Sem07-Clase01

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CF2B2-B Óptica Clásica
Universidad Nacional de Ingeniería
TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA DE LA REFLEXIÓN Y TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA DE LA REFLEXIÓN Y 
REFRACCIÓNREFRACCIÓN
 
OEM en conductores
● En conductores, a diferencia de en el vacío y en dieléctricos, la densidad de carga 
libre ρf y la densidad de corriente Jf son diferentes de cero.
● En el caso de materiales conductores, no se puede controlar el flujo de carga y en 
general
● Según la ley de Ohm en un conductor, 
● Luego, las ecuaciones de Maxwell para un medio lineal:
… (58)
… (57)
 
OEM en conductores
● Luego, de la ecuación de continuidad para carga libre
● Junto con la ley de Ohm y la ley de Gauss (i), 
● para un medio homogéneo y lineal, de lo cual se obtiene que 
cualquier carga libre inicial ρf(0) se disipa en un tiempo característico τ ≡ ε/σ
● Esto refleja el hecho de que si se coloca alguna carga libre en un conductor, esta fluirá 
hacia los bordes.
… (59)
… (60)
 
OEM en conductores
● Luego, de la ecuación de continuidad para carga libre
● Junto con la ley de Ohm y la ley de Gauss (i), 
● para un medio homogéneo y lineal, de lo cual se obtiene que 
cualquier carga libre inicial ρf(0) se disipa en un tiempo característico τ ≡ ε/σ
● Esto refleja el hecho de que si se coloca alguna carga libre en un conductor, esta fluirá 
hacia los bordes.
… (59)
… (60)
 
OEM en conductores
● La constante de tiempo τ dá una medida de cuán “bueno” es un conductor
● Para un conductor “perfecto”, σ = ∞ y τ = 0.
● Para un “buen” conductor, τ es mucho menor que los otros tiempos relevantes del 
problema (en sistemas oscilatorios, eso significa τ 1/ω);≪
● Para un conductor “malo”, τ es mayor que los tiempos característicos del problema 
(τ 1/ω).≫
 
OEM en conductores
● Si se quiere analizar la situación en la que no haya cargas superficiales 
 se da el tiempo necesario para que estas cargas acumuladas desaparezcan. 
En esta situación:
● Se diferencia de las ecuaciones correspondientes para medios no conductores, sólo 
en el último término en (iv), que está ausente cuando σ=0.
● Aplicando el rotacional a las ecuaciones (iii) y (iv), se obtienen las ecuaciones de 
onda modificadas para 
… (61)
… (62)
 
OEM en conductores
● Estas ecuaciones aún admiten soluciones de ondas planas.
● Pero aquí el número de onda es complejo
● Sacando la raíz cuadrada 
● En donde 
● La parte imaginaria de da como resultado una atenuación de la onda (disminución de la 
amplitud con el incremento de z).
… (63)
… (65)
… (64)
… (66)
 
OEM en conductores
● La distancia que se necesita para reducir la amplitud a un factor de 1/e, es llamada 
profundidad de penetración, y es una medida de que tan profundo penetra la onda en 
el conductor.
● La parte real de determina la longitud de onda, la velocidad de propagación y el 
índice de refracción
… (68)
… (67)
 
OEM en conductores
● Las ondas planas atenuadas (66) satisfacen la ecuación de onda modificada (62) para 
cualquier y . Pero las ecuaciones de Maxwell (61) imponen restricciones 
adicionales, útiles para determinar las amplitudes relativas, fases y polarizaciones de 
 y . 
● Orientando los ejes de modo que esté polarizado a lo largo de la dirección x: 
 
 Nuevamente, los campos eléctrico y magnético son mutuamente perpendiculares.
● Como cualquier número complejo, se puede expresar en términos de su módulo y 
fase: 
 donde
… (69)
… (70)
 
OEM en conductores
● De acuerdo con las ecuaciones (69), las amplitudes complejas y 
 están relacionadas por
● Evidentemente, los campos eléctricos y magnéticos ya no están en fase; De hecho,
● Las amplitudes (reales) de y están relacionadas por 
… (71)
… (72)
 
OEM en conductores
● Los campos (reales) eléctricos y magnéticos son
 
Estos campos se muestran en la Fig. 
… (73)
 
OEM en conductores
● Reflexión en una superficie conductora. 
● Las condiciones de frontera usadas anteriormente no pueden ser usadas para analizar 
el paso de una OEM entre dos materiales donde hay cargas libres y corrientes, en ese 
caso se deben usar condiciones de frontera más generales.
donde es la carga superficial libre, es la corriente superficial libre, y es un vector 
unitario perpendicular a la superficie, apuntando desde el medio (2) hacia el medio (1).
● Para conductores óhmicos, , no puede haber corriente superficial libre, 
pues requeriría de un campo eléctrico infinito en la interfaz.
… (*)
 
OEM en conductores
● Suponiendo que el plano XY forma la interfaz entre un medio lineal no conductor 
(1) y un medio conductor (2).
● Una onda monocromática plana, polarizada en la dirección x, se aproxima a la 
interfaz desde la izquierda a lo largo del eje z.
● La OEM incidente será descrita por
● La onda incidente dará a lugar a una onda 
reflejada que se propaga hacia la izquierda 
en el medio (1)
… (74)
… (75)
 
OEM en conductores
● y a una onda transmitida que se atenúa a medida que penetra en el conductor.
● En z = 0, la onda combinada en el medio (1) 
debe unirse a la onda en el medio (2), 
conforme a las condiciones de frontera. Dado 
que en ambos lados, (debido a la 
condición (i)). La condición (ii) se cumple 
automáticamente pues .
… (76)
 
OEM en conductores
● De las condiciones (iii) y (iv) (con ) se obtienen respectivamente
● De esta última siendo 
● Luego 
● Para un conductor perfecto (σ= ∞) , de modo que también es infinito, y 
● En este caso la onda se refleja totalmente, con un desplazamiento de fase de 180° (es 
por eso que excelentes conductores hacen buenos espejos).
… (77)
… (78)
… (79)
… (80)
… (81)
 
Guía de Ondas
● Ahora consideramos OEM confinadas al interior de una tubería hueca o guía de 
ondas.
● Asumiendo que la guía de ondas es un conductor perfecto, tal que y 
dentro del propio material, por lo tanto, las condiciones de contorno en la pared 
interior son 
● Se inducirán cargas y corrientes libres en la superficie de tal forma que se cumplan 
estas restricciones. 
● Considerando ondas monocromáticas que se propagan por el tubo, E y B tienen la 
forma: 
E⃗=0⃗ B⃗=0⃗
… (82)
 
Guía de Ondas
(Para los casos de interés k es real.) 
● Los campos eléctrico y magnético deben, satisfacer las ecuaciones de Maxwell en el 
interior de la guía de ondas: 
… (83)
… (84)
 
Guía de Ondas
● Se deben encontrar las funciones y tales que los campos (83) obedezcan a las 
ecuaciones diferenciales (84), sujetos a las condiciones de contorno (82).
● Las ondas confinadas no son (en general) transversales, para ajustar las condiciones 
de contorno se deben incluir componentes longitudinales (Ez y Bz).
 
donde cada uno de las componentes es una función de x e y. 
● Poniendo (85) en las ecuaciones (iii) y (iv) de Maxwell (84), se obtiene
 
… (85)
… (86)
E⃗0 B⃗0
 
Guía de Ondas
● Las ecuaciones (ii), (iii), (v) y (vi) de (86) se pueden resolver para Ex, Ey, Bx y By
● Basta determinar las componentes longitudinales Ez y Bz para calcular rápidamente 
todos los demás. 
● Insertando (87) en las ecuaciones de Maxwell restantes, se obtienen ecuaciones 
desacopladas para Ez y Bz: 
… (87)
 
Guía de Ondas
● Si Ez = 0 llamamos a estas ondas TE ("transversal eléctrica"); si Bz = 0 se 
denominan ondas TM ("transversal magnéticas"); si tanto Ez = 0 como Bz = 0, las 
llamamos ondas TEM. 
● Resulta que las ondas TEM no pueden ocurrir en una guía de ondas hueca.
● Prueba: si Ez = 0, la ley de Gauss (84 i): 
● Si Bz = 0, la ley de Faraday (84 iii): 
… (88)
 
Guía de Ondas
● De hecho, el vector en la ecuación (85) tiene divergencia cero y rotacional cero. 
Por lo tanto, se puede escribir como el gradiente de un potencial escalar que 
satisfacela ecuación de Laplace. 
● Pero la condición límite en (ec. 82) requiere que la superficie sea un 
equipotencial, y dado que la ecuación de Laplace no admite máximos o mínimos 
locales, esto significa que el potencial es constante en todo momento y, por lo tanto, 
el campo es cero, no hay onda en absoluto. 
● Observese que este argumento se aplica solo a una cavidad completamente vacía: si 
coloca un conductor separado que pasa por el medio, el potencial en su superficie no 
necesita ser el mismo que en la pared exterior y, por lo tanto, es posible un potencial 
no trivial. 
E⃗0
E⃗
 
Guía de Ondas
Ondas TE en una guía de ondas rectangular Ondas TE en una guía de ondas rectangular 
● Suponga que tenemos una guía de ondas de forma rectangular, con altura a y ancho 
b estamos interesados en analizar la propagación de ondas TE. 
● El problema es resolver la ecuación. (88 ii), sujeto a la condición de contorno (82ii). 
Usando separación de variables. 
● Sea , luego 
 con
… (89)
● Divida por XY y observe que los términos 
dependientes de x e y deben ser constantes: 
… (90)
… (91)
 
Guía de Ondas
● La solución general de la ec. (90 i) es 
Pero las condiciones de frontera requieren que Bx y por tanto también (87 iii) dX/dx 
desaparezca en x = 0 y x = a. Entonces A = 0, y 
Lo mismo para y
Se concluye que
Esta solución se denomina modo TEmn. (El primer índice se asocia convencionalmente 
con la dimensión mayor a> b). Al menos uno de los índices debe ser distinto de cero. 
El número de onda (k) se obtiene de (93) y (94) en (91): 
… (94)
… (92)
… (93)
… (95)
 
Guía de Ondas
El número de onda (k) se obtiene de (93) y (94) en (91): 
Si
el número de onda es imaginario y, en lugar de una onda viajera, se tendrán campos 
atenuados exponencialmente (83). Por esta razón, ωmn se denomina frecuencia de corte 
para el modo en cuestión. 
La frecuencia de corte más baja para una guía de onda dada se produce para el modo 
TE10: 
Las frecuencias inferiores a ésta no se propagarán en absoluto. 
El número de onda se puede escribir de manera más simple en términos de la frecuencia 
de corte: 
… (96)
… (97)
… (98)
… (99)
 
Guía de Ondas
La velocidad de la onda es 
 
que es mayor que c. Sin embargo, la energía transportada por la onda viaja a la velocidad 
de grupo 
… (100)
… (101)
 
Guía de Ondas
● Hay otra forma de visualizar la propagación de una OEM en una cavidad 
rectangular. Considere una onda plana ordinaria que viaja en un ángulo θ relativo al 
eje z y se refleja perfectamente en cada superficie conductora. 
● En las direcciones x e y, las ondas (multiplemente reflejadas) interfieren para formar 
patrones de ondas estacionarias, de longitud de onda λX = 2a/m y λy = 2b/n (por lo 
tanto, el número de onda kx = 2π/λx = πm/a y ky = πn/b ). 
● En la dirección z, permanece una onda viajera transversal, con un número de onda 
kz =k. 
Por tanto, el vector de 
propagación de la onda plana 
"original" es
… (102)
 
Guía de Ondas
y la frecuencia es
Solo ciertos ángulos conducirán a uno de los patrones de onda estacionaria permitidos:
La onda plana viaja a velocidad c, pero debido a que va en un ángulo θ con el eje z, su 
velocidad neta hacia abajo de la guía de onda es 
La velocidad de la onda, es la 
velocidad de los frentes de onda (A, 
en la figura) por la cavidad. Al igual 
que la intersección de una línea de 
rompientes con la playa, pueden 
moverse mucho más rápido que las 
propias olas.
… (103)
… (104)
… (105)
… (106)
 
Guía de Ondas
Problema: Considere una guía de ondas rectangular con dimensiones de 2,28 cm x 1,01 
cm. ¿Qué modos TE se propagarán en esta guía de ondas, si la frecuencia de conducción 
es 1,70x1010 Hz? Suponga que desea excitar sólo un modo TE, ¿Qué rango de 
frecuencias se podría usar? ¿Cuáles son las longitudes de onda correspondientes (en 
espacio abierto)?