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<p>2ºAula</p><p>Estatística Descritiva:</p><p>Medidas de Posição</p><p>Objetivos de aprendizagem</p><p>ao término desta aula, vocês serão capazes de:</p><p>•	 identificar as principais medidas de posição;</p><p>•	 calcular a média aritmética;</p><p>•	 determinar as médias ponderadas;</p><p>•	 diferenciar o cálculo das médias agrupadas por valor e das médias agrupadas por classe;</p><p>•	 identificar as principais medidas de separatrizes, entre elas a mediana;</p><p>•	 determinar a moda.</p><p>Vamos dar início à aula 02?</p><p>Nesta aula, veremos as medidas de posição mais importantes.</p><p>as medidas de posição são também conhecidas como medidas</p><p>de tendência central, e, como o próprio nome já diz, os dados</p><p>observados tendem, em geral, a se agrupar em torno dos valores</p><p>centrais. Dentre as medidas de tendência central, estudaremos:</p><p>a média, a média ponderada, a média para dados agrupados</p><p>por valor, a média para dados agrupados por classe, as medidas</p><p>separatrizes e a moda.</p><p>Bons estudos!</p><p>14Estatística para Engenharia ambiental e Sanitária</p><p>Seções de estudo</p><p>1- medidas de Posição</p><p>2- média</p><p>3- medidas Separatrizes</p><p>4- moda</p><p>1- Medidas de posição</p><p>as medidas de posição (ou de tendência central) fazem</p><p>parte da estatística Descritiva. Como vimos, é a parte da</p><p>Estatística que coleta, descreve, organiza e apresenta os dados.</p><p>É nessa etapa que são tiradas conclusões e para tal utilizamos</p><p>muitas das vezes as medidas de posição, ou de tendência</p><p>central. Esses valores são calculados com o objetivo de</p><p>representar os dados de uma forma ainda mais condensada do</p><p>que se usando uma tabela, pois mostram o valor representativo</p><p>em torno do qual os dados tendem a agrupar-se com maior ou</p><p>menor frequência. Logo, são utilizados para sintetizar em um</p><p>único número o conjunto de dados observados.</p><p>2- Média</p><p>as médias são as principais medidas de posição e as</p><p>mais populares. a média aritmética é a mais conhecida e</p><p>neste curso vamos focar nela. mas, vamos também conhecer</p><p>a média ponderada e ver como calcular a média para dados</p><p>agrupados por valor e por classe.</p><p>2.1 Média aritmética</p><p>Nesta seção, veremos o conceito e o cálculo da média</p><p>aritmética, bem como sua importância na Estatística. Bons</p><p>estudos!</p><p>antes de tudo é importante relembrarmos alguns</p><p>conceitos e notações que serão importantes no decorrer do</p><p>nosso curso. Vamos começar pelo termo que representa</p><p>um termo na posição n em uma sequência.</p><p>Por exemplo, considerando a sequência</p><p>, o quarto termo é 9. Logo,</p><p>indiferentemente poderíamos utilizar a notação é .</p><p>Neste exemplo, temos que , já que o sexto termo</p><p>é 13.</p><p>Durante este curso, um símbolo muito utilizado é o</p><p>símbolo do SOmaTÓRiO representado pela letra grega</p><p>maiúscula sigma S. Se quisermos somar todos os termos da</p><p>sequência anterior, podemos então representar essa soma</p><p>como:</p><p>Como na nossa sequência temos 7 termos -</p><p>– o índice i varia de 1 a 7, por isso 1</p><p>na parte inferior e 7 na parte superior. Logo,</p><p>Considerando a mesma sequência anterior</p><p>, vamos calcular o seguinte somatório:</p><p>agora precisamos somar os quadrados dos 3 primeiros</p><p>termos:</p><p>Como sabemos que:</p><p>Então:</p><p>agora vamos começar o estudo da principal medida de</p><p>posição, a mÉDia aRiTmÉTiCa. É a medida de tendência</p><p>central mais utilizada, pois seu cálculo e sua interpretação são</p><p>fáceis e familiares, e muitas é utilizada em comparações entre</p><p>15</p><p>populações. Como ela representa um valor provável, muitas</p><p>vezes é chamada de valor esperado ou esperança matemática.</p><p>a média aritmética simples de um conjunto de n</p><p>observações é o quociente entre a soma dos dados e a</p><p>quantidade dessas observações. É denotada por :</p><p>Onde é a média aritmética; xi são os valores, ou seja, o</p><p>somatório dos elementos e n, o número de elementos.</p><p>Vamos calcular a média aritmética da sequência anterior</p><p>:</p><p>Portanto, a média aritmética é igual a 9. Se substituirmos</p><p>todos os sete números por 9, a soma continuará sendo 63:</p><p>Logo, a média aritmética é o valor que pode substituir</p><p>todos os elementos de uma lista sem alterar a soma desses</p><p>elementos.</p><p>Exemplo 1:</p><p>Supondo que o preço da ação PETR4 nos últimos 10</p><p>meses fechou em R$ 23; R$ 40; R$ 20; R$ 18; R$ 19; R$ 45;</p><p>R$ 36; R$ 21; R$ 42; R$ 18. Qual o valor médio dessa ação?</p><p>Para calcularmos a média, devemos proceder da seguinte</p><p>maneira. Somamos todos os valores e dividimos pelo número</p><p>de termos, neste caso, pelo número de meses:</p><p>Exemplo 2:</p><p>Supondo agora que o preço da ação PETR4 nos últimos</p><p>10 meses fechou em: R$ 25; R$ 42; R$ 22; R$ 20; R$ 21; R$</p><p>47; R$ 38; R$ 23; R$ 44; R$ 20. Calcule a média aritmética.</p><p>Solução:</p><p>Observe que essa sequência foi obtida a partir da</p><p>sequência anterior, somando 2 a todos os elementos. Logo,</p><p>Nesse caso, a média atual é a média anterior somando 2</p><p>a 28,2 + 2 = 30,2</p><p>Exemplo 3:</p><p>Supondo agora que a expectativa do preço da ação</p><p>PETR4 nos próximos 10 meses é de R$ 46; R$ 80; R$ 40; R$</p><p>36; R$ 38; R$ 90; R$ 72; R$ 42; R$ 84; R$ 36. Calcule a média</p><p>aritmética.</p><p>Solução:</p><p>Observe que esses valores foram obtidos dos valores</p><p>anteriores (R$ 25; R$ 42; R$ 22; R$ 20; R$ 21; R$ 47; R$ 38;</p><p>R$ 23; R$ 44; R$ 20) multiplicado por 2.</p><p>Logo,</p><p>Nesse caso, a média atual é a média anterior multiplicado</p><p>por 2 a</p><p>2.2 Média ponderada</p><p>Uma variação da média aritmética é a média ponderada.</p><p>Nesse caso a média precisa ser ponderada pelo respectivo</p><p>peso.</p><p>Um exemplo fácil para o entendimento da média</p><p>ponderada é o cálculo de nota final de uma disciplina,</p><p>considerando que determinada prova tem um peso maior.</p><p>Supondo que na disciplina de Química ambiental, o aluno</p><p>faz 3 provas, sendo que a primeira tem peso 1, a segunda peso</p><p>2 e a última prova tem peso 3. Ou seja, a última disciplina</p><p>tem uma importância maior, um peso maior. Vamos calcular</p><p>a média desse aluno nessa disciplina, sabendo que ele tirou</p><p>10,0 na primeira prova, 8,0 na segunda prova e 4,0 na terceira</p><p>prova.</p><p>Resumindo:</p><p>pROVa nOTa pESO</p><p>1º 10,0 1</p><p>2º 8,0 2</p><p>3º 4,0 3</p><p>Bom, se estivéssemos falando de média aritmética</p><p>simples, o cálculo da média final seria:</p><p>mas, sabemos que cada prova tem um peso diferente.</p><p>Então, para calcular a média desse aluno é preciso levar isso</p><p>em consideração. Logo, para calcular a média ponderada,</p><p>devemos multiplicar cada nota pelo seu respectivo peso,</p><p>somar tudo e dividir pela soma dos pesos</p><p>16Estatística para Engenharia ambiental e Sanitária</p><p>2.3 Média para dados agrupados</p><p>por valor</p><p>Para calcular a média aritmética quando os dados estão</p><p>agrupados por valor, seguimos o mesmo raciocínio da média</p><p>ponderada. a diferença é que, ao invés de falarmos em</p><p>“pesos”, aqui trabalhamos com frequência.</p><p>Exemplo 4:</p><p>marcos investe em renda variável e sua carteira é</p><p>composta da seguinte forma:</p><p>ação Número de Ações preço da ação</p><p>FlRY3 30 27,10</p><p>RaDl3 40 25,90</p><p>SQia3 20 21,80</p><p>WEgE3 10 77,30</p><p>TOTal 100</p><p>Essa tabela nos diz que do total de 100 ações que o</p><p>marcos possui, 30 ações valem R$27,10, 40 ações valem R$</p><p>25,90, 20 ações valem R$21,80 e 10 ações valem R$ 77,30.</p><p>Vamos, então, calcular o preço médio da carteira de</p><p>marcos.</p><p>Solução:</p><p>Neste caso, para calcular o preço médio precisamos</p><p>ponderar o valor da ação pela frequência em que ela aparece.</p><p>Portanto vamos calcular uma média ponderada, considerando</p><p>a frequência de cada ação:</p><p>Portanto, o preço médio das ações de marcos é R$ 30,58.</p><p>Poderíamos resolver utilizando a própria tabela e</p><p>acrescentando uma coluna à direta. Essa coluna é o resultado</p><p>do número de ações pela frequência em que ela aparece na</p><p>carteira de investimentos de marcos.</p><p>Número de Ações ( Preço da ação (</p><p>30 27,10 813</p><p>40 25,90 1036</p><p>20 21,80 436</p><p>10 77,30 773</p><p>TOTAL (S ) 100 3058</p><p>Quando a frequência tem o mesmo papel do peso na</p><p>média ponderada, estamos diante de uma média para dados</p><p>agrupados. Nesse caso do preço médio das ações de marcos,</p><p>é uma média para dados agrupados por valor.</p><p>Exemplo 5:</p><p>(VUNESP/2011) ao encerrar o movimento diário, um</p><p>atacadista que vende à vista e a prazo, montou uma tabela</p><p>relacionando a porcentagem do seu faturamento no dia</p><p>com o respectivo prazo, em dias, para que o pagamento seja</p><p>efetuado.</p><p>Com base nas informações abaixo, calcule o prazo</p><p>médio, em dias, para pagamento das vendas efetuadas.</p><p>Solução:</p><p>Temos mais um exemplo de média de dados agrupados</p><p>por valor. a diferença deste exemplo para o exemplo 4 é</p><p>que aqui a frequência é dada em porcentagem, ou seja, uma</p><p>frequência relativa ao total. Temos, portanto, que:</p><p>Prazo ( Frequência (</p><p>a vista – 0 dias 15% à 0,15 0 x 0,15 = 0</p><p>30 dias 20% à 0,20 30 x 0,20 = 6</p><p>60 dias 35% à 0,35 35 x 0,35 = 21</p><p>90 dias 20% à 0,20 20 x 0,2 = 18</p><p>120 dias 10% à 0,10 10 x 0,10 = 12</p><p>TOTAL (S ) 100% à 1,0 57</p><p>Exemplo 6:</p><p>Uma empresa de consultoria ambiental, localizada na</p><p>cidade de São Paulo, possui 30 funcionários. Com base na</p><p>tabela abaixo de distribuição salarial calcule a média salarial</p><p>desta empresa.</p><p>Salário (R$) ( Número de funcionários</p><p>3.200,00 9</p><p>4.000,00 12</p><p>6.500,00 5</p><p>8.000,00 4</p><p>Solução:</p><p>a média salarial precisa ser calculada levando em</p><p>consideração a frequência de cada salário:</p><p>17</p><p>Portanto, a média salarial da empresa é R$ 4.710,00.</p><p>2.4 Média para dados agrupados</p><p>por classe</p><p>Os dados podem ser apresentados em intervalo de</p><p>classes. Veja o exemplo abaixo da distribuição salarial dos</p><p>funcionários da empresa Gama S.a.:</p><p>Classe Salário (R$) Número de funcionários</p><p>1 16</p><p>2 17</p><p>3 10</p><p>4 7</p><p>Nesse caso os dados estão distribuídos em classes, ou</p><p>seja, na primeira classe (classe 1) estão os funcionários que</p><p>recebem de R$ 4.000,00 a R$ 4.999,99 (Veja que o intervalo</p><p>é fechado à esquerda e aberto à direita, ou seja, o valor de</p><p>R$5.000,00 NÃO entra nessa classe). Como podemos</p><p>observar, na empresa Gama S/a temos 16 funcionários que</p><p>recebem salários nesse intervalo. ao analisarmos a classe 2,</p><p>observamos que 17 funcionários recebem uma remuneração</p><p>de R$ 5.000,00 a R$ 5.999,99, na classe 3, 10 funcionários</p><p>recebem entre R$ 6.000,00 e R$ 6.999,99 e 7 funcionários</p><p>recebem entre R$ 7.000,00 e R$ 7.999,99.</p><p>Na classe 1, sabemos que 16 pessoas ganham entre R$</p><p>4.000,00 a R$ 4.999,99, mas não temos como determinar o</p><p>salário de cada uma delas. Logo, precisamos trabalhar uma</p><p>mÉDia para cada iNTERVaLO, chamada de PONTO</p><p>mÉDiO da classe.</p><p>agora podemos considerar que todas as pessoas da</p><p>classe 1 (16 funcionários), ganham em média R$ 4.5000,</p><p>17 funcionários ganham em média R$ 5.500,00 (classe 2),</p><p>10 funcionários R$ 6.500,00 (classe 3) e 7 funcionários R$</p><p>7.500,00 (classe 4).</p><p>Com isso já podemos calcular a média, seguindo o</p><p>mesmo cálculo da média agrupada por valor (exemplo 5 e 6).</p><p>Salário médio ( Frequência (</p><p>4500 16 4500 x 16 = 72.000</p><p>5500 17 5500 x 17 = 93.500</p><p>6500 10 6500 x 10 = 65.000</p><p>7500 7 7500 x 7 = 52.500</p><p>TOTAL (S ) 50 funcionários 283.000</p><p>Portanto, a média salarial dos funcionários da empresa</p><p>Gama S/a é de R$5.660,00.</p><p>Exemplo 7:</p><p>(CESGRaNRiO/2013) Uma revista acadêmica</p><p>publicou um artigo no qual estava inserida a Tabela abaixo.</p><p>Calcule a média do rendimento mental, em salários mínimos.</p><p>Solução:</p><p>Como os valores estão agrupados em CLaSSES,</p><p>precisamos calcular o ponto médio de cada classe.</p><p>Salário (R$) ponto Médio Frequência relativa (%)</p><p>0 0 10</p><p>até 1 0,5 30</p><p>Mais de 1 a 2 1,5 30</p><p>Mais de 2 a 3 2,5 10</p><p>Mais de 3 a 5 4,0 10</p><p>Mais de 5 a 10 7,5 8</p><p>Mais de 10 a 20 15 2</p><p>TOTal 100% 100%</p><p>Quando falamos de frequência relativa, estamos tratando</p><p>de porcentagem (uma parte em um todo). Já descobrimos o</p><p>ponto médio, agora podemos continuar a calcular a média:</p><p>Salário médio ( Frequência (</p><p>0 10 0 x 10 = 0</p><p>0,5 30 0,5 x 30 = 15</p><p>1,5 30 1,5 x 30 = 45</p><p>18Estatística para Engenharia ambiental e Sanitária</p><p>2,5 10 2,5 x 10 = 25</p><p>4,0 10 4,0 x 10 = 40</p><p>7,5 8 7,5 x 8 = 60</p><p>15 2 15 x 2 = 30</p><p>TOTAL (S ) 100 funcionários 215</p><p>3- Medidas Separatrizes</p><p>as medidas de separatrizes são também chamadas de</p><p>“quantis” e servem para dividir o conjunto de dados em</p><p>partes. a principal medida de separatriz é a mEDiaNa, mas</p><p>também vamos falar de quartis, decis e percentis.</p><p>3.1 Mediana</p><p>mediana é o valor de x que divide a série em dois</p><p>subgrupos de igual tamanho, ou seja, é o valor situado de tal</p><p>forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos de</p><p>mesmo número de elementos. Mas atenção, para realizar essa</p><p>divisão é fundamental que os dados estejam ordenados.</p><p>Como proceder para calcular a mediana?</p><p>Fácil pessoal!</p><p>Para calcularmos a mediana devemos, em primeiro lugar,</p><p>colocar os dados em ordem crescente. Temos como exemplo</p><p>a seguinte série de valores:</p><p>23 – 40 – 20 – 18 – 19 – 36 – 21 – 42 – 18.</p><p>O primeiro passo é ordenar a série, ou seja, colocar a</p><p>série em ordem crescente:</p><p>18	– 18 – 1 9 – 20 – 21 – 23 – 36 – 40 – 42.</p><p>mediana é o valor central que vai dividir a série em dois</p><p>subconjuntos com o mesmo número de elementos, ou seja, o</p><p>valor central que apresenta o mesmo número de elementos à</p><p>direita e à esquerda. No nosso exemplo esse valor é o número</p><p>21, já que, nessa série há 4 elementos acima dele e 4 abaixo.</p><p>Portanto</p><p>agora, vamos calcular a mediana da série abaixo:</p><p>19	23 – 40 – 20 – 18 – 19 – 36 – 21 – 42 – 18 - 45.</p><p>Primeiro, devemos colocar em ordem crescente:</p><p>20	18 – 18 – 19 – 20 – 21 – 23 – 36 – 40 – 42 - 45.</p><p>Veja que agora temos um número PAR de termos e não</p><p>conseguimos encontrar o termo central da série. Nesse caso</p><p>precisamos encontrar o ponto médio entre os dois valores</p><p>centrais da série. assim, a mediana será o ponto médio entre</p><p>os dois termos centrais, 21 e 23:</p><p>Exemplo 8:</p><p>(VUNESP/2019) Considerando a taxa de desemprego</p><p>hipotética de 11,7%(maio); 10,3% (junho); 8,9% (julho);</p><p>7,7% (agosto); 6,3% (setembro) e 4,9% (outubro), calcule a</p><p>mediana do período.</p><p>Solução:</p><p>mediana é o valor central que separa a amostra em dois</p><p>subconjuntos com o mesmo número de elementos, ou seja,</p><p>é o valor do meio que separa a metade maior e a metade</p><p>menor de uma amostra. Primeiro passo é ordenar os dados</p><p>em ordem crescente:</p><p>4,9; 6,3; 7,7; 8,9; 10,3; 11,7</p><p>Como a quantidade de termos é par, a mediana é dada</p><p>pela média dos termos centrais, logo:</p><p>Exemplo 9:</p><p>a tabela abaixo corresponde à distribuição dos valores</p><p>dos pesos dos alunos de uma sala de nível médio de</p><p>determinada escola. Calcule o valor da mediana.</p><p>Solução:</p><p>E agora? Pois é, não estamos mais diante de uma</p><p>sequência de números, mas sim de dados que estão agrupados</p><p>em classe, não importando se o número de elementos é par</p><p>ou ímpar.</p><p>Para calcular a mediana de dados agrupados em classe,</p><p>precisamos trabalhar com a FREQUÊNCia aCUmULaDa.</p><p>19</p><p>Vamos, então, adicionar mais uma coluna e calcular a</p><p>frequência acumulada.</p><p>a frequência acumulada da primeira classe é igual à</p><p>frequência relativa, ou seja, é 2. Para calcularmos a frequência</p><p>acumulada da segunda classe, somamos a frequência</p><p>acumulada da classe anterior com a frequência relativa dessa</p><p>classe, ou seja, somamos 2 (fac da classe 1) + 5 (frequência</p><p>relativa da classe 2).</p><p>Portanto, a frequência acumulada da segunda classe é</p><p>igual a 7. Para calcular a frequência acumulada da 3º classe,</p><p>somamos a frequência acumulada da classe anterior (fac da</p><p>classe 2) + a frequência relativa da classe 3, ou seja, 7 + 7 =</p><p>14. E assim por diante.</p><p>O que a frequência acumulada quer dizer? Por meio da</p><p>frequência acumulada sabemos que há 14 alunos com peso</p><p>abaixo de 70 kg ou, então, que há 22 alunos com peso abaixo</p><p>de 80 kg.</p><p>Com a frequência acumulada conseguimos encontrar em</p><p>qual classe se encontra a mediana, ou seja, a classe mediana.</p><p>Para descobrirmos a classe mediana, devemos calcular n / 2.</p><p>a CLaSSE mEDiaNa será a primeira classe em</p><p>que a frequência acumulada é maiOR OU iGUaL a</p><p>12,5. analisando a tabela, temos que a classe mediana é a</p><p>TERCEiRa CLaSSE, fac = 14 > 12,5. isso nos diz que,</p><p>a mediana está na terceira classe, ou seja, a mediana é um</p><p>número entre 60 e 70 kg.</p><p>Para calcular a mediana, precisamos aplicar a seguinte</p><p>fórmula:</p><p>Em que:</p><p>•	 = limite inferior da classe mediana;</p><p>•	 = frequência acumulada da classe anterior à</p><p>classe mediana;</p><p>•	 = frequência simples da classe mediana;</p><p>•	 = número de termos;</p><p>•	 = amplitude da classe mediana</p><p>Pela tabela temos que:</p><p>•	 = 60;</p><p>•	 = 7</p><p>•	 = 25</p><p>•	 = 7</p><p>•	 = Diferença</p><p>entre os limites da classe (maior valor</p><p>– menor valor) à 60 – 70 = 10</p><p>agora é só aplicar a fórmula:</p><p>isso nos diz que a mediana é igual a 67,85kg, ou seja,</p><p>metade dos alunos pesam menos que 67,85kg e metade dos</p><p>alunos pesam mais que 67,85kg. isso é o mesmo que dizer</p><p>que, do dotal de alunos, 50% pesam menos que 67,85kg e</p><p>50% pesam mais que 67,85kg.</p><p>3.2 Quartil, Decil e percentil</p><p>até agora estudamos uma medida de separatriz que</p><p>divide os dados em duas partes de mesma frequência, a</p><p>mEDiaNa. agora vamos ver outras medidas de separatriz:</p><p>quartis, decis e percentis.</p><p>•	 Quartis: dividem os dados em 4 partes de mesma</p><p>frequência, logo, são sempre 3 quartis e cada parte</p><p>contém 25% dos dados. O primeiro quartil (Q1) nos</p><p>diz que 25% dos dados é menor do que ele e 75% é</p><p>maior. O segundo quartil (Q2) é a mediana, ou seja,</p><p>50% dos dados é menor do que ele e 50% maior. O</p><p>terceiro quartil (Q3) nos diz que 75% dos dados é</p><p>menor do que ele e 25% é maior.</p><p>20Estatística para Engenharia ambiental e Sanitária</p><p>•	 Decis: dividem a distribuição em 10 partes da mesma</p><p>frequência;</p><p>•	 Percentis: dividem a distribuição em 100 partes da</p><p>mesma frequência;</p><p>Exemplo 10:</p><p>(CESPE/2018) Uma pesquisa a respeito das quantidades</p><p>de teatros em cada uma de 11 cidades brasileiras selecionadas</p><p>apresentou o seguinte resultado: {1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4}.</p><p>Com referência a esses dados, julgue os itens seguintes.</p><p>a) a mediana do conjunto é igual a 3.</p><p>b) O valor do primeiro quartil do conjunto de dados</p><p>(Q1/4) é igual a 3.</p><p>c) O valor do terceiro quartil do conjunto de dados</p><p>(Q3/4) é igual a 4.</p><p>Solução:</p><p>Para calcular a mediana precisamos primeiramente que</p><p>os dados estejam em ordem crescente. Veja que a sequência</p><p>já está em um rol.</p><p>{1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4}</p><p>Agora precisamos ver se temos um número par ou ímpar</p><p>de termos. Como são 11 termos, então temos um número</p><p>ÍmPaR de termos, e a mediana estará no termo</p><p>Logo, a mediana é igual ao SEXTO termo:</p><p>{1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4}</p><p>a) a mediana do conjunto é igual a 3 a VERDaDEiRO.</p><p>Sabemos que a mediana é igual ao segundo quartil,</p><p>logo,</p><p>Para calcularmos o primeiro quartil, calculamos a</p><p>mediana dos números que sobraram à esquerda da mediana e</p><p>o terceiro quartil será a mediana dos números que sobraram à</p><p>direita da mediana.</p><p>Vamos então calcular o primeiro quartil à mediana dos</p><p>números que sobraram à esquerda.</p><p>{1, 2, 2, 3, 3}</p><p>b) O valor do primeiro quartil do conjunto de dados</p><p>(Q1/4) é igual a 3 à FaLSO</p><p>Vamos então calcular o terceiro quartil à mediana dos</p><p>números que sobraram à direita.</p><p>{4, 4, 4, 4, 4}</p><p>c) O valor do terceiro quartil do conjunto de dados</p><p>(Q3/4) é igual a 4 à VERDaDEiRO</p><p>Exemplo 11:</p><p>(ESaF) Considere a tabela de frequências seguinte</p><p>correspondente a uma amostra da variável X. Não existem</p><p>observações coincidentes com os extremos das classes</p><p>Classes Frequência Acumulada</p><p>2.000 – 4.000 5</p><p>4.000 – 6.000 16</p><p>6.000 – 8.000 42</p><p>8.000 – 10.000 77</p><p>10.000 – 12.000 89</p><p>12.000 – 14.000 100</p><p>TOTAL</p><p>assinale a opção que corresponde à estimativa do valor</p><p>x da distribuição amostral de X que não é superado por cerca</p><p>de 80% das observações.</p><p>a) 10.000</p><p>b) 12.000</p><p>c) 12.500</p><p>d) 11.000</p><p>e) 10.500</p><p>Solução:</p><p>a questão pede o valor que não é superado por 80%</p><p>das observações, ou seja, estamos diante de DECiS. Nesse</p><p>caso, precisamos calcular o OiTaVO decil, o valor que deixa</p><p>à esquerda 80% dos dados.</p><p>Vimos que para calcular separatrizes em intervalos de</p><p>classes precisamos analisar as frequências aCUmULaDaS.</p><p>Nesse caso, o exercício já nos deu as frequências acumuladas,</p><p>logo não é preciso fazer nenhum tipo de transformação. Pela</p><p>tabela sabemos que temos um total de 100 valores (veja a</p><p>frequência acumulada da última classe), com isso podemos</p><p>trabalhar diretamente com porcentagem. Vamos interpretar</p><p>os dados da tabela:</p><p>Classes Frequência</p><p>acumulada</p><p>interpretação</p><p>2.000 – 4.000 5 5% dos valores estão abaixo de</p><p>4.000, ou seja 5% dos valores</p><p>não supera 4.000</p><p>4.000 – 6.000 16 16% dos valores estão abaixo de</p><p>6.000 ou seja 16% dos valores</p><p>não supera 6.000</p><p>6.000 – 8.000 42 42% dos valores estão abaixo de</p><p>8.000 ou seja 42% dos valores</p><p>não supera 8.000</p><p>21</p><p>8.000 – 10.000 77 77% dos valores estão abaixo de</p><p>10.000 ou seja 77% dos valores</p><p>não supera 10.000</p><p>10.000 –</p><p>12.000</p><p>89 89% dos valores estão abaixo de</p><p>12.000 ou seja 89% dos valores</p><p>não supera 12.000</p><p>12.000 –</p><p>14.000</p><p>100 100% dos valores estão abaixo</p><p>de 14.000 ou seja 100% dos</p><p>valores não supera 14.000</p><p>A questão pede o valor que não é superado por 80%</p><p>das observações. Olhando na tabela vimos que 77% dos</p><p>valores não superam 10.000 e 89% dos valores não superam</p><p>12.000. Como na coluna de frequência acumulada não temos</p><p>o valor de 80, não temos como saber qual é o valor de X que</p><p>não é superado por 80% das observações.</p><p>Sabemos que o valor de 10.000 corresponde</p><p>à frequência acumulada de 77 e que o valor de 12.000</p><p>corresponde a uma frequência acumulada de 89. Vamos agora</p><p>descobrir quem (X) corresponde à frequência acumulada de</p><p>80,</p><p>10.000 77</p><p>X 80</p><p>12.000 89</p><p>Para esse cálculo utilizamos a iNTERPOLaÇÃO</p><p>LiNEaR. Esse é um tema muito comum em concursos</p><p>públicos e vale a pena ter uma atenção redobrada. A</p><p>interpolação linear, nada mais é do que uma regra de 3, ou</p><p>seja, as diferenças são proporcionais:</p><p>Portanto, 80% das observações não supera o valor de</p><p>R$10.500,00, gabarito letra E.</p><p>Exemplo 12:</p><p>(FCC/2009) Considere para as resoluções que os</p><p>intervalos de classe são fechados à esquerda e abertos à direita.</p><p>Calculando o valor da média aritmética dos preços</p><p>unitários (considerando que todos os valores incluídos num</p><p>certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio</p><p>deste intervalo) e o valor da mediana por interpolação linear,</p><p>obtém-se que o módulo da diferença entre esses dois valores é</p><p>a) R$ 0,20</p><p>b) R$ 0,40</p><p>c) R$ 0,50</p><p>d) R$ 0,60</p><p>e) R$ 0,80</p><p>Solução:</p><p>Para facilitar vamos representar os dados em uma tabela.</p><p>Classe Ponto Médio ( ) Frequência Simples ( )</p><p>0 a 2 1 10</p><p>2 a 4 3 20</p><p>4 a 6 5 25</p><p>6 a 8 7 20</p><p>8 a 10 9 15</p><p>10 a 12 11 10</p><p>TOTal 100</p><p>Para calcular a média, acrescentamos uma nova coluna</p><p>que é a multiplicação do ponto médio, pela frequência:</p><p>Ponto Médio ( ) Frequência Simples ( )</p><p>1 10 1 x 10 = 10</p><p>3 20 3 x 20 = 60</p><p>5 25 5 x 25 = 125</p><p>7 20 7 x 20 = 140</p><p>9 15 9 x 15 = 135</p><p>11 10 11 x 10 = 110</p><p>TOTal 100 580</p><p>Portanto, a média é igual a 5,8.</p><p>Para calcularmos a mEDiaNa, precisamos calcular as</p><p>frequências acumuladas.</p><p>Classe</p><p>Frequência Simples ( ) Frequência Acumulada ( )</p><p>0 a 2 10 10</p><p>2 a 4 20 30</p><p>4 a 6 25 55</p><p>6 a 8 20 75</p><p>8 a 10 15 90</p><p>10 a 12 10 100</p><p>TOTal 100</p><p>Se estamos calculando a mediana, precisamos saber o</p><p>valor que divide a série em duas partes iguais. Pela frequência</p><p>acumulada sabemos que 55% dos valores estão abaixo de 6,</p><p>mas não temos como saber exatamente os 50%. Sabemos que</p><p>o valor 4 corresponde à frequência acumulada de 30, o valor 6</p><p>corresponde à frequência acumulada de 55. Por isso devemos</p><p>fazer a interpolação linear.</p><p>22Estatística para Engenharia ambiental e Sanitária</p><p>Portanto, a mEDiaNa é igual a 5,6.</p><p>Como a questão nos pede a diferença entre a média e</p><p>mediana, temos que:</p><p>4- Moda</p><p>Nesta seção, veremos o conceito e o cálculo da moda.</p><p>moda é o valor que ocorre com maior frequência em</p><p>um conjunto de dados, ou seja, o que aparece mais vezes.</p><p>Assim, nas representações gráficas, a moda aparece como um</p><p>pico de frequência. Ela é denotada por mo.</p><p>Então, como eu faço para determinar a moda de uma</p><p>amostra?</p><p>É simples, pessoal!</p><p>Vejam o exemplo:</p><p>Usando a mesma série de valores:</p><p>23 – 40 – 20 – 18 – 19 – 45 – 36 – 21 – 42 – 18.</p><p>a moda, nesse caso, é 18, pois este aparece mais vezes.</p><p>Também pode existir um conjunto de valores que não</p><p>tenha nenhum valor que apareça mais vezes. Então, essa série</p><p>de valores não apresenta moda, isto é, é amodal.</p><p>a série de valores que apresenta dois ou mais valores</p><p>modais é denominada bimodal.</p><p>Exemplo 13:</p><p>(CESPE/PF/2018) Tendo em vista que, diariamente,</p><p>a Polícia Federal apreende uma</p><p>quantidade X, em kg, de</p><p>drogas em determinado aeroporto do Brasil, e considerando</p><p>os dados hipotéticos da tabela precedente, que apresenta os</p><p>valores observados da variável X uma amostra aleatória de</p><p>5 dias de apreensões no citado aeroporto, julgue o item: a</p><p>moda da distribuição dos valores X registrados na amostra foi</p><p>igual a 22 kg</p><p>Solução:</p><p>a moda é o termo que mais se repete, ou seja, o termo</p><p>que tem mais frequência. Veja que em dois dias, a polícia</p><p>apreendeu 22kgs. Logo, o valor da moda é igual a 22 e o item</p><p>está CERTO.</p><p>Exemplo 14:</p><p>(iDECaN/2019) a tabela abaixo refere-se a uma</p><p>distribuição de frequência do número de consultas telefônicas</p><p>a uma agência bancária, durante um período de 75 dias.</p><p>Número de consultas telefônicas em um período de 75 dias.</p><p>Tendo-se como referência distribuição, o valor da moda</p><p>pelo método de Czuber é igual a</p><p>a) 16,00</p><p>b) 17,31</p><p>c) 17,67</p><p>d) 17,71</p><p>e) 18,00</p><p>Solução:</p><p>a fórmula de Czuber é um método proposto por</p><p>Emanuel Czuber para o cálculo da moda para dados agrupados</p><p>em intervalos de classe. Quando estamos trabalhando com</p><p>classes não sabemos os dados exatos. Para determinação da</p><p>moda, em um intervalo de classes, utilizamos a fórmula de</p><p>Czuber. Essa expressão é a seguinte:</p><p>Onde:</p><p>=</p><p>=</p><p>limite inferior da classe modal</p><p>amplitude da classe modal</p><p>= frequência simples da classe modal</p><p>= frequência simples da classe anterior à</p><p>classe modal</p><p>= frequência simples da classe posterior à</p><p>classe modal</p><p>a primeira informação é encontrar a CLaSSE mODaL,</p><p>que será a classe com maior frequência. Nesse caso, a classe</p><p>modal é igual à classe 5 pois, apresenta a maior frequência,</p><p>26. Logo</p><p>23</p><p>agora é apenas aplicação da fórmula de Czuber:</p><p>Gabarito: LETRa C</p><p>Exemplo 15:</p><p>(FCC/2016) Três funcionários do Serviço de</p><p>atendimento ao Cliente de uma loja foram avaliados</p><p>pelos clientes que atribuíram uma nota (1; 2; 3; 4; 5) para o</p><p>atendimento recebido. a tabela mostra as notas recebidas por</p><p>esses funcionários em um determinado dia</p><p>Considerando a totalidade das 95 avaliações desse dia, é</p><p>correto afirmar que a média das notas dista da moda dessas</p><p>mesmas notas um valor absoluto, aproximadamente, igual a:</p><p>Solução:</p><p>Primeiro precisamos calcular a média das notas para</p><p>cada funcionário. a média é calculada multiplicando-se a</p><p>frequência pela nota e dividindo-se pelo total de notas.</p><p>média do Funcionário a.</p><p>média do Funcionário B.</p><p>média do Funcionário C.</p><p>Para calcular a média GERaL, basta fazer a média</p><p>ponderando a quantidade de atendimentos de cada</p><p>funcionário, ou seja, se o funcionário a fez 30 atendimentos,</p><p>vamos multiplicar a sua média por 30, se o funcionário B</p><p>fez 40 atendimentos multiplicamos a média dele por 40</p><p>e por fim multiplicamos a média do funcionário C por 25.</p><p>Depois é somar esses valores e dividir pelo número total de</p><p>atendimentos, 95 atendimentos. Veja:</p><p>a mODa é o valor ou a nota que mais se repete. Vamos</p><p>ver quantas vezes cada nota aparece:</p><p>NOTa 1: 2+6 = 8 vezes</p><p>NOTa 2: 7+6+5 = 18 vezes</p><p>NOTa 3: 2+9+10 = 21 vezes</p><p>NOTa 4: 9+14+6 = 29 vezes</p><p>NOTa 5: 10+5+4=19 vezes</p><p>Logo, o valor que mais aparece é a nota 4. Portanto</p><p>nossa moda é 4.</p><p>a diferença entre a moda e a média é:</p><p>Exemplo 16:</p><p>(ESaF/2006) Considere a seguinte distribuição de</p><p>idades, dadas em anos, referente a 30 alunos de uma escola.</p><p>Sabendo-se que os intervalos são fechados à esquerda e</p><p>abertos à direita, então os valores da idade mediana e da idade</p><p>média são, respectivamente iguais a:</p><p>Solução:</p><p>Primeiro vamos calcular a média. Para isso, precisamos</p><p>definir o ponto médio de cada classe e multiplicarmos a</p><p>frequência pelo ponto médio.</p><p>Classe de 6 até 8 → Ponto médio = 7</p><p>Classe de 8 até 10 → Ponto médio = 9</p><p>Classe de 10 até 12 → Ponto médio = 11</p><p>Classe de 12 até 14 → Ponto médio = 13</p><p>Classe de 14 até 16 → Ponto médio = 15</p><p>Para facilitar vamos representar os dados em uma tabela.</p><p>Classe Ponto Médio ( ) Frequência Simples ( )</p><p>6 a 8 7 9 7 x 9 = 63</p><p>8 a 10 9 10 9 x 10 = 90</p><p>24Estatística para Engenharia ambiental e Sanitária</p><p>10 a 12 11 2 11 x 2 = 22</p><p>12 a 14 13 5 13 x 5 = 65</p><p>14 a 16 15 4 15 x 4 = 60</p><p>TOTal 30 300</p><p>Portanto, a média é igual a 10.</p><p>Para calcularmos a mEDiaNa, precisamos calcular as</p><p>frequências acumuladas.</p><p>Classe</p><p>Frequência Simples ( )</p><p>Frequência</p><p>Acumulada ( )</p><p>6 a 8 9 9</p><p>8 a 10 10 19</p><p>10 a 12 2 21</p><p>12 a 14 5 26</p><p>14 a 16 4 30</p><p>TOTal 30</p><p>Como são 30 observações, a mediana (D) será o</p><p>elemento correspondente à frequência acumulada dividido</p><p>por 2, ou seja 30/2 = 15. Como não temos essa frequência na</p><p>tabela, precisamos fazer a interpolação linear. Pela frequência</p><p>acumulada, sabemos que 19 valores estão abaixo de 10, mas</p><p>não temos como saber exatamente os 15. Sabemos que o</p><p>valor 8 corresponde à frequência acumulada de 9, o valor 10</p><p>corresponde a frequência acumulada de 19. Por isso devemos</p><p>fazer a interpolação linear.</p><p>Logo, a mediana é igual a 9,2.</p><p>Depois dessa bateria de exercícios e exemplos chegamos</p><p>ao final da nossa aula.</p><p>Chegamos ao final da aula. Espero que tenham</p><p>aproveitado! Vamos fazer uma revisão retomando</p><p>brevemente cada seção?</p><p>Retomando a aula</p><p>1) Medidas de Posição</p><p>Na seção 1, foram apresentadas as principais medidas</p><p>de posição, também conhecidas como medidas de tendência</p><p>central.</p><p>2) Médias</p><p>Na seção 2, vimos como calcular a média aritmética, a</p><p>média ponderada, a média para dados agrupados por valor</p><p>e a média para dados agrupados por classe. Esses conceitos</p><p>são fundamentais para a continuação do nosso curso, sendo</p><p>que a definição de média aritmética será usada em todas as</p><p>aulas daqui por diante. Portanto, se restou dúvida, revisem</p><p>esta seção!</p><p>3) Medidas Separatrizes</p><p>Na seção 3, vimos as principais medidas separatrizes:</p><p>mediana, quartis, decis e percentis. Esses conceitos também</p><p>serão importantes no decorrer do nosso curso.</p><p>4) Moda</p><p>Na última seção, vimos a MODA como medida de</p><p>tendência central. É a medida mais fácil de ser calculada e vale</p><p>a pena dar uma retomada na fórmula de Czuber para o cálculo</p><p>da moda para dados agrupados em classe.</p><p>BaRBETTa, Pedro alberto. Estatística: aplicada às</p><p>ciências sociais. 7. ed. Florianópolis: Editora da UF, 2011.</p><p>BUSSaB, Wilton O.; mORETTiN, Pedro</p><p>alberto. Estatística básica. 8. ed. São Paulo: Saraiva, 2013.</p><p>CaLLEGaRi-JaCQUES, Sidia</p><p>m. Bioestatística: princípios e aplicações. Porto alegre:</p><p>artmed, 2008.</p><p>LaRSON, Ron; FaRBER, Betsy; ViaNNa, Luciane</p><p>Ferreira Pauleti. Estatística aplicada. 4. ed. São Paulo:</p><p>Pearson Prentice Hall, 2011.</p><p>SPiEGEL, murray R.; COSENTiNO,</p><p>Pedro. Estatística. 2. ed. São Paulo: mcGraw-Hill, 1985.</p><p>STEVENSON, William J.; FaRiaS, alfredo alves</p><p>de. Estatística aplicada à administração. São Paulo:</p><p>Harbra, 2001</p><p>ViEiRa, Sônia. Introdução à Estatística para</p><p>Engenharia Ambiental e Sanitária. Elsevier Brasil, 2015.</p><p>WaLPOLE, Ronald E.; ViaNNa, Luciane Ferreira</p><p>Pauleti. Probabilidade & estatística: para engenharia e</p><p>ciências. 8. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.</p><p>Vale a pena ler</p><p>Vale a pena</p><p>Minhas anotações</p>