Fisica - Ensino Medio (437)

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+A-A
EMT
Ec
Ep x
0
E
θ
py
m (massa da esfera).
p (força peso da esfera).
x
L
L
θ
T (força de tração do fio).
px
16
FÍ
SI
CA
 II
I
Px = mg sen θ
Py = mg cos θ
Assim, podemos concluir que a freqüência ƒ de um MHS é dada por 
ƒ = ω/2π, o que nos dá a relação: ω = 2πƒ.
Através de derivações, podemos obter as demais equações que des-
crevem um MHS:
v = ω A cos (ωt + φ0)
e
a = - ω2 A sen (ωt + φ0) = - ω2 x
A última equação nos mostra que, num MHS, a aceleração é sempre 
proporcional e de sentido oposto ao deslocamento.
A partir das equações acima, podemos fazer:
cos (ωt + φ0) = v / ω A e sen (ωt + φ0) = x / A
Elevando ao quadrado:
Cos2 (ωt + φ0) = [v / ω A]2 e sen2 (ωt + φ0) = [x / A]2
Somando as equações acima, obtemos:
v2 = ω2 (A2 – x2)
De posse desses resultados, podemos fazer algumas observações sobre 
um oscilador massa-mola que realiza um movimento harmônico (um 
oscilador harmônico):
I. A velocidade do bloco nos pontos extremos é dada por v2 = ω2 (A2 – A2) 
� v = 0.
II. A velocidade do bloco no ponto central é dada por v2 = ω2 (A2 – 02) � 
v = + ωA. Tal velocidade é máxima.
III. A aceleração do bloco nos pontos extremos é dada por a = + ω2A. 
Nesses pontos ela tem módulo máximo.
IV. A aceleração do bloco no ponto central é dada por a = 0. 
Período de Osciladores Harmônicos
Num oscilador harmônico, a força resultante sobre o bloco é a força F 
que a mola exerce sobre ele. De acordo com a Segunda Lei de Newton, 
e usando o valor da aceleração num MHS, podemos escrever que:
F = ma = - m ω2 x 
No entanto, pela lei de Hooke, a força que uma mola exerce é dada por:
F = - kx
Igualando as expressões acima, temos que:
- kx = - m ω2 x
ω = 
m
k
 
Como ω = 2π/ T:
2π/T = 
m
k
Nos dando, finalmente:
 T = 2π 
k
m
Como ƒ = 1/T, facilmente obtemos a expressão para a freqüência do 
oscilador harmônico:
ƒ = (1/2π)
Energia Mecânica em Osciladores Harmônicos
Tomemos um oscilador harmônico com a massa na posição x = +A. Nessa 
posição, a energia mecânica armazenada pela mola vale Ep = (1/2)(K A2). 
Ainda nessa posição, a energia cinética Ec vale zero, pois a velocidade 
da massa é nula.
Assim, a energia mecânica total do sistema pode ser expressa por:
E = Ec + Ep = 2
²KA
Como não há dissipação de Energia, o valor 
da energia mecânica total no sistema é cons-
tante. O que acontece é uma troca contínua 
de energia potencial e cinética. Quando a 
massa se afasta da posição de equilíbrio ela 
troca energia cinética por energia potencial. 
Quando ela se aproxima da posição de 
equilíbrio o inverso acontece. A figura ilustra 
essa afirmação.
Pêndulo Simples
Um pêndulo simples é um sistema 
constituído por uma massa pontual m 
suspensa por um fio inextensível de 
massa desprezível e comprimento L, 
conforme a figura. Decompondo as 
forças que atuam sobre a massa, a 
componente tangencial da força peso 
pode ser expressa por:
Px = - mg senθ
O valor é negativo porque a força atua no sentido oposto do desloca-
mento da massa. O ângulo θ pode ser expresso, em radianos, por θ = 
x / L. Assim:
Px = - mg sen (x/L)
Note que a força não é proporcional ao deslocamento x. No entanto, 
para ângulos muito pequenos (até 10º), podemos aproximar sen (x/L) 
para (x/L). Assim, temos:
Px = - (m g x) / L
Igualando à Segunda Lei de Newton, já com a aceleração expressa para 
o MHS, e desenvolvendo:
 Px = - (m g x) / L = - m ω2 x
 ω 2 = g / L
 ω = 
L
g
 2π / T = L
g
 T = 2π g
L
A expressão acima determina o período de um pêndulo simples para 
ângulos menores que 10º. O período independe da massa do pêndulo.
Prof. Sérgio Torres Apostila 02 Física Pura
15/05/2010 143/181
Sergio Torres
fisica