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“livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 29 — #39 1. ANÁLISE VETORIAL 29 Exemplo 1.6.2 FORÇA COMO GRADIENTE DE UM POTENCIAL Como um exemplo especı́fico do precedente e como uma extensão do Exemplo 1.6.1, consideramos as superfı́cies que consistem em cascas esféricas concêntricas, Figura 1.21. Temos Figura 1.21: Gradiente para ϕ(x, y, z) = (x2 + y2 + z2)1/2, cascas esféricas: (x2 2 + y2 2 + z2 2)1/2 = r2 = C2,(x2 1 + y2 1 + z2 1)1/2 = r1 = C1. ϕ(x, y, z) = ( x2 + y2 + z2 )1/2 = r = C, em que r é o raio, igual a C, nossa constante. ∆C = ∆ϕ = ∆r, a distância entre duas cascas. Pelo Exemplo 1.6.1, ∇ϕ(r) = r̂ dϕ(r) dr = r̂. O gradiente está na direção radial e é normal à superfı́cie esférica ϕ = C. Exemplo 1.6.3 INTEGRAÇÃO DE GRADIENTE POR PARTES Vamos provar a fórmula ∫ A(r) ·∇f(r) d3r = − ∫ f(r)∇ ·A(r) d3r, em que A ou f ou ambas se anulam no infinito de modo que as partes integradas são nulas. Essa condição é satisfeita se, por exemplo, A for o potencial vetorial eletromagnético e f for uma função de onda de estado ligado ψ(r). Escrevendo o produto interno em coordenadas cartesianas, integrando cada integral unidimensional por partes e desprezando os termos integrados, obtemos∫ A(r) ·∇f(r) d3r = ∫∫ [ Axf |∞x=−∞ − ∫ f ∂Ax ∂x dx ] dy dz + · · · = − ∫∫∫ f ∂Ax ∂x dx dy dz − ∫∫∫ f ∂Ay ∂y dy dx dz − ∫∫∫ f ∂Az ∂z dz dx dy = − ∫ f(r)∇ ·A(r) d3r. Se A = eikzê descreve um fóton saindo na direção do vetor unitário de polarização constante ê e f = ψ(r) é uma função de onda de estado ligado que decai exponencialmente, então∫ eikzê ·∇ψ(r) d3r = −ez ∫ ψ(r) deikz dz d3r = −ikez ∫ ψ(r)eikz d3r, porque somente a componente z do gradiente contribui. � “livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 30 — #40 30 Fı́sica Matemática Arfken •Weber Exercı́cios 1.6.1 Se S(x, y, z) = (x2 + y2 + z2)−3/2, ache (a) ∇ S no ponto (1, 2, 3); (b) o módulo do gradiente de S, |∇S| em (1, 2, 3); e (c) os co-senos diretores de ∇S em (1, 2, 3). 1.6.2 (a) Ache um vetor unitário perpendicular à superfı́cie x2 + y2 + z2 = 3 no ponto (1, 1, 1). Comprimentos em centı́metros. (b) Derive a equação do plano tangente à superfı́cie em (1, 1, 1). Resposta: (a) (x̂ + ŷ + ẑ)/ √ 3, (b) x+ y + z = 3. 1.6.3 Dado um vetor r12 = x̂(x1 − x2) + ŷ(y1 − y2) + ẑ(z1 − z2), mostre que ∇1r12 (gradiente com respeito a x1, y1 e z1 da grandeza r12) é um vetor unitário na direção de r12. 1.6.4 Se uma função vetorial F depender de coordenadas espaciais (x, y, z) e também do tempo t, mostre que dF = (dr ·∇)F + ∂F ∂t dt. 1.6.5 Mostre que ∇(uv) = v∇u+ u∇v, em que u e v são funções escalares diferenciáveis de x, y e z. (a) Mostre que a condição necessária e suficiente para que u(x, y, z) e v(x, y, z) sejam relacionadas por alguma função f(u, v) = 0 é que (∇u)× (∇v) = 0. (b) Se u = u(x, y) e v = v(x, y), mostre que a condição (∇u) × (∇v) = 0 resulta no jacobiano bidimensional J ( u, v x, y ) = ∣∣∣∣ ∂u ∂x ∂u ∂y ∂v ∂x ∂v ∂y ∣∣∣∣ = 0. Admite-se que as funções u e v são diferenciáveis. 1.7 Divergência, ∇ A diferenciação de uma função vetorial é uma simples extensão da diferenciação de quantidades escalares. Suponha que r(t) descreva a posição de um satélite em algum tempo t. Então, para diferenciação em relação ao tempo, dr(t) dt = lim ∆→t r(t+ ∆t)− r(t) ∆t = v, velocidade linear. Graficamente, mais uma vez temos a inclinação de uma curva órbita, ou trajetória, como mostra a Figura 1.22. Figura 1.22: Diferenciação de um vetor. Se resolvermos r(t) em suas componentes cartesianas, dr/dt sempre se reduz diretamente a uma soma vetorial de não mais do que três derivadas escalares (para o espaço tridimensional). Em outros sistemas de “livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 31 — #41 1. ANÁLISE VETORIAL 31 coordenadas (Capı́tulo 2), a situação é mais complicada, pois a direção dos vetores unitários não é mais constante. A diferenciação em relação às coordenadas espaciais é resolvida do mesmo modo que a diferenciação em relação ao tempo, como veremos nos parágrafos seguintes. Na Seção 1.6, ∇ foi definido como um operador vetorial. Agora, dando atenção às suas propriedades vetoriais e diferenciais, deixamos que ele opere sobre um vetor. Primeiro, como um vetor, fazemos seu produto escalar por um segundo vetor para obter ∇ ·V = ∂Vx ∂x + ∂Vy ∂y + ∂Vz ∂z , (1.65a) expressão conhecida como a divergência de V, que é um escalar, como discutido na Seção 1.3. Exemplo 1.7.1 DIVERGÊNCIA DE VETOR COORDENADO Calcule ∇ · r: ∇ · r = ( x̂ ∂ ∂x + ŷ ∂ ∂y + ẑ ∂ ∂z ) · (x̂x+ ŷy + ẑz) = ∂x ∂x + ∂y ∂y + ∂z ∂z , ou ∇ · r = 3. � Exemplo 1.7.2 DIVERGÊNCIA DE CAMPO DE FORÇA CENTRAL Generalizando o Exemplo 1.7.1, ∇ · ( rf(r) ) = ∂ ∂x [ x f(r) ] + ∂ ∂y [ y f(r) ] + ∂ ∂z [ z f(r) ] = 3f(r) + x2 r df dr + y2 r df dr + z2 r df dr = 3f(r) + r df dr . A manipulação das derivadas parciais que levam à segunda equação no Exemplo 1.7.2 é discutida no Exemplo 1.6.1. Em particular, se f(r) = rn−1, ∇ · ( rrn−1 ) = ∇ · r̂rn = 3rn−1 + (n− 1)rn−1 = (n+ 2)rn−1. (1.65b) Essa divergência desaparece para n = −2, em r = 0, um fato importante na Seção 1.14. � Exemplo 1.7.3 INTEGRAÇÃO POR PARTES DA DIVERGÊNCIA Vamos provar a fórmula ∫ f(r)∇ ·A(r) d3r = − ∫ A ·∇f d3r, em que A ou ou ambas se anulam no infinito. Para mostrar isso faremos, como no Exemplo 1.6.3, a integração por partes após escrever o produto interno em coordenadas cartesianas. Como os termos integrados são avaliados no infinito, em que são nulos, obtemos∫ f(r)∇ ·A(r) d3r = ∫ f ( ∂Ax ∂x dx dy dz + ∂Ay ∂y dy dx dz + ∂Az ∂z dz dx dy ) = − ∫ ( Ax ∂f ∂x dx dy dz +Ay ∂f ∂y dy dx dz +Az ∂f ∂z dz dx dy ) = − ∫ A ·∇f d3r. � “livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 32 — #42 32 Fı́sica Matemática Arfken •Weber Uma Interpretação Fı́sica Para desenvolver uma percepção da significância fı́sica da divergência, considere ∇ · (ρv) com v(x, y, z) a velocidade de um fluido compressı́vel e ρ(x, y, z) sua densidade no ponto (x, y, z). Se considerarmos um pequeno volume dx dy dz (Figura 1.23) em x = y = z = 0, o fluido que escoa por esse volume por unidade de tempo (direção x positiva) pela face EFGH é (taxa de fluxo em) EFGH = ρvx|x=0 = dy dz. As componentes do fluxo ρvy e ρvz tangenciais a essa face nada contribuem para o fluxo através dessa face. A taxa de fluxo de saı́da (ainda na direção x positiva) pela face ABCD é ρvx|x=dx dy dz. Para comparar esses fluxos e achar o fluxo lı́quido de saı́da, expandimos esse último resultado, como a variação total na Seção 1.6.15 Isso resulta Figura 1.23: Paralelepı́pedo retangular diferencial (no primeiro octante). (taxa de fluxo de saı́da)ABCD = ρvx|x=dx dy dz = [ ρvx + ∂ ∂x (ρvx) dx ] x=0 dy dz. Aqui, o termo da derivada é um primeiro termo de correção, que leva em conta a possibilidade de densidade não- uniforme ou velocidade não-uniforme ou ambas.16 O termo de ordem zero ρvx|x=0 (correspondente a um fluxo uniforme) é cancelado: Velocidade lı́quida de fluxo de saı́da|x = ∂ ∂x (ρvx) dx dy dz. De modo equivalente, podemos chegar a esse resultado por lim ∆x→0 ρvx(∆x, 0, 0)− ρvx(0, 0, 0) ∆x ≡ ∂[ρvx(x, y, z)] ∂x ∣∣∣∣ 0,0,0 . Agora, o eixo x não está recebendo nenhum tratamento preferencial. O resultado precedente para as duas faces perpendiculares ao eixo x deve valer para as duas faces perpendiculares ao eixo y, com x substituı́do por y e a mudanças correspondentes para y e z: y → z, z → x. Essa é uma permutação cı́clica das coordenadas. Mais uma outra permutação cı́clica dá o resultado para as duas faces restantes de nosso paralelepı́pedo. Adicionando a velocidade de fluxo lı́quida para todos os três pares de superfı́cies de nosso elemento de volume, temos Fluxo lı́quido (por unidade de tempo) = [ ∂ ∂x (ρvx) + ∂ ∂y (ρvy) + ∂ ∂z (ρvz) ] dx dy dz = ∇ · (ρv) dx dy dz. (1.66) 15Aqui, temos o incremento dx e mostramos que umaderivada parcial em relação a ρvx também pode depender de y e z. 16Em termos estritos, ρvx representa sobre a face EFGH e, de modo semelhante, a expressão ρvx+(∂/∂x)(ρvx) dx representa uma média sobre a face ABCD . Usando um volume diferencial arbitrariamente pequeno, constatamos que as médias se reduzem aos valores empregados aqui. “livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 33 — #43 1. ANÁLISE VETORIAL 33 Por conseguinte, o fluxo de nosso fluido compressı́vel que escoa do elemento de volume dx dy dz por volume unitário por unidade de tempo é ∇ · (ρv). Daı́ o nome divergência. Uma aplicação direta é na equação de continuidade ∂ρ ∂t + ∇ · (ρv) = 0, (1.67a) que afirma que um fluxo lı́quido que escoa do volume resulta em uma diminuição densidade dentro do volume. Note que, na Equação (1.67a), ρ é considerada uma possı́vel função de tempo, bem como do espaço. A divergência aparece em uma grande variedade de problemas fı́sicos, abrangendo desde uma densidade de probabilidade de corrente em mecânica quântica até vazamento de nêutrons em um reator nuclear. A combinação ρ(x, y, z, t) na qual f é uma função escalar e V é uma função vetorial, pode ser escrita ∇ · (fV) = ∂ ∂x (fVx) + ∂ ∂y (fVy) + ∂ ∂z (fVz) = ∂f ∂x Vx + f ∂Vx ∂x + ∂f ∂y Vy + f ∂Vy ∂y + ∂f ∂z Vz + f ∂Vz ∂z = (∇f) ·V + f∇ ·V, (1.67b) que é exatamente o que esperarı́amos para a derivada de um produto. Note que ∇ como um operador diferencial distingue ambas, f e V; como um vetor, ele é multiplicado escalarmente por V (em cada termo). Se tivermos o caso especial da divergência que se anula de um vetor a zero, ∇ ·B = 0, (1.68) diz-se que o vetor B é solenoidal. O termo solenoidal vem do exemplo no qual B é a indução magnética e a Equação (1.68) parece com uma das equações de Maxwell. Quando um vetor é solenoidal, ele pode ser escrito como o rotacional de um outro vetor conhecido como o potencial vetorial. (Na Seção 1.13 calcularemos esse potencial vetorial.) Exercı́cios 1.7.1 Para uma partı́cula que se movimenta em uma órbita circular, r = x̂r cosωt+ ŷrsen ωt, (a) avalie r× ṙ, com ṙ = dr dt = v. (b) Mostre que r̈ + ω2r = 0 com r̈ = dv dt . O raio r e a velocidade angular ω são constantes. Resposta: (a) ẑωr2. 1.7.2 O vetor A satisfaz a lei de transformação vetorial, Equação (1.15). Mostre diretamente que sua derivada em relação ao tempo dA/dt também satisfaz a Equação (1.15) e é, portanto, um vetor. 1.7.3 Mostre, por diferenciação das componentes, que (a) d dt (A ·B) = dA dt ·B + A · dBdt , (b) d dt (A×B) = dA dt × B + A × dB dt , exatamente como a derivada do produto de duas funções algébricas. 1.7.4 No Capı́tulo 2 veremos que os vetores unitários em sistemas de coordenadas não-cartesianos usualmente são funções das variáveis coordenadas, ei = ei(q1, q2, q3) e |ei| = 1. Mostre que ∂ei/∂qj = 0 ou ∂ei/∂qj é ortogonal a ei. Sugestão: ∂e2 i /∂qj = 0. 1.7.5 Prove que ∇ · (a× b) = b · (∇× a)− a · (∇× b). Sugestão: Trate como um produto escalar triplo. 1.7.6 O campo eletrostático de uma carga pontual q é E = q 4πε0 · r̂ r2 . Calcule a divergência de E. O que acontece na origem?
