Textos de apoio_Medidas de localizacao

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<p>1</p><p>Texto de apoio de Estatística I: Ano 2021</p><p>Por: Firmino Alberto Guiliche</p><p>CAPÍTULO 4. MEDIDAS DE LOCALIZAÇÃO</p><p>A Média, a Moda e a Mediana, são as três medidas de localização mais utilizadas</p><p>para resumir dados e são conhecidas como medidas de tendência central.</p><p>Para além das medidas de tendência central existem outras medidas de localização</p><p>como os Quartís, Decís, Percentís (Centis) e outros Quantis (Separatrizes).</p><p>3.1. Medidas de tendência central</p><p>3.1.1. Média de uma variável</p><p>A média tem aplicação para variáveis quantitativas e é mais apropriada para</p><p>distribuições com um valor modal.</p><p>O cálculo da média compreende três formulações: Aritmética, Geométrica e</p><p>Harmónica. Qualquer das formulações pode ser calculada para dados não</p><p>agrupados (Média simples) ou para dados agrupados (Média ponderada).</p><p>Na média simples cada valor é atribuído importância (peso) igual na média,</p><p>enquanto que na média ponderada os valores do conjunto têm importâncias (pesos)</p><p>diferentes. Estes pesos, são as frequências relativas ou absolutas associadas a cada</p><p>valor (variante) da variável e calcula-se pela seguinte fórmula.</p><p>Média Aritmética( X )</p><p>Para dados simples:</p><p>n</p><p>x</p><p>= X</p><p>i</p><p>onde:</p><p>X = média aritmética</p><p>xi = valores da variável (variante)</p><p>n = número de observações</p><p>Para dados agrupados:</p><p>f</p><p>f x</p><p>= X</p><p>i</p><p>n</p><p>1 = i</p><p>ii</p><p>n</p><p>1</p><p></p><p></p><p>i</p><p>Para dados agrupados em intervalos de classe, assume-se como Xi, o ponto médio do</p><p>intervalo de classe.</p><p>2</p><p>Texto de apoio de Estatística I: Ano 2021</p><p>Por: Firmino Alberto Guiliche</p><p>Média Geométrica (G)</p><p>A média geométrica de um conjunto n de valores é a raiz n-ésima do produto desses</p><p>valores.</p><p>Para dados simples:</p><p>n i</p><p>1</p><p>x =G</p><p>n</p><p>i</p><p></p><p>Para dados agrupados:</p><p>fi fi</p><p>i</p><p>1</p><p>x =G </p><p></p><p>n</p><p>i</p><p></p><p>Média Harmónica (H)</p><p>A média harmónica de um conjunto de valores é igual ao inverso da média</p><p>aritmética dos inversos desses valores.</p><p>Para dados simples:</p><p>i1 x</p><p>1</p><p>n</p><p>= H</p><p>n</p><p>i</p><p></p><p>Para dados agrupados:</p><p>ix</p><p>f</p><p>f</p><p>= H</p><p>i</p><p>n</p><p>1</p><p>i</p><p>n</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>i</p><p>i</p><p>3</p><p>Texto de apoio de Estatística I: Ano 2021</p><p>Por: Firmino Alberto Guiliche</p><p>Exemplo de cálculo da média para dados simples</p><p>Com base nos valores 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12, o número de pares de sapatos</p><p>produzidos por uma sapataria durante uma semana. Calcular a produção média dia</p><p>ao longo da semana.</p><p>Média aritmética:</p><p>0,14</p><p>7</p><p>121816+1513 14 + 10</p><p>= X </p><p></p><p>Média Geométrica:</p><p>8,1312181615131410 x =G 7n i</p><p>1</p><p></p><p></p><p>xxxxxx</p><p>n</p><p>i</p><p></p><p>Média harmónica:</p><p>6,13</p><p>12</p><p>1</p><p>18</p><p>1</p><p>16</p><p>1</p><p>15</p><p>1</p><p>13</p><p>1</p><p>14</p><p>1</p><p>10</p><p>1</p><p>7</p><p>x</p><p>1</p><p>n</p><p>= H</p><p>i1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>n</p><p>i</p><p>Digamos que durante a semana, a referida sapataria produziu em média cerca de 14</p><p>pares de sapatos por dia.</p><p>Exemplo de cálculo da média para dados agrupados</p><p>Um aluno obteve no primeiro semestre as seguintes notas em Matemática na escala</p><p>de 1 a 20 valores: 1º teste - 6; 2º teste - 7; exame - 8. O peso do 1º teste era igual a 3, o</p><p>do 2º era 2 e do exame era igual a 5. A nota média da disciplina será:</p><p>Média aritmética:</p><p>2,7</p><p>5 + 2 + 3</p><p>5) x (8 + 2) x (7 + 3) x (6</p><p>= X </p><p>Média geométrica</p><p>15,7876x =G</p><p>10</p><p>fi fi</p><p>i</p><p>1</p><p>523</p><p></p><p></p><p>xX</p><p>n</p><p>i</p><p></p><p>4</p><p>Texto de apoio de Estatística I: Ano 2021</p><p>Por: Firmino Alberto Guiliche</p><p>Média harmónica</p><p>10,7</p><p>8</p><p>5</p><p>7</p><p>2</p><p>6</p><p>3</p><p>523</p><p>x</p><p>f</p><p>f</p><p>= H</p><p>i</p><p>i</p><p>n</p><p>1</p><p>i</p><p>n</p><p>1 </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>i</p><p>i</p><p>3.1.2. Moda</p><p>Em estatística define-se por Moda, o valor mais frequente, quando comparada a sua</p><p>frequência com a dos valores contíguos de um conjunto ordenado e tem aplicação</p><p>tanto para variáveis quantitativas, como qualitativas.</p><p>De acordo com as frequências de cada valor observado, existem distribuições</p><p>amodais ou modais. As distribuições modais podem ter um e mais valores modais.</p><p>Para dados não agrupados é simples indicar imediatamente o valor modal, caso</p><p>exista: tomando como base as observações 5, 7, 2, 5, 4 e 9, é fácil concluir que a Mo =</p><p>5, por tratar-se do único valor que se repete.</p><p>Em caso de dados agrupados em intervalos de classe, a moda é calculada por</p><p>aproximação, começando-se pela localização da classe modal, podendo-se</p><p>finalmente calcular o valor da moda pela seguinte fórmula, conhecida como Moda</p><p>de Czuber:</p><p>h .</p><p>)f + (f - 2f</p><p>f - f</p><p>+ l = M</p><p>pantmax</p><p>antmax</p><p>io </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>onde:</p><p>li = limite inferior da classe modal;</p><p>fmax = frequência da classe modal;</p><p>fant = frequência da classe anterior à classe modal;</p><p>fp = frequência da classe posterior à classe modal;</p><p>h = amplitude do intervalo de classe.</p><p>Cálculo da moda para variável não classificada:</p><p>Notas de 25 alunos</p><p>Xi, Nota do exame 1 2 3 4 5 Total</p><p>fi, Número de</p><p>alunos 1 5 11 5 3 25</p><p>É fácil notar que a maior frequência é 11 e corresponde aos estudantes com nota 3, ou</p><p>seja a moda é igual a 3 valores.</p><p>5</p><p>Texto de apoio de Estatística I: Ano 2021</p><p>Por: Firmino Alberto Guiliche</p><p>Cálculo da moda para variáveis classificadas:</p><p>Notas de 20 estudantes</p><p>X, Notas 0 - 2 2 - 4 4 - 6 6 - 8 8 - 10 Total</p><p>Xi 1 3 5 7 9</p><p>fi, Número de estudantes 2 5 10 2 1 20</p><p>Frequência acumulada 2 7 17 19 20</p><p>Olhando para as frequências absolutas é fácil notar que a classe modal corresponde</p><p>ao intervalo de 4 a 6 valores, usando a fórmula apresentada para o cálculo da moda</p><p>temos:</p><p>2 .</p><p>)25(20</p><p>5 - 10</p><p>+ 4 = Mo </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Mo = 4 +</p><p>5</p><p>. 2</p><p>20 7</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Mo = 4 + 0,77</p><p>Mo = 4,77</p><p>Do total de 20 estudantes, a nota mais frequente foi de 4,8 valores.</p><p>3.1.3. Mediana</p><p>A mediana é o valor da variável a que corresponde metade ou 50% da frequência</p><p>acumulada e serve para caracterizar variáveis quantitativas e qualitativas ordinais.</p><p>Trata-se de uma medida muito utilizada na análise de dados estatísticos,</p><p>especialmente quando se atribui pouca importância aos valores extremos da</p><p>variável.</p><p>Para dados agrupados:</p><p>h .</p><p>fai - n/2</p><p>+ li = Me </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>fi</p><p>onde:</p><p>li = limite inferior da classe;</p><p>n/2 = posição da mediana</p><p>fai = frequência acumulada do intervalo anterior ao da mediana;</p><p>h = amplitude do intervalo de classe;</p><p>fi = frequência simples do intervalo de classe da mediana.</p><p>Para dados simples, o valor mediano é o termo de ordem dado por (n + 1)/2.</p><p>6</p><p>Texto de apoio de Estatística I: Ano 2021</p><p>Por: Firmino Alberto Guiliche</p><p>Consideremos o exemplo de um número ímpar de observações A = (5, 2, 6, 13, 9, 15,</p><p>10). De acordo com a definição de mediana, o primeiro passo a ser dado é ordenar os</p><p>valores A = (2, 5, 6, 9, 10, 13, 15); o valor que divide a série acima em duas partes</p><p>iguais é igual a 9, logo a Md = 9.</p><p>Para um número par de observações já ordenado A = (0, 0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6), sendo</p><p>(10+1)/2 = 5,5, o nosso valor mediano situa-se entre o 5º e 6º termos e obtém-se como</p><p>(5º termo+ 6º termo) / 2 = (2+3)/2 = 2,5.</p><p>Exemplo de cálculo da mediana de variáveis não classificadas:</p><p>Faltas de 26 alunos</p><p>xi, Número de faltas 0 1 2 3 4 5 Total</p><p>fi, Número de alunos 7 6 5 4 3 1 26</p><p>Frequência acumulada 7 13 18 22 25 26</p><p>Sendo n/2 = 26/2 = 13, é fácil concluir que metade dos alunos tiveram quando muito</p><p>uma falta.</p><p>Exemplo de cálculo da mediana de variáveis classificadas:</p><p>Notas de 20 estudantes</p><p>X, Notas 0 - 2 2 - 4 4 - 6 6 - 8 8 - 10 Total</p><p>Xi 1 3 5 7 9</p><p>fi, Número de estudantes 2 5 10 2 1 20</p><p>Frequência acumulada 2 7 17 19 20</p><p>Das frequências acumuladas, percebe-se que até metade das observações situam-se</p><p>no intervalo de 4 a 6 valores porque n/2 =20/2 = 10. O cálculo da mediana resulta em:</p><p>6,4 2 .</p><p>10</p><p>7 - 10</p><p>+ 4 = Me </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Comentando, diremos que metade dos estudantes, tiveram quando muito 4,6</p><p>valores.</p><p>Os valores da média, moda e mediana nem sempre coincidem. A escolha da medida</p><p>adequada depende do tipo de dados e da interpretação que se tem em vista.</p><p>Na aplicação das medidas de</p><p>tendência central para o resumo de dados há uma</p><p>perca de detalhes que até aqui não foi medida, o que será objecto de estudo na</p><p>unidade didáctica sobre medidas de variação.</p><p>7</p><p>Texto de apoio de Estatística I: Ano 2021</p><p>Por: Firmino Alberto Guiliche</p><p>3.2. Separatrizes (Quartis, Decis e Percentis);</p><p>A mediana é apenas um de entre muitos quantis que dividem os dados em partes</p><p>tão aproximadamente iguais quanto possível. Entre eles, iremos destacam-se os</p><p>quartis, os decis e os percentis.</p><p>Para o caso de dados agrupados em intervalos de classe para o cálculo dos quartis,</p><p>decís ou percentís, aplicamos a fórmula da mediana.</p><p>Os quartis dividem o conjunto de dados ou distribuição em 4 partes iguais, de tal</p><p>modo que Q1 – deixa 25% dos elementos, Q2 coincide com a mediana e deixa 50%</p><p>dos elementos e Q3 deixa 75% dos elementos. A posição do quartil é obtida como</p><p>i*n/4, onde i é o i-ésimo quartil.</p><p>h .</p><p>fi</p><p>fai - n/4</p><p>+ li = Q1 </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>h .</p><p>fi</p><p>fai - n/4*3</p><p>+ li = Q3 </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Vejamos como se procede para o cálculo da mediana usando os dados das notas de</p><p>20 estudantes:</p><p>Para o 1º quartil , sendo a posição do quartil</p><p>3,22 .</p><p>5</p><p>2 - (20/4)</p><p>+ 2 = Q</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Para o 2º quartil, sendo a posição do quartil</p><p>i*n/10 = 3*20/10 = 6</p><p>6,52 .</p><p>10</p><p>7 - 20)/4*(3</p><p>+ 4 = Q</p><p>3</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Comentando, diremos que 25% dos estudantes tiveram quando muito 3,2 valores;</p><p>75% tiveram quando muito 5,6 valores.</p><p>Os Decis dividem o conjunto de dados em 10 partes iguais. A posição do decil obtêm-</p><p>se por i*n/10, onde i é o i-ésimo decil.</p><p>Se por exemplo pretende-se conhecer o terceiro decil aplica-se a fórmula da</p><p>mediana, assumindo que a posição do decil do quadro de notas de 20 estudantes, o</p><p>3º Decil será igual a:</p><p>8</p><p>Texto de apoio de Estatística I: Ano 2021</p><p>Por: Firmino Alberto Guiliche</p><p>6,32 .</p><p>5</p><p>7 - 20/10*3</p><p>+ 2 = D3</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Os Percentis dividem o conjunto de dados em 100 partes iguais. A posição do</p><p>percentil é igual a i*n/100.</p><p>Se pretende-se por exemplo o 35º Percentil, P35, aplica-se a fórmula da mediana</p><p>assumindo que a posição do percentil do nosso exemplo,</p><p>o 35º Percentil corresponde a:</p><p>42 .</p><p>5</p><p>2 - 20/100*35</p><p>+ 2 = P35</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>9</p><p>Texto de apoio de Estatística I: Ano 2021</p><p>Por: Firmino Alberto Guiliche</p><p>Exercícios:</p><p>1. Com base nos exercícios do Capítulo 2, calcule todas as medidas de localização</p><p>possíveis.</p><p>2. Para os conjuntos de valores seguintes, encontre a média aritmética, moda e</p><p>mediana</p><p>3,6 3,1 3,9 3,7 3,5 3,7 3,4 3,0 3,6</p><p>3. Para os conjuntos de valores seguintes:</p><p>X= (2, 4, 2, 3, 5, 4, 3, 2)</p><p>Y = (42, 29, 21, 37, 40, 33, 38, 26, 39)</p><p>a) Calcular o 1º e 3º quartis</p><p>b) Calcular a média moda e mediana</p><p>4. Uma distribuição da força de posições em relação à legalização do aborto tem</p><p>dois pontos de frequência máxima, o que indica que muitas pessoas se opõem</p><p>fortemente e muitas são favoráveis ao aborto. Que medida de posição se</p><p>adequa para caracterizar a força das posições em relação à legalização do</p><p>aborto? Argumente.</p><p>Média</p><p>Moda</p><p>Mediana</p><p>5. Um psico-pedagogo administrou, a uma amostra de 25 crianças, um teste</p><p>consistindo de 50 questões. A tabela mostra o tempo gasto pelas crianças para</p><p>responder às questões do teste:</p><p>Tempo,</p><p>minutos (X)</p><p>5 e menos 5 - 10 10 - 15 15 - 20 20 e mais</p><p>Nº de crianças 4 7 8 4 2</p><p>a) Como classifica a variável;</p><p>b) Calcular todas as frequências estudadas;</p><p>c) Calcular as médias estudadas;</p><p>d) Achar a Moda e Mediana;</p><p>e) Calcular o IIº, IIIº Quartis, Iº Decil, 55º Percentil.</p><p>10</p><p>Texto de apoio de Estatística I: Ano 2021</p><p>Por: Firmino Alberto Guiliche</p><p>6. Com base na distribuição de 34 Agregados familiares segundo o número de</p><p>filhos:</p><p>Nº de filhos</p><p>Acumulado de</p><p>Ag. Familiares</p><p>0 2</p><p>1 8</p><p>2 18</p><p>3 30</p><p>4 34</p><p>Total</p><p>a) Encontrar as médias nas formulações possíveis;</p><p>b) Encontrar os valores modal e mediano;</p><p>c) Achar o 1º e 3º quartis;</p><p>7. Com base nos exercícios do tema anterior (distribuições de frequências, calcue</p><p>as medidas de localização aplicáveis.</p>