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CAPÍTULO 3. Teoria de Grupos Abstratos 91
Estas permutações podem ser representadas com um total de |Sn| operadores através da
notação de duas linhas de Cauchy,
πp =
(
1 2 · · · n
p1 p2 · · · pn
)
, (3.5)
onde pj = i, com i, j = 1, . . . , n. A primeira linha de πp indica o ordenamento inicial dos elementos
de χ (antes da permutação), enquanto que a segunda linha indica o ordenamento em relação às
posições iniciais.
Há ao todo n índices pj os quais assumem valores entre 1 e n de forma excludente, ou seja,
não é possível ocorrer p1 = p2, por exemplo. Se p1 = i, isto indica que o objeto que estava ori-
ginalmente na i-ésima posição passou a ocupar a primeira posição no novo ordenamento dos
elementos de χ. Por sua vez, p2 = ` (` = 1, . . . , n, mas ` 6= i) indica que o objeto que estava origi-
nalmente na `-ésima posição passou a ocupar a segunda posição, e assim consecutivamente.
A operação de permutação πp sobre χ pode ser interpretado como uma bijeção do tipo
χ
πp7−→ χ,
ou seja, um mapeamento de χ sobre si mesmo. A aplicação de πp sobre χ resulta no mesmo
conjunto de objetos, porém rearranjados. Este “novo” conjunto pode ser identificado por ψ, por
exemplo, para ser distinguido de χ. Este procedimento pode ser representado por
ψ = πpχ.
Exemplo 3.2 (O grupo S3). Considere um conjunto de 3 objetos, χ = {1, 2, 3}. O número total de
permutações possíveis sobre χ é igual a 3! = 6. Esses operadores podem ser representados por
π1 =
(
1 2 3
1 2 3
)
π2 =
(
1 2 3
1 3 2
)
π3 =
(
1 2 3
2 1 3
)
π4 =
(
1 2 3
2 3 1
)
π5 =
(
1 2 3
3 1 2
)
π6 =
(
1 2 3
3 2 1
)
.
Nota-se que π1 mantém o ordenamento original inalterado. A figura 3.1 ilustra todas essas
permutações na ordem de operadores apresentada acima.
O conjunto de operadores de permutação de 3 objetos é definido então como
S3
.
= {π1, π2, π3, π4, π5, π6} .
Posteriormente, no exercício 3.4, será demonstrado que este conjunto forma um grupo.
Após se realizar duas permutações consecutivas em χ, o ordenamento final pode ser descrito
na forma de um operador do tipo (3.5) através de uma composição de permutações. Se πa e πb
são dois operadores do tipo (3.5) e estes são aplicados consecutivamente sobre χ, o ordenamento
final pode ser descrito na forma de um terceiro operador πc, obtido a partir da operação
πb (πaχ) ≡ (πb ◦ πa)χ ≡ πbπaχ = πcχ. (3.6)
Figura 3.1: As 6 permutações possíveis sobre um con-
junto de 3 objetos.
Figura 3.2: Os ordenamentos finais de χ após as com-
posições π3 ◦ π2 = π5 e π2 ◦ π3 = π4.
Autor: Rudi Gaelzer – IF/UFRGS Início: 05/2013 Impresso: 8 DE DEZEMBRO DE 2022
92 3.2. Grupos finitos
Desde já chama-se a atenção que, em geral, πb ◦ πa 6= πa ◦ πb.
A composição de permutações é um caso particular de uma composição de funções bijetoras,
ou seja, a operação resultante da aplicação de uma função bijetora à imagem de uma outra
função bijetora. A composição de permutações sobre o conjunto χ pode ser representada por
χ
πa7−→ χ
πb7−→ χ, ou seja, χ; πaχ; πb (πaχ) .
Exercício 3.3. Considere o mesmo conjunto de 3 objetos, χ = {1, 2, 3} e os operadores de per-
mutação empregados no exemplo 3.2. Realize as composições π3 ◦ π2 e π2 ◦ π3 e identifique os
operadores resultantes.
Resolução. Realizando-se as permutações, resulta
(π3 ◦ π2)χ = π3 (π2χ) = π3
[(
1 2 3
1 3 2
)
{1, 2, 3}
]
= π3 {1, 3, 2} =
(
1 2 3
2 1 3
)
{1, 3, 2} = {3, 1, 2} = π5χ.
Ou seja, π3 ◦ π2 = π5. Por sua vez,
(π2 ◦ π3)χ = π2
[(
1 2 3
2 1 3
)
{1, 2, 3}
]
=
(
1 2 3
1 3 2
)
{2, 1, 3} = {2, 3, 1} = π4χ.
Ou seja, π2 ◦ π3 = π4. A figura 3.2 ilustra estas composições.
3.2.3.1 VERIFICAÇÃO DOS AXIOMAS DE GRUPO
O grupo simétrico Sn sobre o conjunto χ = {1, 2, . . . , n} será formado, portanto, não pelos n
objetos que compõe χ, mas sim pelos |Sn| = n! operadores de permutação πp definidos em (3.5),
frente a composição de permutações (3.6), a qual é a operação de multiplicação de grupo. Ou
seja,
Sn = {π1, π2, . . . , πn!; ◦} .
Para verificar que Sn é de fato um grupo, este deve satisfazer os axiomas apresentados na
definição 3.1. Ou seja:
1. Clausura. Dados πa, πb ∈ Sn, a composição de permutações πa ◦ πb irá simplesmente gerar
um rearranjo dos elementos de χ. Portanto, πa ◦ πb ∈ Sn.
2. Associatividade. A condição de associatividade é satisfeita, porque a composição de fun-
ções bijetoras é uma operação associativa.
3. Identidade. A operação trivial de permutação
I =
(
1 2 3
1 2 3
)
tal que Iχ = χ
é o elemento identidade de Sn, pois para todo π ∈ Sn, I ◦ π = π ◦ I.
4. Elemento inverso. Toda bijeção possui uma função inversa que desfaz a operação inicial.
Em consequência, para toda permutação π ∈ Sn existe um elemento π−1 ∈ Sn tal que
π−1 ◦ π = π ◦ π−1 = I.
Exercício 3.4. Demonstre que o conjunto S3 forma um grupo, obtenha a ordem de cada ele-
mento e os períodos do grupo e construa a sua tabela de multiplicação.
Resolução. Os elementos de S3 já foram identificados no exemplo 3.2, com π1 = I. Realizando-se
todas as composições de permutações possíveis, é fácil verificar que
II = I π2I = π2 π3I = π3 π4I = π4 π5I = π5 π6I = π6
Iπ2 = π2 π2π2 = I π3π2 = π5 π4π2 = π6 π5π2 = π3 π6π2 = π4
Iπ3 = π3 π2π3 = π4 π3π3 = I π4π3 = π2 π5π3 = π6 π6π3 = π5
Autor: Rudi Gaelzer – IF/UFRGS Início: 05/2013 Impresso: 8 DE DEZEMBRO DE 2022
1 Sistemas de Coordenadas Curvilíneas Ortogonais
1.1 Coordenadas curvilíneas
3 Teoria de Grupos Abstratos
3.2 Grupos finitos
3.2.3 O Grupo simétrico bold0mu mumu SnSnlraiseSnSnSnSn
3.2.3.1 Verificação dos axiomas de grupo