Text Material Preview
1.3. Principais símbolos utilizados 9
1.3 Principais símbolos utilizados
A matemática moderna é essencialmente uma ciência simbólica. Na seção anterior,
vários símbolos matemáticos foram apresentados e, além deles, muitos outros serão
utilizados indiscriminadamente em todo o restante do texto desse livro.
Uma lista com os principais símbolos aqui utilizados, juntamente com seus signifi-
cados, é apresentada na Tabela 4.
Tabela 4 – Principais símbolos matemáticos utilizados nesse livro e seus respectivos
significados.
Símbolo Significado
∀ Para todo
∈ Pertence
∉ Não pertence
∃ Existe
@ Não existe
∃! Existe um único
⊂ Está contido
6⊂ Não está contido
⊆ Está contido ou é igual
⊃ Contém
6⊃ Não contém
⊇ Contém ou é igual
( Está contido e é diferente (subconjunto próprio)
) Contém e é diferente (subconjunto próprio)
t q ; ou | Tal que
i e Isto é
� ou c.q.d Fim de uma demonstração (lê-se: como queríamos demonstrar)
∴ Portanto (ou: logo)
:= é igual por definição
=⇒ implica que (ou: Se... então)
⇐⇒ é equivalente a (ou: Se, e somente se)
=⇒/ Não implica que
; Conjunto vazio
N Conjunto dos números naturais
Z Conjunto dos números inteiros
Q Conjunto dos números racionais
I Conjunto dos números irracionais
R Conjunto dos números reais
C Conjunto dos números complexos
Na próxima seção passaremos para o entendimento de algumas das principais
técnicas de demonstração.
10 Capítulo 1. Introdução às Técnicas de Demonstração
1.4 Técnicas de demonstração
Teoremas, proposições, corolários, lemas e conjecturas sempre são apresentados como
relações de implicação ou de equivalência, ie, p =⇒ q ou p ⇐⇒ q . Caberá ao leitor a
função de identificar qual parte do teorema é a hipótese, p, e qual é a tese, q . Vejamos
alguns exemplos:
Exemplo 1.13
a) (Teorema de Pitágoras) Se a é a hipotenusa e b e c são os catetos de um triângulo
retângulo, então a2 = b2 + c2. Nesse teorema, tem-se que:
− Hipótese (H): a é a hipotenusa e b e c são os catetos de um triângulo retângulo;
− Tese (T ): a2 = b2 + c2.
b) (Conjectura de Goldbach) Todo número par maior do que 2 é a soma de dois números
primos. Então:
− Hipótese (H): número par maior do que 2;
− Tese (T ): é a soma de dois números primos.
Demonstração Direta
É a mais natural técnica de demonstração. Para o caso p =⇒ q , se baseia em consi-
derar que a hipótese p é verdadeira e, a partir disso, com base em uma sequência de
argumentos lógicos verdadeiros, concluir que a tese q também é verdadeira.
Já no caso p ⇐⇒ q , basta lembrar que ela pode ser considerada como p =⇒ q e
q =⇒ p, sendo que, cada um desses casos deve ser verificado conforme descrito no
parágrafo anterior.
Observação 1.4 (Ida e Volta) No caso p ⇐⇒ q, é comum denominarmos a demonstra-
ção da parte p =⇒ q de “ida” e da parte q =⇒ p de “volta”. Portanto, no caso de uma
relação de implicação deve-se demonstrar apenas a ida, e, no caso de uma relação de
equivalência deve-se demonstrar a ida e a volta.
Vejamos dois exemplos da aplicação desse método de demonstração, um para uma
afirmação implicativa e outro para uma afirmação de equivalência. Mas, antes disso,
como parte do raciocínio lógico a ser utilizado nessa seção, apresentamos o conjunto
dos números inteiros
Z= {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}
juntamente com uma definição muito importante.
Definição 1.12 Seja x um número inteiro par e y um número inteiro ímpar. Então:
a) ∃ n1 inteiro tq x = 2n1.
Por exemplo:
−6 = 2 · (−3), −2 = 2 · (−1), 0 = 2 ·0, 2 = 2 ·1, 8 = 2 ·4, 22 = 2 ·11, . . .
Introdução às Técnicas de Demonstração
Principais símbolos utilizados
Técnicas de demonstração