Lógica Proposicional

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Lógica 
proposicional 
 
 
 
 
 
 
 
Índice 
 
 
I. Introducción 
 
II. Características 
 
 
III. Propiedades 
 
 IV .Ejercicios resueltos 
 
 V.Conclusiones 
 
 VI. Bibliografía 
 
 
 
 
 
I. Introducción 
 
 
 
La lógica proposicional es una rama de la lógica 
matemática que se ocupa del estudio de las relaciones 
lógicas entre enunciados o proposiciones. 
 
 Esta rama de la lógica forma parte de los 
fundamentos de la razón y el razonamiento humano, y 
es un área ampliamente utilizada en diversos campos 
del conocimiento, como las matemáticas, la filosofía y 
la informática. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II. Características 
 
 
 
La lógica proposicional se caracteriza por su estudio 
de las conectivas lógicas, que son operaciones que se 
realizan sobre proposiciones y que dan como resultado 
otras proposiciones. Algunas de las conectivas lógicas 
más importantes son: 
 
 
 
• Conjunción: Se representa por la palabra “y” o por 
el símbolo “∧”, y se cumple cuando ambas 
proposiciones son verdaderas. 
 
• Disyunción: Se representa por la palabra “o” 
(inclusiva) o por el símbolo “∨”, y se cumple 
cuando al menos una de las proposiciones es 
verdadera. 
 
 
• Negación: Se representa por la palabra “no” o por 
el símbolo “¬”, y se cumple cuando la proposición 
original es falsa. 
 
• Implicación: Se representa por la palabra “si” o por 
el símbolo “⊃”, y se cumple cuando la proposición 
antecedente es falsa o la consecuente es 
verdadera. 
 
 
• Equivalencia: Se representa por la palabra “si y 
solo si” o por el símbolo “≡”, y se cumple cuando 
ambas proposiciones tienen el mismo valor de 
verdad. 
 
 
 
 
 
 
 
 
III. Propiedades 
 
 
 
La lógica proposicional presenta propiedades útiles 
para simplificar y analizar enunciados complejos. 
Algunas de estas propiedades son: 
 
 
 
• Principio de la doble negación: ¬(¬p) ≡ p 
 
• Principio de la contraposición: p ⊃ q ≡ ¬q ⊃ ¬p 
 
 
• Principio del silogismo hipotético: (p ⊃ q) ⊃ ((q ⊃ 
r) ⊃ (p ⊃ r)) 
 
• Principio de la eliminación de la disyunción: ((p ∨ 
q) ⊃ r) ≡ ((p ⊃ r) ⊃ (q ⊃ r)) 
 
 
• Principio de la exclusión del tercero excluido: ¬(p 
∨ ¬p) 
 
 
 
IV . Ejercicios Resueltos 
 
A continuación, se presentan algunos ejemplos de 
ejercicios resueltos utilizando las propiedades de la 
lógica proposicional: 
 
Ejercicio 1 
 
Demostrar que ¬(¬p ∧ q) ≡ (p ∨ ¬q) 
Solución 
 
 
 
 
1. Empezamos con ¬(¬p ∧ q) 
 
 
 
2. Utilizando la ley de Morgan, tenemos ¬¬p ∨ ¬q 
 
3. Aplicando el principio de la doble negación, 
obtenemos p ∨ ¬q 
 
Así, ¬(¬p ∧ q) ≡ (p ∨ ¬q) 
 
 
 
Ejercicio 2 
 
Demostrar que (p ∧ (p ⊃ q)) ⊃ q 
 
 
Solución 
 
 
 
1. Partimos de (p ∧ (p ⊃ q)) ⊃ q 
 
2. Usando la eliminación de la implicación, 
obtenemos ¬(p ∧ (p ⊃ q)) ∨ q 
 
 
3. Con la ley de distributividad, transformamos en 
(¬p ∨ ¬(p ⊃ q)) ∨ q 
 
4. Aplicando la definición de la implicación y la 
eliminación de la doble negación, tenemos (¬p ∨ 
(p ∧ ¬q)) ∨ q 
 
 
5. Utilizando la distributividad y la simplificación, 
llegamos a (¬p ∨ p) ∧ (¬p ∨ ¬q) ∨ q 
 
 
 
6. Aplicando la ley de la no contradicción y la 
simplificación, obtenemos ¬p ∨ ¬q ∨ q 
 
 
 
 
 
7. Por último, con la exclusión del tercero excluido y 
la simplificación, llegamos a verdad (⊤) 
 
 
Así, (p ∧ (p ⊃ q)) ⊃ q es una tautología válida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
V. Conclusiones 
 
 
 
La lógica proposicional es una herramienta poderosa 
para analizar la estructura lógica de los enunciados y 
para determinar la validez de argumentos y 
razonamientos. Su estudio ha sido fundamental en el 
desarrollo de diversas disciplinas, como la informática, 
la teoría de juegos, la filosofía y las matemáticas, entre 
otras. 
 
 
 
 
 
 
 
VI. Bibliografía 
 
 
 
• González, W. J. (2016). Lógica. Fundamentos 
para las Ciencias Formales. Instituto de Lógica y 
Teoría de la Ciencia, Universidad de La Habana. 
 
• Mendelson, E. (2010). Lógica. Madrid: Alianza 
Editorial. 
 
 
• Suppes, P. (1981). Lógica. Madrid: Alianza 
Editorial.