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“livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 9 — #19 1. ANÁLISE VETORIAL 9 1. Essa definição é desenvolvida porque é útil e apropriada para descrever nosso mundo fı́sico. Nossas equações vetoriais serão independentes de qualquer sistema de coordenadas particular. (O sistema de coordenadas não precisa nem ao menos ser cartesiano.) A equação vetorial sempre pode ser expressa em algum sistema de coordenadas particular e, para obter resultados numéricos, devemos, em última instância, expressar a equação em algum sistema de coordenadas especı́fico. 2. Essa definição está sujeita a uma generalização que abrirá o ramo da matemática conhecido como análise tensorial (Capı́tulo 2). Aqui, devemos fazer uma qualificação. O comportamento das componentes do vetor sob rotação das coordenadas é usado na Seção 1.3 para provar que um produto escalar é um escalar; na Seção 1.4, para provar que um produto vetorial é um vetor; e na Seção 1.6, para mostrar que o gradiente de um escalar ψ,∇ψ, é um vetor. O restante deste capı́tulo prossegue tendo como base as definições menos restritivas de vetor dadas na Seção 1.1. Resumo: Vetores e Espaço Vetorial Em matemática costuma-se denominar uma tripla ordenada de números reais (x1, x2, x3) vetor x. O número xn é denominado a n-ésima componente do vetor x. A coleção de todos esses vetores (obedecendo às propriedades apresentadas a seguir) forma um espaço vetorial tridimensional real. Atribuı́mos cinco propriedades a nossos vetores: se x = (x1, x2, x3) e y = (y1, y2, y3), 1. Igualdade de vetores: x = y significa xi = yi, i = 1, 2, 3. 2. Adição de vetores: x + y = z significa xi + yi = zi, i = 1, 2, 3. 3. Multiplicação escalar: ax↔ (ax1, ax2, ax3) (com a real). 4. Negativo de um vetor: −x = (−1)x↔ (−x1,−x2,−x3). 5. Vetor nulo: Existe um vetor nulo 0↔ (0, 0, 0). Uma vez que as componentes de nosso vetor são números reais (ou complexos), as seguintes propriedades também valem: 1. A adição de vetores é comutativa: x + y = y + x. 2. A adição de vetores é associativa: (x + y) + z = x + (y + z). 3. A multiplicação escalar é distributiva: a(x + y) = ax + ay e também (a+ b)x = ax + bx. 4. A multiplicação escalar é associativa: (ab)x = a(bx). Além disso, o vetor nulo 0 é único, assim como o negativo de um dado vetor x. No que tange aos vetores em si, essa abordagem é uma mera formalização da discussão da componente da Seção 1.1. A importância está nas extensões, que serão consideradas em capı́tulos posteriores. No Capı́tulo 4, mostramos que vetores formam um grupo abeliano sob adição e um espaço linear com as transformações no espaço linear descritas por matrizes. Por fim, e talvez mais importante, para a Fı́sica avançada, o conceito de vetores apresentado aqui pode ser generalizado para: (1) quantidades complexas,7 (2) funções e (3) um número infinito de componentes. Isso leva a espaços de funções de infinitas dimensões, os espaços de Hilbert, que são importantes na moderna teoria quântica. Uma breve introdução às expansões de funções e ao espaço de Hilbert aparece na Seção 10.4. Exercı́cios 1.2.1 (a) Mostre que a grandeza de um vetor A, A = (A2 x + A2 y) 1/2, é independente da orientação do sistema de coordenadas rotacionado.( A2 x +A2 y )1/2 = ( A′2x +A′2y )1/2 , isto é, é independente do ângulo de rotação ϕ. Essa independência do ângulo é expressa dizendo que A é invariante sob rotações. (b) Em um ponto (x, y) dado, A define um ângulo α relativo ao eixo x positivo e um ângulo α′ relativo ao eixo x′ positivo. O ângulo entre x e x′ é ϕ. Mostre que A = A′ define a mesma 7O espaço vetorial de n dimensões de n reais costuma ser denominado Rn, e o espaço vetorial de n dimensões de n complexas é denominado Cn. “livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 10 — #20 10 Fı́sica Matemática Arfken •Weber direção no espaço quando expresso em termos de suas componentes “linha”, bem como quando expresso em termos de suas componentes “sem linha”; isto é, α′ = α− ϕ. 1.2.2 Prove a condição de ortogonalidade ∑ i ajiaki = δjk. Como um caso especial disso, os co-senos diretores da Seção 1.1 satisfazem a relação cos2 α+ cos2 β + cos2 γ = 1, um resultado que segue da Equação (1.6). 1.3 Produto Escalar ou Produto Interno Agora que já definimos vetores, passaremos a combiná-los. As leis para combinação de vetores devem ser matematicamente consistentes. Dentre as possibilidades que são consistentes, selecionamos duas que são interessantes tanto em termos matemáticos quanto em termos fı́sicos. Uma terceira possibilidade é apresentada no Capı́tulo 2, no qual formamos tensores. A projeção de um vetor A sobre um eixo coordenado, que dá suas componentes cartesianas na Equação (1.4), define um caso geométrico especial do produto escalar entre A e os vetores unitários coordenados: Ax = A cosα ≡ A · x̂, Ay = A cosβ ≡ A · ŷ, Az = A cos γ ≡ A · ẑ. (1.22) Esse caso especial de um produto escalar em conjunção com propriedades gerais do produto escalar é suficiente para compreender o caso geral do produto escalar. Exatamente como a projeção é linear em A, queremos que o produto escalar de dois vetores seja linear em A e B, isto é, obedeça às leis distributiva e associativa A · (B + C) = A ·B + A ·C (1.23a) A · (yB) = (yA) ·B = yA ·B, (1.23b) em que y é um número. Agora podemos usar a decomposição de B em suas componentes cartesianas conforme a Equação (1.5), B = Bxx̂ + Byŷ + Bz ẑ, para construir o escalar geral ou o produto escalar dos vetores A e B como A ·B = A · (Bxx̂ +Byŷ +Bz ẑ) = BxA · x̂ +ByA · ŷ +BzA · ẑ por aplicação das Equações (1.23a) e (1.23b) = BxAx +ByAy +BzAz por substituição na Equação (1.22). Por conseguinte A ·B ≡ ∑ i BiAi = ∑ i AiBi = B ·A. (1.24) Se A = B na Equação (1.24), recuperamos a grandeza A = ( ∑ A2 i ) 1/2 de A na Equação (1.6) pela Equação (1.24). É obvio, pela Equação (1.24), que o produto escalar trata A e B da mesma maneira, ou seja, é simétrico em A e B e é comutativo. Assim, alternativa e equivalentemente, podemos primeiro generalizar as Equações (1.22) para a projeção AB de A na direção de um vetor B 6= 0, em que AB = A cos θ ≡ A · B̂, em que B̂ = B/B é o vetor unitário na direção de B e θ é o ângulo entre A e B, como mostra a Figura 1.7. De modo semelhante, projetamos A sobre B como BA = B cos θ ≡ B · Â. Em segundo lugar, fazemos essas projeções simétricas em A e B, o que leva à definição A ·B ≡ ABB = ABA = AB cos θ. (1.25) A lei distributiva na Equação (1.23a) é ilustrada na Figura 1.8, que mostra que a soma das projeções de B e C sobre A, BA + CA é igual à projeção de B + C sobre A, (B + C)A. Segue das Equações (1.22), (1.24) e (1.25) que os vetores unitários das coordenadas satisfazem às relações x̂ · x̂ = ŷ · ŷ = ẑ · ẑ = 1, (1.26a) “livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 11 — #21 1. ANÁLISE VETORIAL 11 Figura 1.7: Produto escalar A ·B = AB cos θ. Figura 1.8: A lei distributiva A · (B + C) = ABA +ACA = A(B + C)A, Equação (1.23a). enquanto x̂ · ŷ = x̂ · ẑ = ŷ · ẑ = 0. (1.26b) Se a definição de componente, Equação (1.24), for rotulada como uma definição algébrica, então a Equação (1.25) é uma definição geométrica. Uma das aplicações mais comuns do produto escalar na fı́sica é no cálculo de trabalho = força·deslocamento· cos θ, que é interpretada como o deslocamento vezes a projeção da força ao longo da direção de deslocamento, isto é, o produto escalar da força e do deslocamento, W = F · S. Se A · B = 0 e sabemos que A 6= 0 e B 6= 0, então, pela Equação (1.25), cos θ = 0 ou θ = 90◦, 270◦ e assim por diante. Os vetores A e B devem ser perpendiculares. Alternativamente, podemos dizer que A e B são ortogonais. Os vetores unitários x̂, ŷ e ẑ são mutuamente ortogonais. Para desenvolver um pouco mais essa noção de ortogonalidade, suponha que n seja um vetor unitário e r um vetornão-zero no plano xy, isto é, r = x̂x + ŷy (Figura 1.9). Se n · r = 0 para todas as escolhas de r, então n deve ser perpendicular (ortogonal) ao plano xy. Muitas vezes é conveniente substituir x̂, ŷ e ẑ por vetores unitários com ı́ndices em,m = 1, 2, 3, com x̂ = e1 e assim por diante. Então, as Equações (1.26a) e (1.26b) tornam-se em · en = δmn. (1.26c) Para m 6= n, os vetores unitários em e en são ortogonais. Para m = n, cada vetor é normalizado à unidade, isto é, tem grandeza unitária. O conjunto em é denominado ortonormal. Uma grande vantagem da Equação (1.26c) sobre as Equações (1.26a) e (1.26b) é que a Equação (1.26c) pode ser imediatamente generalizada para espaço N dimensional: m,n = 1, 2, . . . , N . Por fim, estamos escolhendo conjuntos de vetores unitários em que são ortonormais por conveniência – uma conveniência muito grande. Invariância do Produto Escalar sob Rotações Ainda não mostramos que a palavra escalar é justificada ou que o produto escalar é, de fato, uma quantidade escalar. Para fazer isso, investigamos o comportamento de A · B sob a rotação do sistema de coordenadas. Pela “livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 12 — #22 12 Fı́sica Matemática Arfken •Weber Figura 1.9: Um vetor normal. utilização da Equação (1.15), A′xB ′ x +A′yB ′ y +A′zB ′ z = ∑ i axiAi ∑ j axjBj + ∑ i ayiAi ∑ j ayjBj + ∑ i aziAi ∑ j azjBj . (1.27) Usando os ı́ndices k e l para somar xy e z, obtemos∑ k A′kB ′ k = ∑ l ∑ i ∑ j aliAialjBj , (1.28) e, rearranjando os termos do lado direto, temos∑ k A′kB ′ k = ∑ l ∑ i ∑ j (alialj)AiBj = ∑ i ∑ j δijAiBj = ∑ i AiBi. (1.29) As últimas duas etapas são executadas utilizando a Equação (1.18), a condição de ortogonalidade dos co-senos diretores e as Equações (1.20), que definem o delta de Kronecker. O efeito do delta de Kronecker é cancelar todos os termos de um somatório para qualquer ı́ndice, exceto para o termo cujos ı́ndices são iguais. Na Equação (1.29) seu efeito é estabelecer j = i e eliminar o somatório em j. É claro que também podı́amos, da mesma forma, estabelecer i = j e eliminar o somatório em i. A Equação (1.29) nos dá∑ k A′kB ′ k = ∑ i AiBi, (1.30) que é exatamente a nossa definição de uma quantidade escalar, uma quantidade que permanece invariante sob a rotação do sistema coordenado. Por uma abordagem similar que explora esse conceito de invariância, tomamos C = A + B e o multiplicamos escalarmente por ele mesmo: C ·C = (A + B) · (A + B) = A ·A + B ·B + 2A ·B. (1.31) Uma vez que C ·C = C2, (1.32) “livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 13 — #23 1. ANÁLISE VETORIAL 13 o quadrado da grandeza do vetor C e, por isso, uma quantidade invariante, vemos que A ·B = 1 2 ( C2 −A2 −B2 ) , invariante. (1.33) Uma vez que o lado direito da Equação (1.33) é invariante — isto é, uma quantidade escalar — , o lado esquerdo, A ·B, também deve ser invariante sob rotação do sistema coordenado. Por conseguinte, A ·B é um escalar. A Equação (1.31) é, na realidade, uma outra forma da lei dos co-senos, que é C2 = A2 +B2 + 2AB cos θ. (1.34) Comparando as Equações (1.31) e (1.34), temos uma outra verificação da Equação (1.25) ou, se preferirmos, uma derivação vetorial da lei dos co-senos (Figura 1.10). Figura 1.10: A lei dos co-senos. O produto escalar, dado pela Equação (1.24), pode ser generalizado de duas maneiras. O espaço não precisa ficar restrito a três dimensões. Em um espaço n dimensional, a Equação (1.24) se aplica com a soma indo de 1 a n. Além do mais, n pode ser infinito, quando então a soma é uma série infinita convergente (Seção 5.2). A outra generalização estende o conceito de vetor para abranger funções. A função análoga de um produto escalar, ou interno, aparece na Seção 10.4. Exercı́cios 1.3.1 Dois vetores de grandeza unitária ei e ej devem ser paralelos ou perpendiculares um ao outro. Mostre que ei · ej fornece uma interpretação da Equação (1.18), a relação de ortogonalidade do co-seno diretor. 1.3.2 Dado que (1) o produto escalar de um vetor unitário por ele mesmo é a unidade e (2) essa relação é válida em todos os sistemas de coordenadas (rotacionados), mostre que x̂′ · x̂′ = 1 (com o sistema “linha”rotacionado de 45◦ ao redor do eixo z em relação ao sistema “sem linha”) implica que x̂ · ŷ = 0. 1.3.3 O vetor r, que inicia na origem, termina no ponto no espaço (x, y, z) e especifica esse ponto. Ache a superfı́cie abrangida pela extremidade de r se (a) (r− a) · a = 0. Caracterize a geometricamente. (b) (r− a) · r = 0. Descreva o papel geométrico de a. O vetor a é constante (em grandeza e direção). 1.3.4 A energia de interação entre dois dipolos de momentos µ1 e µ2 pode ser escrita na forma vetorial V = −µ1 · µ2 r3 + 3(µ1 · r)(µ2 · r) r5 e na forma escalar V = µ1µ2 r3 (2 cos θ1 cos θ2 − sen θ1sen θ2 cosϕ). Aqui, θ1 e θ2 são os ângulos de µ1 e µ2 em relação a r, enquanto ϕ é o azimute de µ2 em relação ao plano de µ1–r (Figura 1.11). Mostre que essas duas formas são equivalentes. Sugestão: A Equação (12.178) será útil.
