Operações e Funções em Cálculo

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4ta actividad de Calculo Diferencial
Cálculo (Instituto Politécnico Nacional)
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1 
 
OPERACIONES CON FUNCIONES. 
 
 
Como las funciones son expresiones algebraicas, son factibles de relacionarse entre sí 
por medio de las operaciones de suma, resta, producto y cociente; de las cuales al obtener la 
máxima simplificación se obtendrá una nueva función cuyo dominio y rango será diferente que 
el de las funciones originales. 
 Si 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) son funciones de x’s se cumplen las siguientes operaciones: 
 
a) )()( xgxf  
b) )()( xgxf  
c) )()( xgxf  
d) 
)(
)(
xg
xf
, con 𝑔(𝑥) ≠ 0 
 
 
FUNCION COMPUESTA. 
 
 La función compuesta entre 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥), es otra función que se denota como 𝑓 ∘ 𝑔, se 
lee “𝑓 compuesta con 𝑔” ó “𝑓 circulo 𝑔” y se define como: 
 
a) (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) 
 
b) (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) 
 
c) (𝑓 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑓(𝑓(𝑥)) 
 
d) (𝑔 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑔(𝑔(𝑥)) 
 
e) (𝑓 ∘ 𝑔 ∘ ℎ)(𝑥) = 𝑓(𝑔(ℎ(𝑥))) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Bloque X 
 
Realiza las siguientes operaciones con funciones: 
 
 
1) Si 𝑓(𝑥) = 1𝑎 & 𝑔(𝑥) = 1𝑏 obtener: 
 
 
a) 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) g) 𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥) j) 𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)1+𝑔(𝑥)𝑓(𝑥) 
b) 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) 
c) 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) h) 𝑓(𝑥).𝑓(𝑥)𝑔(𝑥).𝑔(𝑥) k) 1−𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)1−𝑔(𝑥)𝑓(𝑥) 
d) 
𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) 
e) 𝑓(𝑥). 𝑓(𝑥) 
f) 𝑔(𝑥). 𝑔(𝑥) i) 11−𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) 
 
2) dadas 
21)( xxf  y 12)(  xxg hallar: 
 
a) )()( xgxf  c) )()( xgxf  
 
b) )()( xgxf  d) 
)(
)(
xg
xf
 
 
 
3) si 
1
1
)(



x
x
xf y 
x
xg
1
)(  , encontrar: 
 
a) gf  ,b) gf  ,c) gf  ,d) 
g
f
 ,e) 
f
g
 
 
 
4) si 2)(  xxf y 2)( 2  xxg , obtener: 
 
 
a) gf  ,b) fg  ,c) ff  y d) gg  
 
 
5) si 1)(
3  xxf y 3 1)(  xxg , obtener: 
 
 
 gf  , fg  , ff  y gg  
 
 
 
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3 
 
 
6) si xxf )( y 1)( 2  xxg , hallar: 
 
a) ))1((gf c) ))4(( gf 
b) ))(( xfg d) ))0(( fg 
 
7) si 
x
xf
1
)(  y 1)(
2  xxg , hallar: a) 











2
1
gf b) ))(( xgf 
 
 
8) si 
2
16
)(



x
x
xf y 
2)( xxg  , obtener gf  y fg  
 
9) si 12)(  xxf ,   22  xxg y 13)(  xxh , hallar:  ))(( xhgf 
 
 
10) si xxf )( , 
12
4
)(



x
x
xg y 4)(
2  xxh , obtener: hgf  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Bloque XI. 
Trazar la gráfica de cada una de las siguientes expresiones, obtener su dominio y rango 
e indicarlo en notación de intervalo. 
 
1.- 0y  
2.- 𝑥 = 0 
3.- 𝑦 = −3 
4.- 𝑥 = 1 
5.- 𝑦 = 𝑥 
6.- 𝑦 = −𝑥 
7.- 𝑦 = 𝑥 + 1 
8.- 𝑦 = 1 − 𝑥 
9.- 𝑦 = 2𝑥 + 1 
10.- 
2
xy  
11.- 𝑦 = 𝑥2 + 4 
12.- 
2 4y x  
13.- 
2
xy  
14.- 
23 xy  
15.- 𝑦 = −3 − 𝑥2 
16.- 
2
y x 
17.- 𝑦 = +√𝑥 
18.- 𝑦 = −√𝑥 
19.- 
2
y x  
20.- 𝑦 = +√−𝑥 
21.- 𝑦 = −√−𝑥 
22.- 1y x  
23.- 1y x  
24.- 𝑦 = √3 − 𝑥 
25.- 𝑦 = √𝑥 − 3 
 
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26.- 𝑥2 + 𝑦2 = 16 
27.- 𝑦 = +√16 − 𝑥2 
28.- 𝑦 = −√16 − 𝑥2 
29.- 𝑥2 + 4𝑦2 = 16 
30.- 𝑥2 − 4𝑦2 = 16 
30.-𝑦 = √4 − 𝑥24 
31.- 4𝑥2 − 𝑦2 = 16 
32.- 𝑦 = −√4𝑥2 − 16 
33.- 
24 xy  
34.- 𝑦 = √𝑥2 − 4 
35.- 
x
y
1
 
36.- 𝑦 = 1𝑥+1 
37.- 𝑦 = 11−𝑥 
38.- 
14
4


x
y 
39.- 𝑦 = 𝑥𝑥+1 
40.- 𝑦 = 𝑥𝑥2−4 
41.- 𝑦 = 𝑥3𝑥2−4 
 
42.-
2
2



x
x
y 
43.-
2
1


x
y 
44.-
x
x
y



1
1
 
 
 
 
 
 
 
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Bloque XII. 
Trazar la gráfica de cada una de las siguientes funciones, obtener su dominio y rango. 
 
 
 
1. 𝑓(𝑥) = {−2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 32 𝑠𝑖 3 < 𝑥 
 
2. 𝑔(𝑥) = { 𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 33𝑥 − 7 𝑠𝑖 𝑥 > 3 
 
3. ℎ(𝑥) = { 𝑥2𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0𝑥 − 2 𝑠𝑖 𝑥 < 0 
 
 
4. 𝑓(𝑥) = {2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 > 0 
 
5. 𝑔(𝑥) = {52 − 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 21𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2 
 
6. 𝑔(𝑥) = { −4 𝑠𝑖 𝑥 < −2−1 𝑠𝑖 − 2 ≤ 𝑥 ≤ 23 𝑠𝑖 2 < 𝑥 
 
7. ℎ(𝑥) = { 1 − 𝑥2𝑠𝑖 𝑥 < 03𝑥 + 1 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 
 
 
8. 𝑓(𝑥) = { 𝑥 + 3 𝑠𝑖 𝑥 < −5√25 − 𝑥2 𝑠𝑖 − 5 ≤ 𝑥 ≤ 53 − 𝑥 𝑠𝑖 5 < 𝑥 
 
 
9. 𝑔(𝑥) = { 𝑥 + 2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −4√16 − 𝑥2 𝑠𝑖 − 4 < 𝑥 < 42 − 𝑥 𝑠𝑖 4 ≤ 𝑥 
 
 
10. ℎ(𝑥) = {𝑥2 − 4 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 3−2 𝑠𝑖 𝑥 = 4 
 
 
11. 𝑓(𝑥) = {2𝑥 + 3 𝑠𝑖 𝑥 < 0𝑥2 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 < 21 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2 
 
 
 
 
 
 
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