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CAPÍTULO 3. Teoria de Grupos Abstratos 93
Iπ4 = π4 π2π4 = π3 π3π4 = π6 π4π4 = π5 π5π4 = I π6π4 = π2
Iπ5 = π5 π2π5 = π6 π3π5 = π2 π4π5 = I π5π5 = π4 π6π5 = π3
Iπ6 = π6 π2π6 = π5 π3π6 = π4 π4π6 = π3 π5π6 = π2 π6π6 = I.
Portanto, as condições de clausura, associatividade e existência da identidade são satisfeitas.
Os elementos inversos são os seguintes:
I−1 = I π−1
2 = π2 π−1
3 = π3 π−1
4 = π5 π−1
5 = π4 π−1
6 = π6.
A condição de existência dos elementos inversos foi verificada. As ordens dos elementos de S3
são:
|I| = 1 |π2| = 2 |π3| = 2 |π4| = 3 |π5| = 3 |π6| = 2.
Assim, os períodos de S3 são:
I, {π2, I} , {π3, I} , {π4, π5, I} , {π6, I} .
Finalmente, a tabela de multiplicação de grupo é:
◦ I π2 π3 π4 π5 π6
I I π2 π3 π4 π5 π6
π2 π2 I π4 π3 π6 π5
π3 π3 π5 I π6 π2 π4
π4 π4 π6 π2 π5 I π3
π5 π5 π3 π6 I π4 π2
π6 π6 π4 π5 π2 π3 I
Observe como o teorema do rearranjo é obedecido pela tabela acima.
3.2.3.2 NOTAÇÃO DE CICLOS
Como o número total de operações de permutação possíveis em um conjunto de n objetos é
igual a n!, a ordem do grupo Sn cresce muito rapidamente com n. A notação de ciclos dos ope-
radores π ∈ Sn simplifica a identificação das operações possíveis e também facilita a construção
de seus subgrupos.
TRANSPOSIÇÕES. Uma transposição é uma permutação que atua somente sobre dois obje-
tos do conjunto χ, com a qual estes objetos têm suas posições trocadas no ordenamento original
de χ, mantendo os demais objetos fixos.
Dado o conjunto χ de n objetos, a transposição (mk) (m, k 6 n) troca a posição do m-ésimo
objeto pela posição do k-ésimo objeto, e vice-versa. Esta notação simplifica a representação do
operador de permutação quando este realiza somente uma transposição. Ou seja,
se π =
(
1 2 · · ·m · · · k · · · n
1 2 · · · k · · ·m · · · n
)
, pode-se escrever π = (mk) .
A composição de transposições entre (mk) e (r`) (com m, k, r, ` 6 n) pode ser representada por
(mk) ◦ (r`) ou, simplesmente, (mk) (r`), sempre mantendo a convenção direita → esquerda na
ordem das permutações. É possível verificar que o grupo Sn pode ser completamente gerado
através de composições das n− 1 transposições (12), (13), . . . , (1n).
Se uma permutação consistir em um número par de transposições, ela é denominada uma
permutação par. Se consistir em um número ímpar, é chamada de permutação ímpar. A compo-
sição de duas permutações pares ou ímpares resulta em uma permutação par, ao passo que a
composição de uma permutação par com uma permutação ímpar resulta em uma permutação
ímpar.
Exemplo 3.3. Os elementos de S3 definidos no exemplo 3.2 podem ser construídos pelas trans-
posições (12) e (13) da seguinte maneira:
π1 = (12) (12) π2 = (12) (13) (12) π3 = (12)
π4 = (12) (13) π5 = (13) (12) π6 = (13) .
Portanto, π1 = I, π4 e π5 são permutações pares, enquanto que π2, π3 e π6 são permutações
ímpares.
Autor: Rudi Gaelzer – IF/UFRGS Início: 05/2013 Impresso: 8 DE DEZEMBRO DE 2022
94 3.2. Grupos finitos
CICLOS. Dados o conjunto de n objetos χ = {χ1, . . . , χn} e o grupo simétrico Sn, composto por
todas as permutações de χ. Uma particular permutação aplicada a χ é denominada um ciclo
se esta atua sobre um subconjunto σ ⊆ χ, permutando as posições dos elementos de σ de uma
maneira cíclica, mantendo os demais elementos de χ \ σ fixos. O conjunto σ é denominado a
órbita do ciclo.
Dado o grupo Sn, de ordem n!, um determinado elemento π ∈ Sn pode ser representado
genericamente, na notaçao de Cauchy, por
π =
(
1 2 · · · i · · · n
p1 p2 · · · pi · · · pn
)
.
Define-se agora a operação π (i) = pi, a qual indica que a i-ésima posição no ordenamento de
χ passa a ser ocupada pelo objeto que estava na posição pi. Ou seja, π (1) = p1, π (2) = p2, . . . ,
π (n) = pn.
Um ciclo de extensão k (ou ciclo-k) é uma permutação π ∈ Sn para a qual existe um elemento
x ∈ χ tal que os únicos elementos movidos pela permutação são x, π (x), π2 (x), . . . , πk (x) = x.
Como exemplo, observa-se que a permutação ψ ∈ S5 dada por
ψ =
(
1 2 3 4 5
4 2 1 3 5
)
,
contém um ciclo de extensão 3, uma vez que, dado χ = {1, 2, 3, 4, 5},
χ
ψχ7−→ {4, 2, 1, 3, 5} ψ
2χ7−→ {3, 2, 4, 1, 5} ψ
3χ7−→ {1, 2, 3, 4, 5} .
Ou seja,
ψ (1) = 4, ψ2 (1) = ψ (4) = 3, ψ3 (1) = ψ (3) = 1
ψ (3) = 1, ψ2 (3) = ψ (1) = 4, ψ3 (3) = ψ (4) = 3
ψ (4) = 3, ψ2 (4) = ψ (3) = 1, ψ3 (4) = ψ (1) = 4.
Observa-se que somente os objetos 1, 3 e 4 são permutados por ψ e de uma maneira cíclica,
sendo os objetos 2 e 5 mantidos fixos.
Para escrever um operador π na notação de ciclos, o procedimento é o seguinte:
1. Selecione um objeto qualquer x ∈ χ, abra parênteses e escreva: (x
2. Trace então a órbita de x, i. e., escreva os valores das aplicações sucessivas de π:
(
xπ (x) π2 (x) . . .
3. Repita o procedimento até obter novamente x; feche então o parênteses sem repetir o valor.
Para um ciclo-k resulta então:
(
xπ (x) . . . πk−1 (x)
)
.
4. Reinicie o procedimento com um elemento y ∈ χ que não esteja na órbita de x; ou seja:(
xπ (x) . . . πk−1 (x)
) (
y . . .
5. Repita até que todos os elementos de χ resultem escritos em ciclos.
Empregando este procedimento, o operador ψ acima é denotado, na notação de ciclos, por
ψ = (143) = (431) = (314).
O ordenamento dos termos no operador pode ser alterado de forma cíclica.
Na notação de ciclos, a ação πχ corresponde à troca cíclica nas posições dos objetos em χ de
acordo com a ordem indicada por π, no sentido direita 7−→ esquerda; ou seja,
π =
(
p1 99p2
��
· · ·
��
pn
�� )
.
Por exemplo, a ação de ψ = (143) resulta em
ψχ =
(
1 ==4
��
3
�� )
{1, 2, 3, 4, 5} = {4, 2, 1, 3, 5} .
Um ciclo deve ter uma extensão k > 2, pois k = 1 significa que o objeto não é trocado de
lugar. Entretanto, para a permutação ψ acima, pode-se acrescentar os símbolos (2) e (5), ψ =
Autor: Rudi Gaelzer – IF/UFRGS Início: 05/2013 Impresso: 8 DE DEZEMBRO DE 2022
1 Sistemas de Coordenadas Curvilíneas Ortogonais
1.1 Coordenadas curvilíneas
3 Teoria de Grupos Abstratos
3.2 Grupos finitos
3.2.3 O Grupo simétrico bold0mu mumu SnSnlraiseSnSnSnSn
3.2.3.2 Notação de ciclos