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<p>Estatística para Engenharia ambiental e Sanitária</p><p>Probabilidade</p><p>Objetivos de aprendizagem</p><p>ao término desta aula, vocês serão capazes de:</p><p>• introduzir ideias relacionadas à teoria da probabilidade;</p><p>• resolver problemas envolvendo probabilidades;</p><p>• identificar os principais tipos de eventos.</p><p>Nesta aula, vamos apresentar uma introdução à</p><p>probabilidade com alguns exemplos e exercícios resolvidos.</p><p>Veremos que grande parte dos fenômenos aleatórios abordados</p><p>na Estatística é de natureza probabilística.</p><p>além da definição de probabilidade, vamos entender os</p><p>tipos de eventos e finalizar estudando o Teorema de Bayes.</p><p>Então, vamos à nossa aula?</p><p>Comecemos analisando os objetivos e verificando as</p><p>seções que serão desenvolvidas ao longo desta aula.</p><p>Bom trabalho!</p><p>Bons estudos!</p><p>5º Aula</p><p>37</p><p>Seções de estudo</p><p>1– Conceito e introdução à Probabilidade</p><p>2– Tipos de Eventos</p><p>3– Teorema de Bayes</p><p>1- Conceito e introdução à probabilidade</p><p>Nesta seção, veremos o conceito e a introdução à</p><p>probabilidade.</p><p>Vamos lá?</p><p>É comum ouvirmos afirmações do tipo: “é provável que</p><p>minha empresa vá prosperar”; “deve fazer frio nos próximos</p><p>dias”; “é quase certo que meu candidato vai se eleger”, entre</p><p>outras.</p><p>De acordo com Crespo (2009, p. 85), não podemos</p><p>afirmar com certeza os resultados, mas podemos estimar as</p><p>chances de acontecer ou não. Para todas essas inquietações</p><p>ou incertezas a medida utilizada é a probabilidade. Grande</p><p>parte dos fenômenos abordados na estatística é de natureza</p><p>probabilística. A realização ou não dessas afirmações depende</p><p>do acaso, porque o candidato poderá ser vencedor, como</p><p>também poderá perder as eleições.</p><p>Quanto ao tempo, tanto poderá fazer frio como não e, no</p><p>caso da empresa, também não é diferente. Esses fenômenos</p><p>são chamados aleatórios.</p><p>E qual a definição para probabilidade??</p><p>Se são possíveis n eventos mutuamente exclusivos e</p><p>igualmente prováveis, se m desses eventos tem o atributo a,</p><p>então a probabilidade de que ocorra um evento com o atributo</p><p>a é dado pela razão . Logo, a notação é</p><p>atenção! Sugerimos alguns exemplos práticos, tais</p><p>como: se você jogar uma moeda terá como resultado “cara”</p><p>ou “coroa”. E se você lançar dois dados ao mesmo tempo,</p><p>terá como resultados:</p><p>{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)</p><p>(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)</p><p>(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)</p><p>(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)</p><p>(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)</p><p>(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}</p><p>O que significa espaço amostral?</p><p>Chamamos espaço amostral (S) a todos os resultados</p><p>possíveis de um determinado acontecimento ou fato.</p><p>E evento, o que significa?</p><p>Evento é qualquer parte do espaço amostral, portanto, é</p><p>um subconjunto do espaço amostral.</p><p>• E se pretendemos determinar a probabilidade de</p><p>ocorrer um evento, temos que dividir o número de</p><p>elementos do evento pelo número de elementos do</p><p>espaço amostral (total), ou seja:</p><p>Agora, fiquem atentos (a)! Vamos ver alguns exercícios já</p><p>resolvidos para que vocês entendam melhor!</p><p>Exercícios resolvidos:</p><p>1) Jogando, ao mesmo tempo, um dado e uma moeda,</p><p>qual é a probabilidade de ocorrer cara e um número</p><p>menor que 4?</p><p>O espaço amostral ficará assim:</p><p>{(cara,1), (cara,2), (cara,3), (cara,4), (cara,5), (cara,6),</p><p>(coroa,1), (coroa,2), (coroa,3), (coroa,4), (coroa,5), (coroa,6)}</p><p>S=12</p><p>Evento = para cara e um número menor do que 4, temos:</p><p>{(cara,1), (cara, 2), (cara,3)}, portanto, são três ocorrências e</p><p>para calcularmos a probabilidade, fazemos:</p><p>Alguma dúvida?</p><p>Vamos ver mais outros exemplos?</p><p>2) Um baralho comum possui 52 cartas. Qual a</p><p>probabilidade de se retirar, ao acaso uma carta</p><p>conhecida como “dama”?</p><p>Se o baralho possui 4 damas de naipes diferentes, temos</p><p>que:</p><p>3) Foram fabricados 16 objetos, dos quais 4 estão com</p><p>defeito. Qual a probabilidade de retirarmos uma</p><p>peça e esta ser defeituosa?</p><p>4) Qual a probabilidade de a peça não ser defeituosa?</p><p>Levando em consideração o exemplo anterior, se 4</p><p>peças têm defeito, 12 peças não têm, portanto:</p><p>5) Lançando uma moeda duas vezes, qual é a</p><p>probabilidade de não ocorrer “coroa” nenhuma</p><p>vez? ao jogarmos uma moeda duas vezes teremos:</p><p>{(cara, cara); (coroa, coroa); (cara, coroa); (coroa,</p><p>cara)} Somente uma vez não ocorre “coroa”, portanto:</p><p>6) Um casal planeja ter três filhos. Logo, o espaço</p><p>amostral é:</p><p>S= {(H, H, H), (m, m, m), (H, H, m), (H, m, m), (H, m,</p><p>H), (m, m, H), (m, H, m), (m, H, H)}</p><p>Determine a probabilidade de nascerem três homens:</p><p>38Estatística para Engenharia ambiental e Sanitária</p><p>Determine a probabilidade de nascerem dois homens e</p><p>uma mulher:</p><p>2- Tipos de Eventos</p><p>Nesta seção, iremos identificar os principais tipos de</p><p>eventos.</p><p>Então, vamos lá?</p><p>Vamos ver quais são os principais tipos de eventos?</p><p>• EVENTOS iNDEPENDENTES:</p><p>Pode-se afirmar que esses eventos independentes</p><p>ocorrem quando a realização de um dos eventos não interfere</p><p>na realização do outro e vice-versa.</p><p>Por exemplo, quando lançamos dois dados, o resultado</p><p>obtido em um deles independe do resultado obtido no outro.</p><p>Se dois eventos são independentes, a probabilidade de</p><p>que eles se realizem simultaneamente é igual ao produto das</p><p>probabilidades de realização dos dois eventos.</p><p>Então, , sendo , a probabilidade de</p><p>realização do 1° evento e , a probabilidade de realização</p><p>do 2° evento.</p><p>Vamos ver alguns exercícios já resolvidos para que vocês</p><p>entendam melhor?</p><p>Exercícios resolvidos:</p><p>1) a probabilidade de obtermos simultaneamente, 1 no</p><p>primeiro e 5 no segundo lançamento é:</p><p>2) Quando lançamos duas moedas, a probabilidade de</p><p>sair cara na primeira moeda é de , assim como</p><p>a probabilidade de sair coroa na segunda moeda</p><p>também é de . E, para obtermos, ao mesmo tempo,</p><p>cara na primeira e coroa na segunda, fazemos:</p><p>3) De dois baralhos de 52 cartas retiram-se,</p><p>simultaneamente, uma carta do 1° baralho e uma</p><p>carta do 2° baralho. Qual a probabilidade de a carta</p><p>do 1° baralho ser um rei e a carta do 2° baralho o 5</p><p>de paus?</p><p>4) De um baralho de 52 cartas são retiradas duas cartas,</p><p>ao acaso. Calcule a probabilidade de se obterem um</p><p>rei e uma dama.</p><p>5) Uma urna a contém: 3 bolas brancas, 4 bolas pretas e</p><p>2 bolas verdes. Uma urna B contém: 5 bolas brancas,</p><p>2 bolas pretas e 1 bola verde. Uma urna C contém: 2</p><p>bolas brancas, 3 bolas pretas e 4 bolas verdes. Qual</p><p>é a probabilidade de as três bolas retiradas da 1ª, 2ª</p><p>e 3 ª urnas serem, respectivamente, branca, preta e</p><p>verde?</p><p>P bolas brancas na urna 1 =</p><p>P bolas pretas na urna 2 =</p><p>P bolas verdes na urna 3 =</p><p>6) Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20</p><p>azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada</p><p>vez e sem reposição, qual será a probabilidade de a</p><p>primeira ser vermelha e a segunda ser azul?</p><p>Resolução:</p><p>Seja o espaço amostral S=30 bolas, e considerarmos os</p><p>seguintes eventos:</p><p>a: vermelha na primeira retirada e P(a) = 10/30</p><p>B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29</p><p>assim:</p><p>7) Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20</p><p>azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e repondo</p><p>a sorteada na urna, qual será a probabilidade de a</p><p>primeira ser vermelha e a segunda ser azul?</p><p>Resolução:</p><p>Como os eventos são independentes, a probabilidade de</p><p>sair vermelha na primeira retirada e azul na segunda retirada</p><p>é igual ao produto das probabilidades de cada condição,</p><p>ou seja, P (a e B) = P(a). P(B). Ora, a probabilidade de</p><p>sair vermelha na primeira retirada é 10/30 e a de sair azul</p><p>na segunda retirada 20/30. Daí, usando a regra do produto,</p><p>temos: 10/30.20/30=2/9.</p><p>Observem que na segunda retirada foram consideradas</p><p>todas as bolas, pois houve reposição. assim, P(B/a) =P(B),</p><p>porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não</p><p>influenciou a segunda retirada, já que ela foi reposta na urna.</p><p>Vamos ver agora outro tipo de evento?</p><p>• EVENTOS mUTUamENTE EXCLUSiVOS</p><p>Quando a realização de um evento exclui a realização do</p><p>outro ou dos outros.</p><p>Por exemplo, no lançamento de uma moeda, se ocorrer</p><p>o evento “cara” não ocorre o “coroa”, ou seja, se aparece</p><p>“cara” não aparece “coroa” e vice-versa.</p><p>Para calcular a</p><p>probabilidade de que um ou outro se realize é preciso somar as</p><p>39</p><p>probabilidades de cada um dos eventos. P= p1 + p2 ° evento.</p><p>Vamos ver alguns exemplos para que fique mais claro</p><p>para vocês?</p><p>Exemplos:</p><p>1) Se lançarmos um dado, a probabilidade de se tirar</p><p>o 2 ou o 4 é: como temos apenas uma vez o dois</p><p>no dado, então a probabilidade é de . O mesmo</p><p>ocorre com o 4, e a probabilidade é de . Então,</p><p>2) Dois dados são lançados ao mesmo tempo.</p><p>Determine a probabilidade de a soma ser 10 ou</p><p>maior que 10.</p><p>Para a soma ser 10: (4,6), (5,5), (6,4)</p><p>Para a soma ser maior que 10: (5,6), (6,5), (6,6)</p><p>3) Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho</p><p>com 52 cartas, qual a probabilidade de ser um 8 ou</p><p>um Rei?</p><p>Sendo S o espaço amostral de todos os resultados</p><p>possíveis, temos: n(S) = 52 cartas. Considere os eventos:</p><p>a: sair 8 e P(a) = 4/52 – Pois são 4 naipes diferentes,</p><p>logo temos 4 cartas 8.</p><p>B: sair um rei e P(B) = 4/52 - Pois são 4 naipes diferentes,</p><p>logo temos 4 cartas rei.</p><p>Quando usamos “e” a operação usada será a multiplicação,</p><p>e quando aparece a expressão “ou” a operação será adição.</p><p>Vamos ver outro tipo de evento?</p><p>• EVENTOS NÃO mUTUamENTE EXCLUSiVOS</p><p>Quando dois eventos ocorrem simultaneamente, como,</p><p>por exemplo:</p><p>a= {extração de um ás de um baralho} B= {extração de</p><p>uma carta de espadas}</p><p>Dizemos que a e B não são mutuamente exclusivos, haja</p><p>vista que pode ser extraído um ás de espadas.</p><p>Portanto, nesse tipo de evento há elementos em comum,</p><p>e nesse caso é o ás de espada.</p><p>Exemplos:</p><p>1) ao se retirar uma carta de um baralho comum de 52</p><p>cartas, qual a probabilidade de ela ser ou um ás ou</p><p>uma carta de espadas?</p><p>2) Um número inteiro é escolhido aleatoriamente entre</p><p>1,2,3 ....50. Qual é a probabilidade desse número ser</p><p>divisível por 6 ou por 8?</p><p>Divisíveis por 6 {6,12,18,24,30,36,42,48}, são 8</p><p>Divisíveis por 8 {8,16,24,32,40,48}, são 6</p><p>Atenção! Existem dois valores comuns aos dois</p><p>conjuntos: 24 e 48, portanto, fica assim:</p><p>Agora, vamos a mais um exemplo para que fique</p><p>tudo explicadinho?</p><p>3) Se dois dados, azul e branco, forem lançados, qual a</p><p>probabilidade de sair 5 no azul ou 3 no branco?</p><p>Considerando os eventos:</p><p>a: Tirar 5 no dado azul e P(a) = 1/6</p><p>B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6</p><p>Sendo S o espaço amostral de todos os possíveis</p><p>resultados, temos:</p><p>n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Daí, temos: P (a ou B) =</p><p>1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36</p><p>3- Teorema de bayes</p><p>O Teorema de Bayes foi desenvolvido por um homem</p><p>brilhante: o matemático e astrônomo francês Pierre-Simon</p><p>Laplace. Ele argumentava ser possível prever o universo de</p><p>forma perfeita, mas, para isso, deveríamos saber a posição</p><p>de cada partícula em seu interior e teríamos de ser rápidos</p><p>o bastante para calcular seus movimentos. Por que, então,</p><p>Laplace envolveu-se com uma teoria que é conhecida como a</p><p>base do “probabilismo”?</p><p>Na época, Laplace estava frustrado com suas observações</p><p>astronômicas que pareciam mostrar anomalias nas órbitas de</p><p>Júpiter e Saturno, pois previam que Júpiter iria colidir com</p><p>o Sol, enquanto Saturno ficaria à deriva no espaço. Claro</p><p>que tais previsões estavam erradas, mas Laplace, então, se</p><p>dedicou a melhorar suas previsões, principalmente no que</p><p>tocavam suas deduções a partir de probabilidades, ao invés</p><p>de trabalhar com medidas mais precisas. Para ele, estava claro</p><p>que entender melhor as questões acerca da probabilidade</p><p>eram fundamentais para o progresso científico. (Fonte:</p><p>https://www.fm2s.com.br/teorema-de-bayes/. acesso em:</p><p>3 out 2019).</p><p>Conforme Vieira (1988) uma maneira de entender as</p><p>questões envolvidas no teorema de Bayes está relacionada na</p><p>ocorrência do evento a como explicação para a ocorrência de</p><p>B. Por exemplo, se um motorista se envolve em acidente de</p><p>trânsito, qual é a probabilidade de ele estar alcoolizado?</p><p>O que interessa realmente? O motorista estar alcoolizado</p><p>(a) e causar acidente (B) ou todas as possibilidades: o</p><p>40Estatística para Engenharia ambiental e Sanitária</p><p>motorista estar alcoolizado (a) e causar acidente (B) dado</p><p>que está alcoolizado ou motorista não estar alcoolizado (Ã) e</p><p>causar acidente (B), mesmo não alcoolizado.</p><p>O Teorema de Bayes também é conhecido como</p><p>Teorema das Causas e sua aplicação pode ser usada para obter</p><p>vários resultados nas mais diversas áreas do conhecimento,</p><p>desde o mercado financeiro até a medicina.</p><p>Exemplos:</p><p>1) Uma urna contém cinco bolas: duas vermelhas e</p><p>três azuis. Uma segunda urna contém sete bolas:</p><p>três vermelhas e quatro azuis. Retira-se uma bola</p><p>ao acaso de uma das urnas. Se for azul, qual é a</p><p>probabilidade de que essa bola tenha sido retirada</p><p>da primeira urna?</p><p>Fonte: Elaborado pela autora.</p><p>2) a probabilidade de encontrar minério usando</p><p>determinado equipamento alemão é 0,70. Quando</p><p>encontrado, a probabilidade de que seja minério de</p><p>ferro é 0,90. Se o equipamento não acusar a presença</p><p>de minério, a probabilidade de existir minério de</p><p>ferro na área é 0,10. Se o engenheiro encontrou</p><p>minério de ferro, qual é a probabilidade de que o</p><p>equipamento tenha acusado a presença do minério</p><p>em questão?</p><p>3) (IADES/2018) Suponha que um posto de saúde</p><p>tem, em estoque, 600 doses de vacina contra gripe.</p><p>Dessas doses, 30% são importadas e o restante,</p><p>nacional. Quando aplicada em um paciente, a vacina</p><p>importada tem 20% de probabilidade de causar</p><p>reação alérgica, enquanto a vacina nacional tem 30%</p><p>de probabilidade. Considerando que, após tomar a</p><p>vacina, um paciente apresente reação alérgica, qual</p><p>a probabilidade de que ele tenha tomado a vacina</p><p>nacional?</p><p>a árvore de probabilidade é:</p><p>Vamos calcular a probabilidade de a vacina produzir</p><p>uma reação. Primeiro calculamos a probabilidade de a vacina</p><p>importada produzir reação e depois a probabilidade da vacina</p><p>nacional produzir reação:</p><p>Vacina importada:</p><p>Vacina nacional:</p><p>Logo, a probabilidade de a vacina produzir uma reação é</p><p>6% + 21% = 27%.</p><p>Sabendo que a vacina apresentou reação alérgica, a</p><p>probabilidade de a vacina ser nacional é:</p><p>4) (VUNESP/2017) Considere a elaboração, pelo</p><p>Centro de inteligência da Polícia militar (CiPm),</p><p>de um planejamento estratégico para a deflagração</p><p>de uma operação policial ostensiva em uma região</p><p>R, com alta incidência do tráfico de drogas. Agora</p><p>considere que um centro de meteorologia informou</p><p>ao CiPm que é de 60% a probabilidade de chuva no</p><p>dia programado para ocorrer a operação. mediante</p><p>essa informação, o oficial no comando afirmou que</p><p>as probabilidades de que a operação seja realizada</p><p>nesse dia são de 20%, caso a chuva ocorra, e de</p><p>85%, se não houver chuva. Nessas condições, qual</p><p>a probabilidade de que a operação ocorra no dia</p><p>programado?</p><p>41</p><p>a Probabilidade de a ação ser realizada será igual à soma</p><p>da probabilidade da operação ser realizada com chuva com a</p><p>probabilidade da operação ser realizada sem chuva.</p><p>Probabilidade de a ação ser realizada com chuva =</p><p>Probabilidade de a ação ser realizada sem chuva =</p><p>Logo, a probabilidade de a operação ser realizada é: 12%</p><p>+ 34% = 46%</p><p>Chegamos ao final da aula. Espero que tenham</p><p>aproveitado! Vamos fazer uma revisão retomando</p><p>brevemente cada seção?</p><p>Retomando a aula</p><p>Esta aula é essencial para o nosso curso.</p><p>1– Conceito e Introdução à Probabilidade</p><p>Vimos que experimento aleatório é um experimento que</p><p>pode ter resultados diferentes, mesmo que a sua repetição seja</p><p>semelhante.</p><p>2– Tipos de Eventos</p><p>apreendemos que espaço amostral é o conjunto de</p><p>todos os resultados possíveis de qualquer experimento.</p><p>3– Teorema de Bayes</p><p>Na seção 3, vimos o Teorema de Bayes através de alguns</p><p>exemplos práticos que facilitaram a compreensão.</p><p>Probabilidade e Estatística. aula de Estatística_</p><p>Probabilidade _ Prof. matusalem. Disponível em: http://</p><p>www.youtube.com/watch?v=HdgzJmX0Z4a.</p><p>Estatística e Probabilidade _ Prof. arthur. Disponível</p><p>em: http://www.youtube.com/watch?v=7kro-VwO_Cg.</p><p>matemática – aula 31- Probabilidade – Parte 1 –</p><p>Prof. Nerckie. Disponível em: http://www.youtube.com/</p><p>watch?v=SLzibZ-7SBm.</p><p>Vale a pena assistir</p><p>BaRBETTa, Pedro</p><p>alberto. Estatística: aplicada às</p><p>ciências sociais. 7. ed. Florianópolis: Editora da UF, 2011.</p><p>BUSSaB, Wilton O.; mORETTiN, Pedro</p><p>alberto. Estatística básica. 8. ed. São Paulo: Saraiva, 2013.</p><p>CaLLEGaRi-JaCQUES, Sidia</p><p>m. Bioestatística: princípios e aplicações. Porto alegre:</p><p>artmed, 2008.</p><p>LaRSON, Ron; FaRBER, Betsy; ViaNNa, Luciane</p><p>Ferreira Pauleti. Estatística aplicada. 4. ed. São Paulo:</p><p>Pearson Prentice Hall, 2011.</p><p>SPiEGEL, murray R.; COSENTiNO,</p><p>Pedro. Estatística. 2. ed. São Paulo: mcGraw-Hill, 1985.</p><p>STEVENSON, William J.; FaRiaS, alfredo alves</p><p>de. Estatística aplicada à administração. São Paulo: Harbra,</p><p>2001</p><p>ViEiRa, Sônia. introdução à Estatística para</p><p>Engenharia ambiental e Sanitária. Elsevier Brasil, 2015.</p><p>WaLPOLE, Ronald E.; ViaNNa, Luciane Ferreira</p><p>Pauleti. Probabilidade & estatística: para engenharia e</p><p>ciências. 8. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.</p><p>Vale a pena ler</p><p>Vale a pena</p><p>Minhas anotações</p>