05. Hallar el lado de un pentágono regular si su circunradio mide 10 2 5+ . a) 4 5 b) 2 5 c) 5 d) 3 5 e) 8 5 Resolución 5L ?= R 10 2 5= + 5 R L 10 2 5 2 = − 5 10 2 5 10 2 5 L 2 + − = 5L = 2 5 Rpta. 06. Si un cuadrado y un hexágono regular se inscriben en una circunferencia, la razón de sus apotemas es: a) 2 3 b) 6 3 c) 6 2 d) 2 3 e) 1 Resolución 4 6 a a ?= 4 6 R a 2 a = 2 R 2 2 2 3 3 3 3 = = = 4 6 a a = 6 3 Rpta. 07. Calcular el perímetro de un cuadrado inscrito en la misma circunferencia que un octógono regular cuya apotema mide 2 2 2+ . a) 4 b) 16 c) 4 2 d)16 2 e) 4 2 Resolución 4Perim ?= 8a 2 2 2= + R 2 2 2 + 2 2 2= + R 4= 4 4P 4L= ( ) ( )4 4 4 2R 2= = 4P = 16 2 Rpta. 08. Cuál es el perímetro de un hexágono regular circunscrito a una circunferencia cuyo radio mide 3m . a) 9 3 b) 6 c) 3 d) 12 e) 9 3 Resolución * Se observa que el radio viene a ser la apotema del hexágono circunscrito a la circunferencia * En el triángulo notable sombreado OH 3 OB=2= * El ABO es equilátero OB OA AB 2= = = * Piden el perímetro: ( )Peri 2 6= = 12 Rpta. A B C D E F GR R O x 120º 3 0 º 3 0 º 3 1 2 1 22 22 2 A B C DE F O H https://paginaeducativa.com/ Paginaeducativa.com 09. La diagonal de un pentágono regular mide ( )5 1 m+ . Hallar su perímetro. a) 12 m b) 11 m c) 10 m d) 15 m e) 18 m Resolución Por dato: AC 5 1= + En la figura el cuadrilátero EPCD es un rombo: EP PC CD ED x= = = = En el EAP isósceles; como m AEP 36º= Entonces se tiene que: AP = 10l ( )x 5 1 2 = − Luego: ( )x AC 5 1 5 1 x 2 = + = − + De donde: x 2= En consecuencia el perímetro del pentágono regular es: 2p 5x= = 10 m Rpta. 10. El ángulo formado por los lados iguales de un triángulo isósceles es de 36º, si el lado desigual mide 10 m, determinar uno de los lados iguales ( 5 2,23= ). a) 15 b) FD c) 8,96 d) 16,26 e) 18,44 Resolución Se observa que el triángulo isósceles es el triángulo elemental del decágono regular. ( )10 R L 5 1 2 = − ; 5 2.23= ( )R 10 5 1 2 = − R x= = 16.26 Rpta. 11. Hallar PQ , si el lado del cuadrado ABCD es 4, siendo A, B y D centro de los cuadrantes. a) 2 3− b) 2 2 3− c) 2 2 3+ d) 2 3+ e) 4 2 3− Resolución * El triángulo isósceles PAQ es el triángulo elemental de un dodecágono. * Luego “x” es una de los lados del dodecágono regular: x R 2 3= − ; R 4= x = 4 2 3 − Rpta. 12. La figura muestra a una semicircunferencia de diámetro AD y radio “R”. Si AB R 2= , BC R= , hallar . a) 15º b) 30º c) 37º d) 45º e) 18º Resolución Las cuerdas AB y BC son uno de los lados de un cuadrado y de un hexágono inscritos en dicha circunferencia, por ende determinan arcos de 90º y 60º , de donde: AB 90º= , BC 60º= y CD 60º= En el gráfico se observa que " " es un ángulo exterior 90º 30º 2 − = = 30º Rpta. 13. En la figura: AC R 3= ; BD R 2= ; ( )R BC 5 1 . 2 = − Hallar la medida del menor ángulo formado por las cuerdas AC y BD. a) 69º b) 71º c) 83º d) 87º e) 76º A B C DE x x xx x 72º 36º 72º72º ( )− x 5 1 2 x xP A B C D P Q 4 4 P x Q 80º 30º 30º 2 2 4 A B C D A C D E O R B A C D E O B 90º 30º R 2 R R 36º x 10 x A B C D R https://paginaeducativa.com/ Paginaeducativa.com Resolución AC R 3 AC 120º= → = BD R 2 BD 90º= → = ( )R BC 5 1 BC 36º 2 = − → = “x” es un ángulo interior: AB DC 84º 54º x 2 2 + + = = x = 69º Rpta. 14. Dado un octógono regular ABCDEFGH inscrito en una circunferencia, sobre el arco BC se considera un punto cualquiera “P”. Si: PC 1 m= y PE 4 2 m= . Hallar la longitud del radio de la circunferencia. a) 3 3 4 b) 5 2 2 c) 3 5 7 d) 7 2 3 e) 1 7 5 Resolución: En la figura: CE EG= = 4l R 2= En el triángulo rectángulo GPC, por el teorema de Pitágoras: 2 24R 1 PG= + ; 2 PG 4R 1= − Por el teorema de Ptolomeo en el cuadrilátero PCEG, se tiene que: 2 2R 4 2 R 2 4R 1 1 R 2 . . .= − + 2 2 8 4R 1 1 49=4R 1= − + → − 2 25 4R 50 R 2 = = R = 5 2 2 Rpta. 15. Desde un punto P exterior a una circunferencia, se trazan dos secantes PBC y PDE. Cuánto mide el ángulo P si las cuerdas BD y CE miden R 2 y R 3 respectivamente. (El radio de la circunferencia es R). a) 45º b) 30º c) 18º d) 15º e) 12º Resolución: CE R 3 CE 120º= → = BD R 2 BD 90º= → = Por ángulo exterior, se tiene que: 120º 90 30º x 2 2 − = = = 15º Rpta. 16. Se tiene un pentágono regular ABCDE inscrito en una circunferencia. Si AB 10 2 5= − . Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de los arcos AB y DE. a) 10 2 5+ b) 10 2 5− c) 5 2 5+ d) 3 2 5+ e) 2 10 2 5+ Resolución En el triángulo sombreado: Como: 10 2 5 MP PN 2 + = = Luego: MN MP PN= + = 10 2 5 + Rpta. A B C D E F G H R 2 R 2 P 1 R O − 2 4 R 1 4 2 B C D R x A 36º 54º 84º P E D B C x 90º R 120º E A B C D M N Q 2 10 2 5− 2 36º 36º 36º O P M P O 2 72º 18º 5 1 2 − 10 2 5 2 + https://paginaeducativa.com/ Paginaeducativa.com 60º B A D C R 2 R 90º 75º105º 17. En un heptágono regular ABCDEFG. Si: 1 1 1 AC AD 9 + = . Hallar su perímetro a) 24 b) 63 c) 56 d) 72 e) 48 Resolución: Dato: 1 1 1 a b 9 + = …. ( I ) En la figura: AC CE a= = ; AD AE b= = Por el teorema de Ptolomeo en el cuadrilátero ACDE: ab ax bx= + 1 a b 1 1 1 x ab ab x a b = + → = + ..… ( II ) De ( I ) y ( II ) se tiene que: 1 1 x=9 x 9 = → Luego su perímetro será: 2p 7x= 2p = 63 Rpta. 18. En un triángulo ABC, obtuso en A, se sabe que m( C) 18= , AB 2m.= y ( )BC 5 1cm.= + ¿Cuál es la medida del ángulo B? a) 24º b) 12º c) 36º d) 15º e) 18º Resolución Formado el triángulo isósceles BDC y comprobando de que sea el triángulo elemental de un decágono regular. ( )10 R L 5 1 2 = − ( ) ( ) 10 5 1 5 1 L 2 2 + − = = Por ángulo exterior en el triángulo sombreado x 18º 30º+ = x = 12º Rpta. 19. En una circunferencia se tienen las cuerdas AB R 2= y CD R= ; donde R es el radio de la circunferencia. Hallar el mayor ángulo determinado por las cuerdas BC y AD si las cuerdas AB y CD no se cortan. a) 105º b) 100º c) 120º d) 115º e) 130º Resolución: AB y CD son los lados de un cuadrado y de un hexágono regular, entonces: AB 90º= CD 60º= Por ángulo interior 2 º90º60 DÊC + = º75DÊC = Mayor ángulo: 180º 75º− = 105º Rpta. 20. En qué relación se encuentran los radios de la circunferencia circunscrita e inscrita a un mismo exágono regular. a) 2 3 3 b) 2 2 3 c) 4 3 d) 1 2 e) 1 3 Resolución: En el triángulo rectángulo notable BMO Si: OB R = R 3 OM r 2 = = 3 3 . 3 2 r R = (Racionalizando) = r R 3 32 Rpta. A B C D EF G x x x x x x x a b b A B D C 1 1 x 60º 30º 18º 18º 5 1+ D CB A EF º 3 0 M r O º 3 0 2 R R https://paginaeducativa.com/
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