Text Material Preview
6.4. Mínimo múltiplo comum 95 6.4 Mínimo múltiplo comum Considere duas ou mais expressões algébricas. O mínimo comum entre elas (mmc) será a expressão algébrica de menor grau e que seja divisível simultaneamente por todas as expressões dadas. Sendo assim, é possível obter o mmc da seguinte forma: i. Fatora-se cada expressão dada. ii. Forma-se o produto dos fatores comuns e não comuns a todas as expressões, tomados com seus maiores expoentes. Exemplo 6.11 O mmc entre 14x +7y e 6x +3y é obtido da seguinte forma: 14x +7y = 7(2x + y) e 6x +3y = 3(2x + y). Observe que os fatores comuns e não comuns são: 7, 3 e 2x + y. Portanto, o mmc procurado é: 7 ·3 · (2x + y) = 21(2x + y). Exemplo 6.12 Considere as expressões algébricas P (x) = 25x2+10x +1, Q(x) = 1−25x2 e R(x) = 1+5x. Temos que: P (x) = 25x2 +10x +1 = (5x)2 +2 · (5x) ·1+12 = (1+5x)2 Q(x) = 1−25x2 = 12 − (5x)2 = (1+5x)(1−5x) R(x) = 1+5x Então, os fatores que irão compor o mmc(P,Q,R) são: (1+5x)2 e 1−5x, e ele será mmc(P,Q,R) = (1−5x)(1+5x)2. O mmc de expressões algébricas é muito importante para se efetuar as operações entre as frações algébricas. A próxima seção deixará isso mais claro. 6.5 Operações com frações algébricas Para se efetuar as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão de frações algébricas, procedemos da mesma forma como nas frações numéricas. Adição e Subtração Se os denominadores forem diferentes, deve-se reduzí-las ao mesmo denominador, efetuar as operações indicadas e, se possível, simplificar a fração algébrica resultante. Uma forma de reduzir as frações algébricas ao mesmo denominador é determinando o mmc entre eles. Vejamos um exemplo: Exemplo 6.13 Efetue o que se pede: a) y −1 y +1 + 3y y2 −1 b) a −b 4a2 −4b2 − a +b 3a2 +6ab +3b2 96 Capítulo 6. Tópicos de Cálculo Algébrico Resolução: a) Temos que y +1 não é fatorável e que y2−1 = y2−12 = (y +1)(y −1). Logo, o mmc é dado por (y +1)(y −1). Então: y −1 y +1 + 3y y2 −1 = (y −1)2 +3y (y +1)(y −1) = y2 + y +1 y2 −1 . b) Temos que 4a2 −4b2 = 4(a2 −b2) = 4(a +b)(a −b) e que 3a2 +6ab +3b2 = 3(a2 +2ab +b2) = 3(a +b)2. Então, os fatores que irão compor o mmc são: 4, 3, (a +b)2 e (a −b). Sendo assim, o mmc é dado por 3 ·4 · (a −b)(a +b)2 = 12(a −b)(a +b)2. Logo: a −b 4a2 −4b2 − a +b 3a2 +6ab +3b2 = a −b 4(a +b)(a −b) − a +b 3(a +b)2 = 3(a +b) · (a −b)−4(a −b) · (a +b) 12(a −b)(a +b)2 = (a +b)(a −b)(3−4) 12(a −b)(a +b)2 =− 1 12(a +b) sendo a 6= −b. Multiplicação Nessa operação, basta multiplicar numerador com numerador e denominador com denominador, sendo que, se for possível, simplifica-se a fração algébrica resultante. Exemplo 6.14 Efetue o produto 9a2 −4b2 9a2 −12ab +4b2 · 12a −8b 3ab +2b2 . Resolução: 9a2 −4b2 9a2 −12ab +4b2 · 12a −8b 3ab +2b2 = (3a)2 − (2b)2 (3a)2 −2 ·3a ·2b + (2b)2 · 4(3a −2b) b(3a +2b) = (3a +2b) (3a −2b) ·4(3a −2b) (3a −2b)2 ·b(3a +2b) = 4 b , sendo que deve-se ter b 6= 0 e b 6= ±3 2 a. Tópicos de Cálculo Algébrico Mínimo múltiplo comum Operações com frações algébricas
