MATERIAL ANAL I GEOL-MINAS

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 CAPÍTULO – I: NÚMEROS REAIS E FUNÇÕES 
I.1 – Números Reais `` Resenha Histórica`` 
Recordemos que denota o conjunto dos números naturais, 
 * +. 
Este conjunto aparece das necessidades naturais de contagem do homem. No 
entanto, revelou – se insuficiente para a operação de subtracção entre números 
naturais, motivado essencialmente pelas necessidades de comércio do homem. 
Por exemplo , que é impossível resolver em . Assim nasceu o 
conjunto dos números inteiros que para além dos naturais, contem o zero ( ) e 
os inteiros negativos. Denotamos este conjunto por , e temos: 
 * + 
Os conjuntos dos números seguintes aparecem também pela impossibilidade de 
resolver equações no conjunto prévio. Assim, o conjunto dos números racionais 
 , surge pela impossibilidade de resolver equações como: , no 
conjunto . 
O conjunto contém, pois, todos os números inteiros, bem como todas as 
fracções positivas ou negativas. Por fim, o conjunto dos números reais , 
aparece pela impossibilidade de resolver equações que envolvem potências no 
conjunto . Exemplo: . A solução desta equação é a dizima infinita 
não periódica que se denota por √ 
 
 . Estes números não podem 
ser escritos como fracções. 
Depois do conhecimento ter sido adquirido e difundido, o prosseguimento do 
raciocínio anterior, leva – nos a questionar sobre a impossibilidade de resolver 
equações do tipo , logo, para resolver temos de a considerar num 
novo conjunto de números, o conjunto dos números Complexos . 
Os números reais representam – se numa recta horizontal, orientada da esquerda 
para a direita e que se denomina por eixo numérico. O zero ( ) é esboçado a 
meio deste eixo, ficando os números negativos a esquerda e os positivos a direita. 
Para fazer a correspondência de cada ponto do eixo numérico a um número 
racional, tem que se fixar uma unidade de medida. 
Exemplo: Desenhar a recta ou eixo numérico. 
 
2 
 
I.2 – Desigualdades 
A representação geométrica dos números reais suger que este podem ser 
ordenados. Usando os símbolos usuais; maior, maior ou igual, menor, menor ou 
igual ( ). 
Exemplo: Se e e , então ; no eixo coordenado 
temos que está à esquerda de 
Para todo temos: ou , ou , ou . 
a) Desigualdades lineares 
O conjunto solução de será: 
1. Se , 
 
 
 , 0 
 
 
 0 
2. Se , 
 
 
 , 1 
 
 
1 
b) Desigualdade quadrática 
Sejam : equação do segundo grau 
 descriminante e raizes reais da equação, com 
( ). 
O conjunto solução de uma desigualdade quadrática, depende do sinal de e de 
 . 
1. Quando 
a) Se , , - - , , 
 , , - 
b) Se , , , - 
 , - - , , 
2. Quando 
a) Se , , 
 , * + 
3 
 
b) Se , , * + 
 , 
3. Quando 
a) Se , , 
 , * + 
b) Se , , * + 
 , 
Exercícios 
Encontre o conjunto solução das seguintes desigualdades: 
a) f) 
b) g) 
c) h) 
d) g) 
e) 
I.3 – Valor absoluto 
No conjunto dos números reais, definimos o módulo ou valor absoluto de um 
número como sendo a distância desse número à origem. Analiticamente definimos 
o módulo ou valor absoluto de um número , do seguinte modo: 
 | | 2
 
 
 
Propriedades dos módulos 
Os módulos gozam das seguintes propriedades: 
1. | | ; * + 
2. | | | | | | 
3. | | | | | | 
4 
 
4. |
 
 
| 
| |
| |
 , 
Da desigualdade decorrem as seguintes propriedades: 
a) | | ; * + 
b) | | ; * + 
Exercícios: Determinar as soluções para cada situação. 
1. | | 
2. | | | | 
3. | | 
4. |
 
 
| 
 
 
 
 
I.4 – Classificação de Funções em . 
I.4.1 – Definição 
Chama – se função, a uma correspondência em que cada de ( ) se 
faz corresponder a um único de ( ), onde e são os conjuntos de 
partida e chegada respectivamente. 
Representar o esquema 
 é o conjunto de partida e ao mesmo tempo domínio. 
 é o conjunto de chegada que pode ou não ser o contradomínio. 
O.B.S: O contradomínio é aquele em que todos os seus elementos servem de 
imagem aos elementos do conjunto domínio. 
O.B.S: Nem sempre todos elementos do conjunto de chegada servem de imagem 
aos elementos do conjunto domínio, logo tais conjuntos não se pode chamar de 
contradomínio. 
Ex: 
 
5 
 
I.4.2 – Função real de variável real 
Uma função é dita real e de variáveis reais, quando o domínio e o contradomínio 
estão contidos no conjunto dos números reais ( ). 
Uma função nestas condições, designa – se por ( ), onde é a variável 
independente e é a variável dependente. 
Se o domínio e o contradomínio são os conjuntos reais e , logo e 
 . 
 
I.4.3 – Função par 
Uma função é denominada de função par, se cumpre com a condição 
 ( ) ( ) e graficamente a curva desta representa uma simetria com 
relação ao eixo dos . 
Ex: ( ) , representar graficamente 
 
I.4.4 – Função impar 
Uma função é denominada de função impar, se cumpre com a condição 
 ( ) ( ) e graficamente a curva desta representa uma simetria em 
relação a origem do sistema de coordenadas rectangulares. 
Ex: , representar graficamente 
 
I.4.5 – Função injectora 
As funções em que, de diferentes elementos de obtém – se diferentes elementos 
de , denominam – se funções injectoras. 
Notação: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
Ex: ( ) ; em 
6 
 
Contra ex: ( ) , não é injectora porque se e , 
obtém – se ( ) e ( ) . Logo 
 
I.4.6 – Função sobrejectiva 
As funções em que, todos elementos de do conjunto de chegada servem de 
imagem aos elementos do conjunto domínio (partida), denominam – se funções 
sobrejectiva. 
Ex: ( ) ; em 
Contra ex: ( ) , em não é sobrejectiva porque nem todos 
elementos do conjunto chegada servem de imagem ao domínio, por exemplo 
 não pertencem a imagem. 
 
I.4.7 – Função bijectora 
As funções que são simultaneamente injectoras e sobrejectivas, denominam – se 
funções bijectivas ou bijectoras. 
Ex: ( ) ; em 
 
I.4.8 – Composição de funções 
Uma função é dita composta se a sua variável independente for uma função, isto é 
 , ( )- 
Nas operações com a composição de aplicação de funções, verifica – se as 
seguintes propriedades: 
 , propriedade ante – comutativa; 
 ( ) ( ) , propriedade associativa; 
 , é porque é inversa de e vice – versa. 
Ex: Sejam as funções ( ) , ( ) e ( ) 
 
 
. 
1. Determina as seguintes composições: 
a) b) c) d) e) f) 
7 
 
2. Demonstra as igualdades: 
a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) 
RESOLUÇÃO: 
1.a) ( ) 
 
 
 
I.4.9 – Função Inversa 
Uma determinada função ( ) admite uma função inversa( ), 
se o domínio e o contradomínio da função ( ) forem respectivamente e 
 , a sua função inversa irá admitir como domínio o conjunto e o contradomínio 
o conjunto , isto é : ( ) em 
 ( ) em 
Nota: Para a determinação da função inversa de uma determinada função, deve – 
se ter em conta os seguintes procedimentos: 
 Permutar ou trocar as variáveis por e por ; 
 Isolar em função de . 
O.B.S: Para comprovar se uma função é inversa da outra, deve – se pautar pela 
composição de duas aplicações inversas uma da outra que resulta na função 
identidade. Tal composição é comutativa, isto induz a escrever: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
Uma função é dita identidade se cada elemento transforma – se em se próprio, isto 
é quando o domínio e o contradomínio são iguais, ou seja ( ) . 
Ex: Determina as funções inversas das seguintes funções: 
a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) 
 
e) ( ) f) ( ) g) ( ) ( ) 
8 
 
h) ( ) 
RESOLUÇÃO: 
a) ( ) , logo permutando as variáveis teremos: 
 , isolando teremos; , então: ( ) é a 
inversa procurada de ( ) e vice – versa. 
Comprovação pela composição de aplicações de funções, isto é 
 ( ) ( ) , teremos: 
( ) ( ) 
 
 , no entanto as funções a cima são inversas uma da outra. 
2. Defina o domínio e o contradomínio das funções dadas bem como das suas 
inversas. 
a) ( ) ; em ´´o domínio e o contradomínio estão definidos em ´´ 
 ( ) ; em 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
TEMA I. SUCESSÕES NUMERICAS. LIMITES E PROPRIEDADES 
Definição (Sucessão), se a cada número natural ( ) se faz corresponder a um 
número real ( ) por uma regra determinada, então ao sistema de números reais 
ordenados , , , ………, denomina – se sucessão numérica ou 
simplesmente sucessão 
A cada (número), chama –se termo ou elemento da sucessão, com o qual 
denota – se o termo geral da sucessão. 
Exemplo: ; 
 
 
 ; 
 
 
 ; 
 
 
; …………….; 
 
 
 
 ; ; ; …………….; 
 ; ; ; …………….; 
Logo, as sucessões apresentadas nos exemplos anteriores são crescentes, 
constantes e decrescentes respectivamente. 
As sucessões sendo conjuntos de números reais podem ser limitadas ou não. 
Exemplo: , se 
Definição (Sucessão infinitamente grande), uma sucessão é dita infinitamente 
grande se para cada número real positivo ( ), encontra – se um número natural 
( ), tal que , e os elementos desta sucessão satisfazem a desigualdade: 
| | 
Exemplo: 
 
Nota: Nem toda a sucessão não limitada é infinitamente grande, analise o seguinte 
exemplo: ( )
 
Definição (Sucessão infinitamente pequena ou infinitesimal), a sucessão é 
infinitesimal se para cada número real estritamente positivo , encontra –se 
um número natural ( ), tal que para , os termos da sucessão satisfazem 
a desigualdade | | . 
Exemplo: 
 
 
 
10 
 
Definição (Sucessão Covergente), a sucessão é dita convergente se existe um 
número real , tal que para qualquer que seja o número real estritamente positivo 
 , encontra –se um número natural ( ), tal que, se , então os 
termos desta sucessão satisfazem a desigualdade | | . 
Exemplo: Pela definição analisa a convergência da sucessão 
 
 
 
Definição (Sucessão Divergente), uma sucessão não convergente é dita 
divergente. 
Exemplo: ( )
 
OBS: toda a sucessão infinitamente grande é divergente 
Nota: Se a sucessão é infinitamente grande, simbolicamente escreve – se: 
 
 
 
Nota(2): Se a sucessão é convergente, escreve – se 
 
 
 
Nota(3): Se a sucessão é infinitamente pequena ou infinitesimal, então: 
 
 
 
Exercícios: 
1. Diga se as sucessões são infinitamente grandes ou pequenas 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
c) ( ) 
d) 
 
 
 
2. Pela definição de sucessão convergente os seguintes limites 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
11 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
I.2. CALCULO DE LIMITES DE SUCESSÕES 
Teorema: o limite de uma sucessão convergente é único – Teorema da unicidade 
do limite (TUL). 
Demonstração: suponhamos o contrário, que existe e , limites da sucessão 
convergente , sendo . Se é limite de , então pela definição 
qualquer vizinhança de , contem quase todos os termos de . Mais se 
também é limite de , então pela definição qualquer vizinhança de , contem 
quase todos os termos de , o que é uma contradição com o facto de que quase 
todos os termos estarem já em qualquer vizinhança de . Logo o suposto é falso 
e se cumpre o teorema. 
Propriedades aritméticas dos limites de sucessões 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 
( )
( )
 
 ( )
 ( )
 , ( ) 
Obs: Sendo e sucessões convergentes 
 
 
( )
 . 
 
 /
 
 
 
 
√ 
 
 √ 
 
 
 
 
 . 
 
 
/
 
 , isto porque se . 
 
 
/
 
 , 
se . 
 
 
/
 
 ,……….. se . 
 
 
/
 
 
 , Logo, nota – se que a sucessão é limitada para todo se pertencente 
12 
 
aos números naturais, aproximando – se de um número irracional designado por 
euler que representa – se por 
Nota: . 
 
 
/
 
 
 √ 
 
 
 
 
 
 , pois que : seja √ 
 
 se 
√ 
 
 , se √ 
 
 ………, se √ 
 
 
 , então: √ 
 
 
 
 
 
 
Nota: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 {
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
Calcula os seguintes limites: 
a) 
 
 
 
 
 l) 
 
 √ 
 
 
b) 
 
 
 
 
 m) 
 
 . 
 
 
/
 
 
c) 
 
 
 
 
 n) 
 
 . 
 
 
/
√ 
 
d) 
 
 .
 
 
 
 
 
/ o) 
 
 .
 
 
/
 
 
e) 
 
 
 
√ 
 p) 
 
 .
 
 
/
 
 
f) 
 
 
 
 √ 
 q) 
 
 .
 
 
/
 
 
g) 
 
 
 
√ √ 
 r) 
 
 √ 
 
 
h) 
 
 
√ 
 
 
 s) 
 
 √( ) 
 
 
i) 
 
 
( √ )
 
 
 t) 
 
 
 
 
 
j) 
 
 √ u) 
 
 √( ) 
 
 
13 
 
k) 
 
 √ √ v) 
 
 √
 
 
 
 
 
I.3. LIMITES DE FUNÇÕES DE VARIAVEL REAL 
Definição: seja ( ) uma função de variável real, e constantes 
quaisquer, diz – se que ( ) tende para quando tende para , se a toda 
sucessão de variável tendente para corresponde a uma sucessão de valor de 
 ( ) tendente para . Simbolicamente escreve – se: 
 
 ( ) 
Exemplo: Calcula os seguintes limites 
1. 
 
 
2. 
 
 
 
 
 
3. 
 
 √ √ 
Teorema sobre limites de funções 
1. Uma função ( ) não pode tender simultaneamente para dois limites 
diferentes, quando é dada uma única tendência (Teorema da Unicidade do Limite - 
TUL) 
2. O limite de uma sucessão constante é o valor desta mesma constante.3. Se duas funções ( ) e g( ) tendem para limites finitos e quando 
tende para , então verifica – se : 
 ( ( ) ( )) 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 ( ( ) ( )) 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 .
 ( )
 ( )
/ 
 
 
 ( )
 
 
 ( )
 , 
 
 ( ) 
 
 
 , ( )- ( 
 
 ( ))
 
 
 
 
√ ( )
 √ 
 
 ( ) 
Exercícios. Calcula os seguintes limites: 
14 
 
a) 
 
 
 
 
 d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 e) 
 
 
 
 
√ 
 
( ) 
 
c) 
 
 
√ 
 
 f) 
 
 
 
( ) 
 
 
Infinitésimos 
Uma função ( ) é um infinitésimo ou infinitesimal em , se: 
 
 ( ) 
Exemplo: ( ) , é um infinitésimo em , isto é: 
 
 
 
Seja ( ) e ( ) duas funções infinitesimais em , diz – se que: 
1. As funções ( ) e ( ) têm a mesma ordem de magnitude se : 
 
 
 
 ( )
 ( )
 , 
Em particular, se , então as funções ( ) e ( ) são infinitésimos 
equivalentes. 
2. A função ( ) é um infinitésimo de ordem superior à ( ) se: 
 
 
 ( )
 ( )
 
Exemplo: sendo ( ) e ( ) , infinitésimos em 
 , analisa a ordem de magnitude. 
Solução - 
 
 
 ( )
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, as funções ( ) e ( ) têm a mesma ordem de magnitude (OM) 
Exemplo (2): sendo ( ) ( ) e ( ) ( ), funções infinitesimais 
em , analisa a ordem de magnitude. 
OBS: Alguns Infinitésimos equivalentes em 
Em pode – se obter as seguintes equivalências: 
15 
 
 ( ) , ( ) , ( ) , , 
 ( ) 
 
 
 
Nota: Pode – se obter infinitésimos equivalentes a uma soma, desfazendo os 
infinitésimos de ordem superior. 
Exemplo: Calcula 
 
 
 
 
 
Infinitos 
Definição: A função ( ) é um infinito em se 
 
 ( ) 
Exemplo: ( ) 
 
 
 é um infinito em , já que 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja ( ) e ( ) duas funções infinitas em , diz – se que: 
1. As funções ( ) e ( ) têm a mesma ordem de magnitude se 
 
 ( )
 ( )
 
Com , em particular se então as funções ( ) e ( ) 
são equivalentes. 
2. A função ( ) é de ordem inferior a ( ) se: 
 
 ( )
 ( )
 
Exemplo: As funções ( ) e ( ) , são infinitos 
quando tende para , pois que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , logo a função 
 ( ) é de ordem inferior ( ). 
Nota: Pode – se obter infinitos equivalentes a uma soma, desfazendo as funções 
infinitas de ordem inferior. 
Exercícios 
Calcula os seguintes limites 
a) 
 
 
 
 h) 
 
 √ 
 
 
 
 
b) 
 
 ( ) 
 ( ) 
 i) 
 
 
 
 
16 
 
c) 
 
 ( )
 ( )
 j) 
 
 √ 
 
 √ 
 
d) 
 
 
 
 ( )
√ ( ) 
 k) 
 
 √ √ √ 
√ 
 
e) 
 
 ( )
√ √ ( )
 l) 
 
√ 
 √ 
 
 
f) 
 
 √√ 
 
 m) 
 
 
 
 √ ( ) 
 
 √ ( ) 
 
 
 ( )
 
g) 
 
 √ 
 
 
 
 n) 
 
√ √ 
 
 
Limites Laterais 
Ao se determinar o limite de uma função ( ) quando tende para , nem 
sempre este limite existe, e mesmo que não exista é importante analisar o 
comportamento ou o que se passa na vizinhança deste ponto ( ). 
As vizinhanças do ponto ( ) são: ( ) e ( ) , vizinhança a 
esquerda e a direita respectivamente. 
Os limites laterais indicam – se por: 
 
 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 ( ), limite lateral direito. 
 
 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 ( ), limite lateral esquerdo 
Exemplo, Calcular os limites laterais das seguintes funções: 
1. ( ) 
 
 
 , em 
2. ( ) {
 
 
 
3. ( ) {
 ( ) 
 ( ) 
 
4. ( ) 
 
 
 , em 
 
17 
 
Função Contínua 
Definição: Uma função ( ) é contínua num ponto se e somente se (sse) o 
limite da função no ponto é igual ao valor da função nesse ponto, isto é: 
 
 
 ( ) ( ) 
Da definição decorre que a função ( ) só é contínua se : 
 Existe ( ) e é finita 
 Existe o limite de ( ) 
Obs: Se uma das condições não se verificar, então a função é dita descontínua. 
 
Ponto de Descontinuidade 
Seja a função ( ) definida numa vizinhança do ponto , escepto possivelmente 
no próprio ponto . O ponto é de descontinuidade da função ( ) nos 
seguintes casos: 
1.A função ( ) não está definida no ponto 
2.A função está definida no ponto , mais que: 
a) Não existe limite da função ( ). 
b)Existe limite da função ( ), mais é diferente do valor da função no ponto, ou 
seja: 
 
 
 ( ) ( ) 
 
Classificação dos pontos de descontinuidade. 
Seja um ponto de descontinuidade da função ( ), então: 
 Se existe limite da função ( ) mas, ou a função ( ) não está definida 
no ponto , ou ainda 
 
 ( ) ( ) , então é chamado ponto de 
descontinuidade evitável. 
18 
 
 Se no ponto de descontinuidade os limites laterais forem diferentes ou 
seja: 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) , então é ponto de descontinuidade 
essencial do primeiro grau (salto finito). 
 Se no ponto de descontinuidade não existe pelo menos um dos limites 
laterais, então é ponto de descontinuidade essencial do segundo grau 
(salto infinito). 
 
Exercícios 
1.Analisar a continuidade das funções e em caso de descontinuidade classifica- as. 
a) ( ) 
 
 
 , em 
b) ( ) {
 
 
 
c) ( ) {
 
 
 
( ) 
 
 
2. Para que valores de a funções dadas são contínuas? 
a) ( ) {
 
 
 
b) ( ) {
 ( ) 
 ( ) 
 
3.Determina e para que a função dada seja contínua. 
 ( ) {
( ) 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
TEMA II. CALCULODIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIAVEL 
II.1.Derivada de uma função num ponto (Significado Geométrico e Físico da 
derivada) 
Consideremos uma recta definida na forma , em que é o 
coeficiente angular da recta e a ordenada na origem. Sendo ainda ( ) e 
 ( ) dois pontos quais queres da recta, conforme a figura: 
 
No triângulo , pode – se verificar que: 
 
 
 
 
 
 , então 
 
Definição: Chama – se coeficiente angular ou declive de uma recta, a razão entre a 
diferença das ordenadas de dois pontos quais queres da recta e a correspondente 
diferença entre as abcissas, ou seja 
 
 
 
Exemplo: Calcula os declives das seguintes rectas; 
a) b) c) d) 
Resolução, a partir da recta acha – se dois pontos quais queres, 
isto é atribuindo dois valores arbitrários a variável independente , obtendo assim 
os pontos desejados e de seguida substitui – se na definição 
 
 
, 
encontrando assim o declive. Outro sim a partir da definição , 
sabendo que é o coeficiente angular obtém – se facilmenteo declive. 
Seja ( ) uma função contínua em - , . 
Na figura a baixo, consideremos a curva representativa da função ( ). 
Na figura verifica – se que: 
1. O seguimento ̅̅ ̅̅ , acréscimo ou incremento de 
2. O seguimento ̅̅ ̅̅ ( ) ( ) , acréscimo ou 
incremento que resulta da função ( ). 
Assim pode – se obter o declive da secante a curva que passa pelos pontos e 
 ̅̅ ̅̅ 
 
 
 
 ( ) ( )
 
 
 
 
 (1) 
20 
 
Fazendo em (1) (2) 
Substituindo a expressão (2) em (1) vem: 
 ̅̅ ̅̅ 
 
 
 
 ( ) ( )
 
 
 ( ) ( )
 
 (3) 
Nota: Se o ponto tender para o ponto , então vai tender para , logo 
tenderá para zero ( ) , isto é: a recta secante tenderá a recta tangente, passando 
apenas pelo ponto . 
O limite da tangente à curva no ponto , é dado pelo limite da razão incremental 
desde que este limite exista, quando ( ) . 
Definição: Chama – se derivada da função ( ) em relação a no ponto 
 , ao limite se existir do quociente entre o acréscimo da função ( ) e do 
acréscimo da variável ( ) , no ponto , quando ( ) , ou seja 
 
 ( ) ( )
 
 
Neste caso o valor deste limite denomina – se derivada da função no ponto e 
denota – se por ( ) , então pela definição escreve – se: 
 ( ) 
 ( ) ( )
 
 ou simplesmente ( ) 
 ( ) ( )
 
 
Exemplo: Calcula as derivadas das seguintes funções aplicando a definição 
1. ( ) 2. ( ) 3. ( ) 4. ( ) 5. ( ) 
6. ( ) 
 
 
 7. ( ) √ 
Solução(1): A partir da definição ( ) 
 ( ) ( )
 
 substituindo a 
função na definição, vem ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
PROPRIEDADES 
Teorema (relação entre continuidade e derivada): Se a função ( ) é derivável no 
ponto , então é contínua em . 
Nota: O recíproco nem sempre é valido. 
Exemplo: ( ) | | , . A função é contínua em pois que. 
21 
 
 ( ) | | e | | | | , mais 
 ( ) 
 ( ) ( )
 
 
| | | |
 
 
__ Se | | , logo: 
 ( ) 
 
| | | |
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
__ Se | | ( ) , logo: 
 ( ) 
 
| | | |
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então o 
 ( ) ( )
 
 , não existe, o que significa que ( ) não é 
derivável. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I.INTRODUÇÃO AO CÁLCULO INTEGRAL 
I.I – PRIMITIVA DE UMA FUNÇÃO 
Definição: seja ( ) uma função definida num intervalo . Diz-se que a 
função ( ) éuma primitiva da função ( ) em , se: ( ) ( ), para 
todo o 
Ex: ( ) 
 
 
 , é uma primitiva da função ( ) , pois que 
 ( ) ( ) 
As funções ( ) 
 
 
 e ( ) 
 
 
 , também são primitivas 
de ( ) 
Em geral uma função admite uma infinidade de primitivas sobre um 
intervalo. 
 Calcula as primitivas das seguintes funções: 
a) ( ) b) ( ) c) ( ) 
 
 
 d) ( ) 
e) ( ) 
 
 f) ( ) g) ( ) 
I.2.INTEGRAL INDEFINIDA 
24 
 
Definição: Chama-se integral indefinida da função ( ), à toda a 
expressão ( ) , em que ( ) é a função primitiva de ( ) e uma 
constante qualquer, isto é . 
A integral indefinida denota-se por: ∫ ( ) ( ) 
Da definição de integral indefinida, decorre que: ∫ ( ) ( ) , só 
e só se ( ) ( ). 
Obs: Assim o processo de integrar se reduz a descobrir uma função 
conhecendo apenas sua derivada; usando a tabela de derivadas, obtemos 
uma lista de integrais chamadas imediatas. Esta lista p+ode ser 
comprovada derivando cada resultado da integral e consultando a tabela 
de derivada. Ex: Na tabela de derivada temos: 
 ( ( )) 
 
 
 ; então, ∫
 
 
 ( ) 
I.3.REGRAS DE INTEGRAÇÃO IMEDIATA 
As integrais indefinidas gozam das seguintes regras: 
1. ∫ 2. ∫ 
 
 
 ( ) 
3. ∫ 
 
 ( )
 4. ∫ ( ) ( ) 
5. ∫
 
 
 ( ) 6. ∫ 7. ∫ ( ) ( ) 
8. ∫ ( ) ( ) 9 . ∫ ( ) ( ) 
10. ∫ ( ) ( ) ( ) 11 . ∫ ( ) ( ) ( ) 
Teorema: (Linearidade): Sejam e primitivas de e , respectivamente, 
num intervalo e , . Então, é uma primitiva de , 
e ∫( ( ) ( )) ∫ ( ) ∫ ( ) 
Teorema: Se e são primitivas de ( ) num certo intervalo, então 
 é uma constante neste intervalo. 
Exercícios. 
Calcular as seguintes integrais: 
a) ∫ b) ∫ c) ∫ 
 
 d) ∫ e) ∫( ) 
25 
 
f) ∫( ) g) ∫ h) ∫√ ( ) i) ∫( )( ) 
j) ∫ . ( ) 
 
 
 / k) ∫( ) l) ∫
 
 
 m) ∫
 
√ 
 
n) ∫ .√ 
 
√ 
 /
 
 o) ∫ √ 
 
 p) ∫ q) ∫
 
 
 
r) ∫
 
√ 
 s) ∫(√ )( √ ) t) ∫
 
 
 u) ∫
 
 
 
√ 
 
v) ∫ . 
 ( )
 
 
 
 
/ x) ∫( ) y) ∫
√ 
 
 
w) ∫ (√ 
 
√ 
) z) ∫
 
 
 
 
 
1.4-METODOS DE INTEGRAÇÃO 
1.4.1 METODO DE SUBSTITUIÇÃO 
Quando se necessita calcular a integral de uma função e não se sabe de imediato a sua 
primitiva, efectua – se nessa integral a mudança de variável, isto é: sendo ∫ ( ) , e 
fazendo ( ) e ( ) , tem-se: ∫ ( ) ∫ , ( )- ( ) 
Nota: Usualmente escolhe-se a mudança de variável na forma ( ) em vez de 
 ( ) 
Exemplos: 
Calcula as seguintes integrais: 
1. ∫
 
 
 2. ∫ ( ) 3. ∫
 
 
 4. ∫ ( ) 5. ∫
 
√ 
 
6. ∫( ) 7. ∫( ) 8. ∫
 ( )
 
 9. ∫
 ( )
 ( ) ( ) 
 
10. ∫
 
 
 11. ∫
 
 
 12. ∫
 ( ( ))
 
 13. ∫
 
 
 
14. ∫
 .
 
 
/
 
 15. ∫ ( ) ( ) 
1.4.1.1- ALGUNS CASOS DE SUBSTITUIÇÕES 
26 
 
 Se o integrando só contém a função ( ), a sua substituição será: 
 ( ) {
 ( )
 
 
 
 
 Se o integrando tem a forma ( ) ( ), onde pelo menos um dos 
e é impar, sendo , tem-se: 
∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) 
∫ ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( ( )) ( ) , Fazendo as 
substituições, teremos ( ) ( ) 
 Dado o integrando ( ) ( ), em que e são números não 
negativos e pares, onde e , ( ) 
 ( )
 
 e 
 ( ) 
 ( )
 
 , teremos as seguintes substituições: 
∫ ( ) ( ) 
 ∫ ( ) ( ) ∫(
 ( )
 
)
 
(
 ( )
 
)
 
 
 Se o integrando contem o radical do tipo √ , faz-se ( ) 
 Se o integrando contem o radical do tipo √ , faz-se ( ) 
 Se o integrando contem o radical do tipo √ , faz-se ( ) 
 Integrandos que apresentam expressões do tipo: 
1. ∫
 
 
 2. ∫
 
 
 3. ∫
 
√ 
 4. ∫
 
√ 
 
Exemplos: 
Calcula: 
a). ∫
 ( )
 ( )
 b). ∫
 ( )
 ( )
 c). ∫ ( ) ( ) 
d) ∫ ( ) ( ) 1. ∫ ( ) 2. ∫
 
 ( ) ( )
 
3. ∫
√ 
 
 4. ∫
 
√ 
 5. ∫
 
√ 
 6. ∫
 
 
 
a). ∫
 
 
 b). ∫
 
 
 c). ∫
 
√ 
 d) .∫
 
√ 
 
e) ∫
 
√f). ∫
 
 
 
1.4.2-METODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES 
Sejam ( ) e ( ), funções deriváveis num certo intervalo . Sabe-se que a derivada 
do produto de duas funções é dada por: 
27 
 
 , ( ) ( )- ( ) ( ) ( ) ( ) ou equivalente a 
 ( ) ( ) , ( ) ( )- ( ) ( ). Integrando ambos membros: 
∫ ( ) ( ) ∫, ( ) ( )- ∫ ( ) ( ) ; 
∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) . 
Fazendo: {
 ( )
 ( ) 
 e {
 ( )
 ( ) 
 , logo: 
∫ ∫ 
 
Exemplos: 
Calcula as integrais: 
a) ∫ b) ∫( ) ( ) c) ∫ ( ) d) ∫ ( ) 
e) ∫ 
 
 f) ∫ ( ) g) ∫ ( ) ( ) ( ) 
h) ∫ ( ) i) ∫( ) ( ) j) ∫ k) ∫ 
l) ∫ .
 
 
/ m) ∫ ( ) 
Esquema integral de funções elementares (LIATE): L- Logaritmica, I- Inversa, A- 
Algébrica, T- Trigonométrica e E- Exponencial 
O esquema consiste em: 
1. Escolher entre as duas funções que aparecem sob o sinal de integral como a: 
 - a função cuja letra inicial de caracterização posiciona - se mais na esquerda do ano 
grama. 
2. Para a formação do diferencial, a função cuja letra inicial d caracterização 
posiciona – se mais a direita no anograma. 
Concluindo, deve caracterizar – se pela letra mais próxima de , e pela letra mais 
próxima de . 
Exemplos: 1. ∫ ( ) 2
 
 ( ) 2. ∫ ( ) {
 ( )
 
 
O.B.S: Quando a função integranda envolve só um tipo de função nas definidas pelo 
LIATE, a escolha é aleatória não interessa o anograma. 
 
28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II. INTEGRAL DEFINIDA 
II.1. DEFINIÇÃO 
Considera a função ( ), continua e positiva num intervalo limitado e fechado, cujos 
extremos são , -, conforme a figura:xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 
Dividindo o intervalo , - em intervalos; , de 
amplitude não necessariamente todas iguais. 
Seja , o maior dos intervalos, considerando um ponto em cada um dos intervalos ; 
 tais que , -. 
Multiplicando o comprimento de cada um dos intervalos pelo valor que a função toma num ponto 
de cada um dos intervalos, obteremos um somatório que representaremos por: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
Ou seja: ∑ ( ) ( )
 
 . 
Fazendo tender para infinito ( ), o número de intervalos também tenderá para infinito e 
consequentemente a amplitude de cada intervalo tenderá para zero ( ). 
O limite do somatório ( ∑), isto é a soma de infinitas parcelas representa – se por ∫ , que se 
denomina integral, e escreve – se: 
 
 
∑ ( ) ( )
 
 ∫ ( ) ∫ ( ) 
 
 
 
 
 ( ) 
29 
 
A integral ( ), chama – se integral definida entre e , onde e são os limites de 
integração, inferior e superior respectivamente 
II.2. PROPRIEDADES 
 Sejam e primitivas de e , respectivamente, num intervalo e , . Então, 
 é uma primitiva de , e ∫ ( ( ) ( )) 
 
 
 
 ∫ ( ) 
 
 
 ∫ ( ) 
 
 
 (teorema da linearidade) 
 O sinal da integral muda quando trocamos os limites de integração: 
 ∫ ( ) 
 
 
 ∫ ( ) 
 
 
 
 Para três números arbitrários , e , verifica – se: 
∫ ( ) 
 
 
 ∫ ( ) ∫ ( ) 
 
 
 
 
 , sendo 
 Se ( ) é uma primitiva da função continua ( ), então: 
∫ ( ) 
 
 
 ( ) ( ), Teorema fundamental do calculo 
 A integral definida será igual a zero ( ) se os limites de integração forem iguais. 
∫ ( ) 
 
 
 ( ) ( ) 
 
Exemplos. 
1.Calcula: 
a) ∫ 
 
 
 b) ∫ 
 
 
 c) ∫ ( ) 
 
 
 d) ∫ ( ) 
 
 
 
 
e) ∫
 
 
 
 
 
 
 
 f) ∫ 
 
 
 g) ∫ ( ) 
 
 
 h) ∫ ( ) 
 
 
 
i) ∫ . 
 
 
 
 / 
 
 
 
2.Dada a função ( ) , calcula a integral nos intervalos indicados: 
, -, , - e , -. 
II.3. METODOS 
Os métodos das integrais definidas são os mesmos vistos nas integrais indefinidas (método de 
integração por substituição e o método de integração por partes) 
II.3.1. Método de substituição: Se ( ), então ( ) ; logo: 
∫ , ( )- ( ) ∫ ( )
 ( )
 ( )
 
 
 
II.3.2. Método de integração por partes: 
30 
 
∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( )
 
 
 ( )
 
 
 
Exemplos: 
Calcula: a) ∫ √ 
 
 
 b) ∫
 
 
 
 
 
 c) ∫
 
 √ 
 
 
 
 
d) ∫ ( ) 
 
 
 e) ∫ ( ) ( )
 
 
 
 f) ∫ 
 
 √ 
 
 
√ 
 g) ∫ ( ) 
 
 
 
 
II.4. CALCULO DE ÁREAS 
O cálculo da área de uma região plana pode ser feito via integral definida. 
Teorema: A área de uma região plana definida pelo gráfico das funções continuas ( ) 
e ( ) e pelas rectas e é: ( ) ∫ , ( ) ( )- 
 
 
. 
Observações: 
1. Se ( ) e ( ) , , - , então: 
 ( ) ∫ ( ) 
 
 
, onde *( ) ⁄ ( )+ 
fg . 
Exemplo: Calcula a área da função limitada pelo gráfico ( ) no intervalo , -. 
2. Se ( ) e ( ) , , - , então: 
 ( ) ∫ ( ) 
 
 
, onde *( ) ⁄ ( ) + 
Fg. 
3. Se ( ) ( ), , - , então: 
 ( ) ∫ , ( ) ( )- 
 
 
, onde: *( ) ⁄ ( ) ( )+ 
Fg. 
Exemplo: ( ) e ( ) 
 
4. Se ( ) ( ), , e ( ) ( ), , então : , 
onde: *( ) ⁄ ( ) ( )+ e 
 *( ) ⁄ ( ) ( )+ 
31 
 
 ( ) ∫, ( ) ( )- ∫, ( ) ( )- 
 
 
 
 
 
Fg 
Nota: seja ( ) uma função tal que ( ) ( ), exemplo a função ( ), tem – se 
que ∫ ( ) ∫ ( ) 
 
 
 
 
, para qualquer outro tipo de simetria pode – se proceder da 
mesma forma 
Exercícios 
Calcula a área limitada pelos gráficos das funções nas respectivas restrições: 
a) ( ) , com o eixo dos 
b) ( ) e ( ) 
 
 
 
c) ( ) 
d) e 
e) e 
f) ( ) ( ), em, - 
g) ( ) 
h) ( ) , com o eixo dos em, - 
i) , com o eixo dos 
j) , com o eixo dos 
k) e