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“livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 14 — #24 14 Fı́sica Matemática Arfken •Weber 1.3.5 Um cano desce em diagonal pela parede sul de um edifı́cio, fazendo um ângulo de 45◦ com a horizontal. Ao chegar a uma quina da parede, o cano muda de direção e continua descendo na diagonal por uma parede leste, ainda fazendo um ângulo de 45◦ com a horizontal. Qual é o ângulo entre as seções do cano da parede sul e da parede leste? Resposta: 120◦. Figura 1.11: Dois momentos dipolares. 1.3.6 Ache a distância mais curta entre um observador no ponto (2, 1, 3) e um foguete em vôo livre com velocidade de (1, 2, 3) m/s. O foguete foi lançado do ponto (1, 1, 1) no tempo t = 0. As distâncias estão expressas em quilômetros. 1.3.7 Prove a lei dos co-senos a partir do triângulo com vértices nos pontos C e A da Figura 1.10 e da projeção do vetor B sobre o vetor A. 1.4 Produto de Vetores ou Produto Externo Uma segunda forma de multiplicação de vetores emprega o seno do ângulo incluı́do em vez do co-seno. Por exemplo, o momento angular de um corpo mostrado na ponta do vetor distância da Figura 1.12 é definido como Figura 1.12: Momento angular. momento angular = braço do raio×momento linear = distância×momento linear× sen θ . Por conveniência no tratamento de problemas relacionados a quantidades tais como momento angular, torque e velocidade angular, definimos o produto vetorial ou produto externo como C = A×B, com C = ABsen θ. (1.35) “livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 15 — #25 1. ANÁLISE VETORIAL 15 Diferente do caso anterior do produto escalar, C agora é um vetor e atribuı́mos a ele uma direção perpendicular ao plano de A e B, tal que A,B e C formam um sistema do dextrogiro. Com essa escolha de direção temos A×B = −B×A, anticomutação. (1.36a) Por essa definição de produto externo, temos x̂× x̂ = ŷ × ŷ = ẑ× ẑ = 0, (1.36b) ao passo que x̂× ŷ = ẑ, ŷ × ẑ = x̂, ẑ× x̂ = ŷ, ŷ × x̂ = −ẑ, ẑ× ŷ = −x̂, x̂× ẑ = −ŷ. (1.36c) Entre os exemplos de produtos externo na fı́sica matemática estão a relação entre o momento linear p e o momento angular L, com L definido como L = r× p, relação entre velocidade linear v e velocidade angular ω, v = ω × r. Os vetores v e p descrevem propriedades da partı́cula ou sistema fı́sico. Contudo, o vetor posição r é determinado pela escolha da origem das coordenadas. Isso significa que ω e L dependem da escolha da origem. A familiar indução magnética B costuma ser definida pela equação do produto vetorial da força8 FM = qv ×B (unidades mks). Aqui, v é a velocidade da carga elétrica q e FM é a força resultante sobre a carga em movimento. O produto externo tem uma importante interpretação geométrica, que utilizaremos em seções subseqüentes. No paralelogramo definido por A e B (Figura 1.13), Bsen θ é a altura se A for tomado como o comprimento da base. Então |A × B| = ABsen θ é a área do paralelogramo. Como vetor, A × B é a área do paralelogramo definido por A e B, com o vetor de área normal ao plano do paralelogramo. Isso sugere que a área (com sua orientação no espaço) pode ser tratada como uma quantidade vetorial. Figura 1.13: Representação em paralelogramo do produto vetorial. Uma definição alternativa do produto vetorial pode ser derivada do caso especial dos vetores unitários coordenados nas Equação (1.36c) junto com a linearidade do produto externo em ambos os argumentos vetoriais, 8Aqui, admite-se que o campo elétrico E é zero. “livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 16 — #26 16 Fı́sica Matemática Arfken •Weber por analogia com as Equações (1.23) para o produto escalar. A× (B + C) = A×B + A×C, (1.37a) (A + B)×C = A×C + B×C, (1.37b) A× (yB) = yA×B = (yA)×B, (1.37c) em que y é, mais uma vez, um número. Usando a decomposição de A e B em suas componentes cartesianas de acordo com a Equação (1.5), encontramos A×B ≡ C = (Cx, Cy, Cz) = (Axx̂ +Ayŷ +Az ẑ)× (Bxx̂ +Byŷ +Bz ẑ) = (AxBy −AyBx)x̂× ŷ + (AxBz −AzBx)x̂× ẑ + (AyBz −AzBy)ŷ × ẑ , aplicando as Equações (1.37a) e (1.37b) e substituindo as Equações (1.36a), (1.36b) e (1.36c), de modo que as componentes cartesianas de A×B se tornam Cx = AyBz −AzBy, Cy = AzBx −AxBz, Cz = AxBy −AyBx, (1.38) ou Ci = AjBk −AkBj , i, j, k todos diferentes, (1.39) e com permutação cı́clica dos ı́ndices i, j e k correspondendo a x, y e z, respectivamente. O produto vetorial C pode ser representado mnemonicamente por um determinante9 C = ∣∣∣∣∣∣ x̂ ŷ ẑ Ax Ay Az Bx By Bz ∣∣∣∣∣∣ ≡ x̂ ∣∣∣∣ Ay Az By Bz ∣∣∣∣− ŷ ∣∣∣∣ Ax Az Bx Bz ∣∣∣∣+ ẑ ∣∣∣∣ Ax Ay Bx By ∣∣∣∣ , (1.40) que deve ser expandido pela linha superior para reproduzir as três componentes de C listadas nas Equações (1.38). A Equação (1.35) poderia ser denominada definição geométrica do produto vetorial. Então as Equações (1.38) seriam uma definição algébrica. Para mostrar a equivalência entre a Equação (1.35) e a definição de componente, as Equações (1.38), vamos formar os produtos A ·C e B ·C, usando as Equações (1.38). Temos A ·C = A · (A×B) = Ax(AyBz −AzBy) +Ay(AzBx −AxBz) +Az(AxBy −AyBx) = 0. (1.41) De modo semelhante, B ·C = B · (A×B) = 0. (1.42) As Equações (1.41) e (1.42) mostram que C é perpendicular a ambos, A e B (cos θ = 0, θ = ±90◦) e, portanto, perpendicular ao plano que eles determinam. A direção positiva é determinada considerando casos especiais, tais como os vetores unitários x̂× ŷ = ẑ (Cz = +AxBy). O módulo é obtido por (A×B) · (A×B) = A2B2 − (A ·B)2 = A2B2 −A2B2 cos2 θ = A2B2sen2θ. (1.43) Por conseguinte, C = ABsen θ. (1.44) 9Veja a Seção 3.1 para um breve resumo de determinantes. “livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 17 — #27 1. ANÁLISE VETORIAL 17 A primeira etapa na Equação (1.43) pode ser verificada pela expansão na forma de componentes usando as Equações (1.38) para A × B e a Equação (1.24) para o produto escalar. Pelas Equações (1.41), (1.42) e (1.44), vemos a equivalência das Equações (1.35) e (1.38), as duas definições de produto vetorial. Resta ainda o problema de verificar que C = A × B é, de fato, um vetor, isto é, obedece à Equação (1.15), a lei de transformação vetorial. Iniciando em um sistema rotacionado (sistema “linha”), C ′ i = A′jB ′ k −A′kB′ j , i, j, e k em ordem cı́clica, = ∑ l ajlAl ∑ m akmBm − ∑ l aklAl ∑ m ajmBm = ∑ l,m (ajlakm − aklajm)AlBm. (1.45) A combinação de co-senos diretores entre parênteses desaparece para m = l. Por conseguinte, temos j e k assumindo valores fixos, dependendo da escolha de l e seis combinações de l e m. Se i = 3, então j = 1, k = 2, (ordem cı́clica) e temos as seguintes combinações de co-senos diretores:10 a11a22 − a21a12 = a33, a13a21 − a23a11 = a32, a12a23 − a22a13 = a31 (1.46) e seus negativos. As Equações (1.46) são identidades satisfeitas pelos co-senos diretores. Elas podem ser verificadas com a utilização de determinantes e matrizes (veja Exercı́cio 3.3.3). Substituindo M na Equação (1.45), C ′ 3 = a33A1B2 + a32A3B1 + a31A2B3 − a33A2B1 − a32A1B3 − a31A3B2 = a31C1 + a32C2 + a33C3 = ∑ n a3nCn. (1.47) Permutando os ı́ndices para pegar C ′ 1 e C ′ 2, vemos que a Equação (1.15) é satisfeita, e C é, de fato, um vetor. É preciso mencionar que essa natureza vetorial do produto externo é um acidente associado com a natureza tridimensional do espaço ordinário.11 Veremos, no Capı́tulo 2, que o produto cruzado também pode ser tratado como um tensor anti-simétrico de segunda ordem. Se definirmos um vetor como uma trinca ordenada de números (ou funções), como na última parte da Seção 1.2, então não há problema algum em identificar o produto cruzado como um vetor. A operação de produto externo mapeia as duas trincas A e B para uma terceira trinca, C, que é, por definição, um vetor. Agora temos dois modos de multiplicar vetores: uma terceira forma aparece no Capı́tulo 2. Mas, e a divisão por um vetor? Acontece que a razão B/A não é exclusivamente especificada (Exercı́cio 3.2.21),a menos que se exija que A e B sejam também paralelos. Por conseguinte, a divisão de um vetor por outro não é definida. Exercı́cios 1.4.1 Mostre que as medianas de um triângulo se interceptam no centro, que está a 2/3 do comprimento da mediana a partir de cada vértice. Construa um exemplo numérico e represente-o em um gráfico. 1.4.2 Prove a lei dos co-senos partindo de A2 = (B−C)2. 1.4.3 Começando com C = A + B, mostre que C×C = 0 leva a A×B = −B×A. 1.4.4 Mostre que (a) (A−B) · (A + B) = A2 −B2 10As Equações (1.46) são válidas para rotações porque preservam volumes. Para uma transformação ortogonal mais geral, a do lado direito das Equações (1.46) é multiplicada pelo determinante da matriz de transformação (veja Capı́tulo 3 para matrizes e determinantes). 11Especificamente, as Equações (1.46) são válidas apenas para o espaço tridimensional. Veja D. Hestenes e G. Sobczyk, Clifford Algebra to Geometric Calculus (Dordrecht: Reidel, 1984) para uma generalização mais ampla do produto externo. “livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 18 — #28 18 Fı́sica Matemática Arfken •Weber (b) (A−B)× (A + B) = 2A×B As leis distributivas necessárias aqui, A · (B + C) = A ·B + A ·C e A× (B + C) = A×B + A×C, podem ser verificadas com facilidade (se desejado) por expansão em componentes cartesianas. 1.4.5 Dados os três vetores P = 3x̂ + 2ŷ − ẑ, Q = −6x̂− 4ŷ + 2ẑ, R = x̂− 2ŷ − ẑ, determine dois que são perpendiculares e dois que são paralelos ou antiparalelos. 1.4.6 Se P = x̂Px + ŷPy e Q = x̂Qx + ŷQy são dois vetores não-paralelos quaisquer (também não- antiparalelos) no plano xy, mostre que P×Q está na direção z. 1.4.7 Prove que (A×B) · (A×B) = (AB)2 − (A ·B)2. 1.4.8 Usando os vetores P = x̂ cos θ + ŷsen θ, Q = x̂ cosϕ− ŷsen ϕ, R = x̂ cosϕ+ ŷsen ϕ, prove as familiares identidades trigonométricas sen(θ + ϕ) = sen θ cosϕ+ cos θsen ϕ, cos(θ + ϕ) = cos θ cosϕ− sen θsen ϕ. 1.4.9 (a) Ache um vetor A que é perpendicular a U = 2x̂ + ŷ − ẑ, V = x̂− ŷ + ẑ. (b) O que é A se, além desse requisito, impusermos que ele tenha módulo unitário? 1.4.10 Se quatro vetores a,b, c e d estiverem todos no mesmo plano, mostre que (a× b)× (c× d) = 0. Sugestão: Considere as direções dos vetores do produto externo. 1.4.11 As coordenadas dos três vértices de um triângulo são (2, 1, 5), (5, 2, 8) e (4, 8, 2). Calcule sua área por métodos vetoriais, seu centro e medianas. Comprimentos em centı́metros. Sugestão: Veja o Exercı́cio 1.4.1. 1.4.12 Os vértices do paralelogramo ABCD são (1, 0, 0), (2,−1, 0), (0,−1, 1) e (−1, 0, 1) na ordem. Calcule as áreas vetoriais do triângulo ABD e do triângulo BCD . As duas áreas vetoriais são iguais? Resposta: ÁreaABD = − 1 2 (x̂ + ŷ + 2ẑ). 1.4.13 A origem e os três vetores A, B e C (todos começando na origem) definem um tetraedro. Tomando a direção para fora como positiva, calcule a área vetorial total das quatro superfı́cies tetraédricas. Nota: Na Seção 1.11 esse resultado é generalizado para qualquer superfı́cie fechada.
