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<p>Estatística para Engenharia ambiental e Sanitária</p><p>Variável Aleatória Discreta e</p><p>Distribuição de Probabilidade</p><p>Objetivos de aprendizagem</p><p>ao término desta aula, vocês serão capazes de:</p><p>• conceituar variável aleatória.</p><p>• entender o conceito de Esperança matemática;</p><p>• calcular variância e desvio padrão de uma variável aleatória;</p><p>• calcular a covariância entre duas variáveis aleatórias;</p><p>• compreender o conceito de função de distribuição;</p><p>• diferenciar as distribuições de probabilidade de Poisson e Binomial.</p><p>Nesta sexta aula, vamos conhecer e conceituar as variáveis</p><p>aleatórias e compreender o conceito de Esperança matemática</p><p>e suas propriedades. Vamos aprender a calcular a variância e o</p><p>desvio padrão de uma variável aleatória e entender o conceito</p><p>de covariância entre duas variáveis aleatórias, X e Y. Por fim,</p><p>vamos estudar as duas principais distribuições de probabilidade</p><p>de variável discreta: Distribuição de Poisson e Distribuição</p><p>Binomial.</p><p>Então, vamos à nossa aula?</p><p>Comecemos analisando os objetivos e verificando as</p><p>seções que serão desenvolvidas ao longo desta aula.</p><p>Bom trabalho!</p><p>Bons estudos!</p><p>6º Aula</p><p>43</p><p>Seções de estudo</p><p>1- Variável aleatória</p><p>2- Esperança matemática</p><p>3- Variância e Desvio Padrão</p><p>4- Covariância e Correlação</p><p>5- Função de Distribuição</p><p>6- Distribuições Discretas</p><p>1- Variável Aleatória</p><p>Vamos começar a estudar as variáveis aleatórias que são</p><p>a base para a Estatística inferencial. as variáveis aleatórias</p><p>podem ser discretas e contínuas. as variáveis aleatórias (v.a.)</p><p>aquelas associadas a uma distribuição de probabilidade, ou seja,</p><p>são variáveis que podem assumir diferentes valores, valores</p><p>estes que, por sua vez, estão associados a probabilidades.</p><p>Uma variável aleatória discreta pode assumir apenas</p><p>certos valores resultantes de contagens. Por exemplo, quando</p><p>lançamos um dado, o resultado pode ser: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. O</p><p>valor desse lançamento é uma variável aleatória DiSCRETa</p><p>e é possível atribuir probabilidade para cada um desses</p><p>valores. Por exemplo: se você lançar o dado uma única vez, a</p><p>probabilidade de sair o número 4 é 1/6.</p><p>mas, considere o peso dos alunos de uma escola. Esses</p><p>pesos variam aleatoriamente, por exemplo, de 50 a 100kg e</p><p>resultam de uma medida que pode assumir qualquer valor</p><p>nesse intervalo. Nesse caso estamos diante de uma variável</p><p>aleatória CONTÍNUa e quando trabalhamos com variáveis</p><p>contínuas não é possível atribuir probabilidade a um valor</p><p>específico. Portanto, quando estamos tratando de variáveis</p><p>contínuas, só poderemos atribuir probabilidades a intervalo</p><p>de valores já, que existe uma infinidade de probabilidades.</p><p>mas, o que é uma distribuição de probabilidade?</p><p>Distribuição de probabilidade é uma lista de todos os</p><p>resultados possíveis de um experimento e também das</p><p>probabilidades associadas a cada um dos resultados. a soma</p><p>dessas probabilidades é sempre 1, 100%.</p><p>2- Esperança Matemática</p><p>Esperança matemática, também chamado de valor médio</p><p>ou média, é a soma do valor de cada variável multiplicada pela</p><p>sua probabilidade. Ou seja,</p><p>Por exemplo: Quando jogamos um dado (não viciado)</p><p>para cima, os resultados possíveis são: 1; 2; 3; 4; 5 e 6. a cada</p><p>um desses valores está atribuída uma probabilidade. Como</p><p>o dado é não viciado, a probabilidade de sair cada número é</p><p>igual a 1/6. Logo,</p><p>1 1/6</p><p>2 1/6</p><p>3 1/6</p><p>4 1/6</p><p>5 1/6</p><p>6 1/6</p><p>EXEMPLO 1</p><p>(ESaF/2006) Suzana e Sandra jogam, cada uma, uma</p><p>moeda. Se do lançamento dessas duas moedas resultar duas</p><p>caras, Suzana paga a Sandra R$ 6,00. Dando qualquer outro</p><p>resultado, Sandra paga a Suzana R$ 4,00. Supondo que ambas</p><p>as moedas sejam estatisticamente honestas, o valor esperado,</p><p>em reais, dos ganhos de Sandra (considerando- se como</p><p>ganhos negativos os valores que ela paga à Suzana) é igual a</p><p>a) 1,5.</p><p>b) -0,75.</p><p>c) 0,75.</p><p>d) -1,5.</p><p>e) 2,5.</p><p>Solução:</p><p>Vamos calcular a esperança matemática (valor esperado)</p><p>dos ganhos de SaNDRa.</p><p>Jogando as duas moedas os resultados podem ser: cara e</p><p>cara; coroa e coroa; cara e coroa; coroa e cara. Se o resultado</p><p>for cara e cara, Sandra ganha R$ 6,00. Qualquer outro</p><p>resultado, Sandra paga R$4,00.</p><p>Como são 4 possibilidades diferentes (cara e cara; coroa</p><p>e coroa; cara e coroa; coroa e cara), a probabilidade de cada</p><p>uma é ¼. Então, a probabilidade de dar cara e cara (quando</p><p>Sandra ganha) é ¼ e a probabilidade das outras três (quando</p><p>Sandra paga) é ¾.</p><p>44Estatística para Engenharia ambiental e Sanitária</p><p>X P(X)</p><p>+ 6,00 ¼</p><p>- 4,00 ¾</p><p>agora, vamos calcular a Esperança matemática. Sabemos</p><p>que para calcular a E(x) primeiro multiplicamos cada valor da</p><p>variável pela sua respectiva probabilidade e depois somamos</p><p>tudo:</p><p>isso nos diz que, se Sandra e Suzana realizassem esse</p><p>experimento uma infinidade de vezes, Sandra perderia R$1,50</p><p>por jogo em média.</p><p>3- Variância e Desvio padrão</p><p>Já vimos nas aulas anteriores o que é o desvio padrão e</p><p>a variância e como calculá-los. agora vamos ver como fazer</p><p>esse cálculo para variáveis aleatórias. Por definição, a variância</p><p>de uma variável aleatória X, de população iNFiNiTa, é:</p><p>Como E(X) também pode ser representada por , então</p><p>a variância pode ser:</p><p>Desenvolvendo essa fórmula e utilizando algumas</p><p>propriedades da esperança matemática, temos que:</p><p>Como E(X) também pode ser representada por ,</p><p>podemos reescrever essa fórmula:</p><p>EXEMPLO 2</p><p>(CESGRaNRiO/2011) Estatísticas do Departamento</p><p>de Trânsito sobre o envolvimento de motoristas em acidentes</p><p>com até 2 anos de habilitação indicam que o seguinte modelo</p><p>pode ser adotado, ou seja, a variável aleatória X representa o</p><p>número de acidentes e assume valores 0, 1, 2, 3 e 4:</p><p>Calcule o valor esperado e o desvio padrão da variável</p><p>aleatória X.</p><p>Solução:</p><p>Primeiro vamos calcular a Esperança matemática de X.</p><p>Já sabemos que para isso precisamos multiplicar cada valor</p><p>da variável pela sua respectiva probabilidade e depois realizar</p><p>a soma.</p><p>Logo, o valor esperado de X é igual a 1,9. agora vamos</p><p>calcular o desvio padrão dessa variável aleatória. Para isso</p><p>precisamos primeiramente calcular a variância.</p><p>Precisamos então calcular a . Para esse cálculo</p><p>devemos elevar a variável X ao quadrado, multiplicar pelas</p><p>propriedades e realizar a soma.</p><p>agora podemos retomar na fórmula da variância.</p><p>45</p><p>4- Covariância e Correlação</p><p>Quando analisamos duas variáveis aleatórias podemos</p><p>estudar a relação entre elas, ou seja, verificar se essas variáveis</p><p>possuem ou não relação entre elas. Por exemplo, podemos</p><p>entender a relação de altura com o peso. Será que quanto mais</p><p>alta a pessoa é, maior é o seu peso? Se a altura influenciar</p><p>no peso, dizemos que essas variáveis são DEPENDENTES,</p><p>mas, se uma não influenciar na outra, as variáveis são</p><p>iNDEPENDENTES.</p><p>Quando confirmamos que as variáveis são dependentes,</p><p>podemos também analisar o grau de dependência entre elas, ou</p><p>seja, se é FORTE ou FRACA. Para verificar essa dependência,</p><p>analisamos duas medidas: covariância e a correlação.</p><p>Como estamos falando de DUaS variáveis, então</p><p>teremos:</p><p>a fórmula da COVaRiÂNCia entre X e Y é dada por:</p><p>Podemos desenvolver essa fórmula e escrever a</p><p>covariância da seguinte forma:</p><p>A correlação entre X e Y é um número definido por:</p><p>5- Função de Distribuição</p><p>Uma função de distribuição da variável X, também</p><p>chamada de distribuição acumulada, irá fornecer a</p><p>probabilidade de a variável aleatória assumir valores menores</p><p>do que ou iguais ao valor. Essa função é dada por:</p><p>Considere as seguintes informações sobre a função de</p><p>distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X.</p><p>Vamos interpretar esses dados.</p><p>Para x = 1, o valor da função de distribuição de</p><p>probabilidade (FDP) é igual a 0. isso quer dizer que a</p><p>probabilidade de X ser igual ou menor que 1 é 0%.</p><p>Para x = 4, FDP = 0,2, ou seja, a probabilidade de X ser</p><p>igual ou menor que 4 é 20%.</p><p>Para x = 10, FDP = 1. isso nos diz que, a probabilidade</p><p>de X assumir valores igual ou menor que 10 é 100%.</p><p>E qual a probabilidade de X ser maior que 5?</p><p>Bom, pela tabela temos que, para x = 5, a probabilidade</p><p>de x assumir valores iguais ou menor do que é 5 é de 50%.</p><p>Para saber a probabilidade de x ser maiOR do que 5, basta</p><p>subtrair esse valor de 1 (100%).</p><p>6- Distribuições Discretas</p><p>Já vimos anteriormente que as variáveis aleatórias são</p><p>aquelas cujo valor depende de fatores aleatórios. Já vimos</p><p>também que essas variáveis podem ser discretas ou contínuas.</p><p>Para retomar, dizemos que uma variável é contínua quando</p><p>se pode assumir infinitos valores, dentro de um intervalo</p><p>finito. Um exemplo clássico é o peso. Já a variável discreta</p><p>só pode assumir um número finito de valores, dentro de um</p><p>intervalo finito, por exemplo, o número análises feitas por um</p><p>equipamento de laboratório em 1 hora.</p><p>Vamos entender agora o caso mais simples de variável</p><p>aleatória discreta, a variável aleatória BiNÁRia.</p><p>6.1 Variável aleatória Binária</p><p>Para entendermos as variáveis binárias, vamos voltar</p><p>ao exemplo da moeda. ao se jogar uma moeda, temos dois</p><p>eventos mutuamente exclusivos: cara ou coroa. Na estatística,</p><p>46Estatística para Engenharia ambiental e Sanitária</p><p>esses eventos não podem ser descritos através de palavras,</p><p>logo devemos utilizar números.</p><p>Nesse nosso exemplo, vamos estabelecer que, ao jogar</p><p>uma moeda se ocorrer coroa assumimos o valor zero, e se</p><p>ocorrer cara, assumimos o valor 1.</p><p>Logo, podemos definir a variável binária como aquela que</p><p>só assume 0 ou 1, representando dois eventos mutuamente</p><p>EXCLUSiVOS.</p><p>Já vimos também que as variáveis aleatórias estão sempre</p><p>associadas a probabilidades, logo a distribuição discreta de</p><p>probabilidade nada mais é do que o conjunto de todos os</p><p>valores que podem ser assumidos por uma variável aleatória</p><p>discreta, com as respectivas probabilidades.</p><p>6.2 Distribuição binomial</p><p>a distribuição binomial apresenta o comportamento</p><p>de uma variável binária em amostras aleatórias, empregada</p><p>para determinar a probabilidade de que certa proporção de</p><p>sucessos seja observada em um grupo de indivíduos. algumas</p><p>condições são necessárias:</p><p>a) O experimento deve ser repetido, nas mesmas</p><p>condições, um número finito de vezes (n);</p><p>b) as provas repetidas devem ser iNDEPENDENTES,</p><p>ou seja, o resultado de uma não deve afetar os</p><p>resultados sucessivos;</p><p>c) Em cada prova deve aparecer um dos dois possíveis</p><p>resultados: sucesso e insucesso;</p><p>d) No decorrer do experimento, a probabilidade p do</p><p>sucesso e a probabilidade q do insucesso manter-se-</p><p>ão constantes;</p><p>e) a probabilidade do sucesso + insucesso é igual a</p><p>1, ou seja Logo, a probabilidade do</p><p>insucesso é , ou seja, 1 – probabilidade</p><p>de sucesso.</p><p>ao realizarmos a mesma prova n vezes sucessivas e</p><p>independentes, a probabilidade de quem evento se realiza k</p><p>vezes é dada pela função de probabilidade binomial:</p><p>na qual:</p><p>P (X=k) é a probabilidade de que um evento se realize</p><p>k vezes em n provas; p é a probabilidade de que o evento se</p><p>realize em uma só prova (sucesso); q é a probabilidade de que</p><p>o evento não se realize no decurso dessa prova – insucesso;</p><p>Essa fatoração vimos na nossa primeira aula, logo,</p><p>podemos seguir em frente através de exemplos.</p><p>EXEMPLO 3</p><p>Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas e independentes.</p><p>Calcule a probabilidade e serem obtidas 3 caras nessas 5</p><p>provas.</p><p>Solução:</p><p>Temos que:</p><p>Pela lei binomial podemos escrever:</p><p>Já sabemos que a probabilidade de obtermos “cara”</p><p>numa prova (sucesso) é e a probabilidade de não</p><p>obtermos “cara” numa só prova (insucesso) é:</p><p>Então,</p><p>Logo,</p><p>47</p><p>EXEMPLO 4</p><p>Em uma cooperativa de reciclagem de lixo, 5% do lixo</p><p>recebido contêm objetos perfurocortantes (lâminas, agulhas</p><p>etc.). Em 1 minuto de trabalho o funcionário coleta 8 objetos,</p><p>qual é a probabilidade de ele tocar duas vezes em um objeto</p><p>perfurocortante?</p><p>Solução:</p><p>Trata-se de uma distribuição binomial, pois temos uma</p><p>probabilidade de “sucesso” em encontrar uma lâmina ou</p><p>agulha é de 5%, isto é, p = 0,05. Dessa maneira, o “insucesso”</p><p>seria q = 0,95. No período de tempo da pesquisa, obtemos o</p><p>nosso valor de n = 8 e k = 2. Sendo assim, vamos atribuir os</p><p>números a equação:</p><p>Pela lei binomial podemos escrever:</p><p>Então,</p><p>Logo,</p><p>mas, como calculamos a VaRiÂNCia em uma</p><p>distribuição binomial???? Bom, em uma distribuição binomial,</p><p>a variância, com notação é dada pela seguinte fórmula:</p><p>Logo, nesse último exemplo, a variância é igual a:</p><p>EXEMPLO 5</p><p>Em uma eleição, sabe-se que 40% dos eleitores são</p><p>favoráveis ao candidato X e o restante ao candidato Y.</p><p>Extraindo uma amostra aleatória, com reposição, de tamanho</p><p>3 da população de eleitores, calcule a probabilidade de que no</p><p>máximo 1 eleitor da amostra seja favorável ao candidato X.</p><p>Solução:</p><p>Consideremos que a variável aleatória V os votos dos</p><p>eleitores dessa região, sendo que votar no candidato X seja um</p><p>sucesso enquanto votar no candidato Y (ou seja, não votar em</p><p>X) seja um fracasso. Segue que V tem distribuição binomial</p><p>com parâmetros n = 3 e p = 40%, ou seja, sua função de</p><p>probabilidade for dada por</p><p>Temos também que</p><p>Desse modo temos que a probabilidade de que no</p><p>máximo 1 eleitor da amostra seja favorável ao candidato X vai</p><p>ser a probabilidade:</p><p>Probabilidade de ninguém votar no candidato X + P de</p><p>1 único eleitor votar no candidato X.</p><p>Então precisamos calcular a probabilidade quando K = 0</p><p>(ninguém vota) e K = 1 (1 único eleitor vota).</p><p>Para K = 0</p><p>Logo, a probabilidade de ninguém votar no candidato X</p><p>é 21,6%.</p><p>Para K = 1</p><p>48Estatística para Engenharia ambiental e Sanitária</p><p>Portanto, a probabilidade de 1 único eleitor votar no</p><p>candidato X é 43,2%.</p><p>agora podemos calcular a probabilidade de no máximo</p><p>1 eleitor votar no candidato X:</p><p>EXEMPLO 6</p><p>Um jogador tem tido aproveitamento de 80% dos</p><p>pênaltis batidos. Em uma série de 5 chutes qual a chance dele</p><p>acertar apenas 2.</p><p>Solução:</p><p>Se ele aproveita 80% dos chutes, ele desperdiça 20%.</p><p>Para que ele acerte 2 chutes, ele vai errar o restante, ou seja,</p><p>ele vai errar 3 chutes. Logo, teremos 2 sucessos e 3 fracassos.</p><p>Precisamos então calcular a probabilidade de sucesso (k = 2).</p><p>Em uma série de 5 chutes, a probabilidade de acertar 2</p><p>chutes é 5,12%.</p><p>EXEMPLO 7</p><p>Num experimento de dose-resposta, um pesquisador</p><p>aplica uma dose de veneno numa amostra composta de 10</p><p>indivíduos. Se a letalidade do veneno é de 80%, calcule a</p><p>probabilidade de morrerem exatamente 6 indivíduos nesta</p><p>amostra.</p><p>Solução:</p><p>Se a letalidade é 80%, então a chance de sucesso é 80%</p><p>e a chance de fracasso é 20% (100 – 80). a amostra total é</p><p>10, então n = 10 e nós precisamos calcular a probabilidade</p><p>de morrerem exatamente 6 indivíduos, logo temos que k = 6.</p><p>agora é só aplicar a fórmula de Binomial.</p><p>6.3 Distribuição de poisson</p><p>Quando temos uma distribuição em que o valor de p é</p><p>um valor muito pequeno, ou seja, podemos dizer que a chance</p><p>de sucesso é um evento muito raro e que, o conjunto n tende</p><p>ao infinito, ou seja, n é suficientemente grande, a distribuição</p><p>binomial se aproxima de uma distribuição de Poisson.</p><p>No caso da distribuição de Poisson, a média e a variância,</p><p>ambas indicadas por (lê-se lambda), possuem o mesmo</p><p>valor que é dado pela expressão:</p><p>Na distribuição de Poisson, se X é uma variável aleatória,</p><p>a probabilidade de X assumir o valor x, é:</p><p>Onde e é uma constante matemática que é a base dos</p><p>logaritmos naturais, e é o número irracional 2,71828....</p><p>Vamos para um exemplo da distribuição de Poisson????</p><p>EXEMPLO 8</p><p>Vamos admitir que a probabilidade de um mosquito</p><p>conter o vírus da dengue é de 0,004. Determine a probabilidade</p><p>de, em 1000 mosquitos, nenhum ter o vírus.</p><p>Solução:</p><p>Para resolver esse exemplo vamos admitir que a variável</p><p>aleatória X tem distribuição de Poisson. Como queremos</p><p>a probabilidade de nenhum mosquito transmitir o vírus da</p><p>dengue, estamos em busca de P (X=0), logo, temos que:</p><p>49</p><p>EXEMPLO 9</p><p>O número de peças defeituosas fabricadas por uma</p><p>empresa tem distribuição de Poisson, com uma taxa média de</p><p>1 peça defeituosa por 1.000 peças fabricadas. adquirindo 100</p><p>peças desta empresa, calcule a probabilidade de, no máximo,</p><p>uma peça ser defeituosa.</p><p>Solução:</p><p>Podemos calcular</p><p>a probabilidade de uma distribuição de</p><p>Poisson por:</p><p>De acordo com o enunciado, a taxa média é de 1 peça</p><p>defeituosa por 1.000 peças fabricadas. Logo, a taxa média em</p><p>porcentagem é:</p><p>Então temos que</p><p>O enunciado pede para gente calcular a probabilidade</p><p>de, no máximo, uma peça ser defeituosa. Então precisamos</p><p>calcular de não ter nenhuma peça defeituosa (k = 0) e de ter</p><p>uma única peça defeituosa (k = 1).</p><p>Logo,</p><p>EXEMPLO 10</p><p>Sabe-se que o número de clientes que procuram</p><p>atendimento numa agência da previdência no período das</p><p>17 às 18 horas tem distribuição de Poisson com média de 3</p><p>clientes.</p><p>Solução:</p><p>Calcule o valor da probabilidade de que mais de 2 clientes</p><p>apareçam no período.</p><p>Sabe-se que e-3 = 0,0498, sendo “e” o número neperiano.</p><p>Resolução:</p><p>Podemos calcular a probabilidade de uma distribuição de</p><p>Poisson por:</p><p>Primeiro vamos calcular a probabilidade de aparecer 2</p><p>clientes ou menos.</p><p>x = 0</p><p>x = 1</p><p>x = 2</p><p>mas a gente precisa calcular a probabilidade de X ser</p><p>maior que 2. Logo vai ser a diferença de 100% ou 1 para a</p><p>.</p><p>Sabemos pelo enunciado que</p><p>Logo, a probabilidade de X ser maior do que 2 é 57,67%.</p><p>50Estatística para Engenharia ambiental e Sanitária</p><p>Chegamos ao final da aula. Parece que estamos indo</p><p>bem. Então, para encerrar este tópico vamos recordar</p><p>um pouco do que vimos nesta aula.</p><p>Retomando a aula</p><p>1- Variável Aleatória</p><p>Na seção 1, vimos que o estudo das variáveis aleatórias</p><p>é importante e que estas podem ser variáveis discretas</p><p>ou contínuas. Vimos que as variáveis aleatórias, aquelas</p><p>associadas a uma distribuição de probabilidade, ou seja, são</p><p>variáveis que podem assumir diferentes valores, valores estes</p><p>que, por sua vez, estão associados a probabilidades.</p><p>2- Esperança Matemática</p><p>Na seção 2, vimos que Esperança matemática é o valor</p><p>médio, ou seja, é a soma do valor de cada variável multiplicada</p><p>pela sua probabilidade. Vimos, ainda, as principais</p><p>propriedades da Esperança matemática.</p><p>3- Variância e Desvio Padrão</p><p>Na seção 3, vimos como fazer o cálculo da variância e do</p><p>desvio padrão para variáveis aleatórias.</p><p>4- Covariância e Correlação</p><p>Na seção 4, estudamos a correlação entre essas variáveis</p><p>e vimos como calcular a covariância entre duas variáveis, X</p><p>e Y.</p><p>Vimos também as principais propriedades da covariância</p><p>e como se dá a variância da soma e da diferença.</p><p>5- Função de Distribuição</p><p>Na seção 5, vimos o que é uma função de distribuição e</p><p>como calcular.</p><p>6- Distribuições Discretas</p><p>Na seção 6, estudamos as duas principais distribuições de</p><p>probabilidades discretas: distribuição de Poisson e distribuição</p><p>Binomial.</p><p>BaRBETTa, Pedro alberto. Estatística: aplicada às</p><p>ciências sociais. 7. ed. Florianópolis: Editora da UF, 2011.</p><p>BUSSaB, Wilton O.; mORETTiN, Pedro</p><p>Vale a pena ler</p><p>Vale a pena</p><p>alberto. Estatística básica. 8. ed. São Paulo: Saraiva,</p><p>2013.</p><p>CaLLEGaRi-JaCQUES, Sidia</p><p>m. Bioestatística: princípios e aplicações. Porto alegre:</p><p>artmed, 2008.</p><p>LaRSON, Ron; FaRBER, Betsy; ViaNNa,</p><p>Luciane Ferreira Pauleti. Estatística aplicada. 4. ed. São</p><p>Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011.</p><p>SPiEGEL, murray R.; COSENTiNO,</p><p>Pedro. Estatística. 2. ed. São Paulo: mcGraw-Hill, 1985.</p><p>STEVENSON, William J.; FaRiaS, alfredo alves</p><p>de. Estatística aplicada à administração. São Paulo:</p><p>Harbra, 2001</p><p>ViEiRa, Sônia. Introdução à Estatística para</p><p>Engenharia Ambiental e Sanitária. Elsevier Brasil,</p><p>2015.</p><p>WaLPOLE, Ronald E.; ViaNNa, Luciane Ferreira</p><p>Pauleti. Probabilidade & estatística: para engenharia e</p><p>ciências. 8. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.</p><p>Minhas anotações</p>
