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De fato, seria interessante se a norma brasileira adotasse o conceito dos estados limites.
Além de ser mais adequado, por permitir melhor conhecimento da segurança da estrutura, esse é
o conceito que serve de base para as demais normas existentes no País. até mesmo para algumas
que complementam o próprio emprego da alvenaria como sistema estrutural. Por exemplo, a NBR
6136 - Blocos Vazados de Concreto Simples para Alvenaria Estrutural4 fala explicitamente em
resistência característica do bloco de concreto. Além disso, é impossível a utilização da NBR 8681 -
Ações e Segurança nas Estruturas* para edificações de alvenaria estrutural.
5 . 2 R E S I S T Ê N C I A À C O M P R E S S Ã O D A A L V E N A R I A
A resistência à compressão é, obviamente, o parâmetro de resistência mais importante
para a alvenaria estrutural. Dessa forma, não é de se estranhar que muitos trabalhos tenham sido
desenvolvidos para quantificá-la. Aqui, procurar-se-á apresentar um panorama geral sobre esse
aspecto de grande importância.
5 . 2 . 1 INFLUÊNCIA DOS COMPONENTES NA RESISTÊNCIA À COMPRESSÃO
A seguir, se faz um breve resumo sobre a influência de cada componente sobre a
resistência à compressão da alvenaria. O principal objetivo é dar noções qualitativas, ou até mesmo
quantitativas, sobre a maneira como cada um desses componentes atua no sentido de aumentar
ou reduzir a referida resistência.
5 . 2 . 1 . 1 BLOCOS
Dentre os fatores que exercem influência na resistência à compressão dos painéis de
parede, a resistência dos blocos tem caráter predominante. De forma geral, quanto mais resistente
o bloco, mais resistente será a alvenaria.
Existe um conceito muito importante quando se trata da influência da resistência dos blocos
na resistência à compressão das paredes. É a "eficiência", ou seja, a relação entre a resistência da
parede e a resistência do bloco que a compõe. A relação 5.4 exprime matematicamente esse conceito.
n = f ...(5.4)
Em que,
fpw : resistência da parede
f0 : resistência do bloco
4 Associação Brasileira de Normas Técnicas (1980).
5 Associação Brasileira de Normas Técnicas (1984).
A eficiência costuma variar bastante, dependendo da sua forma, material e até mesmo
da resistência dos blocos. Normalmente, quanto mais resistente for o bloco menor será a eficiência
e vice-versa. Também se pode considerar que usualmente os blocos cerâmicos apresentem uma
eficiência menor que a dos blocos de concreto. Além disso, características dos outros componentes
podem influir na eficiência parede-bloco.
Considerando-se os casos mais comuns no Brasil: paredes executadas com blocos vazados
de concreto ou cerâmicos (resistência entre 4,5 e 20 MPa), não-grauteadas e com argamassas
usuais, pode-se estimar que a eficiência apresente os valores que constam da tabela 5.1.
Tabela 5.1 - Valores da eficiência parede-bloco.
Bloco Valor mín imo Valor máximo
Concreto 0,40 0,60
Cerâmico 0,20 0,50
5 . 2 . 1 . 2 ARGAMASSA
É interessante se destacar pelo menos dois fatores quando se trata da influência da
argamassa na resistência à compressão das paredes: a espessura da junta horizontal e a resistência
à compressão da argamassa.
Quanto ao primeiro aspecto, está bem estabelecido que a espessura da junta precisa se
situar dentro de limites muito estreitos. Ela não pode ser muito pequena, pois isso poderia permitir
que, por falhas na execução, pontos das superfícies dos blocos acabassem se tocando. Obviamente,
essa situação provocaria uma concentração de tensões que prejudicaria a resistência da parede.
Entretanto, desde um trabalho pioneiro de Francis (1971) foi comprovado que a resistência da
parede decresce com o aumento da espessura da junta horizontal. Isso se explica porque com o
aumento da espessura diminui o confinamento da argamassa. E é exatamente esse confinamento
que torna a argamassa pouco suscetível à ruptura, mesmo que a sua resistência à compressão,
medida em corpos-de-prova cilíndricos, seja relativamente baixa. Assim, segundo Sahlin6 apud
Camacho (1995), a cada aumento de 0,3 cm na espessura da argamassa há uma redução de 15%
na resistência da parede. Numa concordância implícita com esses fatos apresentados, a NBR
10837 especifica que a espessura da junta horizontal entre blocos deve ser igual a 1 cm, a menos
que se justifique tecnicamente a adoção de um outro valor.
Quanto à resistência à compressão da argamassa, conforme já se afirmou em item
anterior, esse parâmetro não influi de forma tão significativa na resistência à compressão da parede.
Apenas se a resistência da argamassa for menor que 30% ou 40% da resistência do bloco é que
essa influência pode ser considerada importante. Por exemplo, segundo os resultados obtidos por
6 SAHLIN, S. (1971). Structural Masonry.
Gomes (1983), para paredes construídas com blocos de 7,5 MPa, variando a resistência da
argamassa em torno de 135%, verificou-se que o acréscimo de resistência para as paredes foi de
apenas 11,5%. A própria BS 5628 corrobora esse fato quando indica que, por exemplo, para
blocos de 7,0 MPa, ao se aumentar a resistência da argamassa de 6,5 MPa para 16,6 MPa, a
resistência à compressão da parede cresce apenas 6%. Na verdade, argamassas exageradamente
resistentes podem apresentar até mesmo um efeito contrário ao desejado, reduzindo a resistência final
da parede. Dessa forma parece interessante a recomendação de Gomes (1983), que concluiu que a
argamassa de assentamento deve ter como resistência um valor entre 70% e 100% da própria
resistência do bloco. Pode-se até mesmo afirmar que para argamassas com resistências em torno de
50% da resistência dos blocos dificilmente haverá uma queda significativa na resistência da parede.
5 . 2 . 1 . 3 GRAUTE
A influência do graute na resistência das paredes deve ser computada levando-se em
conta duas situações distintas. Quando o grauteamento ocorre em blocos vazados de concreto,
esse preenchimento, realizado com um material muito semelhante ao material do próprio bloco,
pode ser avaliado de forma relativamente simples. A utilização do graute leva a um simples aumento
da área líquida da unidade, podendo o acréscimo de capacidade portante da parede ser quantificado
sem grandes complicações. Trata-se, na verdade, de se promover um aumento na resistência da
unidade, proporcional à área grauteada, obtendo-se por conseqüência um aumento da resistência
da parede, sempre se considerando a já mencionada eficiência bloco-parede.
Por exemplo, tomando-se um bloco de concreto de resistência na área bruta igual a 6
MPa, com 50% de vazios, e realizando-se o preenchimento de seus furos com um graute de
resistência igual à do material que compõe o bloco, ou seja 12 MPa, obtém-se na verdade um
bloco com resistência à compressão na área bruta 12 MPa. Dessa forma, tomando-se 0,5 como o
valor de eficiência bloco parede-parede, pode-se estimar que a resistência da parede seja da
ordem de 6 MPa, sempre em relação à área bruta. Caso o grauteamento não fosse utilizado, a
resistência estimada para a parede seria da ordem de 3 a 3,5 MPa, dependendo do valor da
eficiência bloco-parede que fosse tomado.
Já para os blocos cerâmicos, essa avaliação torna-se mais complexa. Por se tratarem de
materiais diferentes, ainda que de mesma resistência, fica mais difícil prever com clareza a resistência
final do conjunto bloco-graute. O comportamento do conjunto dos dois materiais poderia ser
influenciado negativamente, por exemplo, pelas diferentes características elásticas de cada um.
Entretanto, Garcia (2000), que realizou ensaios em dez paredes grauteadas, concluiu
que a situação não deve ser muito diferente daquela que se observa para os blocos de concreto.
Foram utilizados blocos cerâmicoscom resistência aproximada de 10 MPa e definidos dois
esquemas de grauteamento, com cinco paredes rompidas para cada caso. Os resultados obtidos
mostram que considerar o graute como uma redução da área de vazios dos blocos, conforme o
que se sugeriu para os blocos de concreto, não parece muito distante da realidade. Mas, como os
exemplares ensaiados são poucos e seriam necessários estudos complementares para corroborar
esses resultados iniciais, é importante que essa consideração seja feita com cuidado, de modo a
se evitar uma redução significativa do nível de segurança.
5 . 2 . 1 . 4 ARMADURAS
De fato, o aço nas estruturas de alvenaria acaba tendo sua capacidade pouco aproveitada
na resistência à compressão, pois a tensão usualmente fica limitada a valores bem abaixo da
tensão de escoamento do material. A imposição de limites relativamente baixos para as tensões
no aço é explicada pela necessidade de se evitar uma fissuração excessiva, bem como garantir a
aderência entre as barras de aço e o graute que as envolve. Entretanto, essa limitação leva a uma
contribuição menor do que aquela que se poderia esperar, especialmente porque a resistência à
compressão dos outros componentes da alvenaria é relativamente elevada.
Assim sendo, usualmente não é interessante do ponto de vista da relação custo-benefício
se utilizar esse recurso para aumentar a resistência à compressão. Na verdade a alvenaria armada
parece mais adequada quando se necessita conferir ductilidade à estrutura, aumentar o limite
normalizado para a esbeltez de paredes ou quando se necessita de acréscimo muito localizado de
resistência.
5 . 2 . 2 AVALIAÇÃO DA RESISTÊNCIA À COMPRESSÃO DAS PAREDES
Alguns procedimentos podem ser util izados para uma avaliação da resistência à
compressão das paredes de alvenaria. A seguir são apresentados três deles, sendo que são
discutidas as principais vantagens e desvantagens de cada um.
5 . 2 . 2 . 1 ESTIMATIVA ATRAVÉS DA RESISTÊNCIA DE PRISMAS
Prismas sao elementos obtidos pela superposição de um certo número de blocos,
normalmente dois ou três, unidos por junta de argamassa e destinados ao ensaio de compressão
axial, conforme se apresenta na figura 5.1.
A estimativa da resistência de paredes através do ensaio de prismas é o procedimento
adotado pela NBR 10837, sendo também permitido pelo ACI 530. É extremamente interessante e
representa um avanço significativo do ponto de vista de se obter um método de dimensionamento
válido para praticamente qualquer condição de unidade, argamassa ou mesmo graute. Obviamente,
é importante que os prismas sejam executados nas mesmas condições verificadas na construção.
Devem ser mantidos materiais e mão-de-obra, para que se possa ter resultados representativos
do que realmente ocorre durante a execução.
J^Carga
Bloco
Argamassa
Bloco
Figura 5.1 - Prisma de dois blocos.
Um outro ponto positivo desse procedimento é que os ensaios podem ser realizados
com facilidade por qualquer laboratório minimamente equipado e que realize controles usuais para
estruturas de concreto armado. Até mesmo através de uma prensa manual, instalada no próprio
canteiro de obras, pode-se controlar a resistência ã compressão de prismas, obtendo-se um
procedimento de verificação simples, barato e eficiente.
A NBR 10837, em seu item 5.3.1, é enfática na especificação do prisma como resistência básica
da alvenaria estrutural de blocos vazados de concreto, e podem-se reproduzir as suas palavras textuais
"As tensões admissíveis para a alvenaria não-armada e para a alvenaria armada devem
ser baseadas na resistência dos prismas (fp) aos 28 dias ou na idade na qual a estrutura está submetida
ao carregamento total. Nas plantas submetidas à aprovação ou usadas na obra, deve constar
claramente a resistência (fp) na idade em que todas as partes das estruturas foram projetadas".
E é importante ressaltar que, apesar da NBR 10837 ser uma norma voltada especificamente
aos blocos vazados de concreto, não há nenhuma incoerência conceituai em estender esse procedi-
mento a unidades de outros tipos ou material.
Aqui também se pode utilizar um conceito que já foi apresentado no item 5.2.1.1. Trata-se
da "eficiência", neste caso que se analisa uma relação entre a resistência do prisma e do bloco que
o compõe. Essa relação pode ser escrita matematicamente como na equação 5.5.
f
- F
...(5.5)
Normalmente esses valores da eficiência prisma-bloco, para a prática corrente no Brasil, variam
de 0,5 a 0,9 para os blocos de concreto e de 0,3 a 0,6 no caso dos blocos cerâmicos. Da mesma forma
que no item 5.4.1.1, a eficiência tende a ser menor quando se aumenta a resistência do bloco e vice-
versa. Também semelhante é o comportamento em relação ao material que compõe os blocos blocos de
concreto tendem a apresentar uma eficiência significativamente maior que os cerâmicos.
Existe ainda uma terceira relação entre resistências que é de grande importância e que
não deixa de ser também uma eficiência: a relação entre a resistência da parede e do prisma. É
uma relação muito importante porque, mesmo sendo o dimensionamento e o controle feitos com
base na resistência do prisma, o que interessa em última instância é a resistência da parede. E a
resistência do prisma é sempre maior que a da parede, porque com o aumento do número de
juntas que se verifica na parede, inclusive com a adição de juntas verticais que não existem no
prisma, a resistência do painel tende a cair.
Tomando-se um amplo conjunto de ensaios já realizados no Brasil, verifica-se que essa
relação de resistência parede-prisma situa-se por volta de 0,7 tanto para blocos de concreto como para
blocos cerâmicos. Esse número é corroborado implicitamente até mesmo pela NBR 10837, quando
são observadas as expressões para dimensionamento com base na resistência de prisma ou de parede.
Por fim, resta mencionar que a norma brasileira que regulamenta o método de ensaio
dos prismas é a NBR 8215 - Prismas de Blocos Vazados de Concreto Simples para Alvenaria
Estrutural - Preparo e Ensaio à Compressão7.
5 . 2 . 2 . 2 ESTIMATIVA ATRAVÉS DOS COMPONENTES
A estimativa da resistência à compressão das paredes através dos componentes é um
procedimento muito bom, mas que apresenta um inconveniente sério para um país de dimensões
continentais e com grandes diferenças regionais. Seria preciso uma boa padronização desses
componentes para que o número de ensaios necessários a essa estimativa fosse razoável. Em
caso contrário, a caracterização do material demandaria um número de ensaios que acabaria
praticamente inviabilizando o próprio procedimento.
A estimativa da resistência através dos componentes é o principal método utilizado pela
BS 5628, que apresenta tabelas para a resistência característica à compressão das paredes em
função do tipo de argamassa e da resistência das unidades. Por exemplo, se forem tomados os
blocos vazados com relação entre a altura e a menor dimensão na horizontal entre 2,0 e 4,0, os
valores da resistência característica serão os da tabela 5.2.
É interessante ressaltar que a BS 5628 não se refere a prismas. Quando se tratar de
uma alvenaria especial, a resistência à compressão deve ser obtida de ensaios de paredes com
pelo menos 1,20 m de comprimento por 2,40 m de altura.
Também o ACI 530 se utiliza deste procedimento como uma das alternativas para o cálculo da
resistência à compressão. Podem-se apresentar, por exemplo, os valores especificados para unidades de
concreto pelo ACI 530.1 Specifications for Masonry Structures3, organizados na tabela 5.3. A diferença em
7 Associação Brasileira de Normas Técnicas (1983).
8 American Concrete Instituto (1992).
relação à BS 5628 é queo ACI 530 menciona a resistência de prisma como a alternativa para a estimativa
da resistência à compressão da alvenaria, num procedimento semelhante ao admitido pela NBR 10837.
Tabela 5.2 - Resistência da alvenaria - Blocos vazados com altura/largura entre 2,0 e 4.0.
Tipo da
argamassa
Resistência à compressão dos blocos (N/mnr) ' Tipo da
argamassa 2,8 3.5 5 7 10 15 20 2 35
(i) 2.8 3.5 5 5.7 6.1 6.8 7.5 11.4
(«) 2,8 3,5 5 5,5 5,7 6,1 6.5 9,4
(üi) 2.8 3.5 5 5.4 5.5 5,7 5.9 8.5
(iv) 2.8 3.5 4.4 4.8 4.9 5.1 5,3 7,3
'Obs.: 1 N/mm? = 1 MPa.
Tabela 5.3 - Resistência da alvenaria baseada na resistência das unidades e da argamassa.
Resistência à compressão na área líquida das
unidades de concreto (psi)4 Resistência à compressão da alvenaria
na área líquida (psi)* Argamassa tipo M ou S Argamassa tipo N
Resistência à
compressão da alvenaria
na área líquida (psi)*
1250 1300 1000
1900 2150 1500
2800 3050 2000
3750 4050 2500
4800 5250 3000
*Obs.: 145.45 psi = 1 MPa.
5 . 2 . 2 . 3 MODELOS TEÓRICOS DE RUPTURA
Vários pesquisadores elaboraram formulações matemáticas para a determinação teórica
de um modelo de ruptura de paredes em alvenaria. A seguir, serão comentadas as contribuições
dadas por alguns deles, que trabalharam com prismas moldados com tijolos e com blocos vazados
preenchidos com graute.
Segundo Gal legos (1989), os pr imeiros estudos que se tem conhecimento foram
realizados por Paul Haller em 1959, baseados em uma análise elástica do sistema bloco-argamassa.
Entretanto, chegou-se a resultados absurdos, em que as resistências dos prismas resultavam
maiores que as resistências dos blocos.
Posteriormente, Hi lsdor f apud Muller (1984) e Francis etal. (1971) elaboraram modelos
matemáticos também considerando o comportamento elástico dos componentes tijolo e argamassa.
Francis etal. desenvolveram um modelo teórico para a ruptura de prismas de alvenaria submetidos
a esforços de compressão axial. Supuseram a ocorrência de tensões de tração nos tijolos provocada
pela excessiva deformação da argamassa, conforme a figura 5.2. Isso é explicado pela existência
0 HILSDORF. H. K. (1969) Investigation info failure mechanism of brick masonry loaded in axial compression.
de diferentes módulos de elasticidade dos materiais usados para a execução dos prismas. Francis
et ai se basearam na deformação unitária dos materiais para fundamentar o seu modelo, enquanto
que Hilsdorf baseou-se nos esforços resistidos pelos materiais. Entretanto, adotaram as mesmas
hipóteses para as formulações das suas teorias:
a) as unidades estruturais eram constituídas por tijolos sólidos;
b) relação de Coulomb entre o valor da resistência à tração biaxial e à resistência à
compressão uniaxial, def in indo a envoltór ia de ruptura do t i jolo submet ido ao
carregamento triaxial;
c) esforços de tração laterais uniformes na altura da unidade;
d) esforços de tração laterais iguais nas direções x e z ;
e) aderência perfeita entre a argamassa e o tijolo.
y
a
Figura 5.2 - Estado de tensões atuantes nos blocos e nas juntas de argamassa.
No comportamento do prisma, ao ser submetido a um estado de compressão axial, é
suposto que a argamassa, por ter módulo de elasticidade menor, tende a deformar-se mais do que
o bloco, submetendo-o a tensões de tração. Quando essas tensões ultrapassam a resistência à
tração dos blocos, ocorre a fissuração da peça e sua conseqüente ruptura.
No modelo de Francis et ai, os pesquisadores deduziram um equacionamento puramente
teórico envolvendo, além das resistências individuais dos componentes, as características reológicas
e mecânicas referentes a cada um. O modelo foi estudado para prismas e foram admitidos os equilíbrios
de forças de tração lateral nas unidades e de compressão lateral nas argamassas, ou seja, a
compatibilidade das deformações laterais nas unidades e na junta de argamassa.
Outros autores, entretanto, verificaram a existência de grandes variações entre os valores
teóricos obtidos com essa formulação e os experimentais. Essas variações, segundo Hendry
(1981), ocorreram devido a aproximações feitas para a obtenção de determinados parâmetros.
Ele também critica a utilização desse modelo para a obtenção da tensão de ruptura de paredes
com blocos amarrados, uma vez que toda a sua formulação foi feita para prismas.
Segundo Aly (1991), outros pesquisadores continuaram o estudo sobre os modelos de
ruptura já apresentados e os aperfeiçoaram. No decorrer das pesquisas, alguns autores como
Hamid e Drysdale (1979) começaram a estender os estudos para prismas de blocos vazados de
concreto preenchidos com graute. Para isso, novas considerações tiveram que ser formuladas.
Através de ensaios laboratoriais, Hamid e Drysdale (1979) verificaram que a ruína de prismas de
blocos de concreto grauteados, submetidos à compressão axial, inicia-se com o aparecimento de
fissuras verticais nos blocos. Essas fissuras se estendem com o aumento do carregamento,
provocando, muitas vezes, o descolamento das suas faces e o rompimento do graute. O
aparecimento de fissuras nos blocos ocorre principalmente devido à maior deformação lateral do
graute e da argamassa em relação à do bloco, à medida que se aumenta o carregamento,
provocando, assim, a sua ruptura prematura. Assim, os autores se basearam nas seguintes
hipóteses para o desenvolvimento das suas teorias sobre o comportamento dos blocos grauteados
submetidos a esforços de compressão:
a) aderência perfeita nas interfaces bloco-argamassa-graute;
b) distribuição proporcional de esforços verticais entre o bloco, a argamassa e o graute,
em função do módulo de elasticidade de cada material;
c) distribuição uniforme das tensões laterais para cada um dos materiais ao longo da altura;
d) teoria de ruptura de Mohr (envoltória de Coulomb) adotada para expressar a ruptura
do bloco de concreto submetido a um estado biaxial de tensão;
e) o graute é suposto como tendo as mesmas características de um concreto convencional
sob um estado de compressão triaxial.
Dois modelos de ruína foram propostos, dependendo do componente que primeiro atinge
a sua tensão de ruptura sem confinamento: o graute ou o conjunto bloco-argamassa. Quando o
graute atinge primeiro a sua capacidade de resistência a esforços de compressão não confinada,
grande expansão lateral ocorre devido a deformações inelásticas provocadas pela sua microfissuração.
As faces do bloco tendem a impedir essa deformação e a confiná-lo, resultando em um estado de
tensões de tração. Essas tensões associadas às tensões de tração provocadas pela deformação da
argamassa provocam a ruptura prematura das faces dos blocos, conforme figura 5.3.
Quando as faces dos blocos atingem a sua tensão máxima à compressão antes do
graute atingir a sua tensão de compressão não confinada, o graute se encontra submetido a
deformações elásticas. Portanto, as faces dos blocos irão apenas restringir as deformações da
argamassa e a tensão de ruptura apresenta outro valor. Nesse caso, a resistência da parede será
controlada tanto pela ruptura das faces dos blocos quanto pela resistência do graute. Para graute
muito resistente ou com grandes seções transversais, é possível que mesmo após a ruptura dos
blocos o conjunto permaneça resistindo a cargas mais elevadas.
De fato, nenhum dos métodos teóricos apresentados tem condições de prever com
razoável segurança a resistência de paredes à compressão. Isso pôde ser comprovado por Garcia
(2000). Assim, o objetivo de mencioná-los aqui é muito mais discutir as suas hipóteses e os seus
mecanismos de ruptura, esses sim bastante interessantes, do que aproveitar as expressões que
foram deduzidas. Aliás, essas expressões nemsão aqui apresentadas principalmente pelas razões
expostas acima, podendo ser encontradas com detalhes em Garcia (2000).
w
Bloco
Graute
w,
Z 7
Prisma
Z7T
Argamassa
Figura 5.3 - Estado multiaxial de tensão de um prisma grauteado.
5 . 3 C A R A C T E R Í S T I C A S G E O M É T R I C A S P A R A E L E M E N T O S DE A L V E N A R I A
Para que se possa discutir as características geométricas de elementos de alvenaria, é
importante se apresentarem os conceitos de parede e pilar. Segundo a NBR 10837, a parede é
um elemento laminar vertical, apoiado de modo contínuo em toda sua base, com comprimento
maior que cinco vezes a sua espessura. Já o pilar, ainda segundo a NBR 10837, é um elemento
estrutural semelhante à parede, mas no qual o comprimento é menor que cinco vezes a sua
espessura. Em caso de seções compostas por retângulos (L, T ou Z), a limitação é para cada
ramo. A figura 5.4 ajuda a entender a diferença citada.
Figura 5.4 - Parede e pilar.
A diferenciação desses elementos resistentes em paredes e pilares é importante não
apenas para as características geométricas a serem citadas, mas também para o dimensionamento.
Os valores das máximas cargas de compressão que podem ser admitidas para esses elementos
variam de acordo com essa classificação mencionada. Obviamente, isso ocorre porque a parede
tem uma característica laminar mais acentuada, podendo resistir a esforços maiores que o pilar,
que apresenta uma característica mais marcante de elemento linear.
5 . 3 . 1 ESPESSURA EFETIVA PARA PILARES E PAREDES PORTANTES
Nos casos usuais, a espessura efetiva de uma parede de alvenaria é sua espessura real,
portanto, descontando-se revestimentos que possam estar presentes. Entretanto, algumas normas,
dentre elas a BS 5628 e a NBR 10837, permitem que se considere uma espessura efetiva equivalente
quando se tem a presença de enrijecedores. A expressão genérica para o caso seria a equação 5.6.
Quanto aos valores de Ô, a tabela 5.4 e a figura 5.5 devem esclarecer adequadamente a questão.
...(5.6)
Em que,
t p i : espessura real da parede
Ô : coeficiente de multiplicação apresentado pela tabela 5.4
te,: espessura efetiva
Tabela 5.4 - Coeficiente Ô*.
u / t . t . / tp . = 1 t . / tp. = 2 t. /tp, = 3
6 1.0 1.4 2,0
8 1,0 1.3 1.7
10 1,0 1.2 1.4
15 1,0 1.1 1.2
>20 1.0 1.0 1.0
*Obs.: é possível a interpolação de valores.
pn • • • 1 / r • • /
• •
Figura 5.5 - Parâmetros para cálculo da espessura efetiva de paredes.
Esses enri jecedores são muito utilizados especialmente em edifícios industriais, nos
quais é necessário se aumentar a espessura das paredes tanto para se satisfazer os limites de
esbeltez, que serão vistos em item subseqüente, quanto para reduzir os problemas com a
instabilidade do elemento no dimensionamento. Ocorre que para esses edifícios a altura das paredes
precisa ser relativamente grande, de forma a satisfazer características de uso dessas edificações.
É importante mencionar que parede e enrijecedores devem ser executados simultaneamente e
deve haver amarração entre os blocos na ligação entre eles.
Em todo caso, algumas normas também apresentam valores absolutos mínimos para a
largura efetiva de paredes portantes e pilares. A NBR 10837 menciona 14 cm para as paredes arma-
das, subentendo-se que esse limite valha também para as alvenarias não-armadas. O ACI 530, no seu
item de dimensionamento empírico, especifica 20 cm, exceto para edificações de apenas um andar,
para as quais o mínimo é 15 cm. Recomenda-se que esses limites mínimos de espessura absoluta
sejam utilizados com bom senso. Existem casos em que eles se revelam muito conservadores.
5 . 3 . 2 ALTURA EFETIVA
A altura efetiva de paredes e pilares de alvenaria, aqui denominada heJ, é um dos
parâmetros importantes para o cálculo da esbeltez de um elemento. A NBR 10837, o ACI 530 e a
DIN 1053 - Alvenaria: Cálculo e Execução10 apresentam prescrições muito simples que podem ser
resumidas nos itens seguintes:
a) quando existe travamento na base e no topo, a altura efetiva deve ser a própria altura
real da parede (hcf = h);
b) quando a extremidade superior estiver livre, a altura efetiva será duas vezes a altura
real do elemento (he. = 2 h).
O ACI 530 acrescenta que nos casos em que se puder calcular os pontos de inflexão da
elástica da posição deformada, a altura efetiva deve ser a distância entre esses pontos.
A BS 5628 é menos conservadora nas suas recomendações. Suas prescrições podem
ser resumidas no seguinte:
a) quando existe travamento "reforçado" na base e no topo, a altura efetiva deve ser
75% da altura real da parede (h^ = 0,75 h);
b) quando existe travamento "simples" na base e no topo, a altura efetiva será a própria
altura real do elemento (h = h).
10 Deutsch Industrie Normen (1974).
A BS 5628 considera travamento "reforçado" uma laje de concreto moldado in loco, ou
outro esquema equivalente, que esteja presente em pelo menos um dos lados da parede. O
travamento "simples" será considerado basicamente para pavimentos de madeira, o que não é
usual para o Brasil. Entretanto, essa recomendação pode ser interessante quando se estiver
considerando telhados de madeira. Nesse caso. desde que corretamente fixados à alvenaria, eles
podem ser considerados como um travamento, se bem que um travamento "simples". O trabalho de
Haseltine & Moore (1981) traz interessantes considerações sobre esse tópico, inclusive com detalhes
sobre os travamentos "simples" e "reforçados".
5 . 3 . 3 ESBELTEZ
A esbeltez é definida usualmente pela divisão da altura efetiva pela espessura efetiva,
ou seja, X = he! / te|. A NBR 10837 apresenta, para esse parâmetro, os valores limites que estão
organizados na tabela 5.5.
Tabela 5.5 - índices máximos de esbeltez da NBR 10837.
Tipo de Alvenaria Elemento Esbeltez
Não-armada
Paredes 20
Não-armada Pilares 20 Não-armada
Pilares isolados 15
Armada Paredes e pilares 30
Não-estrutural Paredes 36
Já de acordo com a BS 5628, o coeficiente de esbeltez X não deve ultrapassar 27,
exceto nos casos de paredes com espessuras inferiores a 90 mm e em edifícios com mais de dois
andares, para os quais não deve ultrapassar 20.
É interessante se ressaltar que a BS 5628 permite a execução de paredes bem mais
esbeltas que a NBR 10837. Além do limite de ?. ser maior, existe a possibilidade de se considerar
como altura efetiva 75% da altura real, o que representa uma diferença total de 80%. Por exemplo,
se considerarmos um bloco de 14 cm de largura, a máxima altura de uma parede usual para um
edifício residencial seria 2,80 m, de acordo com a NBR 10837. Já de acordo com a BS 5628, esse
valor da altura máxima seria de aproximadamente 5,00 m. É claro que se trata apenas de um limite
construtivo. Obviamente que em casos em que a esbeltez é elevada a redução da resistência da
parede será bem significativa.
5 . 3 . 4 COMPRIMENTO EFETIVO DE ABAS EM PAINÉIS DE CONTRAVENTAMENTO
Conforme já foi mencionado, abas são trechos de paredes transversais ligados a um
determinado painel de contraventamento. As recomendações da NBR 10837 e do ACI 530 para a
consideração do comprimento efetivo das abas são muito semelhantes. Na verdade, a norma
brasileira é um pouco mais restritiva e suas recomendações um pouco mais complexas, pois
dependem da altura da alvenaria sobre um determinado ponto considerado. Essas prescrições
são as apresentadas nas equações 5.7 e na figura 5.6.
2 bf - h / 6 e b, < 61: para o caso de seção em T ou I
b , - h / 1 6 e b, < 61: para o caso de seção em L ou C
...(5.7)
Já o ACI530 é mais prático sobre esse aspecto, especificando apenas que o comprimento
efetivo das abas deve serde seis vezes a espessura da parede para cada lado onde houver aba a
ser considerada. Recomenda-se que essa seja a prescrição adotada, pois as recomendações da NBR
10837 tornam a consideração mais complexa, sem acrescentar qualquer benefício significativo.
Figura 5.6 - Comprimento efetivo de abas.
5 . 3 . 5 TRECHOS RÍGIDOS PARA LINTÉIS
Quando da distribuição de ações horizontais pelos painéis de contraventamento,
mencionou-se a possibilidade de se considerar a dimensão finita dos encontros entre as paredes
e os lintéis, na discretização de paredes com aberturas. Essa consideração pode ser feita através
do estabelecimento de trechos rígidos para os lintéis.
Na ausência de uma especificação especialmente voltada para a alvenaria, pode-se
adotar a recomendação do CEB-FIP Model Code 199011, para estruturas de concreto armado, que
se encontram apresentadas na figura 5.7.
- I I - - I I -
h/2 h/2
Figura 5.7 - Comprimentos de trechos rígidos para os lintéis.
" Comitê Euro-lnternacional Du Béton (1991).
Pr inc ipa is Pa râme t ros para o D i m e n s i o n a m e n t o de E lementos
5 .4 PARÂMETROS DE RESISTÊNCIA PARA ALVENARIA
Os parâmetros de resistência, quando se considera o ACI 530 e a NBR 10837, são
tensões admissíveis. De fato, essas normas ainda são conceitualmente muito semelhantes, sendo
que na verdade a NBR 10837 é uma adaptação do antigo ACI 531 - Building Code Requirements
for Concrete Masonry Structures'2. A diferença conceituai mais significativa entre elas é o fato do
ACI 530 considerar as tensões, tanto as atuantes quanto as resistentes, em relação à área líquida,
enquanto a NBR 10837 as considera em relação à área bruta. Entretanto, optou-se por apresentar
aqui apenas os parâmetros definidos pela NBR 10837.
Entende-se que uma comparação mais interessante será obtida com a consideração da
BS 5628. A norma inglesa, por ser baseada no método dos estados limites, tem realmente diferenças
conceituais muito mais acentuadas em relação à NBR 10837. Assim, alguns parâmetros de
resistência da BS 5628 é que serão resumidos em item subseqüente.
5 . 4 . 1 PARÂMETROS DA N B R 1 0 8 3 7
A tabela 5.6 faz um resumo das prescrições da NBR 10837 para as tensões admissíveis
da alvenaria não-armada. De forma semelhante, a tabela 5.7 apresenta as prescrições para a
alvenaria armada.
Uma consideração importante pode ser feita em relação à tabela 5.6. Percebe-se que
existe a possibilidade de se adotar a resistência de paredes, medida em ensaio normalizado pela
NBR 8949 - Paredes de Alvenaria Estrutural - Ensaio à Compressão Simples13, para se obter a
tensão admissível à compressão para a alvenaria não-armada. E os valores colocados confirmam
o valor da eficiência parede-prisma como sendo 0,7.
Além disso, através da comparação de valores prescritos nas tabelas 5.6 e 5.7, pode-se
verificar que a contribuição da armadura para a resistência à compressão é pequena, apenas 12%
a mais no valor da tensão admissível.
Outro detalhe interessante a ser esclarecido são as l inhas que dão a tensão de
cisalhamento admissível para o que na tabela 5.7 está sendo chamado de "pilar parede". Na
verdade trata-se de paredes de contraventamento, painéis que recebem ações horizontais. Nesse
caso, quando o momento M é relativamente grande em relação à cortante V, o limite para a tensão
de cisalhamento diminui. E o parâmetro escolhido para quantificar essa relação entre o momento
e a cortante é o que aparece lá discriminado, ou seja, o momento fletor dividido pelo esforço
cortante vezes a altura útil da seção transversal.
,2 American Concrete Institute (1979).
,3 Associação Brasileira de Normas Técnicas (1985).
Por fim, com relação às tensões de contato, a figura 5.8 deve esclarecer a situação. São
valores de tensões admissíveis para serem usados em casos de aplicação de cargas em áreas
relativamente pequenas, ocupando de 1/3 da espessura a toda espessura da parede. Nesse caso,
devido aos efeitos de confinamento, a tensão admissível acaba sendo mais elevada do que nos
casos de cargas distribuídas por todo o comprimento da parede.
Tabela 5.6 - Tensões admissíveis para alvenaria não-armada (NBR 10837).
Tipo de solicitação
Tensão admissível (MPa)
Tipo de solicitação
12,0 < t <17,0 5,0 < f .< 12,0
Compressão Parede 0,20 f,R ou 0.286 U R 0.20 f .Rou 0.286 U R
<Q CO simples Pilar 0.18 f»R 0.18 f,R
Ê
1 CO 0) o
£
Compressão na Ilexão 0.30 f» 0.30 U Ê
1 CO 0) o
£
Tração
Normal à liada
0.15 (bloco vazado)
0,25 (blooo maciço)
0,10 (bloco vazado)
0,15 (bloco maciço)
Ê
1 CO 0) o
£ na Uoxão Paralela à fiada 0.30 (bloco vazado)
0.55 (bloco maciço)
0.20 (bloco vazado)
0.40 (bloco maciço)
Cisalhamento 0.25 0.15
Tabela 5.7 - Tensões admissíveis para alvenaria armada (NBR 10837).
Tipo de solicitação Tensão admissível (MPa)
Valor máximo
(MPa)
Te
ns
õe
s
no
rm
ai
s Compressão simples
Parede 0.225 f , R
0.33 fr S 6.2
Te
ns
õe
s
no
rm
ai
s Compressão simples Pilar (0,20 fp +0.30 p f . J R
0.33 fr S 6.2
Te
ns
õe
s
no
rm
ai
s
Compressão na Ilexão 0.33 f . 6.2 Te
ns
õe
s
no
rm
ai
s
Tração na Ilexão - -
o
c
0
E CO .c
1
O
Peças
ílelidas sem
armadura
Vigas 0.09 J J 0.35
o
c
0
E CO .c
1
O
Peças
ílelidas sem
armadura
Pi
la
re
s
pa
re
de
S e - ^ M
Vxd 0.07 f à 0.25
o
c
0
E CO .c
1
O
Peças
ílelidas sem
armadura
Pi
la
re
s
pa
re
de
So ^ < 1
Vxd 0.17 J I 0.35
o
c
0
E CO .c
1
O
Peças
lietídas com
armadura
para todas as
tensões de
cisalhamento
Vigas 0.25 1
o
c
0
E CO .c
1
O
Peças
lietídas com
armadura
para todas as
tensões de
cisalhamento
CO G>
i l
£ 2.
0.12 J J 0.5
o
c
0
E CO .c
1
O
Peças
lietídas com
armadura
para todas as
tensões de
cisalhamento
CO G>
i l
£ 2.
s® 773<x 0.17 J J 0.8
0
"O O
,3 3
1 §
Em toda a espessura da parede 0.250 ÍP
0
"O O
,3 3
1 §
Em 1/3 da espessura (mínimo) 0.375 rr
0
"O O
,3 3
1 § Entro os limites acima Interpolar os valores anteriores
Aderência 1.0
Em que (tabelas 5.6 e 5.7):
fa, fp e f ^ : resistências da argamassa, prisma e parede, respectivamente
M e V : momento fletor e força cortante em paredes de contraventamento
d: distância entre a face comprimida e a armadura (altura útil da seção)
R = 1 - : í a t o r d e redução da resistência associado à esbeltez (he/tc))
X
x' > V31 ou x' > 50 mm
1
V31 < x* < t
Figura 5.8 - Aplicação de cargas em áreas relativamente pequenas.
Para encerrar os parâmetros de resistência da NBR 10837, a tabela 5.8 apresenta os
valores de tensões admissíveis para as armaduras. Pela observação dos valores lá apresentados
se percebe por que a contribuição do aço na compressão é tão pequena. Ocorre que os valores
das tensões admissíveis são realmente muito baixos, pelo menos quando comparados aos que
são utilizados no concreto armado, por exemplo.
Tabela 5.8 - Tensões admissíveis no aço (NBR 10837).
Solicitação Armadura Tensão admissível (MPa)
Tração
Barras com mossas, F* >412 MPa e <P < 32 mm 165
Tração Barras colocadas na argamassa de assentamento 0.50 Í* < 206 Tração
Outras armaduras 137
Compressão
Armaduras de pilares 0.40 F* <165
Compressão
Armaduras em paredes 62
5 . 4 . 2 PARÂMETROS DA B S 5 6 2 8
Conforme já foi mencionado, a BS 5628 baseia-se no método dos estados limites. Portanto.
seus valores de resistência de cálculo são derivados de valores característicos.
Essas resistências características podem ser obtidas na própria norma através devalores
tabelados, como os que foram apresentados na tabela 5.2, ou através de gráficos, como o que se
encontra na figura 5.9, para a resistência à compressão da alvenaria não-armada.
Resistência à compressão característica de alvenaria
_ de blocos (2.0 < h/t < 4.0)
n* 12 o •CO
(0 10
O "C
F
c <D 8
o > o ra
<0 ca b ro u
o K) c o 4
in o 2 o
d o C3
ca 0 o
Argamassa tipo (i)
Argamassa tipo (il)
Argamassa tipo (iii)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Resist. à compressão da unidade (MPa)
Figura 5.9 - Gráfico de resistência característica da alvenaria não-armada - BS 5628.
Então, os valores característicos precisam ser multiplicados e divididos por coeficientes
adequados para se obter os valores de cálculo, ou valores de projeto. No caso da resistência à
compressão de paredes, para se obter os valores de cálculo, deve-se utilizar a expressão 5.8.
...(5.8)
Em que,
fd : resistência à compressão de cálculo
p : fator de redução devido à esbeltez e à excentricidade
ym : coeficiente de segurança parcial para o material
O coeficiente p pode ser obtido da tabela 5.9, em função do coeficiente de esbeltez X e
da excentricidade ex, que é devida ao carregamento.
Tabela 5.9 - Coeficiente p - BS 5628.
Esbeltez
A = hrf /
Excentricidade das cargas no topo da parede, e, Esbeltez
A = hrf / S0.05 t 0,1 t 0.2 t 0,3 t
0 1,00 0,88 0,66 0,44
6 1,00 0,88 0,66 0,44
8 1,00 0,88 0,66 0,44
10 0,97 0,88 0,66 0,44
12 0,93 0,87 0,66 0,44
14 0,89 0,83 0,66 0,44
16 0,83 0,77 0,64 0,44
18 0,77 0,70 0,57 0,44
20 0,70 0,64 0,51 0,37
22 0,62 0,56 0,43 0,30
24 0,53 0,47 0,34 •
26 0,45 0,38 - -
27 0,40 0,33 - -
O valor de e<t por sua vez, ó calculado segundo o que se apresenta nas equações 7.9,
para laje atuando por apenas um lado da parede, e 7.10, laje atuando pelos dois lados. Os valores
de C,, carga centrada que vem dos pavimentos superiores, C2 e C3, cargas com excentricidade
que vêm das lajes no próprio nível considerado, podem ser vistos na figura 5.10.
e =
C2(t/6)
C , + C2
...(5.9)
e =• (C?- C3)t/3
c,+ c 2 +c.
...(5.10)
w w
Figura 5.10 - Valores de C,, C2 e C3 para cálculo das excentricidades.
Por fim, ym, que é o coeficiente se segurança parcial para o material, pode ser obtido na
tabela 5.10, em função do controle existente na manufatura dos blocos e na construção.
Tabela 5.10 - Coeficiente de segurança parcial - BS 5628.
Valores de Ym
Categoria do controle na
construção Valores de Ym
Especial Normal
Categoria do controle
na produção dos blocos
Especial 2,5 3,1 Categoria do controle
na produção dos blocos Normal 2,8 3,5
A tensão de compressão para paredes é um exemplo de determinação de uma tensão de
cálculo pela BS 5628. Claro que existem alguns outros valores a serem considerados, como, por
exemplo, tensão de cisalhamento, tração normal à fiada, tração na direção da fiada, compressão na
flexão, etc. Entretanto, para não se tornar muito extenso, o objetivo deste capítulo é apenas apresentar
um exemplo interessante. E a escolha recaiu sobre a resistência à compressão da alvenaria não-
armada devido à sua importância no dimensionamento da maioria dos elementos de uma edificação.
Obviamente, a determinação da resistência de projeto à compressão de paredes pela
BS 5628 é mais complexa do que a simples utilização de valores admissíveis. Ainda mais se
considerarmos que os carregamentos também devem ser mult ipl icados por coef ic ientes de
segurança parcia is especí f icos para o cálculo da tensão atuante. Entretanto, essa maior
complexidade é que realmente permite se obter economias mais significativas, quando isso é
possível, ou então penalizações adequadas para situações de risco. A complexidade, nesse caso,
é justificável exatamente por tratar de forma diferente situações que são realmente diferentes.
5 . 5 P A R Â M E T R O S E L Á S T I C O S P A R A A L V E N A R I A
A relação entre a tensão e deformação da alvenaria é importante parâmetro de projeto
no cálculo dos elementos que utilizam este material, tendo influência significativa na configuração
deformada da estrutura. Além disso, é utilizada diretamente na definição da razão modular entre a
alvenaria e o aço, parâmetro básico para o equacionamento da flexão.
Apesar de sua importância, este tema ainda gera dúvidas e grande controvérsia entre
diversos autores, que acabam por apresentar diferentes valores e relações para a determinação
do módulo de deformação. Usualmente este módulo é calculado por expressões do tipo E,.. = Ç fp,
em que ç é baseado em resultados obtidos em grandes conjuntos de testes.
Pedreschi (1998) cita ensaios realizados com prismas feitos com diferentes blocos, nos
quais também foram variáveis o tipo de argamassa, o padrão de assentamento e a direção do
carregamento (paralelo ou perpendicular à junta de assentamento). Para blocos de concreto, esse
autor obteve do conjunto de ensaios a expressão Ealv = 1000 fp. Sugere, no entanto, adotar como
módulo de elasticidade, para todos os tipos de blocos, o valor Ealv = 900 fp, uma vez que os
parâmetros obtidos são aproximados e difíceis de serem medidos.
Andrade (1998) apresenta ensaios realizados por diversos autores, como Gallegos (1989),
Drysdale (1994)14 apud Andrade (1998) e Gomes (1983). Estes propuseram limites de variação de Ç,
sugerindo as relações 400 fp < Ea>, < 1290fp , e concluíram que algumas normas estrangeiras
superestimam os valores de E1tv e G r v , adotando ç = 1000. Como valor de referência, é proposto o valor
Ç = 750 para alvenaria de blocos de concreto e Ç = 500 a 600 para alvenaria de tijolos cerâmicos.
Amrhein (1998) utiliza ç = 750 para o cálculo do módulo de elasticidade, tanto na resolução
de exemplos como também na confecção de ábacos e tabelas, e o texto da ABCI (1990) sugere o
uso de Ealv = 1000 fp. Além de todos esses números, a NBR 10837 apresenta valores ainda mais
discrepantes, pois prescreve 400 f„ para o módulo de deformação longitudinal e 200 fp para o
módulo de deformação transversal para blocos de concreto.
Conforme se pode verificar, as sugestões para os valores do módulo de deformação da
alvenaria são bastante diversas. A opinião do autor deste texto é que sejam adotados os valores
constantes na tabela 5.11.
Tabela 5.11 - Módulos de deformação da alvenaria.
Bloco Módulo de deformação E * (MPa)
Valor máximo
(MPa)
Concreto
Longitudinal soo rp 16.000 Concreto
Transversal 400 fp 6.000
Cerâmico
Longitudinal 600 fp 12.000 Cerâmico
Transversal 300 fP 4.500
14 DRYSDALE. R. G. (1994) Masonry structures: behavior and design.
6
Dimens ionamento de Elementos CA
P
Í
T
U
L
O
6 . 1 I N T R O D U Ç Ã O
C
A
P
Í
T
U
L
O
Neste capítulo são apresentados os principais procedimentos para o dimensionamento
de elementos de alvenaria. Para não se estender demais esses tópicos, serão normalmente
considerados apenas os procedimentos prescritos pela NBR 10837 - Cálculo de Alvenaria Estrutural
de Blocos Vazados de Concreto1. Em muitos casos, nos quais isso for interessante, serão
mencionadas e discutidas as recomendações do ACI 530 - Building Code Requirements for Ma-
sonry Structures2 e pela BS 5628 - Code of Practice for Use of Masonry3, sempre no sentido de
estabelecer comparações e apresentar sugestões sobre possíveis aprimoramentos a serem
oportunamente agregados à NBR 10837.
Neste texto, optou-se por apresentar os dimensionamentos pelo ponto de vista das
solicitações, e não dos elementos em si. Esta opção pareceu mais conveniente, pois elementos do
mesmo tipo podem estar submetidos a solicitações variadas, dependendo dos casos específicos
que se considere. Por exemplo, uma paredepode estar submetida desde a uma compressão
simples até a uma flexão composta oblíqua.
De fato, deve-se considerar que na realidade quase todos os elementos presentes numa
estrutura acabam sendo submetidos a um estado combinado de solicitações. Paredes submetidas
à compressão simples na realidade não existem, pois as excentricidades inevitáveis nas aplicações
dos carregamentos têm como conseqüência uma solicitação mais complexa do que a que se
imagina inicialmente. O que se admite é que sendo uma dessas solicitações muito pequena em
relação às demais, ela possa ser desconsiderada e, por simplicidade, um determinado elemento
possa ser dimensionado com segurança através de um procedimento mais simples.
Mesmo assim, no início de cada item se apresentam algumas indicações sobre quais elementos
são com mais freqüência submetidos àquela solicitação considerada. O objetivo é realizar a ligação
entre a solicitação analisada e a situação de projeto na qual ela é provavelmente mais importante.
6 . 2 C O M P R E S S Ã O S I M P L E S
A compressão é a solicitação mais comum e a mais simples de ser considerada. No
capítulo anterior foram discutidas todas as prescrições necessárias ao dimensionamento de
elementos sob compressão simples. Até mesmo o procedimento da BS 5628, uma norma que se
baseia nos estados limites, foi discutido com detalhes suficientes para a sua correta aplicação.
Portanto, restaria a este item apenas a apresentação de exemplos de dimensionamento. Entretanto,
1 Associação Brasileira de Normas Técnicas (1989).
2 American Concrete Instituto (1992).
3 Britsh Standards Inslitution (1992).
optou-se pela realização de uma comparação entre os dimensionamentos efetuados com a NBR
10837, o ACI 530 e a BS 5628, de forma a se verificar as principais vantagens e desvantagens,
tanto em relação à economia obtida quanto à complexidade desses procedimentos.
Os elementos comumente considerados como submetidos à compressão simples são as
paredes e os pilares, sejam eles armados ou não. Dessa forma, fica evidente a importância desse tipo
de dimensionamento, já que paredes e pilares são os elementos mais importantes em qualquer estrutura
de edifício de alvenaria. Aliás, para edifícios de altura relativamente reduzida, até seis pavimentos em
casos usuais, esse é o único dimensionamento necessário na prática. Nem mesmo as vergas sobre
aberturas de janelas e portas com vãos convencionais precisariam de fato ser verificadas. Normalmente,
qualquer armadura construtiva adotada é suficiente para se garantir a resistência necessária.
6 . 2 . 1 TENSÃO ATUANTE
A tensão atuante em elementos comprimidos será sempre a carga dividida pela área da
seção transversal desse elemento. A NBR 10837 e a BS 5628 trabalham com a área bruta da seção
dos elementos, portanto desconsiderando a existência de vazios. Já o ACI 530 considera a área líquida,
e dessa forma a área da seção transversal deve ser calculada descontando-se a área de vazios.
A tensão atuante não sofre nenhuma correção quando o dimensionamento se dá segundo
a NBR 10837 e o ACI 530. Essas normas, sendo baseadas no método das tensões admissíveis,
não prevêem coeficientes de segurança parciais a serem aplicados aos carregamentos. Toda a
segurança está embutida no próprio valor da tensão admissível.
Já com a BS 5628 ocorre uma situação diferente. Nesse caso, existem coeficientes parciais de
segurança a serem aplicados aos carregamentos, transformando-os de valores característicos em valores
de cálculo. Um resumo dos valores de y, apresentados por essa norma podem ser vistos na tabela 6.1.
Tabela 6.1 - Valores de coeficientes parciais de segurança para ações (yf).
Combinação Carregamentos Combinação
Permanente Variável Vento Terra/Agua
Permanente e variável 0,9 ou 1,4 1,6 - 1.4
Permanente e vento 0,9 ou 1,4 - 1.4 1.4
Permanente, variável e vento 1.2 1.2 1.2 1.2
Dano acidental 0,95 ou 1,05 0,35 - 0,35
6 . 2 . 2 COMPARAÇÃO DE DIMENSIONAMENTOS
Não é muito fácil produzir uma comparação consistente de dimensionamentos obtidos
pela NBR 10837 e o ACI 530 com o resultante da BS 5628. Entretanto, neste item procurar-se-á
obter a máxima tensão de compressão à qual pode estar submetida uma parede não-armada de
alvenaria estrutural com as seguintes condições:
D i m e n s i o n a m e n t o de E lementos
a) espessura 14 cm;
b) alturas 240, 260 e 280 cm;
c) resistência média de prisma de 8 MPa;
d) resistência característica de parede de 4,7 MPa;
e) contraventamento por laje de concreto armado na base e no topo;
f) tensão atuante para 80% de cargas permanentes e 20% de cargas variáveis;
g) excentricidade das cargas menor ou igual a 5% da espessura.
Essas condições especificadas são típicas para as situações normalmente encontradas
em edificações residenciais no Brasil. Através delas obter-se-á um panorama interessante sobre
os resultados a serem alcançados pelo dimensionamento segundo as três normas mencionadas.
Existe um ponto relativamente polêmico a ser destacado. Trata-se da resistência
característica da parede, o parâmetro básico para o dimensionamento segundo a BS 5628, a ser
obtida com base na resistência média de prisma. Pode-se adotar, com razoável segurança, que a
relação entre a resistência de parede e a resistência de prisma seja 0,7. Isso faria com que 8 MPa
para a resistência média de prisma representasse uma resistência média de parede de 5,6 MPa.
Além disso, a própria BS 5628 menciona que se pode obter a resistência característica de uma
parede dividindo-se a resistência média obtida para dois exemplares ensaiados por 1,2. Portanto,
se a resistência média de parede for 5,6 MPa, a sua resistência característica pode ser suposta
como sendo da ordem de 4,7 MPa, o valor adotado para as simulações apresentadas.
Um último detalhe a ser esclarecido é sobre o coeficiente parcial de segurança a ser
adotado para o carregamento, y|( também no caso da BS 5628. Considerando-se a relação entre
cargas permanentes e variáveis admitida para o carregamento, pode-se estimá-lo em 1,45, tomando-
se em consideração os valores apresentados na tabela 6.1.
Um resultado parcial interessante é o valor do coeficiente de redução da tensão relativo
à esbeltez. A tabela 6.2 apresenta um resumo desses valores para as três alturas de parede
adotadas e para as três normas analisadas. Através dela pode-se observar que, apesar das
peculiaridades de cada código até mesmo em relação à altura efetiva que deve ser considerada,
os valores não são muito díspares, pelo menos quando se toma a NDR 10G37 e a D3 GG28. O ACI
530 é que prescreve alguns valores um pouco mais conservadores.
Finalmente, a tabela 6.3 resume os resultados obtidos para a referida tensão máxima
que pode ser aplicada na parede segundo as condições anteriormente especificadas.
Uma observação dos resultados obtidos permite perceber que a BS 5628 fornece
resultados bem mais conservadores que o ACI 530 ou mesmo a NBR 10837. Mesmo considerando-
se o controle especial tanto para a manufatura das unidades como para a execução da obra, as
diferenças chegam a 20% em relação à NBR 10837 e a 30% em relação ao ACI 530.
A extensa utilização da NBR 10837, e também do ACI 530, não traz evidências de que a
segurança esteja sendo minimizada por esses dois códigos. Então, parece ser o caso de se imaginar
que a BS 5628 poderia reduzir um pouco seus coeficientes. Especialmente o coeficiente ym parece
um pouco exagerado, quando se considera que está aplicado sobre uma resistência característica
de parede. Se sua faixa de variação fosse alterada para algo entre 1,8 e 2,3, provavelmente os
resultados obtidos continuariam a ser seguros e poderiam ser considerados mais satisfatórios.
Quantoà utilização em si, os procedimentos baseados nas tensões admissíveis são realmente
mais simples de ser aplicados. Entretanto, até mesmo considerando-se as normas existentes para os
demais materiais utilizados em estruturas, a tendência aos estados limites parece ser irreversível.
Ademais, a maior complexidade da BS 5628 não compromete a sua correta utilização, especialmente
quando se dispõe de recursos computacionais fartos e relativamente baratos para viabilizá-la.
Tabela 6.2 - Coeficiente de redução devido à esbeltez.
Altura parede (cm) NBR 10837 ACI 530 BS 5628*
240 0,921 0,820 0,905
260 0,900 0,789 0,888
280 0,875 0,755 0,860
'Obs.: excentricidade das cargas menor ou igual a 5% da espessura.
Tabela 6.3 - Máxima tensão na área bruta para a parede exemplo (MPa).
Altura
(cm) NBR 10837
ACI 530 BS 5628
Controle normal*
BS 5628
Controle especial*
240 1,474 1,640 0,838 1,173
260 1,440 1,578 0,822 1,151
280 1,400 1,510 0,796 1,115
'Obs.: tipo de controle tanto para as unidades quanto para a construção.
6 . 3 F L E X Ã O S I M P L E S
Vigas e vergas são elementos estruturais lineares destinados a suportar e transmitir
ações verticais mediante um comportamento predominante de flexão. Normalmente utiliza-se o
termo verga quando o elemento estrutural está colocado sobre vãos de aberturas de portas e
janelas. E esses são os elementos mais comuns que estão submetidos à flexão simples numa
edificação de alvenaria estrutural. Entretanto, muros de arrimo e paredes de reservatório, que
também são e lementos encontrados com muita f reqüência nessas edif icações, podem ser
considerados como submetidos à flexão simples, bastando que as tensões de compressão sejam
relativamente pequenas em relação às de flexão. Portanto, a flexão simples pode ser considerada
uma solicitação bastante importante e comum em edificações de alvenaria. Provavelmente a mais
comum, logo após os casos de compressão.
Por fim, menciona-se que a notação adotada para os equacionamentos aqui apresentados,
sempre que possível, baseia-se na notação utilizada pela NBR 10837. Pretende-se, dessa forma,
facilitar a sua utilização, tornando mais direta a identificação das variáveis presentes.
6 . 3 . 1 DIFERENÇAS CONCEITUAIS ENTRE A N B R 1 0 8 3 7 E A B S 5 6 2 8
No Brasil, a diferença básica entre a análise de elementos de alvenaria estrutural e de
concreto armado está no modelo de cálculo adotado para cada material. A NBR 6118 - Projeto e
execução de obras de concreto armado4, que utiliza o método dos estados limites, admite, por
exemplo, a possibil idade da plastificação da armadura ou deformações no concreto iguais às
convencionais de ruptura, na situação última de cálculo.
Já a NBR 10837, que adota o método das tensões admissíveis, busca garantir distância apropriada
entre as tensões atuantes e as que provocam o escoamento ou ruptura dos materiais. Nesse método, as
tensões resistentes devem ser calculadas admitindo comportamento elástico e linear do material.
Assim, no caso de elementos fletidos, enquanto o concreto normalmente é suposto
trabalhando no Estádio III, a NBR 10837, que fixa as hipóteses de cálculo em alvenaria, especifica que
os mesmos devem ser calculados no Estádio II. Já a BS 5628, que também trabalha com estados
limites, acaba admitindo para a alvenaria um comportamento muito semelhante ao do concreto armado.
Dessa forma, conforme já se explicou no início deste capítulo, aqui serão apresentadas
as hipóteses básicas da NBR 10837, e o equacionamento desenvolvido tomará por base as suas
considerações. Se o enfoque fosse o da BS 5628, todo o equacionamento seria o mesmo já
tradicionalmente apresentado para a flexão simples de elementos de concreto armado. Até mesmo
tabelas e ábacos desenvolvidos para o concreto poder iam ser uti l izados, bastando tomar a
resistência à compressão adequada. No caso, a BS 5628 menciona que a resistência à compressão
da alvenaria na flexão deve ser a metade da prescrita para compressão simples.
6 . 3 . 2 HIPÓTESES BÁSICAS DA N B R 1 0 8 3 7
O item 5.2.2 da NBR 10837 é que fixa as hipóteses de cálculo dos elementos fletidos.
Para maior clareza, apresentam-se as suas prescrições, que são as seguintes:
"...Os componentes fletidos são calculados no Estádio II. Nestes cálculos, as hipóteses
básicas são as seguintes:
a) a seção que é plana antes de se fletir permanece plana após a flexão;
b) o módulo de deformação da alvenaria e da armadura permanece constante;
4 Associação Brasileira de Normas Técnicas (1989).
c) as armaduras são completamente envolvidas pelo graute pelos elementos constituintes
da alvenaria, de modo que ambos trabalhem como material homogêneo dentro dos
limites das tensões admissíveis".
É interessante ressaltar que no Estádio II supõe-se que a alvenaria não suporte tensões
de tração, que deve ser totalmente resistida pelas armaduras. Além disso, o comportamento dos
materiais é admitido como sendo linear, ou seja, supõe-se aplicável a lei de Hooke, até os limites
admissíveis das tensões.
6 . 3 . 3 EQUACIONAMENTO BÁSICO
O equacionamento necessário para a análise de seções submetidas à flexão reta simples,
pelo método das tensões admissíveis, pode ser realizado a partir das hipóteses básicas deste
método, apresentadas anteriormente. Busca-se conhecer a situação deformada da seção, que
pode ser caracterizada pela posição da linha neutra e pela inclinação do plano da seção após a
aplicação da solicitação. A figura 6.1 apresenta alguns dos principais parâmetros necessários ao
equacionamento mencionado.
Figura 6.1 - Seção Retangular - Flexão Simples - Armadura Simples.
As distâncias x e z. respectivamente profundidade da linha neutra e braço entre as resultantes no
aço e na alvenaria, serão referenciadas por parâmetros adimensionais k, e k^, relacionados à altura útil:
...(6.1)
...(6.2)
Além disso, serão utilizadas duas grandezas auxiliares: a razão de tensões m e a razão
modular n. Elas são definidas como:
= m ...(6.3)
= n ...(6.4)
em que f5 e falvsão as tensões atuantes no aço e na alvenaria. Es e EaJv os módulos de deformação
do aço e da alvenaria, respectivamente.
O primeiro passo para o equacionamento propriamente dito pode ser a aplicação da lei
de Hooke para as tensões atuantes no aço e na alvenaria:
faV=E*vea
...(6.5)
Já a compatibilidade de deformações, de acordo com a hipótese de a seção permanecer
plana após a deformação, exige que:
1 - k _ d - x
x " k ...(6.6)
Utilizando-se a condição de equilíbrio da flexão simples, ou seja, força normal igual a
zero, pode-se escrever:
...(6.7)
Define-se a taxa geométrica de armadura através da relação:
p = b d ...(6.8)
Portanto, levando-se em conta as equações 6.3, 6.7 e 6.8, pode-se escrever:
m =
2p
...(6.9)
Já pela divisão, membro a membro, das equações 6.5, chega-se a:
L
...(6.10)
Assim, substituindo-se em 6.10 as relações 6.4, 6.6 e 6.9 obtém-se a equação de
segundo grau:
Kx?+ 2npkx- 2np = 0 ...(6.11)
Resolvendo-se a equação e tomando apenas a raiz que interessa, chega-se à posição
da linha neutra, dada por:
...(6.12) k< = -pn + V(Pn)2 + 2pn
A área de armadura e a máxima tensão atuante, na alvenaria e nas armaduras, podem
ser obtidas pela equivalência do momento fletor atuante e o produzido pelas resultantes de tração
e compressão na seção. Considerando-se a resultante de tração na armadura, pode-se escrever:
...(6.13) M = fs As k. d
Então, a tensão na armadura iguala-se a:
f =
M
E a área de aço resulta em:
em que.
a _ 1 _M M_
' f .k. d * d
k =
f A
...(6.14)
...(6.15)
De maneira semelhante, pode-se calcular a máxima tensão na alvenaria, a partirdo
momento atuante:
M ^ i ^ f ^ b ( M ) ( k i d ) b f . em que.
Então, pode-se escrever o valor de fa.v, a máxima tensão na alvenaria:
f _ 2 M
* kx kz bd:'
...(6.16)
...(6.17)
Mas, considerando-se a equação 6.2, o parâmetro k pode ser também igualado a:
k . =
L M 3 - k )
...(6.18)
É também interessante se expressar kx e a taxa geométrica de armadura p em função dos
parâmetros m e n, o que pode ser realizado tomando-se as equações 6.4 e 6.6 e substituindo-se em
6.10. Assim se obtém:
kx = n n + m
Então, utilizando-se a equação 6.9, chega-se a:
P = 2m (m + n)
...(6.19)
...(6.20)
6 . 3 . 4 DIMENSIONAMENTO BALANCEADO
A situação de dimensionamento balanceado, que corresponde ao melhor aproveitamento
dos materiais, é obtida quando a tensão atuante na alvenaria é igual à tensão admissível à
compressão na flexão e a tensão atuante no aço é igual à tensão admissível à tração:
Nesse caso, a posição da linha neutra e a taxa de armadura podem ser facilmente obtidas
com as relações 6.19 e 6.20:
" n + m .
P.,= 2mti (m. + n)
...(6.21)
...(6.22)
A altura útil correspondente a este dimensionamento é obtida através da reorganização
da equação 6.16, com a utilização da tensão admissível à compressão na flexão para a alvenaria:
4>
M
K>x Krt. bx f irfv.l
...(6.23)
Em que corresponde ao dimensionamento balanceado.
6 . 3 . 5 DIMENSIONAMENTO SUBARMADO
No dimensionamento subarmado, que ocorre quando a altura útil disponível é maior ou igual
à necessária ao dimensionamento balanceado, d • db, não são conhecidas, de início, as tensões
desenvolvidas na alvenaria, sendo que apenas o aço estará submetido à tensão admissível, ou seja:
Então, deve ser utilizado um processo iterativo para a determinação da posição da linha
neutra e da área de aço necessária ao elemento. Esse procedimento pode ser realizado com o
auxílio da planilha de cálculo apresentada na tabela 6.4. O processo iterativo pode ser iniciado
com o valor de prosseguindo até a convergência deste parâmetro, ou seja, quando a diferença
entre a última e a primeira coluna estiver dentro de uma margem considerada satisfatória.
Tabela 6.4 - Flexão de seções subarmadas.
/ k. K . K * k„= -pn*V(Pn), + 2pn
1 kit» — > — > — > — > — >
2 — > — > — » — » — > — >
— » — > —> — > — > — >
Observe-se que ao final deve-se verificar a tensão atuante na alvenaria, com o emprego
da equação 6.17, de forma a se garantir que seu valor seja menor que o limite admissível.
6 . 3 . 6 DIMENSIONAMENTO SUPERARMADO
Caso a altura útil seja menor que a do dimensionamento balanceado, ou seja, d < d^,
uma das opções que se pode adotar é o dimensionamento superarmado, no qual a tensão admissível
da alvenaria é atingida antes que a do aço. Portanto, tem-se:
'a* ~ ^Ar.l
Então, utilizando-se a equação 6.16, com a expressão de kalw que aparece em 6.18, e o
valor limite para fav, obtém-se:
...(6.24)
Dessa forma, reorganizando-se a expressão 6.24, obtém-se a equação de segundo grau:
...(6.25)
txFf alv.l
Assim, após a determinação de kx5, e o correspondente k^ através da equação 6.2, o
objetivo é o cálculo da área de aço necessária. Isso pode ser feito através da equação 6.26, obtida
quando se isola o valor de m da equação 6.19 e se substitui na expressão 6.9.
P=- 2n (1 - k,)
...(6.26)
É claro que, determinada a taxa geométrica de armadura, o valor de As pode ser
encontrado pela equação 6.8. Um último detalhe diz respeito à verificação da tensão no aço. Isso
pode ser feito pela equação 6.14, ou seja:
f =
M
A M " f w
...(6.27)
6 . 3 . 7 DIMENSIONAMENTO COM ARMADURA DUPLA
O dimensionamento da seção retangular com armadura dupla é realizado determinando-
se inicialmente a parcela do momento fletor que é absorvida pela seção considerando-se armadura
simples e dimensionamento balanceado, M0, e a correspondente parcela complementar, DM. Esta
segunda parcela deve ser absorvida por um binário de forças resultantes de armaduras adicionais,
uma tracionada e outra comprimida.
6 A determinação é feita escolhendo-se a raiz da equação que tenha siginificado físico.
L
/ X/-5 , )
/ X Í W x b A
d - x
— * —
z /
d-d"
• W
Figura 6.2 - Seção Retangular - Flexão Simples - Armadura Dupla.
O momento M pode ser obtido da equação 6.16 quando se utiliza f igual ao limite
admissível, ou seja:
bd2 M0 = U i ~2 ...(6.28)
A correspondente armadura tracionada pode ser obtida da equação 6.15, adotando-se
os valores de M0 e da tensão admissível do aço:
1 Mo
LK 6 «,1 Ib
...(6.29)
A parcela complementar do momento AM = M - M0, pode ser igualada ao momento
produzido pelo binário de forças das armaduras adicionais, A., na região tracionada e A..' na região
comprimida. Sabe-se, de antemão, que a tensão na armadura tracionada correspondente ao valor
para o dimensionamento balanceado, ou seja, é o valor admissível. A tensão na armadura comprimida
pode ser obtida através da compatibilidade de deformações, com o auxílio da figura 6.2.
x - d' x - d
Da lei de Hooke e da condição de
x - d s 4 x - d
...(6.30)
, obtém-se a tensão na armadura comprimida.
...(6.31)
Por equivalência estática do momento complementar com as forças de tração e compressão
nas armaduras, considerando-se d - d' o braço de alavanca, obtêm-se as áreas de armadura As2 e As'.
...(6.32) AM A^ (d - d') = fs' Au' (d - d')
R _ A M
A . A M A M x d - x x 1
f5(d - d') " (d - d ' ) " x - d' í ,
...(6.33)
...(6.34)
A área de armadura tracionada para o dimensionamento com armadura dupla é igual à
soma das parcelas As l e A r2.
6 . 4 C I S A L H A M E N T O
...(6.35)
O cisalhamento ocorre normalmente em conjunto com a solicitação por momento fletor. Vergas,
vigas ou paredes que participam do sistema de contraventamento são os elementos nos quais o cisalhamento
deve ser usualmente verificado. Essa solicitação também ocorre em paredes de arrimo ou de reservatórios,
mas, devido ao fato de esses elementos trabalharem segundo a direção de menor inércia, é muito pouco
provável que nesses casos ocorram tensões cisalhantes que ultrapassem os limites admissíveis.
6 . 4 . 1 TENSÕES ATUANTES
A NBR 10837 é bastante confusa quando se trata de definir a tensão de cisalhamento
atuante. Por exemplo, para elementos de alvenaria não-armada. utiliza expressões como "esforço
cortante horizontal" sem que essa direção "horizontal" esteja direta ou indiretamente definida. Ainda
apresenta expressões conflitantes, confundindo comprimento da seção com altura útil para o caso
das alvenarias armadas. Além disso, se refere à variável utilizada para o cálculo da tensão atuante,
ta l v , como " tensão de c i sa lhamento de referência, para e lementos de a lvenar ia não-
armada, e como "tensão convencional de cisalhamento", para elementos de alvenaria armada.
Enfim, não contribui em nada para elucidar a correta aplicação de seus preceitos.
Para se colocar o cálculo da tensão de cisalhamento atuante em peças de alvenaria em
termos claros, o que se pode recomendar é que para elementos não-armados se utilize a expressão:
V
...(6.36)
Em que,
V: esforço cortante
A: área da seção transversal do elemento
Já para os elementos com armaduras longitudinais, pode-se tomar o seguinte valor:
...(6.37) T_V. = V
b d
Em que,
V: esforço cortante
b: largura da seção
d: altura útil, ou seja, distância da face comprimida ao centróide das armaduras tracionadas
Como referência interessante, menciona-se que a BS 5628 adota sempre a tensão atuante
como sendo a força cortante dividida pela área da seção transversal, mesmo no caso de alvenarias
armadas. É uma posição defensávele pode ser adotada mesmo por quem pretende utilizar os
valores limites recomendados pela NBR 10837. Nesse caso a expressão 6.36 poderia ser
considerada tanto para alvenaria armada como para alvenaria não-armada.
Já o ACI 530 recomenda que a tensão atuante seja calculada da forma apresentada pela
expressão 6.36. ou seja, força cortante divida pela área, apenas quando parte da seção transver-
sal estiver submetida a tensões normais de tração. Caso a seção apresente apenas tensões de
compressão, a tensão de cisalhamento atuante deve ser calculada pela expressão tradicional da
resistência dos materiais, força cortante vezes momento estático, divididos pela espessura e pelo
momento de inércia à flexão.
Como última recomendação importante, deve-se observar que no caso de seção trans-
versal em forma de T, I ou L, as abas não devem ser consideradas no cálculo da tensão de
cisalhamento. Todo o cisalhamento deve ser absorvido pela alma da seção transversal do elemento.
6 . 4 . 2 DIMENSIONAMENTO COM OU SEM ARMADURAS
Apesar de muito confusa na definição da tensão atuante, a verificação e o dimensionamento
são fáceis e rápidos de ser realizados pela NBR 10837. Isso pode ser verificado pelo exame da
tabela resumo apresentada no capítulo anterior.
Para o caso de elementos não-armados. por exemplo paredes do sistema de contraventamento
que não tenham armaduras verticais, os limites são absolutos: 0,15 MPa e 0,25 MPa, respec-
tivamente para o caso de argamassas entre 5 e 12 MPa ou 12 e 17 MPa. Portanto, basta comparar
o T , obtido com esses limites. alv
No caso de elementos de alvenaria armada, deve-se fazer uma distinção entre peças fletidas
sem armadura para resistir às tensões de cisalhamento e aquelas que possuem armaduras para resistir
a toda tensão de cisalhamento atuante. Dentro de cada um desses grupos ainda é importante se destacar
o caso de vigas ou vergas e o caso de pilares paredes. Mais especificamente ainda, para pilares parede,
ainda há duas condições: a situação em que o momento fletor é preponderante e a situação em que a
força cortante é preponderante. Entretanto, localizado o valor a ser utilizado para o elemento e a circunstância
específica que se analisa, não existe nenhuma outra dificuldade a ser considerada pois todos os valores
sâo simplesmente definidos em função da raiz quadrada da resistência de prisma. Basta, como no caso
das alvenarias não-armadas, comparar o valor de xaV com o limite adequado.
6 . 4 . 3 CÁLCULO DA ÁREA E DISPOSIÇÃO DAS ARMADURAS PARA O CISALHAMENTO
Se for necessário prever a utilização de armadura específica para o combate às tensões
de cisalhamento, ela pode ser determinada mediante a aplicação da analogia de treliça, como se
ilustra de forma genérica na figura 6.3. As bielas de compressão são admitidas com inclinação (3,
enquanto as armaduras estão inclinadas de a, sempre em relação ao eixo longitudinal da peça.
biela de armadura A § w a
concreto média
Biela de
Compressão
Figura 6.3 - Analogia de treliça.
A força resultante na armadura média, V/sencz, deve ser absorvida pelo conjunto de
barras dispostas no comprimento z(cot« + cotfi). Assim sendo, pode-se escrever:
...(6.38) V _ z (cota + cotp) A j
sena
Então, a armadura transversal é dada por:
A =. Vs
fs l z (cota + cotp) sena
...(6.39)
Admitindo-se que as bielas tenham inclinação (5 = 45° e aproximando z por d a expressão
anterior ganha a seguinte redação:
A, =. Vs
fMd (cota + sena) ...(6.40)
Se forem utilizados apenas estribos a 90°, a armadura de cisalhamento necessária será:
...(6.41) A =-V§_
4W"
Essas duas últimas expressões também estão presentes na NBR 10837. Na verdade é
quase impossível, para os casos usuais, se prescrever armaduras com inclinações diferentes de
90°. Portanto, a expressão 6.41 é que realmente tem importância prática para o problema.
Para a correta utilização da expressão 6.41, deve-se lembrar que o espaçamento "s"
precisa ser considerado em relação à dimensão dos blocos, pois é totalmente inadequado se
prever furos para a colocação das armaduras. Assim, o correto é se adotarem espaçamentos de
20 e 40 cm para blocos de comprimento múltiplo de 20 cm, ou espaçamentos de 15 e 30 cm,
quando da utilização de blocos de comprimento múltiplo de 15 cm.
Além disso, a tensão admissível do aço deve se limitar aos valores apresentados na
tabela correspondente do capítulo anterior. Essa observação é importante, pois a NBR 10837
limita essa tensão a valores relativamente baixos, 165 MPa para os casos usuais.
Finalmente, ainda com respeito à disposição das armaduras, deve-se lembrar que a
NBR 10837 especifica que cada linha de fissura potencial precisa ser atravessada por pelo menos
uma barra da armadura transversal. Com base nessa prescrição, a figura 6.4 apresenta os espaçamentos
máximos a serem observados tanto para o caso dos estribos quanto para as barras dobradas a 45°. O
limite de 30 cm é adotado por analogia às prescrições para as peças de concreto armado,
fissura fissura
Figura 6.4 - Espaçamento mínimo para barras de armaduras transversais.
6 . 5 F L E X Ã O C O M P O S T A
A flexão composta, em que ocorre interação entre carregamento axial e momentos fletores,
é também uma solicitação muito comum em elementos de alvenaria estrutural, particularmente
quando se anal isam estruturas portantes de edifícios. Nestes, a lém de suportar as cargas
gravitacionais, as paredes que fazem parte do sistema de contraventamento lateral resistem às
ações horizontais provenientes do vento e do desaprumo.
Este tipo de solicitação também ocorre em elementos sujeitos a cargas verticais atuando
conjuntamente com ações laterais provenientes do empuxo do solo ou da água, e ainda quando o
carregamento vertical é excêntrico em relação ao eixo do elemento.
6 . 5 . 1 SOLICITAÇÕES COMBINADAS SEGUNDO A N B R 1 0 8 3 7
A primeira verif icação a ser feita quando se analisa uma seção submetida à flexão
composta é a respeito de eventuais tensões de tração que possam ocorrer. Essa verificação é feita
através da seguinte expressão:
...(6.42)
Em que,
f i l v f : tensão atuante devida à flexão
f i l v c : tensão atuante devida à compressão
f : tensão admissível à tração da alvenaria não-armada (normal à fiada)
Se a relação 6.42 for atendida, isso significa que a seção transversal estará submetida a
tensões menores que aquelas que podem ser resistidas pela alvenaria não-armada. Nesse caso,
não será realmente necessário se lançar mão de armaduras para resistir a essas tensões, bastando para
tanto verificar as tensões de compressão conforme as expressões 6.43 ou 6.44 apresentadas a seguir.
Em caso contrário, quando a tensão admissível de tração é ultrapassada, deve-se providenciar
armaduras para absorvê-la. Então, será necessário considerar o equacionamento apresentado no
item subseqüente para se conseguir a solução do problema.
É interessante observar-se que na relação 6.42 a NBR 10837 está implicitamente admitindo
que 75% das cargas verticais são permanentes. Tal consideração é, em muitos casos, conservadora.
Para edifícios residenciais essa parcela varia de 80% a 85%. Pode-se considerar que é razoável verificar
em cada caso qual a parcela de carga permanente e utilizá-la na verificação da tração.
Exista ou não tensão de tração acima do limite admissível, as tensões de compressão advindas
dos carregamentos combinados devem satisfazer a uma das expressões de interação apresentadas a
seguir. Quando para o cálculo das tensões atuantes estiverem sendo consideradas apenas as cargas
permanentes e ações variáveis, a verificação será feita através da relação:
nt/.c
f
<1,00 ...{6.43)
Em que,
r v c : tensão de compressãoatuante
W • t e n s ã o admissível à compressão
f . : tensão de flexão atuante
f a y f : tensão admissível de flexão
Caso a ação dos ventos também esteja sendo considerada na combinação, a NBR 10837
prescreve que o limite das tensões pode ser acrescido de 33%. Isso significa verificar a combinação
através da relação:
«V.l < 1.33 ...(6.44)
6 . 5 . 2 EQUACIONAMENTO BÁSICO
Quando as tensões de tração ultrapassarem o valor admissível, de acordo com a
verificação feita na expressão 6.42, a NBR 10837 prescreve que se deve prever a utilização de
armaduras para resistir a essas tensões. É exatamente esse equacionamento que se apresenta
neste item.
Entretanto, é interessante ressaltar que a solução aqui apresentada é interessante quando
as tensões devidas ao esforço normal são significativas em relação às que provêm da atuação do
momento fletor. Se a flexão for muito preponderante, o ideal é calcular a armadura através do
procedimento apresentado anteriormente para flexão simples, ou seja, ignorando-se a atuação
conjunta dos esforços para o cálculo da armadura. Apenas a verificação da tensão de compressão
seria realizada considerando-se a combinação dos esforços através das expressões 6.43 ou 6.44.
A exemplo do verificado para o caso da flexão simples, o equacionamento da flexão composta
no método das tensões admissíveis também é realizado a partir das hipóteses básicas deste método,
como a seção que permanece plana após a flexão, a validade da lei de Hooke e o equilíbrio entre os
esforços solicitantes e a resultante das tensões na alvenaria e no aço.Também aqui, o equacionamento
será desenvolvido considerando-se, sempre que possível, a notação utilizada pela NBR 10837.
A figura 6.5 apresenta um elemento submetido à flexão composta no qual as tensões de
tração superam as de compressão geradas pela força normal solicitante.
d cr
h/2 m
r q ü j
Figura 6.5 - Flexão composta.
Com base nos elementos geométricos apresentados na figura, pode-se escrever:
...(6.45)
...(6.46)
c. =
A tensão fav, que aparece na figura 6.5, é a tensão total na alvenaria, ou seja, a soma da
tensão devida à compressão e à flexão:
...(6.47) 'ai* ~ 'ato +
O valor devido à compressão pode ser obtido simplesmente pela divisão da força normal
atuante pela área da seção transversal:
f = J L
bh em que b: largura da seção ...(6.48)
Já a tensão devida à flexão pode ser estimada através das expressões 6.43 ou 6.44,
dependendo da combinação incluir ou não a ação do vento. Essa é a situação ideal para se obter
o dimensionamento mais econômico nos casos usuais de flexão composta em edifícios, em que a
tensão de compressão é normalmente significativa. Isso ocorre porque quanto maior a tensão na
alvenaria menor a profundidade da linha neutra e isso tende a melhorar o aproveitamento da
armadura. Dessa forma, quando a ação dos ventos não estiver sendo considerada, tem-se:
...(6.49)
Já para o caso mais comum, pelo menos para os edifícios residenciais, no qual o momento
é justamente provocado pela ação dos ventos, pode-se escrever:
...(6.50)
Definida a tensão máxima na alvenaria, podem-se integrar as tensões de compressão no
plano da seção transversal de forma a se determinar a resultante de compressão C, que é dada por:
...(6.51)
Mas a força normal deve ser igual à diferença entre a resultante de compressão C e a
tração T. Assim:
T = C - N = - Í - I J J X - N ...(6.52)
O momento fletor M, por sua vez, deve ser igual à soma das contribuições das forças de
tração e compressão. Então, pode-se escrever:
...(6.53) C . C, + T . C, = M
Introduzindo na equação anterior os valores de c,, c2 e o valor de C, dado pela equação
6.51, obtém-se:
f j L
l 2
_Lf tacíi-4-l+í-í-fJW-NlíA.tf =M ...(6.54)
Reorganizando a equação anterior, tendo como incógnita a profundidade x da linha
neutra, obtém-se:
4 - í*bx2 - 4 - t *bdx + M + N f-iL - tf! = 6 2 \ 2 J ...(6.55)
Assim, a equação do segundo grau 6.55 pode ser escrita, de maneira sintética, como sendo:
...(6.56) a2x2 + a,x + a0 = 0
Em que,
Resolvendo a equação 6.56, e tomando apenas a raiz que interessa, isso resulta:
...(6.57) x _ •
a< • V a » 2 ' 4a?a0
2a,
É óbvio que o valor de x deve ser um número real, positivo e menor que a altura útil da
seção. Se isso não ocorrer, o dimensionamento deve ser interrompido. Entretanto, se essas
condições forem atendidas, resta estabelecer o valor da tensão de tração no aço. Isso pode ser
feito através da utilização de outras hipóteses admitidas para o problema. A manutenção da seção
plana permite escrever a seguinte equação de compatibilidade de deformações:
...(6.58)
Através da multiplicação de ambos os membros da equação 6.58 pela razão modular,
n = E s /E^ , obtém-se:
f
Então, explicitando a tensão na armadura de tração obtém-se:
f ~ d ~ x «
...(6.59)
...(6.60)
A tensão no aço deve resultar menor que a tensão admissível, Caso isso não ocorra,
pode-se tentar reduzir a tensão fa. . e reiniciar o processo a partir da equação 6.51. Normalmente
essa providência produz bons resultados. Com a redução da tensão de compressão na alvenaria
para valores abaixo do máximo permitido, consegue-se reduzir também a tensão no aço, obtendo-
se, como conseqüência, uma área de armadura maior que aquela que seria calculada inicialmente.
Ao contrário, também pode ocorrer o caso em que o valor de fs calculado seja muito
menor que o valor admissível. Então, a solução será antieconômica, por causa do aproveitamento
deficiente da armadura. Essa situação ocorre normalmente quando o valor de x aproxima-se da
altura útil d. Nesse caso, a solução seria a utilização de uma alvenaria mais resistente. Aumentando-
se a tensão iaW aumenta-se também a tensão na armadura, reduzindo-se a área de aço calculada.
De qualquer modo, uma vez definida a tensão no aço, pode-se determinar a área da
armadura de tração que é dada por:
...(6.61)
6 . 5 . 3 PROCEDIMENTO SIMPLIFICADO
O equacionamento básico mostrado no item anterior pode ser considerado um pouco
complicado para o dimensionamento automático à flexão composta. Sendo assim, pode-se sugerir
a utilização de um procedimento simplificado para esses casos.
O processo assume que a seção é homogênea, mas que a tração é suportada pelas
armaduras. Sua utilização é bastante simples, mas implica considerar que o aço estará submetido
a deformações que produzam uma tensão igual à admissível. Isso normalmente não é correto,
considerando-se as hipóteses de que as seções planas permanecem planas e que a deformação
é proporcional à distância até a linha neutra.
Entretanto, Amrhein (1998), que sugere um processo semelhante, tenta justificar que se
possa assumir a tensão no aço com seu valor admissível pelos seguintes motivos:
a) as seções planas podem não permanecer planas após a flexão;
b) a seção é fissurada e as fissuras localizadas que se abrem provocam uma distribuição
de tensões diferente da usualmente considerada.
Mesmo considerando-se o fato de que essas justificativas não são completamente
defensáveis, o procedimento pode ser considerado interessante exatamente pela sua simplicidade.
Além disso, os resultados quase sempre são seguros, mesmo para casos-limite. Ele pode ser
organizado nos seguintes passos:
a) determinação das tensões atuantes de tração, ft, e compressão, faV bem como a posição da
linha neutra, figura 6.6, através das expressões clássicas da resistência dos materiais.
...(6.62)
...(6.63)
Em que, A: área da seção transversal e W: módulo de resistência à flexão.
b) verificação da tensão de compressão na alvenaria, f a V por meio das expressões de
interação 6.43 ou 6.44;c) determinação da força total de tração por integração das tensões de tração, que na
seção retangular se escreve:
T = V2 f ,b(h-x)1 ...(6.64)
d) determinação da área de aço.
\ = J - ...(6.65)
f = Ü + -M
A W
f = _N_ M_
1 A ' W
T = 7 2 f , b (h -x )
determinação d
A - = f
5,1
Exemplos de Apl icação
7
o
cu
" D
r r
C
O
7 . 1 I N T R O D U Ç Ã O
Este capítulo tem por objetivo apresentar alguns exemplos de apl icação sobre os
dimensionamentos apresentados no capítulo anterior. Os dimensionamentos são apresentados de acordo
com as prescrições da NBR 10837 - Cálculo de Alvenaria Estrutural de Blocos Vazados de Concreto'.
7 . 2 E X E M P L O S DE C O M P R E S S Ã O S I M P L E S
7 . 2 . 1 EXEMPLO 1
Determinara resistência mínima de bloco de concreto que deve ter a parede de alvenaria
não-armada, indicada na figura 7.1, sendo dados:
t = 14 cm; h = 2,80 m; h = 0,70
SOLUÇÃO:
to( = t = 14 cm de acordo com a NBR 10837!
Esbeltez de acordo com a NBR 10837!
70 kN/m
400 cm
Elevação
Laje
Laje
i i
1414 cm
Corte
Figura 7.1 - Exemplo 1 de compressão simples.
1 Associação Brasileira de Normas Técnicas (1989).
O valor mínimo da resistência de prisma é calculado igualando a tensão admissível à
tensão atuante.
0,70 x 400
400 x 14
= 0,05 kN/cm2 = 0,5 MPa
/ h y
L , = 0,20 f R com R = 1 - —
* * p \,40t/
Então W = 0.20f|( 1 - ( 280 >
3
^40 x 14; = 0,175 f
Igualando as duas tensões 0,175 fp = 0,5 MPa, chega-se a uma resistência mínima de
prisma de 2,86 MPa, referida à área bruta.
Com eficiência de 0,7, pode-se determinar a resistência mínima do bloco.
, 4 - 4
2,86
0,7
= 4,09 MPa
Deve-se adotar, então, 4,5 MPa, já que esse é o valor mínimo de resistência de bloco de
concreto para que a alvenaria possa ser considerada estrutural.
7 . 2 . 2 EXEMPLO 2
Qual a carga máxima de compressão que pode ser aplicada no pilar de 5 m de altura,
contraventado na base e no topo, sabendo-se que a resistência de prisma cheio é de 10 MPa e
que ele deverá ser armado com aço CA 50A?
Obs.: Sabe-se que a seção transversal do pilar é constituída de dois blocos de
19 cm x 39 cm, compondo uma seção de 39 cm x 39 cm.
SOLUÇÃO:
As condições de esbeltez máxima e de espessura mínima são atendidas, pois:
X = 500/39 = 12,8 < 30 e tél = t = 39 cm > 20 cm
A máxima tensão admissível de compressão no pilar é dada por:
L * = (0-20 f D + 0,30 p f j
3"
1 - (JÚ
V40t,
Para se atingir a máxima carga de compressão admite-se a máxima taxa de armadura,
que é de 1%. Assim:
( 500 ^ r = (0,20 x 1,0 + 0,30 x 0,01 x 16,5) 1 -
^ 4 0 x 3 9 ;
= 0.241 kN/cm?
Então a máxima carga admissível é de P = 0.241 x 39 x 39 = 366 ktèso é alcançado com
uma área de armadura de 1% de 39 x 39 c m 2 , ou seja, As = 15,21 cm2. Pode-se utilizar, então, 8
.j 1 g <J> 16 mm.
7 . 2 . 3 EXEMPLO 3
No exemplo anterior qual a máxima carga admissível no pilar, se for utilizada armadura
composta por 4 0 16 mm?
SOLUÇÃO:
4 x 2 0 1
A taxa de armadura, neste caso, é p = = 0,53%
39 x 39
A tensão admissível de compressão passa a ser
fiK c = (0,20 x 1.0 + 0,30 x 0.0053 x 16.5) 1 _ ( 500 V = 0.219 kN/cm? ^40 x 39j
A máxima carga admissível é, então,
P = 0,219 x 39 x 39 = 333 kN.
Observe-se que uma redução de 50% na área de aço produziu uma diminuição da carga
admissível de compressão em apenas 9%.
7 . 3 E X E M P L O S D E F L E X Ã O S I M P L E S
7 . 3 . 1 EXEMPLO 1
Projetar as armaduras de flexão de uma viga em alvenaria estrutural, com largura de
14 cm, para vencer um vão livre de três metros. Considerar uma carga de 6 kN/m, uniformemente
distribuída, sobre a viga.
DADOS:
fp= 9.5 MPa = 0,950 kN/cm2
f = 165 MPa = 16,5 kN/cm?
Mx d d
14
c
Figura 7.2 - Exemplo 1 de compressão simples.
SOLUÇÃO:
E ^ = 800 x 9.5 = 7600 MPa
n = 2 1 0 0 0 0 = 27,63
En„ 7600
A máxima tensão admissível à flexão é dada por:
l , = 0.33 x f = 0.33 x 0,950 = 0,3135 kN/cm* Jrv.i p
O momento atuante máximo é calculado por:
M = i L í i l = 6,75 kN x m = 675 kN x cm
8 8
De te rm inando in ic ia lmente a a l tura úti l que co r responde ao d imens ionamen to
balanceado, tem-se:
favi = f v i = 0,3135 kN/cm?
f, = 7, = 16,5 kN/cm?
M t = J f _ = _ Ü L . = 52,63
1m, 0,3135
= 2 A 6 3 = 0.344
n + m „ 27,63 + 52,63
K 0.344
k = 1 - - f = 1 — 1 — = 0,885
3 3
d = / _ ? I = 31,8 cm
V M K b b x T , Y 0,344 x 0,885 14 x 0,3135
Uti l izando-se dois blocos canaleta obtêm-se, com cobr imento de 7 cm, altura útil,
d = 32 cm. Nestas condições deve ser provida a armadura correspondente ao dimensionamento
balanceado, cuja área corresponde a:
A. = = 675 = 1 M c m ?
f. x k / b x d 16,5x0,885x32
S O L U Ç Ã O C O M O A U X I L I O D E T A B E L A S
O mesmo problema, analisado anteriormente através do equacionamento desenvolvido
para seções na situação balanceada, pode ser resolvido de modo bastante prático com o auxílio
de tabelas, como as apresentadas anexas nesta publicação. Assim:
a) Resolução através da tabela IA
Determinação da altura efetiva correspondente ao dimensionamento balanceado, db, e
da correspondente área de aço, A_.
Para a situação de fp = 9,5 MPa e tensão na alvenaria igual à situação-limite, falv = f
obtém-se da tabela kalv = 20,93 e ks = 0,685. Assim, calcula-se:
= _bx_d^ = M x c T = 20,93 >d = 31,8 cm
* M 675
A, x d A, x 31,8
k = = —s — = 0,0685 >A, = 1.45 cm2
M 675
alv.t'
b) Resolução através da tabela IIC
Para a situação de f p = 9,5 MPa, tabela II C, determinam-se os coeficientes K e p
correspondentes ao par de tensões na alvenaria e no aço da situação que se deseja dimensionar.
Para a situação balanceada, a tabela fornece K = 0,048 e r = 0,00327. Assim, calcula-se:
K = ——— = 6 7 5 = 0.048 >d = 31,7 cm
b x d2 14 x d2
A A
p = = 2 = 0.00327 »A = 1.45 cm2
1 b x d 14x31,7
Observa-se que na mesma tabela podem ser conferidos os valores de kx e kz, calculados
anteriormente para a situação de projeto.
c) Resolução através da tabelas III
O conjunto de tabelas III permite a resolução direta do problema da flexão simples para a
situação de dimensionamento balanceado, fornecendo a altura útil e a armadura necessária a esta situação.
Assim, para a situação de f p = 9,5 MPa, tabela III C, entra-se com o valor da largura útil,
b = 14 cm, e do momento solicitante, M = 675 kN x cm. Interpolando-se os valores de "d" fornecidos,
facilmente obtém-se: d = 31,7 cm.
Da mesma forma obtém-se o valor do parâmetro p para a situação balanceada, com o
qual se calcula a área de armadura da seção, na forma:
A A
p = — = = 0.00327 >Ar = 1.45 cm2
b x d 14x31,7
d) Resolução através das tabelas tipo IV
Para a utilização das tabelas de tipo IV, 'Tabela de cálculo à flexão no Estádio II", é
necessário saber se a configuração da seção caracteriza a condição de seção superarmada ou
subarmada. Caso a seção seja superarmada, deve-se dar entrada pelo parâmetro km, por se
conhecer a máxima tensão na região comprimida. Caso contrário, realiza-se a entrada através do
parâmetro nk t, por conhecer-se a tensão na armadura.
Para os dados do exemplo fornecido, pode-se calcular:
EaV= 800x9,5 = 7600 MPa
n = = = 27,63
= 52,63
Es 210000
7600
\ 16,5
L 0,3135
n 27,63
52,63
O momento máximo atuante na seção é calculado por:
M = = = 6,75 kN x m = 675 kN x cm
8 8
Utilizando a tabela IV, para o valor de ky que mais se aproxima de k .b, calculado, obtém-
se o valor de km = 0,153. A partir deste valor, pode-se calcular a altura útil que correspondente ao
dimensionamento balanceado, na forma:« J - SZ5 =31,7 cm V 0,í"~ • k , n x f ^ x b V 0,153 x 0,3135 x 14
Nesta mesma linha da tabela, obtém-se n x p = 0,0915, que fornece a área de armadura
para esta situação. Assim:
A A
n x p = n x i - = 27,63 x = 0,0915 >A = 1,47 cm2
1 b x d 14x31,7
e) Resolução através das tabelas tipo V
Com os dados do exemplo fornecido, pode-se calcular:
Ea(v= 800x9,5 = 7600 MPa
n s — a 210000 a 2 7 , 6 3
E ^ 7600
m = ^ - = 1 6 ' 5 =52,63
b f t 0,3135
Na situação balanceada (fs = f~ e faIv = f ^ ) , pode-se determinar a altura útil necessária,
por exemplo através do parâmetro ys. Interpolando-se os valores obtidos nas tabelas de n = 25 e n
= 35, e com m = mB = 52,63, obtêm-se os valores correspondentes a y s= 18,61 e 100 p = 0,325.
Como o momento máximo atuante é de 675 kN x cm, pode-se calcular a altura útil que
corresponde ao dimensionamento balanceado, através de:
d . , M x t f . «7SX1M1» ^
f^xb V 16,5x14
A área de armadura para esta situação corresponde a:
100 x p = 100 x
b x d
= 100 x
14x31,8
= 0,325 • A = 1,45 cm?
7 . 3 . 2 EXEMPLO 2
Determinar a armadura necessária a uma viga de alvenaria, cuja seção transversal é
apresentada na figura 7.3, submetida ao momento fletor de 315 kN <» cm.
DADOS:
f = 9,5 MPa = 0,950 kN/cm? p
f = 165 MPa = 16,5 kN/cm2
Mx
G-
19
33
6
Figura 7.3 - Exemplo 2 de flexão simples.
SOLUÇÃO:
E^ = 800 x 9,5 = 7600 MPa
210000 n =
E * 7600
= 27,63
Inicialmente é necessário determinar o tipo de dimensionamento a ser realizado (seção
subarmada, superarmada ou com armadura dupla). O cálculo inicia-se, então, pela verificação da
altura útil necessária ao dimensionamento balanceado.
L . . = ° - 3 3 x f „= ° - 3 3 x ° - 9 5 = ° - 3 1 3 5 kN/cm2
= = = 52.63
U . 0,3135
K =
27.63
n + m b 27,63 + 52,63
= 0,344
K 0,344
k . = 1 - — = 1 — = 0,885
I b 3 3
•
M
K * K b x f
315
0,344x0.885 19x0,3135
= 18,6 cm
Como a altura útil disponível é maior que a necessária ao dimensionamento balanceado,
realiza-se o dimensionamento para seção subarmada. A planilha a seguir organiza os passos do
dimensionamento iterativo.
Tabela 7.1 - Cálculo iterativo no exemplo 2.
Passo kt k. A. n x p k . k.
1 0,8850 0,0685 0,654 0,0288 0,2129 0,9290
2 0,9290 0,0652 0,623 0,0274 0,2084 0,9305
3 0,9305 0,0651 0,622 0,0274 0,2083 0,9306
Em três iterações o processo convergiu, com tolerância de 0,01%. Pode-se, portanto,
utilizar uma área de aço igual a 0,62 cm2.
O mesmo resultado pode ser obtido através do emprego de tabelas. Com o uso da
tabela II C, determina-se a área de armadura, A „ na forma:
K = M 315 = 0,0152
b x d? 19 x 33*
Da tabela, para este valor do coeficiente K, pode-se obter o valor de p = 0,000972,
bem como facilmente verificar a tensão na alvenaria e no aço (fVi, = 0,155 kN/cm2 e fs = 16,5 kN/cm2),
que caracterizam a situação esperada (seção subarmada). Assim, a armadura necessária à seção
é facilmente obtida como:
\ = p x b x d = 0,000972 x 19 x 33 = 0,61 cm?
7 . 3 . 3 EXEMPLO 3
Determinar a armadura necessária à seção descri ta no exercício anterior, quando
submetida a um momento fletor de 1220 kN x cm. Caso necessário, verifique as situações de
seção superarmada e com armadura dupla, considerando neste último caso um cobrimento da
armadura de compressão igual a 4 cm.
DADOS:
fp = 9.5 M
f = 165 MPa = 16,5 kN/cm2
fp = 9,5 MPa = 0,950 kN/cm?
Mx
O
33
- 1 9 - 4
Figura 7.4 - Exemplo 3 de flexão simples.
SOLUÇÃO:
E^ = 800 x 9,5 = 7600 MPa
n s l = 2 1 0 0 0 0 = 27,63
Eaftf 7600
Mais uma vez é necessário determinar a altura útil necessária ao dimensionamento
balanceado, agora para a nova situação de carregamento,
f = 0,33 x f = 0,33 x 0,95 = 0,3135 kN/cm2
«W.i p
n ^ 52,63
L,.f 0.3135
k = = 2 7 ' 6 3 0.344
n + mo 27,63 + 52,63
k, 0.344
k l( = 1 — — = 1 - — — = 0,885
' b 3 3
d = / _ _ ? M I 2 1220 = 3 6 6 8 c m
b V K*Kb b x?^ V 0.344 x 0.885 19 x 0,3135
Como a altura útil disponível (33 cm) é menor que a necessária ao dimensionamento
balanceado, será realizado o dimensionamento para seção superarmada e também para a situação
de armadura dupla.
a) Resolução para seção superarmada
Como primeiro passo deve-se resolver a equação de segundo grau que fornece a posição
da linha neutra para a condição de seção superarmada, a seguir:
k 2 - 3k + 6 X M = 0
x b x d2x f ^
a x k / + b x ks + c = 0
6 x 1220 , . 0 0 , a = 1 b = - 3 c = = 1,1285
19 x 332x 0,3135
As raízes da equação são:
(< = - b ? V b 2 - 4 x a x c 3 t V 9 - 4 x 1 x 1,1285
2 x a ~ 2
kx , = 2,56 (não interessa) e k ^ = 0.44
Conhecida a posição da linha neutra, determinam-se a taxa de armadura e, finalmente,
a área de armadura necessária à seção.
P = Y x n " x T " ^ = T x i ^ 6 3 x T ^ Ã Ã = ° ' 0 0 0 6 3 0
A,= p x b x d = 0,000630 x 19 x 33 = 3,95 cm?
b) Resolução para armadura dupla
No d imens ionamento com armadura dupla deve-se inicialmente determinar o momen to
supor tado pela a rmadura s imples, com d imens ionamento balanceado, M0 . Uti l izando os valores
de kb e k / b , já calculados, tem-se:
M = J x k x k = 0,3135 1 9 x 3 3 2 x 0,344 x 0,885 = 987,39 kN x cm o g d jd 2
As áreas de armadura tracionada e comprimida (As e As ') podem ser obtidas então a partir de:
! M0 M - M0 1 987,39 _ 1220-987 ,39
A i ~ L x k » * + L x < d - d ' ) " 1 6 , 5 x 0 , 8 8 5 x 3 3 " 1 6 , 5 X < 3 3 ~ 4 )
A, = 2,05 + 0,486 = 2,54 cm?
A . _ M " M o x d - x x 1 . 1220-987 ,39 x 3 3 - 0 , 3 4 4 x 3 3 x _ j _ = ^ ^
5 ( d - d ' ) x - d 1 (33 - 4) 0,344 x 33 - 4 16,5
Também nas si tuações de armadura dupla ou seção superarmada, pode-se utilizar tabelas
para o d imens ionamento ou veri f icação das seções.
Através da tabela I, por exemplo, pode-se calcular a a rmadura necessár ia nestas duas
si tuações. Inicialmente, calcula-se:
b x d2 19 x 332 k . = = = 16,96
M 1220
Para a seção superarmada, através da tabela I obtém-se ks =0,1068, o que corresponde a
uma área de armadura compr imida igual a:
k x M 0.1068x 1220 ,
A = — = — = 3.95 cm-
d 33
Para o d imens ionamento com armadura dupla, determina-se:
b ^ = 1 9 x 3 3 2 = 9 8 8 5 8 k N x c m
° k ^ 20,93
= 0,1212 d 33
_ k » x M o k ^ x A M _ 0,0685x988,58 0.0606 x (1220 - 988,58) f\ — A + r\ — + ~ + —
s 41 d d - d ' 33 3 3 - 4
A% = 2.53 cm?
M - M 0 0.180 x (1220-988,58) , _ ,
% - s = i = 1,44 cm?
d - d' 3 3 - 4
7 . 4 E X E M P L O S D E F L E X Ã O C O M P O S T A
7 . 4 . 1 EXEMPLO 1
Determinar a a rmadura necessár ia à parede esquemat izada na f igura 7.5, sabendo-se
que o momen to fletor é devido ao vento. A parede está v inculada na base e e m seu topo.
DADOS:
fp = 9,5 MPa = 0,950 kN/cm2
fs = 165 MPa = 16,5 kN/cm2
q = 40 kN/m
M = 85 kN/m
•
£
o
o
CO
CM
d = 20 _
L = 120 cm
d = 100 cm
t = 1 9 cm
/
Figura 7.5 - Exemplo 1 de flexão composta.
SOLUÇÃO:
E ^ = 800 x 9.5 = 7600 MPa
n = 210000
7600
= 27,63
As máximas tensões admissíveis são dadas por:
= 0.225 fp 1 - Vtot,
= 0,225 x 0,950 1 - f 280 > ^ 4 0 x 1 9 ; = 0,2031 kN/cm2
f,vf = 0,33 x fp = 0,33 x 0.950 = 0,3135 kN/cm2
A máxima tensão devida à flexão que a seção pode suportar pode ser obtida calculando-se:
N 40x1 ,2 L.= = 0,0211 kN/cm2
b ~ t 120x19
Considerando-se a = 1,33, tem-se:
L , ^ L , = ^1,33 - ^ J S 0,3135 = 0,3844 kN/cm2
^ V 0.2031 j
Como tentativa inicial, pode-se admitir que a máxima tensão de compressão é a que
corresponde à máxima tensão admissível pela flexão. f ^ , o que leva a uma tensão de compressão
total de:
f*v = L , = t , . = 0,0211 + 0.3844 = 0.4055 kN/cm2
Afim de se determinar a posição da linha neutra, x, calculam-se os coeficientes a, b e c
da equação de 2o grau que fornece o valor de x:
a = V6 x t x f iV = V6 x 19 x 0.4055 = 1,2841
b = - V2x t x f ^ x d = - V2 x 19 x 0,4055 x 100 = - 385,23
c = N ^—— d' + M = 48 x - 20! + 8500 = 10420
) V 2 )
Calculando a raiz de interesse da equação, obtém-se x:
x d = - b - V b ^ 4 x a x ^ = 3 0 0 6 c m
2 x a
E então a tensão de tração no aço:
f = n x f f L J L = 27,63 x 0,4055 1 0 0 - 3 0 - 0 6 = 26,07 kN/cm2
x 30,06
Como a tensão no aço é superior à admissível (í5= 16,50 kN/cm2) deve-se repetir o
processo adotando uma tensão total de compressão na alvenaria menor do que a admissível.
Com o novo valor de fafv, recalculam-se os coeficientes a, b e c, a posição da linha neutra, x, e,
então, a tensão de tração no aço. Organizando-se as tentativas e os resultados obtidos em uma
planilha, obtêm-se:
Tabela 7.2 - Tentativas no exemplo 1.
u A b c x f.
0,4055 1,2841 -385,225 10420 30,061 26,07
0,3500 1,1083 -332,500 10420 35,551 17,53
0,3000 0,9500 -285,000 10420 42,615 11,16
0,3400 1,0767 -323,000 10420 36,766 16,16
0,3425 1,0846 -325,375 10420 36,454 16,50
Para a condição de falv = 0,3425 kN/cm2 obteve-se x = 36,45 cm e fs = 16,50 kN/cm2.
Nesta situação, pode-se determinar a área de aço, como apresenta a equação a seguir:
1 f t x X x f ^ 1 ^19 x 36,45 x 0,3425 \
2 4 8J
As = 4.28 cm2
Vale lembrar que esta área de armadura deve ser disposta segundo cada lado da parede,
pelo fato de a ação do vento poder se dar segundo um ou outro sentido. Deve-se ter o cuidado de
manter o CG da armadura de modo a se ter d' = 20 cm.
7 . 4 . 2 EXEMPLO 2
Determinar a armadura necessária ao muro representado na figura 7.6. O momento é
devido a empuxo lateral. A parede está vinculada no topo e na base.
DADOS:
f p= 11.0 MPa = 1,10 kN/cm2
ís = 165 MPa = 16,5 kN/cm2
N = 12 kN/m
M = 3,50 kN x m/m
Figura 7.6 - Exemplo 2 de flexão composta.
SOLUÇÃO:
E . = 800 x 11,0 = 8800 MPa m
n = - L = 2 1 0 0 0 0 =23.86
EaV 8800
As máximas tensões admissíveis são dadas por:
L , = 0.225 fp 1 - f J U V40t; = 0,225 oo 1,10
i _ ( 260 Y
^ 4 0 x 1 4 ; = 0,2227 kN/cm
2
L., = 0,33 x fp= 0,33 x 1.10 = 0.363 kN/cm2
A máxima tensão devido à flexão que a seção pode suportar pode ser obtida calculando-se:
N 12
L.. = = 0.0086 kN/cm2
* * b x t 100x14
Considerando o fator de majoração das tensões admissíveis combinadas a = 1.0:
f - f a _ ^ f = f i ,oo - 0 , 0 0 8 j f 0,363 = 0,3490 kN/cm?
l L J J l 0,2227 j 0.2227)
Como tentativa inicial, pode-se admitir que a máxima tensão de compressão é a que
corresponde à f ^ , ^ (total aproveitamento da capacidade resistente da alvenaria), o que conduz a
uma tensão de compressão total de:
f ^ = f vc = f v, = 0,0086 + 0,3490 = 0,3576 kN/cm2
A posição da linha neutra, x, pode ser expressa por uma equação de 2° grau. A fim de
determinar esta posição, determinam-se os coeficientes a, b e c da equação que fornece o valor de x:
a = V6x t x fiiV = V6 x 100 x 0,3576 = 5,96
b = - V?x t x fV/ x d = - % x 100 x 0,3576 x 7 = - 125,16
( u > f 14 ^
C = N : — - d ' + M = 12 - - 7 + 3 5 0 = 350
\ 2 ) K 2 )
Calculando a raiz de interesse da equação, obtém-se:
- b - v b * - 4 x a x c . „ x = k x d = — — í — = 3.32 cm
2 x a
E, então, a tensão de tração no aço:
I = n x f = 23.86 x 0,3576 7 " 3 , 3 2 = 9.46 kN/cm*
* x 3,32
A tensão no aço é inferior à admissível (f = 16,50 kN / cm2). A área de aço é calculada
através da expressão:
= , ' t x X x f „ _ _ L ^ 100 x 3,32 x 0,3576 _ } A 5,01 cm>/m
' U 2 j 9.46 V 2 ;
Podem ser posicionadas, por exemplo, dez barras de 8 mm de diâmetro por metro,
configurando Asofo) = 5,00 cm2/m.
7 . 5 E X E M P L O S DE C I S A L H A M E N T O
7 . 5 . 1 EXEMPLO 1
Verificar a necessidade de armadura transversal em uma viga de seção 19 cm °° 40 cm.
DADOS:
V ^ l O k N
fp = 4 MPa
d = 33 cm
SOLUÇÃO:
T - = ^ = 19T33 = 0,016 k N / c m - 0 , 1 6 MPa
"f , = 0,09 V~í = 0,18 MPa - 0,35 MPa
o»l p
Como fcisl < íctSl não há necessidade de se disporem armaduras de cisalhamento na
viga em análise.
7 . 5 . 2 EXEMPLO 2
Dimensionar as armaduras transversais para a viga representada na figura 7.7.
DADOS:
f( = 9 MPa (prisma cheio)
Aço CA 50A
SOLUÇÃO:
"f , = 0 ,09 /7 = 0,27 MPa - 0.35 MPa col ' p
~f_ = 0.09VT = 0,75 MPa - 1.00 MPa CS2 ' p
16 (N/m
JL.
5 m
Viga
40 kN
14 cmi
40 kN
E o
i o
Seção
Figura 7.7 - Exemplo 2 de cisalhamento.
Pode-se. então, determinar a máxima força cortante admissível na viga (V2) e a máxima
força cortante que pode ser absorvida sem armaduras de cisalhamento (V,).
V, ="f , bd = 0,027 x 14 x 55 = 20,79 kN 1 cwl
\J2 =lc n 2 bd = 0,075 X 14 x 55 = 57,75 kN
A máxima força cortante atuante é de 40 kN, que é admissível, devendo as regiões
próximas aos apoios ser armadas para o combate ao cisalhamento. A região central da viga, cerca
de 2,50 m, não precisa de armaduras de cisalhamento, já que nesse trecho as forças cortantes
são inferiores a V,. Observe-se que essa possibilidade em uma viga de alvenaria armada é bastante
diferente de uma viga de concreto armado, em que exige a presença de armaduras mínimas de
cisalhamento mesmo em regiões pouco solicitadas por força cortante.
A armadura de cisalhamento, supondo-se estribos verticais, correspondente a V = 40 kN
pode ser ca lcu lada com a equação (6.41). Deve ser observado espaçamento máximo de
d/2 = 27,5 cm. Supondo-se que o bloco tenha dimensões em planta 14 cm °° 39 cm, pode-se
adotar o espaçamento s = 20 cm. Assim:
40x20
A f , d = 0,88 cm
2 por furo
16,5x55
Se for utilizado estribo de dois ramos pode-se adotar 4» 8,0 mm a cada 20 cm. Opcionalmente,
com estribo de 1 ramo, 0 =12,5 mm a cada 20 cm. As ilustrações encontram-se na figura 7.8.
Região sem estribos
N1 c/20 ou N2 c/20
n
4
Figura 7.8 - Opções de armação.
N1 o 8,0 (2 ramos)
N2 (J> 12.5 (1 ramo)
Exemplo de Edifício de Porte Médio
8
o
Ü)
•O
r r
C
O
8.1 C A R A C T E R Í S T I C A S D O E D I F Í C I O
A título de ilustração são aqui desenvolvidos a análise estrutural e o dimensionamento
de um edifício de porte médio de alvenaria estrutural. O edifício possui oito pavimentos tipo, sendo
o primeiro apoiado diretamente sobre o solo e os demais em lajes de concreto armado, que, por
sua vez, se apoiam em paredes de alvenaria estrutural de blocos de concreto. O edifício possui
ainda um pavimento de cobertura/casa de máquinas e um ático, que engloba a mesa de motores
para o elevador e a caixa d'água da edificação. Para efeito do vento, admite-se a velocidade básica
de 38 m/s, terreno de rugosidade categoria IV e vento de baixa turbulência. A alvenaria será não-
armada, de acordo com a definição adotada pela NBR 10837 - Cálculo de Alvenaria Estrutural de
Blocos Vazados de Concreto1.
O esquema vertical do edifício é mostrado na figura 8.1, em conjunto com as plantas
baixas dos pavimentos superiores. Observe-se que os pés-direitos nos pavimentos tipo são de
2,80 m de piso a piso. Admitindo-se lajes maciças de concreto de 8 cm de espessura, obtém-se
paredes de 2,72 m de altura. Neste caso, serão então utilizados o bloco jota e o bloco compensador
para ajuste da modulação vertical, conforme discutido no capítulo 2. Todas as lajes possuem 8 cm
de espessura, exceto as de fundo dos reservatórios e a da mesa de motores, que têm 10 cm.
Caixa d'água Esquema vertical
27.20
C. d'água
M. motores
Cob./c. máq.
7- pav.
£ pav.
S pav.
4! pav.
3' pav.
2- pav.
1! pav.
2^5.60 8
24.00 S
22A0[— a
19.60
o16.80 § C\J
14.00 S OJ
11.20 S CM
8.40 S CM
5.60 § CM
2.80 8 CM
O CO OJ
Casa de máquinas
284
14
284
14 181 14 \ 6 ' /
14
»
Mesa
motores
14
14
16
4 l _ J
C. máquinas
14 14 14
CM
14
CM
14:121
V E3
14 8
14
Caixa
d'água
Caixa
d'água
256 14
89 106 89
Figura 8.1 - Esquema vertical e arranjo arquitetônico do ático.
A planta baixa do pavimento tipo é apresentada na figura 8.2. Com base nas dimensões
apresentadas, pode-se perceber o módulo horizontal de 15 cm. Admite-se no presente exemplo
que todas as paredes sejam estruturais.
1 Associação Brasileira de Normas Técnicas (1989).
I
8 8 8 8 8
2 5 õj O 2 ój ÕJ
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14
14
14
151 14
45Í91 1 st
704
226 14
t 14 150 ' 76 r J
286 14 91
271 14
14
391 14
255 91 45
Hall
178
Sala
271 14
196
o
Cozinha
ti!
Banho
121 14
Dormitório
Dormitório
lu o
E4 E3
44 106 134 106 314
Figura 8.2 - Arranjo arquitetônico do pavimento tipo.
8 .2 C A R G A S V E R T I C A I S
Para a determinação dos carregamentos aqui apresentados, foram admitidos o peso
específico da parede revestida em 15 kN/m3 e o peso específico do concreto 25 kN/m3.
Para as lajes do pavimento tipo, indicadas na figura 8.3, os carregamentos e as suas
características geométricas são apresentadas na tabela 8.1. Por simplicidade admite-se que o carregamento
nas lajes de cobertura seja, no total após composição, igual às do pavimento tipo. As escadas foram
admitidas com carga total de 3,5 kN/m2, com os degraus apoiados em suas extremidades. A figura 8.3
apresenta, também, as reações nos apoios das lajes, incluindo as reações devidas à escada.
Figura 8.3 - Lajes do pavimento tipo e reações (kN/m).
Tabela 8.1 - Carregamentos e características geométricas do pavimento tipo.
Lajes
Características geométricas Cargas (kN/m1)
Lajes
Lx (cm) Ly (cm) Espessura (cm) Sobrecarga Revest. Peso próprio Alv. não-estrutural Carga total
L1 = L6 150,0 165,0 8,0 1,5 1.0 2,0 0.0 4,5
L2 = L5 225,0 300,0 8,0 1.5 1.0 2,0 0.0 4,5
L3 = L4 285,0 405,0 8,0 1,5 1.0 2,0 0.0 4.5
L7 = L8 150,0 240,0 8,0 1.5 1.0 2,0 0.0 4,5
L9 270,0 178,0 8,0 1.5 1.0 2,0 0.0 4,5
L10 = L11 225,0 105,0 8,0 1.5 1.0 2,0 0,0 4,5
L12 = L15 330,0 285,0 8,0 1.5 1.0 2,0 0.0 4,5
L13 = L14 330,0 285,0 8,0 1.5 1.0 2,0 0.0 4,5
L16 270,0 128,0 8,0 1.5 1.0 2,0 0.0 4,5
Quanto às cargas devidas à mesa de motores e ao reservatório superior, a figura 8.4 apresenta,
em resumo, as cargas lineares aplicadas ao nível da laje de cobertura, incluindo-se o peso próprio das
paredes. Para a obtenção desses valores, adotaram-se os carregamentos indicados na tabela 8.2.
Tabela 8.2 - Carregamentos e características geométricas do ático.
Lajes
Características geométricas Cargas (kN/m2)
Lajes
Lx(cm) Ly (cm) Espessura (cm) Sobrecarga Revest. Peso próprio
Alv. não-
estrutural Carga total
Mesa de motores 195,0 188,0 10,0 5.5 1,0 2.5 0.0 10,0
Tampada caixa 270,0 690,0 8,0 0,5 1,0 2.0 0,0 3,5
Fundo da caixa 270,0 690,0 10,0 14,0 1.0 2,5 0,5 18,0
29.49 24.59
Figura 8.4 - Carregamento total devido ao ático (kN/m).
8.3 D I S T R I B U I Ç Ã O D A S C A R G A S V E R T I C A I S
Para a distribuição das cargas verticais foi adotado o procedimento dos grupos isolados de
paredes. Na presente análise apenas os trechos compreendidos entre o térreo e a cobertura serão
considerados. A nomenclatura adotada para as paredes e os grupos considerados é apresentada na
figura 8.5. Observe-se que é evitada a numeração de grupos simétricos. A delimitação de grupos foi
feita considerando-se a separação por aberturas. A tabela 8.3 apresenta as características geométricas
de cada grupo, bem como as paredes que o constituem.
Dentro do conceito de grupos isolados de paredes interessa determinar a resultante de
cargas verticais presente em cada grupo, em cada nível da edificação. Essa carga é distribuída de
maneira uniforme pela área total em planta do grupo de paredes. A determinação é feita de forma
cumulativa do tipo para a base de cada um dos grupos. Com os resumos de carregamentos aplicados
pelo pavimento tipo/cobertura (figura 8.2) e pelo ático (figura 8.3) é possível determinar essas
resultantes, t o que se mostra nas últimas duas colunas da tabela 0.3. Os valores apresentados
nessa tabela incluem o peso próprio das paredes. Cabe lembrar que as cargas verticais sobre
aberturas (reação de lajes e peso próprio de alvenaria) são repartidas igualmente entre os dois
grupos adjacentes a essas aberturas.
Com base nos resultados apresentados na tabela 8.3, podem-se acumular as cargas verticais
em cada grupo, encontrando-se os valores junto à base de cada parede em cada um dos oito níveis
escolhidos para a análise. É o que se apresenta na tabela 8.4, que resume a distribuição de ações
verticais no edifício. Com os valores das resultantes em cada nível, podem-se obter as tensões normais
em cada grupo, bastando dividir essas resultantes pela área total da seção transversal do grupo. É
o que será feito na fase de dimensionamento da estrutura.
Figura 8.5 - Grupos de paredes estruturais.
Tabela 8.3 - Grupos de paredes e resultantes verticais.
Grupo Paredes do grupo Comprimento (m) Área (m*)
Carga
vertical ático
(kN)
Carga vertical
tipo/cobertura
(kN)
1 PX1.PY3, PY5 2,910 0,407 0,00 33,73
2 PX7, PX9, PY2, PY4 5,750 0,805 0,00 69,47
3 PX13, PX19, PY1 6,960 0,974 0,00 80,63
4 PX2, PX10, PY7 4,560 0,638 0,00 66,90
5 PX14, PX20, PY6 4,030 0,564 0,00 65,63
6 PX3, PY9, PY11 7,270 1,018 203,74 70,94
7 PX15, PX21, PY8 8,080 1,131 191.80 107,54
8 PY10 1,960 0,274 0,00 20,49
9 PX4, PY13 3,440 0,482 214,82 49,06
Tabela 8.4 - Cargas verticais acumuladas em cada grupo.
Grupo Cobertura (kN) 72 Pav. (kN) 62 Pav. (kN) 5
a Pav. (kN) 42 Pav. (kN) 32 Pav. (kN) 22 Pav. (kN) 12 Pav. (kN)
1 33.73 67.45 101,18 134.91 168.63 202.36 236,09 269.82
2 69.47 138.95 208,42 277.90 347,37 416.84 486.32 555,80
3 80.63 161.27 241,90 322.53 403,17 483.80 564,44 645,08
4 66,90 133.80 200,70 267.59 334.49 401,39 468.29 535,19
5 65,63 131,25 196.88 262.51 328,13 393,76 459.39 525,02
6 274.68 345.61 416.55 487.49 558,43 629,36 700.30 771,24
7 299,35 406.89 514,43 621.97 729,52 837.06 944.60 1052.14
8 20.49 40.97 61.46 81.94 102,43 122.92 143,40 163,89
9 263.88 312.94 362,00 411.06 460,12 509.18 558,24 607,30
8 . 4 A Ç Õ E S H O R I Z O N T A I S
8 . 4 . 1 AÇÕES DEVIDAS AO VENTO
Com base nos dados fornecidos é possível determinar os coeficientes de arrasto para o
edifício em análise. Os valores determinados são iguais a 0,95 e 1,36 para as direções X e Y de
atuação do vento, respectivamente. Para completar os cálculos das forças atuantes am cada andar
é necessário determinar o valor do coeficiente S2 em cada nível, o que depende adicionalmente da
classe da edificação que no presente caso é a B, pois a maior dimensão frontal do edifício está
entre 20 e 50 m, tem-se a classe B. Assim é possível montar a tabela 8.5 que contém as forças
horizontais devidas ao vento em cada pavimento nas direções X e Y. A avaliação é feita em cada
pavimento, considerando-se área frontal que engloba meio pé-direito abaixo e meio acima do
pavimento. Observe-se que no caso do 8* nível, a altura considerada acima do pavimento é de todo
o ático da edificação, ou seja, 4,80 m e que para a direção Y o retângulo acima do nível considerado
possui largura de 2,84 m, e não os 16,04 m ao longo dos demais pavimentos.
Tabela 8.5 - Forças horizontais devidas ao vento.
Nível Cota (m) s2
Pressão
(10 a kN/m*)
F„
(kN)
F,
(kN)
1 2,800,71 45,55 8.53 27,82
2 5,60 0,78 54,17 10,14 33,09
3 8,40 0,82 59,95 11,23 36,62
4 11,20 0,85 64,42 12,06 39,35
5 14,00 0,87 68,12 12,76 41.61
6 16,80 0,89 71,30 13,35 43.55
7 19,60 0,91 74,10 13,88 45.26
8 22,40 0,92 76,61 32,51 38.03
8 . 4 . 2 AÇÕES CORRESPONDENTES AO DESAPRUMO
Para determinação das forças horizontais correspondentes ao desaprumo, com base na expressão
(4.1) foi utilizada a altura do modelo de 22,40 m. Assim tp = 1/100 x (22,40)"*, ou 9 = 2,113 x io3 rad.
Para os níveis de 1 a 7, deve-se utilizar o peso de cada pavimento acima desse nível, ou
seja, P = 988 kN, que é o peso total de cada pavimento tipo (vide tabela 8.3). Assim se chega a
uma força equivalente ao desaprumo F d = P x (p= 2,09 kN para as direções X e Y.
Para o nível superior, deve-se utilizar o peso total acima desse nível, ou seja, P = 638 kN (vide
tabela 8.3). A força horizontal equivalente ao desaprumo é, neste caso, igual a F d= P x <p = 1,35 kN.
Compondo-se os valores devidos à ação do vento com os relativos ao desaprumo, chega-se ao
carregamento horizontal total em cada uma das direções de atuação do vento escolhidas neste exemplo.
8 . 5 D I S T R I B U I Ç Ã O D A S A Ç Õ E S H O R I Z O N T A I S
A atuação do vento nas direções X e V é aqui considerada sem excentricidades. Para a
distribuição das ações horizontais foi escolhido o procedimento das paredes isoladas, admitindo-
se como representativa a associação plana dos painéis de contraventamento. Na verdade, a análise
realizada com a associação tridimensional leva a rotações desprezíveis dos pavimentos para ambas
as direções estudadas.
Para a aplicação do procedimento escolhido é necessário determinar, em cada uma das
direções, o momento de inércia de flexão de cada uma das paredes, relativo ao eixo baricêntrico
ortogonal à direção de atuação do vento. Cabe lembrar que a avaliação do momento de inércia
deve ser feita compondo-se a seção transversal de cada parede com as abas correspondentes às
paredes ortogonais adjacentes. Lembre-se que a largura da aba (ou mesa) não deve ser maior
que seis vezes a espessura da alma e que o comprimento de parede disponível. A título de ilustração,
observe-se a figura 8.6 que apresenta a parede PY1 em detalhe, com as dimensões reais do
grupo de paredes a que ela pertence e as dimensões da seção composta, observando-se o limite
de comprimento da mesa colaborante.
217
PX13
PX19
172 84
(A) Grupo da parede PY1 (cm) (B) Seção transversal composta (cm)
Figura 8 . 6 - Parede PY1.
Na distribuição das ações horizontais na direção Y, deve-se avaliar o momento de inércia
de todas as paredes orientadas segundo o eixo Y com relação ao seu eixo baricêntrico paralelo a
X. Assim, no caso da parede PY1, interessa o momento de inércia de flexão relativo ao eixo X
indicado na figura 8.6 (B), cujo valor é 0,817m4. Observe-se que as distâncias máximas ao eixo de
flexão, indicadas na mesma figura (1,496 m e 1,574 m), são necessárias para a determinação dos
módulos de resistência à flexão da seção transversal, que é feita dividindo-se o momento de inércia
por essas distâncias. Esses módulos são utilizados para a determinação das máximas tensões
normais produzidas pelo momento fletor atuante na seção transversal.
A distribuição das ações horizontais é feita de maneira proporcional à rigidez de cada
painel relativa ao conjunto completo de painéis que constitui a associação, conforme se mostrou
no item 4.4.1. Assim, para que se possa determinar a solicitação em cada painel, é necessário
seguir o seguinte roteiro:
a) calcular, em níveis previamente escolhidos, os esforços solicitantes globais atuantes
na edificação nas direções de atuação do vento;
b) calcular a rigidez relativa de cada painel nas referidas direções;
c) multiplicar o esforço solicitante global desejado (momento fletor ou esforço cortante)
pela rigidez relativa do painel.
A tabela 8.6 apresenta os esforços cortantes e momentos fletores correspondentes às
forças horizontais nas direções X e Y. As forças indicadas constituem a soma das ações devidas
ao vento com as relativas ao desaprumo. As seções escolhidas para a determinação dos esforços
solicitantes são as da base das paredes em cada pé-direito. Assim, por exemplo, os esforços no
nível 8 são os que ocorrem logo acima do 72 pavimento.
Tabela 8.6 - Esforços solicitantes globais.
Nível
Direção X Direção Y
Nível
Força
(kN)
Cortante
(kN)
Momento
(kN x m)
Força
(kN)
Cortante
(kN)
Momento
(kN x m)
8 33,86 33,86 94,81 39,38 39,38 110,25
7 15,97 49,83 234,33 47,35 86,72 353,07
6 15,44 65,27 417,07 45,64 132,36 723,69
5 14,85 80,11 641,39 43,70 176,06 1216,65
4 14,15 94,26 905,32 41,44 217,50 1825,64
3 13,32 107,58 1206,55 38,71 256,21 2543,02
2 12,23 119,01 1542,01 35,10 291,30 3350,09
1 10,62 130,43 1907,20 29,91 321,29 4258,50
As tabelas 8.7 e 8.8 apresentam para as direções X e Y, respectivamente, o momento de
inércia de flexão de cada parede e o índice de rigidez relativa, fundamental para a distribuição das
ações. Observe-se que nas tabelas é evitada a repetição de paredes correspondentes, sendo
indicado apenas o número de vezes em que cada uma se repete na associação.
A partir dos valores apresentados 8.6,8.7 e 8.8, podem-se calcular os esforços solicitantes
ao longo de qualquer uma das paredes da edificação, produzidos pelas ações horizontais, bastando
multiplicar os esforços globais pela rigidez relativa dessa parede. A tabela 8.9 ilustra os esforços
solicitantes nas paredes PX1, PX4, PY1, PY8 e PY13.
Tabela 8.7 - Rigidez das paredes PX.
Parede PX I (m4) n
n*l
(m1) R = 7a
1 0.165800 2 0.331600 0.054363
2 0.029700 2 0,059400 0.009738
3 0.496200 1 0,496200 0.162695
4 0.016200 1 0.016200 0.005312
7 0.206300 2 0,412600 0.067642
9 0.040300 2 0.080600 0.013214
10 0.000420 2 0.000839 0.000138
13 0.236600 2 0,473200 0.077577
14 0.000994 2 0,001988 0.000326
15 0.257000 2 0.514000 0.084266
19 0.117800 2 0.235600 0.038624
20 0.004728 2 0.009456 0.001550
21 0.209100 2 0,418200 0,068560
1 = 3.049883
Tabela 8.8 - Rigidez das paredes PY.
Parede PY I (m4) n
n' l
<m4) R = ' /„
1 0.817000 2 1,634000 0.100313
2 0.042710 2 0,085420 0.005244
3 0.001822 2 0,003644 0.000224
4 0.174100 2 0.348200 0.021376
5 0.005201 2 0,010402 0.000639
6 0.599200 2 1,198400 0.073571
7 0.719700 2 1,439400 0.088366
8 1.187000 2 2,374000 0.145742
9 0,454000 1 0,454000 0.055743
10 0,087840 1 0,087840 0.010785
11 0.149300 1 0,149300 0.018331
13 0.359900 1 0.359900 0.044189
1 = 8.144506
Tabela 8.9 - Esforço cortante (V) e momento fletor (M) nas paredes PX1, PX4, PY1, PY8 e PY13.
PX1 PX4 PY1 PY8 PY13
Nível V M V M V M V M V M
(kN) (kN x m) (kN) (kN x m) (kN) (kN x m) (kN) (kN x m) (kN) (kN x m)
8 1,84 5,15 0.18 0.5 3,95 11,06 5,74 16.07 1,74 4,87
7 2,71 12,74 0.26 1,24 8,7 35,42 12,64 51,46 3,83 15,6
6 3,55 22,67 0.35 2,22 13,28 72,6 19,29 105,47 5,85 31,98
5 4,35 34,87 0,43 3,41 17,66 122,05 25,66 177,32 7,78 53,76
4 5,12 49,22 0.5 4,81 21,82 183,14 31.7 266,07 9,61 80,67
3 5,85 65,59 0.57 6,41 25,7 255,1 37,34 370,63 11,32 112,37
2 6,51 83,83 0.64 8,19 29,23 336,94 42,47 489,53 12.88 148.43
1 7,09 103,68 0.69 10,13 32,23 427,18 46,83 620,64 14,20 188,18
8.6 D I M E N S I O N A M E N T O DAS PAREDES
O dimensionamento das paredes é feito mediante a análise da composição das tensões devidas
aos carregamentos vertical e horizontal em todas as suas seções transversais. No presente texto serão
verificadas as seções junto à base de cada parede, as mesmas nas quais foram determinados os esforços
solicitantes, entre o pavimento térreo e o de cobertura. Para completar a análise, é preciso estabelecer
mais algunsparâmetros de projeto. Adota-se argamassa de resistência característica 5 MPa, o que leva
a uma tensão admissível de tração na alvenaria na direção normal à fiada igual a 0,10 MPa (vide tabela
5.6 para alvenaria não-armada). Nessas condições tem-se a máxima tensão admissível ao cisalhamento
igual a 0,15 MPa. Quando necessário, será admitida a eficiência prisma/bloco igual a 0,8 MPa.
Sendo o cálculo repetitivo, escolhem-se apenas duas paredes para ilustração dos
procedimentos de dimensionamento: PY1 e PY13. Cabe ressaltar que a parede PY13 é a mais solicitada
da edificação, ou seja, aquela que no conjunto das cargas verticais e ações horizontais acaba
apresentando a maior resistência de prisma necessária. Todas as paredes do edifício atendem à
espessura mínima de 14 cm e de esbeltez máxima 20. Quanto à esbeltez, tem-se X = 272/14 = 19,43.
A tabela 8.10 agrupa os resultados correspondentes à parede PY1. Para o carregamento
vertical deve-se apenas observar que PY1 pertence ao grupo G3. Para a determinação das tensões normais,
basta dividir os valores das cargas verticais acumuladas em cada grupo (tabela 8.4) pela sua área total
em planta (tabela 8.3). Para o carregamento horizontal deve-se inicialmente calcular as tensões de
cisalhamento, dividindo-se as forças cortantes na parede (tabela 8.9) pela área de sua alma, que é igual
a 0,430 m2. Observe-se que nenhuma tensão de cisalhamento supera o valor admissível de 0,15 MPa.
Ainda com o carregamento horizontal deve-se determinar as tensões normais nas fibras
extremas da seção transversal da seção da parede composta. Essas tensões são determinadas
dividindo-se os momentos fletores atuantes (tabela 8.9) pelos módulos de rigidez de flexão em torno
do eixo x. Com base nos resultados apresentados no item 8.5 (vide figura 8.6 e parágrafo que a
segue), podem-se calcular esses módulos que se igualam a W, = 0,817/1,496 = 0,546 m3 e W2
= 0,817/1,574 = 0,519 m3. Deve-se verificar se ocorre tração na parede. Se ocorrer e for superior a
0,10 MPa, há a necessidade de providenciar armaduras para absorção da resultante de tração.
A verificação da tração é feita com a expressão 6.42 (faM - 0,75 falvc -~falvt). Para PY1 existe
a necessidade de se armar os cantos da parede para absorver a tração nos seus três primeiros
níveis. O cálculo dessa armadura é ilustrado a seguir para o primeiro nível da parede, utilizando-se o
procedimento simplificado mostrado no item 6.5.3.
A figura 8.7 apresenta a seção transversal da parede PY1, incluindo as mesas colaborantes
e os diagramas de tensão normal, compondo-se 75% das produzidas pelo carregamento vertical e
100% das relativas às ações horizontais. Cabe notar que duas composições são feitas devido à
reversibilidade das ações horizontais. A primeira delas em que a tração ocorre na porção superior
da seção e a segunda na porção inferior.
0.50
©
0.84
(m)
0.50
0.50
E
0.82
0.78
0.82
1.28
1.32
0.32
0,50 0.78 0.29
Figura 8.7 - Composição de tensões normais na base da parede PY1.
A integração das tensões de tração nos dois casos leva aos valores das resultantes
T1 = 38,17 kN e T2 = 45,27 kN. Note que essa integração deve ser feita ao longo de toda a região
tracionada, envolvendo alma e abas. As armaduras necessárias para combate à tração podem ser
calculadas dividindo-se as resultantes pela tensão admissível do aço. Admitindo-se aço CA50, o
valor admissível é de 165 MPa, o que leva às áreas de aço de 2,37 cm2 e 2,70 cm?, nas porções
superior e inferior, respectivamente. Ao dispor as barras de armadura deve-se tomar o cuidado de
que a montagem não leve o centro de gravidade da armadura a ficar mais próximo da linha neutra
do que a resultante de tração correspondente, sob pena de reduzir a sua eficiência devido à
diminuição do braço de alavanca.
Quanto à definição do prisma, é necessário verif icar as tensões normais, conforme
apresentado no item 6.5.1:
Jíü£-<1,00 e + 1,33
A primeira verificação se faz apenas com as tensões normais produzidas pelo carregamento
vertical e a segunda, compondo-se essas tensões com as máximas tensões normais causadas pelo
carregamento horizontal. No presente caso há as seguintes tensões admissíveis para a alvenaria
não-armada (vide tabela 5.6):
\VjC = 0,20 x fp [1 - (X/40)3]
U = 0.30xfp
Levando esses valores admissíveis e as tensões atuantes nas duas expressões de
verificação, chega-se às mínimas resistências de prisma que se deve ter em cada caso. Essas
resistências são apresentadas na tabela 8.10 como fp l e fp2 , respectivamente. Dividindo-se o maior
dentre os dois citados valores pela eficiência do prisma, chega-se à mínima resistência de bloco
necessária, que é apresentada na última coluna da tabela 8.10.
Tabela 8.10 - Resultados para a parede PY1.
Nível
Cargas
verticais
Ações
horizontais Tração Prismas Bloco
(MPa) Nível N/A,
(MPa)
V/A
(MPa)
M/W,
(MPa)
M/W2
(MPa)
M/W, - 0,75 x N/A
(MPa)
<PI
(MPa)
FPA
(MPa)
Bloco
(MPa)
8 0,08 0,01 0,02 0,02 0,47 0,40 0,58
7 0,17 0,02 0,07 0,06 - 0,94 0,87 1.17
6 0,25 0,03 0,14 0,13 • 1,40 1,40 1,75
5 0,33 0,04 0,24 0,22 - 1,87 1,99 2,49
4 0,41 0,05 0,35 0,34 0,04 2,34 2,64 3,29
3 0,50 0,06 0,49 0,47 0,12 2,81 3,33 4,17
2 0,58 0,07 0,65 0,62 0,21 3,27 4,08 5,10
1 0,66 0,07 0,82 0,78 0,32 3,74 4.86 6,08
A escolha da resistência de bloco em cada pavimento é feita analisando-se a condição
de todas as paredes, admitindo-se a possibilidade de grauteamento de algumas delas, para evitar
penalizar todas por causa da mais solicitada. No presente exemplo a parede PY1 é representativa
do que ocorre com grande parte das paredes da edificação. Neste caso, uma possível definição de
resistência de blocos seria a apresentada na tabela 8.11. Observe-se que foi seguida a regra
prática de 1 MPa por pavimento, o que levou a 8 MPa de resistência máxima de bloco.
Tabela 8.11 - Resistência de blocos.
Pavimento Bloco (MPa)
1-2 8,0
3-4-5 6,0
Demais 4,5
Há paredes em que seria necessário o grauteamento, já que a resistência do prisma
sem grauteamento não atenderia à verificação das tensões normais. É o que ocorre com PY13,
cujos resultados na análise são apresentados, de modo análogo ao de PY1, na tabela 8.12.
Tabela 8.12 - Resultados para a parede PY13.
Nível
Cargas
verticais
Ações
horizontais Tração Prismas Bloco
(MPa)
Nível N/A,
(MPa)
V/A
(MPa)
M/W,
(MPa)
M/W2
(MPa)
M/W, -0,75 x N/A
(MPa)
fpi
(MPa)
fp2
(MPa)
Bloco
(MPa)
8 0,55 0,00 0,02 0,01 - 3,09 2,37 3,86
7 0,65 0,01 0,07 0,04 - 3,67 2,93 4,58
6 0,75 0,02 0,14 0,09 - 4,24 3,54 5,30
5 0,85 0,02 0,24 0,15 - 4,82 4,22 6,02
4 0,95 0,03 0,36 0,22 - 5,39 4,95 6,74
3 1,06 0,03 0,51 0,31 - 5,97 5,74 7,46
2 1,16 0,04 0,67 0,41 - 6,54 6,58 8,22
1 1,26 0,04 0,85 0,52 - 7,12 7,46 9,32
Neste caso, a parede PY13 está muito solicitada devido às cargas provenientes do ático. Cabe
notar que as tensões normais devidas às ações horizontais são comparáveis às da parede PY1, enquanto
que as produzidas pelas cargas verticais são praticamente o dobro nos pavimentos inferiores. Neste caso
não chega a ocorrer tração em nenhum pavimento. As tensões de cisalhamento são todas admissíveis.
A especificação do grauteamento é um procedimento relativamente simples de ser realizado,
pois basta verificar qual o acréscimo de área necessário em cada caso. Como exemplo, observe-se o que
ocorre na base da PY13, em que a razão entre a resistência de bloco necessária (9,32 MPa) e a
existente (8,0 MPa) define o acréscimo necessário, no caso 17%. Obviamente, esse procedimento é
válido supondo-se que o valor da eficiência se mantém no bloco grauteado,o que usualmente é uma
consideração a favor da segurança. Lembrando-se que a resistência se refere à área bruta, que é cerca
do dobro da área líquida, e que não será utilizado graute de resistência inferior à do bloco, pode-se montar
a tabela 8.13, com o valor do acréscimo da área líquida em função do grauteamento adotado.
Tabela 8.13 - Grauteamento.
Furos
grauteados Razão de área líquida Acréscimo de área
Todos 2/1 100%
1 a cada 2 3/2 50%
1 a cada 3 4/3 33%
1 a c a d a 4 5/4 25%
1 a cada 5 6/5 20%
Assim, no seu primeiro nível, a parede PY13 deveria ser grauteada, podendo-se adotar
um furo grauteado a cada cinco, ou seja, a cada dois blocos e meio. Um ponto a se considerar é a
preferência pela uniformidade do grauteamento em uma parede, quando as tensões que determinam
o grauteamento são produzidas pelo carregamento vertical. Eventualmente essa uniformidade pode
ser desobedecida em função da necessidade de compatibilidade do projeto estrutural com os
demais, como, por exemplo, o de instalações hidro-sanitárias ou elétricas.
Outro ponto importante a ser destacado refere-se à presença de armaduras, quando
seus posicionamentos em pavimentos sucessivos são usualmente compatibil izados, de forma a
permitir a passagem da armadura através da laje.
8.7 D I M E N S I O N A M E N T O D A S V E R G A S
De todas as vergas do pavimento tipo do edifício, as mais solicitadas são as dos
dormitórios. Os dados relevantes para o seu dimensionamento estão indicados na tabela 8.14.
Como é desejável que as vergas sejam armadas igualmente em todos os níveis, o dimensionamento
aqui exemplificado é feito para a menor resistência de prisma, ou seja, 3,6 MPa, que corresponde
à menor resistência de bloco (4,5 MPa) multiplicada pela eficiência de 80%.
Tabela 8.14 - Verga mais solicitada no pavimento tipo.
Comprimento
(m)
Altura
(m)
Largura
(m)
Laje
(kN/m)
Peso próprio
(kN/m)
Carga total
(kN/m)
Momento fletor
(kN x m)
Força cortante
(kN)
1.21 0,51 0,14 3,64 1,54 5,18 0,948 3,13
Inicialmente verifica-se a eventual necessidade de armadura transversal. Adotando-se a
altura útil d = 47 cm, determina-se a máxima tensão de cisalhamento, dividindo-se o esforço cortante
máximo pela altura útil (b °° d). O valor encontrado é de 0,048 MPa. Para a dispensa de armaduras
transversais (vide tabela 5.7), não se deve ultrapassar o limite de 0,09 (fp)1/2 = 0,17 MPa (< 3,5 MPa).
É o que ocorre, não sendo necessária a disposição de estribos na verga e bastando a existência da
armadura longitudinal da flexão.
Para a determinação dessa armadura de flexão, pode-se seguir o equacionamento
apresentado no item 6.3.3. Utilizando a mesma nomenclatura já adotada, tem-se como parâmetros
básicos para o dimensionamento:
faV1 = 0,33 f p= 1,188 MPa
E ^ = 800 fp = 2880 MPa
\ x = 165 MPa (aço CA50A)
E, = 210.000 MPa
n = EJE^= 72,92
^ = 1 / ^ = 138,89
k * = (n + m t )= 0,344
^ = 1 - ^ / 3 = 0 , 8 8 5
d, = 19,34 cm (< d)
Como a altura útil disponível é superior à necessária ao dimensionamento balanceado,
pode-se absorver o momento fletor com armadura simples em seção subarmada. O cálculo da
armadura pode ser feito com a planilha apresentada na tabela 8.15.
Exemp lo de Edif íc io de Por te Médio
Tabela 8.15 - Seção subarmada (kN.cm).
I K K A. Np Kc k*
1 0,885 0,0685 0,135 0,0147 0,157 0,948
2 0,948 0,0640 0,126 0,0137 0,152 0,949
3 0,949 0,0639 0,126 0,0137 0,152 0,949
Nota-se a rápida convergência, em que a armadura necessária iguala-se a 0,13 cm2, que
é bastante reduzida. Sob o ponto de vista executivo, costuma-se utilizar valor superior ao encontrado,
igualando-se a armadura de flexão das vergas à armadura de cintas que é apenas construtiva. Uma
solução bastante usual consiste na utilização de 1 o 10 mm, que corresponde a 0,8 cm2.
8 .8 ESTABILIDADE GLOBAL DA ESTRUTURA DE CONTRAVENTAMENTO
No caso do presente edifício, não há problemas quanto aos efeitos de segunda ordem que
ficam abaixo do limite de 10% dos de primeira ordem em ambas direções escolhidas para a análise
das ações horizontais. A tabela 8.16 apresenta os deslocamentos horizontais dos pavimentos,
fundamentais para o cálculo dos momentos de segunda ordem produzidos pelas cargas verticais.
Tabela 8.16 - Translações dos pavimentos e efeitos de segunda ordem.
Carga vertical
(kN)
Direção X Direção Y
Nível Carga vertical
(kN) Translação
(m)
AM
(kN x m)
Translação
(m)
AM
(kN x m)
8 1625,36 0,01993 32,39 0,01550 25,20
7 988,29 0,01621 16,02 0,01271 12,56
6 988,29 0,01258 12,43 0,00996 9,84
5 988,29 0,00917 9,06 0,00734 7,25
4 988,29 0,00614 6,06 0,00496 4,90
3 988,29 0,00360 3,56 0,00294 2,90
2 988,29 0,00167 1,65 0,00138 1,36
1 988,29 0,00045 0,44 0,00037 0,37
1 = 81,61 1 = 64,38
Tendo os acréscimos Om em cada direção, bem como o momento fletor global na base
em cada direção, pode-se calcular o parâmetro y2 com a expressão 4.8. Assim:
yzx = 1/(1 - 81,61/1907,20) = 1,04 e = 1/(1 - 64,38/4258,50) = 1,02
Ressaltam-se, também, as reduzidas razões flecha no topo/altura, que assumem os
seguintes valores para as direções X e Y, respectivamente: 1/1124 e 1/1445.
Com base nestes resultados, percebe-se que a rigidez da estrutura de contraventamento
da edificação é adequada.
8.9 C O N C L U S Ã O
O presente capítulo apresentou um exemplo de edifício de porte médio, mostrando algumas
das etapas mais importantes do desenvolvimento do projeto estrutural. Foram apresentadas as
definições dos carregamentos verticais e horizontais. O carregamento vertical foi distribuído
utilizando-se o procedimento de grupos sem interação, devido à sua viabilidade prática e suficiente
precisão. As ações horizontais foram distribuídas utilizando-se o procedimento das paredes isoladas,
com a adoção de associações planas. Detalhes relativos à consideração das abas na composição
das seções dos painéis foram mostrados a título de ilustração. Os carregamentos foram combinados,
mostrando-se uma forma prática de obtenção das tensões normais e cisalhantes nas paredes.
Obtidas as tensões, foram apresentados exemplos de dimensionamento, incluindo a disposição de
armaduras de tração e a adoção de grauteamento como elemento de acréscimo de resistência à
compressão. Um exemplo de dimensionamento de verga foi inserido, comentando-se os aspectos
mais importantes do seu projeto. Por fim, foi estudada a estabilidade global da edificação mediante
o emprego do parâmetro yz. A adequação da rigidez da estrutura foi complementada com a análise
da relação entre a flecha no topo e a altura do edifício.
Tabe las de F lexão anexos T A B E L A I A - FLEXÃO SIMPLES EM-NBRIO837
anexos
A' h i , : (cm2 /k.\')
M
Kx fc [Mpa] (cm
2/kN) Kx 7,0 9,5 12,0 14,5 17,0 19,5
(cm2/kN)
0.034 3746.25 2760.39 2185.31 1808,53 1542.57 1344,81 0.0613
0.046 2090.31 1540,23 1219.35 1009.11 860.72 750.37 0.0615
0.057 1326.86 977,69 774.00 640.55 546.35 476.31 0.0618
0,069 913.78 673,31 533.04 441.13 376,26 328.02 0,0620
0.080 665.68 490.50 388.31 321.36 274.10 238.96 0.0623
0,092 505,29 372,32 294,75 243.93 208,06 181.39 0.0625
0,103 395,76 291,61 230,86 191.05 162,96 142.07 0.0628
0.115 317,72 234.11 185,34 153.38 130,83 114,05 0.0630
0,126 260.21 191.73 151.79 125.62 107.14 93.41 0.0633
0.138 216,64 159,63 126.37 104.59 89,21 77.77 0.0635
0.149 182.87 134,75 106.67 88.28 75,30 65.65 0.0638
o» TJ
eo
0,161 156.18 115,08 91.11 75.40 64,31 56.06 0.0640 o» TJ
eo 0.172 134.74 99.28 78.60 65.04 55,48 48.37 0.0643
a
£1 3 (0
0,184 117,25 86.40 68.40 56.61 48.28 42.09 0.0646 a
£1 3 (0
0,195 102,82 75.77 59.98 49.64 42,34 36.91 0.0648
a
£1 3 (0 0,207 90.78 66.89 52.96 43.83 37,3832.59 0.0651
0,218 80.63 59.41 47.03 38.92 33,20 28.94 0.0654
0,230 72.00 53.05 42.00 34.76 29,65 25.85 0.0656
0,241 64.60 47.60 37,68 31.19 26,60 23.19 0.0659
0,252 58.21 42.89 33,96 28.10 23,97 20.90 0.0662
0,264 52.66 38.80 30,72 25.42 21,68 18.90 0.0665
0,275 47,81 35,23 27,89 23.08 19,69 17.16 0.0667
0,287 43.55 32,09 25,40 21.02 17,93 15.63 0.0670
0,298 39,78 29,31 23,21 19.21 16,38 14.28 0.0673
0,310 36.44 26,85 21,26 17.59 15,01 13.08 0.0676
0,321 33.47 24.66 19,52 16.16 13.78 12.01 0.0679
0,333 30.80 22.70 17.97 14.87 12,68 11,06 0.0682
Bal 0,344 28,41 20,93 16,57 13,71 11,70 10,20 0,0685
0,356 27.61 20,35 16.11 13.33 11.37 9.91 0.0723
0,367 26.87 19.80 15.67 12.97 11.06 9.64 0.0763
0.379 26.17 19.28 15,26 12.63 10,77 9.39 0.0805
0.390 25.51 18.80 14,88 12.31 10,50 9.16 0.0849
0.402 24,89 18.34 14,52 12.02 10,25 8.93 0.0895
0,413 24.30 17.91 14,18 11,73 10,01 8.72 0.0942
0,425 23.75 17.50 13,86 11,47 9,78 8.53 0.0992
0,436 23.23 17,12 13,55 11.22 9,57 8.34 0.1044
0.448 22.74 16.75 13,26 10.98 9,36 8.16 0.1099
ro
"D
0,459 22,27 16.41 12,99 10.75 9.17 7.99 0.1156 ro
"D 0.470 21.82 16.08 12,73 10.54 8,99 7.83 0.1217
0,482 21.40 15.77 12.48 10.33 8.81 7.68 0.1280
0,493 21.00 15.47 12,25 10.14 8,65 7.54 0.1346
Oi
a
3
to
0,505 20.62 15.19 12,03 9.95 8.49 7.40 0.1416 Oi a
3
to
0,516 20.25 14.92 11.81 9.78 8.34 7.27 0.1489
Oi
a
3
to 0,528 19.90 14.67 11.61 9.61 8.20 7.15 0.1566
0,539 19.57 14.42 11.42 9.45 8.06 7.03 0.1648
0,551 19,25 14.19 11.23 9.29 7.93 6.91 0.1734
0,562 18.95 13.96 11.05 9.15 7.80 6.80 0.1825
0,574 18.66 13.75 10.88 9.01 7.68 6.70 0.1922
0,585 18.38 13.54 10,72 8.87 7,57 6.60 0.2024
0,597 18,11 13.35 10,57 8,74 7,46 6,50 0.2132
0,608 17.86 13.16 10.42 8.62 7,35 6.41 0.2248
0,620 17.61 12,98 10,27 8.50 7.25 6.32 0.2371
0,631 17.37 12,80 10.13 8.39 7.15 6.24 0,2502
Obs. : 1) falv.f = 0 .33 fp 2) fs.t = 16.5 M p a 3) Ealv = 800 íp 4 ) Es = 210000 Mpa 1 4 7
T A B E L A I B - FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÃO RETANGULAR
Armadura Dupla
- M - -M; -AM-
M. = bxd'
á
jA-Jm
L\M=M- M.
/ML
A* = M
AM
d-d'
As' = kl*
AM
d-d•
W e /cs'= - y r para o dimensionamento balanceado
d ' / d K K
0.05 0 , 0 6 1 0.1351
0,10 0.061 0.1627
0.15 0.061 0.2046
0.20
0.25
0,30
0.061
0.061
0,061
0.2755
0.4216
0.8979
Util iza o mé todo das tensões admissíveis, c o m fo>/ = 0,33 fp. f = 165 MPa e EaV = 800 fp
Unidades: kN e c m
T A B E L A I I A - ANÁLISE DE ELEMENTOS FLETIDOS - MÉTODO DAS TENSÕES ADMISSÍVEIS
f = 12,5 MPa; f = 165 MPa; n = 21.00 p i
M1 — -
j d
DADOS DO PROJETO
\ f =12 ,5 MPa = 1.25 kN/cm1" p
faV = 0 , 3 3 fp = 4 , 1 2 5 MPa f, = 1 6 5 . 0 MPa
DADOS DO PROJETO
\ f =12 ,5 MPa = 1.25 kN/cm1" p
faV = 0 , 3 3 fp = 4 , 1 2 5 MPa f, = 1 6 5 . 0 MPa
j £ z 1 EA V = 8 0 0 f p = 1 0 0 0 0 M P a = 2 1 0 0 0 0 M P a
EQUAÇÕES DO PROJETO
c .<
l< d X N 1
EA V = 8 0 0 f p = 1 0 0 0 0 M P a = 2 1 0 0 0 0 M P a
EQUAÇÕES DO PROJETO
c .<
EA V = 8 0 0 f p = 1 0 0 0 0 M P a = 2 1 0 0 0 0 M P a
EQUAÇÕES DO PROJETO
c .<
•
.1 (V
9 . 1 . 1
k 1 h - 1 - A .
9
' 1
- 1 - A .
• -'KLI _ K M
1 " bxd ~ f xk s f xk.xd d
_ K M
1 " bxd ~ f xk s f xk.xd
f-v f. K P np k x k4 2 / (Kx x KJ
0 .033 16.5 0 ,001 0 .00004 0 ,001 0 ,040 0 ,987 50 ,295
0 .066 16.5 0,002 0,00015 0 ,003 0 ,077 0,974 26,494
0 .099 16.5 0,005 0 .00034 0 ,007 0,112 0.963 18,566
0 .132 16.5 0 ,009 0 . 0 0 0 5 8 0,012 0,144 0.952 14,605
0.165 16.5 0 ,013 0 , 0 0 0 8 7 0 ,018 0 ,174 0 ,942 12,231
0 .198 16.5 0 ,019 0.00121 0 , 0 2 5 0 ,201 0 ,933 10,651
0 .231 16.5 0,024 0.00159 0 , 0 3 3 0 ,227 0.924 9 .524
0.264 16.5 0 ,030 0 .00201 0 .042 0 ,251 0 ,916 8 .680
0 .297 16.5 0 ,037 0 . 0 0 2 4 7 0 ,052 0 ,274 0 ,909 8 .025
0 .330 16.5 0,044 0 . 0 0 2 9 6 0 ,062 0 ,296 0 .901 7 .501
0 .363 16.5 0,051 0 . 0 0 3 4 8 0 , 0 7 3 0 ,316 0 ,895 7 .074
0 ,396 16.5 0,059 0 , 0 0 4 0 2 0 ,084 0 ,335 0 ,888 6 .719
0,413 16,5 0,063 0,00430 0,090 0,344 0,885 6,563
n.4i a 15.0 O.Ofifi 0.00503 0.10R n.nfifi 0,ft7ft fi.5>5>3
0 .413 13.5 0,070 0 , 0 0 5 9 7 0 , 1 2 5 0 ,391 0 ,870 5 ,883
0 .413 12.0 0,074 0 .00721 0 ,151 0 ,419 0 ,860 5.546
0 .413 10.5 0,079 0 . 0 0 8 8 8 0 ,186 0 ,452 0 ,849 5 ,209
0 .413 9 .0 0 ,085 0.01124 0 , 2 3 6 0 ,490 0 ,837 4 . 8 7 5
0 .413 7,5 0.091 0.01474 0 .310 0 ,536 0 .821 4 . 5 4 3
0 .413 6.0 0.098 0 ,02031 0 , 4 2 6 0 ,591 0 ,803 4 ,215
0 .413 4.5 0.106 0.03016 0 . 6 3 3 0 ,658 0 .781 3 .893
T A B E L A I I B - ANÁLISE DE ELEMENTOS FLETIDOS - MÉTODO DAS TENSÕES ADMISSÍVEIS
fp = 11,0 MPa; fs = 165 MPa; n = 23.86
M
\
j d
DADOS DO PROJETO
f(i = 11,0 MPa = 1,10 kN/cm2
í . = 0,33 ( = 3,63 MPa 1= 165,0 MPa
•WV p S
E ^ = 800 fp = 8800 MPa E, = 210000 MPa
EQUAÇÕES DO PROJETO
lc- 1 fr - 1 - k '
- " 1 + f / n * L ' 3
\ K A _ M
p bxd fs x k7 s / xk{x d
k d \ S
DADOS DO PROJETO
f(i = 11,0 MPa = 1,10 kN/cm2
í . = 0,33 ( = 3,63 MPa 1= 165,0 MPa
•WV p S
E ^ = 800 fp = 8800 MPa E, = 210000 MPa
EQUAÇÕES DO PROJETO
lc- 1 fr - 1 - k '
- " 1 + f / n * L ' 3
\ K A _ M
p bxd fs x k7 s / xk{x d
' v '
DADOS DO PROJETO
f(i = 11,0 MPa = 1,10 kN/cm2
í . = 0,33 ( = 3,63 MPa 1= 165,0 MPa
•WV p S
E ^ = 800 fp = 8800 MPa E, = 210000 MPa
EQUAÇÕES DO PROJETO
lc- 1 fr - 1 - k '
- " 1 + f / n * L ' 3
\ K A _ M
p bxd fs x k7 s / xk{x d d
DADOS DO PROJETO
f(i = 11,0 MPa = 1,10 kN/cm2
í . = 0,33 ( = 3,63 MPa 1= 165,0 MPa
•WV p S
E ^ = 800 fp = 8800 MPa E, = 210000 MPa
EQUAÇÕES DO PROJETO
lc- 1 fr - 1 - k '
- " 1 + f / n * L ' 3
\ K A _ M
p bxd fs x k7 s / xk{x d
f - f. K P np K k. 2 / ( K i X K k )
0.033 16,5 0,001 0,00005 0.001 0,046 0,985 44,582
0.066 16,5 0,003 0.00017 0,004 0,087 0,971 23.639
0.099 16.5 0.006 0.00038 0.009 0,125 0.958 16.664
0.132 16.5 0.010 0,00064 0.015 0,160 0.947 13.180
0.165 16,5 0.015 0.00096 0.023 0,193 0.936 11.093
0.198 16,5 0.020 0.00134 0.032 0,223 0.926 9.704
0.231 16,5 0.027 0,00175 0.042 0.250 0.917 8.714
0,264 16,5 0.033 0,00221 0.053 0,276 0.908 7.972
0.297 16,5 0.040 0.00270 0,065 0,300 0.900 7.397
0.330 16,5 0.048 0.00323 0.077 0,323 0.892 6.938
0,363 16,5 0.055 0,00379 0,090 0,344 0,885 6,563
0.363 15,0 0.058 0.00443 0.106 0.366 0.878 6.223
0.363 13.5 0.062 0.00525 0,125 0.391 0.870 5.883
0,363 12.0 0.065 0.00634 0,151 0,419 0.860 5.546
0.363 10.5 0.070 0.00781 0.186 0,452 0.849 5.209
0.363 9.0 0.074 0,00989 0.236 0,490 0.837 4.875
0.363 7.5 0.080 0.01297 0.310 0,536 0.821 4,543
0.363 6.0 0.086 0.01787 0.426 0,591 0.803 4,215
0.363 4.5 0.093 0.02654 0.633 0.658 0.781 3.893
0,363 3.0 0.101 0.04494 1.072 0,743 0.752 3.579
T A B E L A I I C - ANÁLISE DE ELEMENTOS FLETIDOS - MÉTODO DAS TENSÕES ADMISSÍVEIS
fp = 9,5 MPa; f t = 165 MPa; n = 27,63
j d
k d
DADOS DO PROJETO
fp = 9.5 MPa = 0.95 kN/cm?
f, = 0,33f =3,135 MPa
av p
E ^ = 800 fp = 7600 MPa
EQUAÇÕES DO PROJETO
E
n =
k =
K =
P =
1 + f / n x f^
A, K
bxd f^xk.
k = 1 -
A =
\ = 165,0 MPa
E t = 210000 MPa
M M - y v k x k x f
K_
3
M
f xkxd
f-v f . K P np K k, 2 / (K, X Kx)
0.033 16.5 0,001 0.00005 0.001 0.052 0.983 38.869
0.066 16.5 0.003 0,00020 0,006 0.100 0.967 20.785
0,099 16,5 0,007 0,00043 0.012 0.142 0.953 14.763
0.132 16.5 0,011 0,00072 0,020 0.181 0.940 11.757
0,165 16,5 0,017 0,00108 0,030 0.216 0.928 9,957
0.198 16,5 0.023 0,00149 0.041 0.249 0.917 8.759
0,231 16.5 0.029 0,00195 0,054 0.279 0.907 7,905
0.264 16.5 0.036 0.00245 0.068 0.307 0.898 7.266
0.297 16,5 0,044 0,00299 0,083 0.332 0.889 6,7710,314 16,5 0,048 0,00327 0,090 0,344 0,885 6,563
0.314 15,0 0.050 0.00383 0,106 0.366 0.878 6,223
0.314 13.5 0.053 0.00454 0,125 0.391 0.870 5,883
0.314 12,0 0,057 0.00548 0,151 0.419 0.860 5.546
0,314 10,5 0,060 0.00675 0,186 0,452 0.849 5,209
0.314 9.0 0,064 0.00854 0.236 0.490 0.837 4.875
0.314 7.5 0.069 0.01120 0.310 0.536 0.821 4.543
0.314 6.0 0,074 0,01543 0,426 0.591 0.803 4.215
0.314 4.5 0,081 0.02292 0,633 0.658 0.781 3,893
0.314 3.0 0.088 0.03881 1,072 0.743 0.752 3.579
T A B E L A I I D - ANÁLISE DE ELEMENTOS FLETIDOS - MÉTODO DAS TENSÕES ADMISSÍVEIS
fp = 8.0 MPa; fs = 165 MPa; n = 32,81
J T
M
j d
DADOS DO PROJETO
fp = 8.0 MPa = 0,80 kN/cnf
L = ° - 3 3 f„ = 2 - 6 4 M P a f5 = 165,0 MPa
E iV = 800 fp = 6400 MPa E„ = 210000 MPa
EQUAÇÕES DO PROJETO
*tv
k - 1 k - r K
d
s
DADOS DO PROJETO
fp = 8.0 MPa = 0,80 kN/cnf
L = ° - 3 3 f„ = 2 - 6 4 M P a f5 = 165,0 MPa
E iV = 800 fp = 6400 MPa E„ = 210000 MPa
EQUAÇÕES DO PROJETO
*tv
k - 1 k - r K
í 1
' * '
o * v -
DADOS DO PROJETO
fp = 8.0 MPa = 0,80 kN/cnf
L = ° - 3 3 f„ = 2 - 6 4 M P a f5 = 165,0 MPa
E iV = 800 fp = 6400 MPa E„ = 210000 MPa
EQUAÇÕES DO PROJETO
*tv
k - 1 k - r K
d
DADOS DO PROJETO
fp = 8.0 MPa = 0,80 kN/cnf
L = ° - 3 3 f„ = 2 - 6 4 M P a f5 = 165,0 MPa
E iV = 800 fp = 6400 MPa E„ = 210000 MPa
EQUAÇÕES DO PROJETO
*tv
k - 1 k - r K
O * 4 -
' b x d " fs x k, * fsxk,x d
f-v f . K P np k. k. 2 / (K I XK 1 )
0.033 16.5 0,001 0,00006 0.002 0.062 0.979 33,157
0.066 16.5 0,004 0.00023 0.008 0.116 0.961 17,932
0.099 16.5 0,008 0,00049 0.016 0.164 0.945 12,864
0.132 16.5 0,013 0.00083 0.027 0,208 0.931 10,335
0.165 16.5 0,019 0,00124 0.041 0,247 0.918 8.822
0.198 16.5 0,025 0,00170 0.056 0,283 0.906 7,815
0.231 16.5 0,033 0,00220 0.072 0,315 0.895 7,099
0,264 16,5 0,040 0,00275 0,090 0,344 0,885 6,563
0.264 15.0 0,042 0,00322 0.106 0,366 0,878 6,223
0.264 13,5 0,045 0,00382 0,125 0,391 0,870 5.883
0.264 12.0 0,048 0,00461 0,151 0,419 0,860 5,546
0.264 10.5 0,051 0.00568 0,186 0.452 0.849 5,209
0,264 9,0 0,054 0.00719 0.236 0.490 0,837 4,875
0,264 7,5 0,058 0.00943 0.310 0,536 0,821 4,543
0,264 6,0 0,063 0.01300 0.426 0.591 0,803 4,215
0,264 4,5 0,068 0.01930 0,633 0.658 0.781 3.893
0,264 3,0 0,074 0.03268 1,072 0.743 0,752 3.579
T A B E L A I I E - ANÁLISE DE ELEMENTOS FLETIDOS - MÉTODO DAS TENSÕES ADMISSÍVEIS
fp = 6,5 MPa; f, = 165 MPa; n = 40,38
- f -
M
i f X
j d
DADOS DO PROJETO
f = 6.5 MPa = 0.65 kN/cm* p
^ = 0 , 3 3 ^ = 2,145 MPa í = 165,0 MPa
E ^ = 800 fp = 5200 MPa E s = 210000 MPa
EQUAÇÕES DO PROJETO
n- E* M = '/2 xk xk x f
E F bxd2 2 ' ' *v
Ic- 1 k -
A w A/f
k d
k_
N
X
c £
DADOS DO PROJETO
f = 6.5 MPa = 0.65 kN/cm* p
^ = 0 , 3 3 ^ = 2,145 MPa í = 165,0 MPa
E ^ = 800 fp = 5200 MPa E s = 210000 MPa
EQUAÇÕES DO PROJETO
n- E* M = '/2 xk xk x f
E F bxd2 2 ' ' *v
Ic- 1 k -
A w A/f
DADOS DO PROJETO
f = 6.5 MPa = 0.65 kN/cm* p
^ = 0 , 3 3 ^ = 2,145 MPa í = 165,0 MPa
E ^ = 800 fp = 5200 MPa E s = 210000 MPa
EQUAÇÕES DO PROJETO
n- E* M = '/2 xk xk x f
E F bxd2 2 ' ' *v
Ic- 1 k -
A w A/f
v ' ' r' '
?'. ' - ' '
'' - K' '
DADOS DO PROJETO
f = 6.5 MPa = 0.65 kN/cm* p
^ = 0 , 3 3 ^ = 2,145 MPa í = 165,0 MPa
E ^ = 800 fp = 5200 MPa E s = 210000 MPa
EQUAÇÕES DO PROJETO
n- E* M = '/2 xk xk x f
E F bxd2 2 ' ' *v
Ic- 1 k -
A w A/f d
DADOS DO PROJETO
f = 6.5 MPa = 0.65 kN/cm* p
^ = 0 , 3 3 ^ = 2,145 MPa í = 165,0 MPa
E ^ = 800 fp = 5200 MPa E s = 210000 MPa
EQUAÇÕES DO PROJETO
n- E* M = '/2 xk xk x f
E F bxd2 2 ' ' *v
Ic- 1 k -
A w A/f
p bxd / xfc ' fa xktx d
1. K P np K K 2 / (Kz X Kx)
0,033 16.5 0,001 0.00007 0,003 0.075 0.975 27.446
0.066 16.5 0,004 0,00028 0.011 0,139 0.954 15.080
0,099 16.5 0.009 0,00059 0.024 0.195 0,935 10,967
0,132 16,5 0.015 0.00098 0.039 0.244 0,919 8.916
0,165 16,5 0.021 0.00144 0.058 0.288 0.904 7.690
0,198 16.5 0.029 0.00196 0.079 0.326 0,891 6,875
0,215 16,5 0,033 0,00224 0,090 0,344 0,885 6,563
0.215 15.0 0,034 0.00262 0,106 0.366 0,878 6.223
0,215 13,5 0,036 0.00311 0.125 0.391 0.870 5,883
0.215 12,0 0,039 0.00375 0,151 0.419 0,860 5.546
0,215 10,5 0.041 0.00462 0,186 0,452 0,849 5,209
0.215 9.0 0,044 0.00584 0,236 0,490 0.837 4.875
0.215 7.5 0,047 0.00766 0,310 0,536 0,821 4.543
0.215 6.0 0,051 0.01056 0.426 0,591 0.803 4.215
0.215 4.5 0,055 0.01569 0.633 0.658 0.781 3.893
0.215 3.0 0.060 0.02655 1,072 0,743 0.752 3.579
T A B E L A I I F - ANÁLISE DE ELEMENTOS FLETIDOS - MÉTODO DAS TENSÕES ADMISSÍVEIS
fp = 5.0 MPa; f, = 165 MPa; n = 52.50
d
DADOS DO PROJETO
f = 5.0 MPa = 0.50 kN/cm?
f . = 0,33 f = 1,65 MPa « P
E = 800 f = 4000 MPa AV p
EQUAÇÕES DO PROJETO
E.
165,0 MPa
E =210000 MPa
n -
k = 1
P =
1 + f / h x f „
A K
b x d f * k .
M
f x k xd
f-v f. K P np K K 2 / (Kz x Kx)
0,033 16,5 0,002 0,00010 0.005 0,095 0968 21,736
0,066 16.5 0,005 0,00035 0.018 0,174 0,942 12,231
0,099 16.5 0,011 0.00072 0.038 0,240 0,920 9,074
0,132 16.5 0,018 0.00118 0,062 0,296 0,901 7,501
0,165 16,5 0,025 0,00172 0,090 0,344 0,885 6,563
0.165 15.0 0,027 0,00201 0,106 0,366 0.878 6,223
0.165 13.5 0,028 0,00239 0,125 0,391 0,870 5,883
0.165 12,0 0,030 0,00288 0,151 0,419 0.860 5,546
0.165 10,5 0,032 0,00355 0,186 0,452 0,849 5,209
0.165 9,0 0,034 0,00450 0,236 0,490 0,837 4,875
0.165 7,5 0,036 0,00590 0,310 0,536 0,821 4,543
0.165 6,0 0,039 0,00812 0,426 0,591 0,803 4,215
0,165 4.5 0,042 0,01207 0.633 0,658 0,781 3,893
0,165 3,0 0,046 0.02043 0,072 0,743 0,752 3,579
T A B E L A I I G - ANÁLISE DE ELEMENTOS FLETIDOS - MÉTODO DAS TENSÕES ADMISSÍVEIS
fp = 3,5 MPa; f% = 165 MPa; n = 75,00
jt
M
s
\
j d
DADOS DO PROJETO
f = 3.5 MPa = 0.350 kN/cm2 p
f ^ = 0.33 fp = 1.555 MPa fs = 165.0 MPa
EoV = 8 0 0 fp = 2 8 0 0 M P a = 2 1 0 0 0 0 M P a
EQUAÇÕES DO PROJETO
l c - 1 k - 1 -
' 1 ' 3
k d
N
X J
DADOS DO PROJETO
f = 3.5 MPa = 0.350 kN/cm2 p
f ^ = 0.33 fp = 1.555 MPa fs = 165.0 MPa
EoV = 8 0 0 fp = 2 8 0 0 M P a = 2 1 0 0 0 0 M P a
EQUAÇÕES DO PROJETO
l c - 1 k - 1 -
' 1 ' 3
v» c> ;
DADOS DO PROJETO
f = 3.5 MPa = 0.350 kN/cm2 p
f ^ = 0.33 fp = 1.555 MPa fs = 165.0 MPa
EoV = 8 0 0 fp = 2 8 0 0 M P a = 2 1 0 0 0 0 M P a
EQUAÇÕES DO PROJETO
l c - 1 k - 1 -
' 1 ' 3
d
DADOS DO PROJETO
f = 3.5 MPa = 0.350 kN/cm2 p
f ^ = 0.33 fp = 1.555 MPa fs = 165.0 MPa
EoV = 8 0 0 fp = 2 8 0 0 M P a = 2 1 0 0 0 0 M P a
EQUAÇÕES DO PROJETO
l c - 1 k - 1 -
' 1 ' 3
o * * 1 -
' b x d / x k , f 9 x k r x d
L, t. K p np k. k, 2 / (Kx x K J
0,033 16,5 0,002 0.00013 0.010 0.130 0,957 16,030
0,066 16,5 0.005 0.00046 0.035 0,231 0,928 9.389
0,083 16,5 0.010 0.00068 0.051 0,273 0,909 8.067
0,099 16,5 0.014 0.00093 0,070 0,310 0.897 7.188
0,116 16,5 0,018 0,00120 0,090 0,344 0,885 6,563
0,116 15,0 0,019 0,00141 0,106 0,366 0.878 6.223
0,116 13,5 0.020 0,00167 0,125 0,391 0.870 5.883
0,116 12,0 0,021 0,00202 0,151 0,419 0.860 5.546
0,116 10,5 0.022 0,00249 0.186 0,452 0.849 5.209
0.116 9.0 0.024 0,00315 0.236 0.490 0.837 4.875
0,116 7,5 0.025 0,00413 0.310 0.536 0.821 4,543
0,116 6,0 0.027 0.00569 0.426 0,591 0,803 4,215
0,116 4,5 0.030 0.00845 0.633 0,658 0,781 3,893
0,116 3,0 0.032 0.01430 0.072 0,743 0,752 3,579
T A B E L A I I I A - MOMENTO RESISTENTE PARA O DIMENSIONAMENTO BALANCEADO
fp = 12.5 MPa; fs = 165 MPa; n = 21.00
DADOS DO PROJETO
L = 0.33fp
E * = 800f p .
E„ = 210000 MPa
d ^
SITUAÇÃOBALANCEADA s
p = 0.00430 V
k,^ = 0.344 ^ J
/ M 'yls ' 1
d
b
d
14,0 19,0 29,0 50,0 100,0 120,0
5.0 22.00 29.86 45.57 78.57 157,14 188.57
7,0 43,12 58.52 89.32 154.00 307,99 369.59
10,0 88.00 119.43 182.28 314,28 628.56 754.27
14.0 172.48 234.08 357.27 615.99 1231.98 1478.38
20.0 351.99 477.71 729.13 1257.12 2514.24 3017.09
25.0 549.99 746.42 1139.27 1964,25 3928.51 4714.21
30.0 791.99 1074.84 1640.54 2828.52 5657.05 6788.46
35.0 1077.98 1462,98 2232.96 3849.94 7699.87 9239.84
40.0 1407.98 1910.83 2916.52 5028,49 10056.97 12068.37
45.0 1781.97 2418.39 3691,22 6364.18 12728.36 15274.03
50.0 2199.96 2985.66 4557.07 7857.01 15714.02 18856.83
55.0 2661.96 3612.65 5514,05 9506.98 19013.97 22816,76
60.0 3167.95 4200.36 6562,18 11314,10 22628.10 27153,83
65.0 3717.94 5045.77 7701,44 13278.35 26566.70 31868,04
70.0 4311.93 5851.90 8931,85 15399.74 30799.48 36959,38
75.0 4949.92 6717,74 10253.40 17678.27 35356.55 42427.86
80.0 5631.91 7643.30 11666.09 20113.95 40227.90 48273.47
T A B E L A I I I B - MOMENTO RESISTENTE PARA O DIMENSIONAMENTO BALANCEADO
fp = 11.0 MPa; f5 = 165 MPa; n = 23.86
DADOS DO PROJETO
L = 0.33fp
E ^ = 800fp .
E. = 210000 MPa < 4 1
d ^
SITUAÇÃO BALANCEADA ^
p= 0.00379 V
Kob = ° - 3 4 4
/ y \ \ M. /
d
b
d
14,0 19,0 29,0 50,0 100,0 120,0
5.0 19.36 26.27 40.10 69,14 138.28 165.94
7.0 37.94 51.50 78,60 135,52 271.04 325,24
10.0 77.44 105,10 160,41 276,57 553.13 663,76
14.0 151.78 205,99 314,40 542,07 1084.14 1300,97
20.0 309.75 420,38 641.63 1106,27 2212.53 2655.04
25.0 483.99 656,85 1002,55 1728.54 3457.08 4148.50
30.0 696.95 945,86 1443.68 2489,10 4978.20 5973,84
35.0 948.62 1287.42 1965,01 3387,94 6775.89 8131.06
40.0 1239,02 1287.42 2566,54 4425.07 8850.14 10620.16
45.0 1568,13 2128,18 3248.28 5600.48 11200.95 13441.15
50,0 1935,97 2627,38 4010,22 6914.17 13828,34 16594.01
55.0 2342.52 3179,14 4852.36 8366.15 16732,29 20078.75
60.0 2707.79 3783.43 0774.71 9950,40 19912,01 23805.37
65.0 3271,79 4440.28 6777.27 11684,95 23369,89 28043.87
70.0 3794,50 5149.67 7860.03 13551,77 27103,54 32524.25
75.0 4355,93 5911.61 9022,99 15556,88 31113,76 37336.52
80.0 4956,08 6726,10 10266.16 17700,27 35400,55 42480.66
T A B E L A I I I C - MOMENTO RESISTENTE PARA o DIMENSIONAMENTO BALANCEADO
fp = 9,5 MPa; f5 = 165 MPa; n = 27.63
DADOS DO PROJETO
L = 0.33fp
E * = 800fp .
E„ = 210000 MPa
d
SITUAÇÃO BALANCEADA
p= 0.00327 \
k x , = 0.344 ^
MJZIP
AX/ 'O
d
b
d
14,0 19,0 29,0 50,0 100,0 120,0
5.0 16,72 22.69 34,63 59,71 119,43 143.31
7.0 32,77 44.47 67,88 117,04 234,08 280.89
10,0 66.88 90.76 138.53 238,85 477,71 573.25
14,0 131.08 177,90 271,53 468.15 936.30 1123,57
20.0 267.52 363,06 554.14 955.41 1910,83 2292.99
25.0 417.99 567,28 865,84 1492.83 2985,66 3582.80
30.0 601.91 816,88 1246,81 2149.68 4299.36 5159,23
35.0 819.27 1111,86 1697,05 2925,95 5851,90 7022,28
40.0 1070,06 1452.23 2216,56 3821.65 7643,30 9171.96
45.0 1354.30 1837.97 2805,33 4836.78 9673.55 11608,26
50,0 1671,97 2269.10 3463,37 5971.33 11942.66 14331,19
55,0 2023,09 2745,62 4190,68 7225.31 14450,61 17340,74
60.0 2407.64 3267,51 4987.25 8598.71 17197.43 20636.91
65,0 2825,63 3834,79 5853,10 10091.54 20183.09 24219.71
70,0 3277,06 4447,45 6788,21 11703.80 23407.61 28089.13
75,0 3761,94 5105,49 7792.58 13435,49 26870.98 32245.17
80,0 4280.25 5808.91 8866,23 15286,60 30573.20 36687.84
T A B E L A I I I D - MOMENTO RESISTENTE PARA O DIMENSIONAMENTO BALANCEADO
fp = 8.0 MPa; f, = 165 MPa; n = 32,81
DADOS DO PROJETO
L = 0.331,
E * = 800 f p .
E, = 210000 MPa K Í f l
d _
SITUAÇÃO BALANCEADA
p= 0.00275 V
1 ^ = 0.344
MJZ^f
3 r w > t*
4 > / all
^ 4
r 5
d
b
d
14,0 19,0 29,0 50,0 100,0 120,0
5.0 14,08 19,11 29.17 50.28 100.57 120.68
7.0 27.60 37.45 57.16 98.56 197,12 236.54
10.0 56.32 76.43 116.66 201,14 402.28 482.73
14.0 110.39 149.81 228.66 394,23 788.47 946,16
20.0 225.28 305-73 466.64 804.56 1609.12 1930,94
25.0 351.99 477.71 729.13 1257,12 2514.24 3017.09
30.0 506,87 687.90 1049.95 1810,26 3620.51 4344,61
35.0 689.91 936.30 1429.10 2463.96 4927.92 5913,50
40.0 901,10 1222.93 1866.57 3218,23 6436.46 7723.76
45.0 1140.46 1547,77 2362.38 4073,07 8146.15 9775.38
50.0 1407.98 1910.83 2916.52 5028,49 10056.97 12068.37
55.0 1703.65 2312.10 3528.99 6084.47 12168.94 14602.73
60.0 2027.49 2751.59 4199.79 7241.02 14482.04 17378,45
65,0 2379,48 3229,29 4928.92 8498.14 16996.29 20395.54
70,0 2759.63 3745,22 5716.38 9855.83 19711.67 23654.00
75,0 3167.95 4299.36 6562.18 11314.10 22628.19 27153.83
80.0 3604.42 4891.71 7466.30 12872.93 25745.85 30895.02
T A B E L A I I I E - MOMENTO RESISTENTE PARA O DIMENSIONAMENTO BALANCEADO
fp = 6.5 MPa; f, = 165 MPa; n = 40.38
DADOS DO PROJETO
L = 0.33fp
E * = 800 f p .
E, = 210000 MPa K ^ í
d ^
SITUAÇÃO BALANCEADA
p= 0.00224 V
k x , = 0.344 ^
MJP^T
I / J/j J M 4 V / d
d
b
d
14,0 19,0 29,0 50,0 100,0 120,0
5.0 11,44 15.53 23.70 40.86 81,71 98.06
7.0 22.42 30.43 46.45 80.08 160.16 192.19
10.0 45.76 62.10 94.79 163,43 326.85 392.22
14.0 89.69 121.72 185.78 320.31 640.63 768.76
20.0 183.04 248.41 379.15 653.70 1307.41 1568.89
25.0 286.00 388,14 592.42 1021.41 2042.82 2451.39
30.0 411.83 558.92 853.08 1470.83 2941.66 3530.00
35,0 560.55 760.75 1161.14 2001.97 4003.93 4804,72
40.0 732,15 993.63 1516.59 2614,81 5229.63 6275.55
45.0 926,62 1257.56 1919.44 3309.37 6618,75 7942,50
50.0 1143,98 1552.55 2369.67 4085.65 8171.29 9805.55
55.0 1384.22 1878.58 2867,31 4943.63 9887.26 11864.71
60.0 1647.33 2235.67 3412.33 5883.33 11766.66 14119.99
65.0 1933.33 2623.80 4004,75 6904.74 13809,48 16571.38
70.0 2242.20 3042.99 4644.75 8007.87 16015.73 19.218.88
75.0 2573.96 3493.23 5331.77 9192.70 18385.41 22062.49
80,0 2928.59 3974.52 6066,37 10459,25 20918.51 25102.21
T A B E L A I I I F - MOMENTO RESISTENTE PARA O DIMENSIONAMENTO BALANCEADO
fp = 5.0 MPa; fs = 165 MPa; n = 52.50
DADOS DO PROJETO
L = 0.33fp
E * = 800f p .
E = 210000 MPa < í f l
SITUAÇÃO BALANCEADA
p= 0.00172 V
Kx, = ° - 3 4 4
/ J / 1 i M r y /
d
b
d
14,0 19,0 29,0 50,0 100,0 120,0
5.0 8.80 11.94 18,23 31,43 62,86 75,43
7.0 17.25 23.41 35,73 61,60 123.20 147.84
10.0 35.20 47.77 72,91 125.71 251.42 301.71
14.0 68.99 93.63 142,91 246.40 492.79 591.35
20.0 140.80 191.08 291,65 502,85 1005,70 1206.84
25.0 220.00 298.57 455,71 785.70 1571,40 1885.68
30.0 316.79 429.94 626,22 1131.41 2262.82 2715,38
35.0 431.19 585.19 893,18 1539,97 3079,95 3695,94
40.0 563.19 164.33 1166.61 2011,39 4022.79 4827.35
45.0 712.79 967.36 1476.49 2545,67 5091.34 6109.61
50.0 879.99 1194.27 1822.83 3142.80 6285.61 7542.73
55.0 1064,78 1445.06 2205.62 3802,79 7605.59 9126.70
60.0
65.0
1267.18
1487.18
1719.74
2018.31
2624.87
3080.58
4525,64
5311,34
9051,28
10622,68
10861,53
12747,21
70.0 1724.77 2340.76 3572.74 6159,90 12319,79 14783,75
75.0 1979.97 2887,10 4101.36 7071,31 14142,62 16971,14
80.0 2252.76 3057.32 4666,44 8045.58 16091,16 19309,39
T A B E L A I I I G - MOMENTO RESISTENTE PARA o DIMENSIONAMENTO BALANCEADO
fp = 3.5 MPa; f, = 165 MPa; n = 75.00
DADOS DO PROJETO
L = 0.33fp
^ = 800 fp .
Er = 210000 MPa
d ,
SITUAÇÃO BALANCEADA
p= 0.00121 X
k , ^ 0.344 ^
aJS^
I / J / j J M
" I
/
d
b
d
14,0 19,0 29,0 50,0 100,0 120,0
5.0 6.16 8.36 12,76 22,00 44.00 52,80
7.0 12,07 16,39 25,01 43,12 86,24 103,49
10.0 24,64 33,44 51,04 88,00 176,00 211,20
14.0 48.29 65.54100,04 172,48 344,95 413,95
20.0 98,56 133,76 204.16 351.99 703,99 844,79
25.0 154,00 209,00 318.99 549,99 1099.98 1319,98
30.0 221,76 300,95 459.35 791,99 1583.97 1900,77
35.0 301,83 409,63 625.23 1077,98 2155.96 2587,16
40.0 394,23 535,03 816.63 1407,98 2815,95 3379,14
45.0 498,95 677,15 1033,54 1781,97 3563,94 4276,73
50.0 615,99 835,99 1275,98 2199,96 4399,93 5279,91
55,0 745.35 1011,54 1543,93 2661,96 5323,91 6388,69
60.0 887.03 1203,82 1837,41 3167,95 6335,89 7603,07
65.0 1041.02 1412,82 2156,40 3717.94 7435.88 8923,05
70.0 1207.34 1638.53 2500,92 4311,93 8623,86 10348,63
75.0 1385.98 1880.97 2870.95 4949.92 9899,83 11879.80
80.0 1579,93 2140,12 3266.51 5631,91 11263.81 13516,57
Tabelas de Flexão
T A B E L A I V - TABELA DE CÁLCULO À FLEXÃO NO ESTÁDIO I I
K„ K. K, K, K, nK' np
0.033 0.068 0.977 0.073 5.486 0.0024 0.0025
0.036 0.074 0.975 0.080 5,264 0,0029 0.0030
0.039 0.080 0.973 0.087 5,068 0.0034 0,0035
0.042 0.086 0.971 0.094 4,893 0.0039 0,0040
0.045 0.093 0.969 0.103 4,711 0.0046 0,0048
0,048 0.099 0.967 0.110 4,571 0,0053 0.0054
0.051 0.106 0.965 0.119 4,423 0,0061 0.0063
0,054 0,112 0.963 0.126 4.307 0,0068 0.0071
0.057 0.119 0.960 0.135 4,183 0,0077 0.0080
0.060 0.125 0.958 0,143 4,086 0,0086 0.0089
0.063 0.132 0.956 0.152 3.981 0.0096 0.0100
0.066 0.138 0.954 0.160 3,898 0.0105 0.0110
0,069 0.145 0.952 0.170 3,807 0.0117 0.0123
0.072 0.152 0.949 0.179 3,723 0.0129 0.0136
0.075 0.158 0.947 0.188 3.655 0.0140 0.0148
0.078 0.165 0.945 0.198 3.581 0.0154 0.0163
0.081 0.172 0,943 0,208 3.512 0.0168 0.0179
0,084 0.179 0.940 0,218 3.447 0.0183 0.0195
0.087 0.185 0.938 0,227 3.394 0.0197 0.0210
0.090 0.192 0.936 0.238 3,336 0,0214 0.0228
0.093 0,199 0,934 0,248 3,281 0.0231 0,0247
0,096 0,206 0,931 0.259 3,229 0,0249 0.0267
0.099 0.213 0.929 0,271 3.179 0.0268 0.0288
0.102 0.220 0.927 0.282 3.132 0.0288 0,0310
0.105 0.227 0.924 0,294 3.087 0.0308 0.0333
0.108 0.234 0.922 0.305 3,045 0.0330 0.0357
0.111 0.241 0.920 0.318 3,004 0.0352 0.0383
0.114 0.249 0.917 0.332 2,960 0,0379 0.0413
0.117 0.256 0.915 0,344 2,923 0,0403 0.0440
0.120 0.263 0.912 0.357 2,887 0,0428 0.0469
0.123 0.270 0.910 0.370 2,853 0.0454 0.0499
0.126 0.278 0.907 0.385 2,816 0.0486 0.0535
0,129 0.285 0.905 0.399 2.785 0.0514 0.0568
0.132 0.293 0.902 0.414 2,750 0.0548 0.0607
0.135 0.300 0.900 0.429 2,722 0.0579 0.0643
0.138 0.308 0.897 0.445 2,690 0.0615 0.0685
0.141 0.315 0.895 0,460 2,663 0,0648 0.0724
0.147
0.323
0.330
0.892
0.890 0,493
2,634
2.610
0.0688
0.0723
0.0771
0.0813
0.150 0.338 0.887 0.511 2,582 0,0766 0.0863
0,153 0,346 0.885 0,529 2,556 0,0810 0.0915
0.156 0.354 0.882 0.548 2,531 0,0855 0.0970
0.159 0.362 0,879 0.567 2,507 0,0903 0.1027
0.162 0.370 0.877 0.587 2,483 0,0953
0.1004
0.1087
0.1149 0.165 0.378 0.874 0.608 2.460
0,0953
0.1004
0.1087
0.1149
Equações básicas: km = » = "57d
T A B E L A I V - TABELA DE CÁLCULO À FLEXÃO NO ESTÁDIO I I
(CONTINUAÇÃO)
K K k. k. k, n k, n p
0.168 0.386 0.871 0.629 2.439 0.1057 0.1213
0,171 0,394 0,869 0,650 2,417 0,1113 0.1281
0.174 0.402 0.866 0.672 2.397 0.1170 0.1351
0.177 0.410 0.863 0.695 2.377 0.1230 0.1425
0,180 0.418 0,861 0.718 2,358 0.1292 0.1501
0,183 0.427 0,858 0.745 2.337 0.1365 0.1591
0,186 0.435 0,855 0,770 2,319 0.1432 0.1675
0.189 0.444 0.852 0.799 2.299 0.1510 0.1773
0,192 0,452 0,849 0.825 2,282 0.1583 0.1864
0.195 0,461 0,846 0,855 2,264 0,1668 0,1971
0.198 0,469 0,844 0.883 2,248 0.1747 0.2071
0,201 0,478 0,841 0,916 2,231 0,1840 0.2189
0.204 0.487 0.838 0.949 2.214 0.1936 0,2312
0,207 0,496 0,835 0.984 2.198 0.2037 0.2441
0.210 0.505 0.832 1.020 2.182 0.2142 0.2576
0.213 0.514 0,829 1,058 2,167 0.2252 0.2718
0.216 0.523 0.826 1.096 2.152 0,2367 0.2867
0,219 0.533 0,822 1,141 2,136 0.2501 0.3042
0,222 0.542 0,819 1,183 2,122 0.2628 0.3207
0.225 0.551 0.816 1,227 2.109 0.2760 0.3381
0.228 0.561 0.813 1,278 2.094 0.2914 0.3585
0.231 0.570 0,810 1.326 2.081 0.3060 0.3778
0,237 0.590 0.803 1.439 2.054 0.3410 0.4245
0,240 0.600 0.800 1.500 2,041 0.3600 0.4500
0.243 0.610 0.797 1,564 2.029 0.3801 0.4771
0,246 0,620 0,793 1,632 2,016 0.4013 0,5058
0,249 0.631 0.790 1.710 2,003 0.4260 0,5395
0.252 0.641 0.786 1.786 1.992 0.4500 0.5723
0,255 0.651 0.783 1.865 1.981 0.4754 0.6072
0,258 0,662 0,779 1.959 1.969 0.5052 0.6483
0.261 0.673 0,776 2.058 1.957 0.5372 0,6926
0,264 0.684 0,772 2.165 1,946 0.5715 0.7403
0.267 0.695 0.768 2.279 1.935 0.6084 0,7918
0,270 0.706 0,765 2.401 1,925 0.6482 0.8477
0,273 0,718 0,761 2,546 1.914 0.6953 0,9140
0.276 0.729 0.757 2.690 1.904 0.7423 0.9805
0.279 0.741 0,753 2.861 1.893 0.7982 1.0600
0,282 0,753 0,749 3,049 1,883 0.8597 1,1478
0.285 0.765 0.745 3,255 1.873 0.9276 1.2452
0,288 0.778 0.741 3,505 1.863 1.0097 1.3633
0.291 0.790 0.737 3.762 1.854 1.0947 1.4860
0.294 0.803 0.732 4,076 1,844 1,1985 1.6366
0.297 0.816 0.728 4.435 1.835 1.3172 1.8094
0.300 0.829 0,724 4.848 1.826 1.4542 2.0095
M n o© M A
Equações básicas: k = — r — - r 2 n x k = - — - — — p = — —
M Y f^x b x d 2 f x b x d 2 bxd
T A B E L A V A - TABELA UNIVERSAL DE CÁLCULO À FLEXÃO NO ESTÁDIO I I n = 1 5
m K k. 100 p Y. Y- m k. k. 100 p Y. Y-,
1 0.938 0,688 46.88 1.76 1.76 51 0.227 0.924 0.22 22.04 3.09
2 0.882 0.706 22.06 2.53 1,79 52 0.224 0.925 0,22 22.41 3.11
3 0.833 0,722 13.89 3.16 1,82 53 0.221 0.926 0.21 22.11 3.13
4 0.789 0.737 9.87 3.71 1,85 54 0,217 0.928 0.20 23.14 3.15
5 0.750 0.750 7.50 4.22 1.89 55 0.214 0.929 0.19 23.51 3.17
6 0.714 0,762 5.95 4.70 1,92 56 0.211 0.930 0.19 23.88 3.19
7 0.682 0.773 4.87 5.15 1,95 57 0,208 0.931 0.18 24.25 3.21
8 0,652 0,783 4.08 5.60 1.98 58 0.205 0.932 0.18 24.62 3.23
9 0.625 0,792 3.47 6.03 2,01 59 0.203 0,932 0.17 24.99 3.25
10 0.600 0,800 3.00 6.45 2,04 60 0.200 0.933 0.17 25.35 3.27
11 0.577 0.808 2.62 6.87 2.07 61 0.197 0.934 0.16 25.72 3.29
12 0.556 0.815 2.31 7.28 2.10 62 0.195 0.935 0.16 26.09 3,31
13 0.536 0,821 2.06 7.69 2,13 63 0.192 0.936 0.15 26.46 3.33
14 0,517 0,828 1.85 8.09 2,16 64 0.190 0.937 0.15 26.83 3.35
15 0.500 0.833 1.67 8.49 2.19 65 0.188 0.938 0.14 27.19 3,37
16 0.484 0,839 1,51 8.88 2,22 66 0.185 0.938 0.14 27.56 3,39
17 0,469 0,844 1.38 9.27 2,25 67 0.183 0.939 0.14 27.93 3.41
18 0.455 0,848 1.26 9.66 2,28 68 0.181 0,940 0,13 28.30 3,43
19 0,441 0,853 1.16 10.05 2,31 69 0.179 0.940 0.13 28.67 3.45
20 0.429 0,857 1,07 10.43 2.33 70 0.176 0,941 0.13 29.03 3.47
21 0.417 0.861 0.99 10.82 2.36 71 0.174 0.942 0.12 29.40 3.49
22 0.405 0.865 0.92 11.20 2.39 72 0.172 0.943 0.12 29.77 3.51
23 0,395 0.868 0.86 11.58 2.42 73 0.170 0.943 0.12 30.14 3.53
24 0,385 0.872 0.80 11.96 2.44 74 0.169 0.944 0.11 30.50 3.55
25 0,375 0,875 0.75 12.34 2.47 75 0.167 0.944 0.11 30.87 3.56
26 0,366 0,878 0.70 12.72 2,50 76 0.165 0.945 0.11 31.24 3.58
27 0,357 0,881 0,66 13.10 2,52 77 0,163 0,946 0.11 31.60 3.60
28 0.349 0,884 0.62 13.48 2,55 78 0,161 0.946 0.10 31.97 3.62
29 0.341 0,886 0.59 13.85 2,57 79 0,160 0.947 0.10 32.34 3.64
30 0.333 0.889 0.56 14.23 2.60 80 0,158 0.947 0.10 32.71 3.66
31 0.326 0.891 0.53 14.61 2,62 81 0.156 0,948 0.10 33.07 3.67
32 0,319 0,894 0.50 14.98 2,65 82 0.155 0.948 0.09 33.44 3.69
33 0.313 0,896 0.47 15.35 2,67 83 0.153 0.949 0.09 33.81 3,71
34 0,306 0.898 0.45 15,73 2,70 84 0,152 0.949 0.09 34.17 3.73
35 0,300 0,900 0.43 16.10 2,72 85 0.150 0.950 0.09 34.54 3.75
36 0,294 0,902 0.41 16.47 2,75 86 0.149 0.950 0.09 34.91 3.76
37 0,288 0,904 0.39 16.85 2.77 87 0.147 0.951 0.08 35.27 3.78
38 0,283 0,906 0.37 17.22 2,79 88 0.146 0.951 0.08 35.64 3.80
39 0,278 0,907 0.36 17.59 2,82 89 0.144 0.952 0.08 36.01 3.82
40 0,273 0,909 0.34 17.96 2,84 90 0.143 0.952 0.08 36.37 3.83
41 0.268 0,911 0.33 18.33 2,86 91 0.142 0.953 0.08 36.74 3.85
42 0,263 0.912 0.31 18.71 2,8992 0.140 0.953 0.08 37.11 3.87
43 0,259 0.914 0.30 19.08 2,91 93 0.139 0.954 0.07 37.47 3.89
44 0,254 0.915 0.29 19.45 2,93 94 0.138 0.954 0.07 37.84 3.90
45 0,250 0.917 0.28 19.82 2,95 95 0.136 0.955 0.07 38.21 3.92
46 0,246 0.918 0,27 20.19 2,98 96 0.135 0.955 0.07 38.57 3,94
47 0.242 0,919 0,26 20.56 3,00 97 0.134 0,955 0.07 38.94 3.95
48 0.238 0,921 0.25 20.93 3,02 98 0.133 0.956 0.07 39.31 3.97
49 0,234 0,922 0.24 21.30 3,04 99 0,132 0.956 0.07 39.67 3.99
50 0,231 0.923 0.23 21.67 3.06 100 0.130 0.957 0.07 40.04 4.00
T A B E L A V B - TABELA UNIVERSAL DE CÁLCULO À FLEXÃO NO ESTÁDIO I I n = 2 5
m K K 100 p Y. Yriv
1 0.962 0.679 48,08 1.75 1.75
2 0.926 0.691 23,15 2,50 1.77
3 0.893 0.702 14.88 3,09 1.79
4 0.862 0.713 10.78 3,61 1.80
5 0.833 0.722 8.33 4.08 1.82
6 0.806 0.731 6,72 4,51 1,84
7 0.781 0.740 5.58 4.92 1.86
8 0.758 0.747 4,73 5,32 1.88
9 0.735 0.755 4.08 5.69 1.90
10 0.714 0.762 3,57 6.06 1,92
11 0.694 0.769 3,16 6,42 1,94
12 0.676 0.775 2,82 6.77 1.95
13 0.658 0.781 2,53 7.11 1.97
14 0.641 0.786 2,29 7.45 1.99
15 0.625 0.792 2,08 7.79 2.01
16 0.610 0.797 1,91 8.12 2.03
17 0.595 0.802 1,75 8.44 2.05
18 0.581 0.806 1.61 8,76 2.07
19 0.568 0.811 1,50 9,08 2.08
20 0.556 0.815 1,39 9,40 2,10
21 0.543 0.819 1,29 9,71 2,12
22 0.532 0.823 1.21 10.03 2.14
23 0.521 0.826 1,13 10.34 2.16
24 0.510 0.830 1,06 10.65 2.17
25 0.500 0.833 1,00 10.95 2.19
26 0.490 0.837 0,94 11,26 2,21
27 0.481 0.840 0,89 11,57 2.23
28 0.472 0.843 0,84 11,87 2,24
29 0.463 0.846 0,80 12,17 2.26
30 0.455 0.848 0,76 12,47 2.28
31 0.446 0.851 0,72 12,77 2.29
32 0.439 0.854 0,69 13.07 2.31
33 0.431 0.856 0,65 13,37 2.33
34 0.424 0.859 0,62 13,67 2.34
35 0.417 0.861 0.60 13,97 2,36
36 0.410 0.863 0,57 14,26 2,38
37 0.403 0.866 0.54 14,56 2.39
38 0.397 0.868 0,52 14,86 2.41
39 0.391 0.870 0,50 15,15 2.43
40 0.385 0.872 0.48 15.45 2,44
41 0.379 0.874 0,46 15,74 2,46
42 0.373 0.876 0.44 16.03 2.47
43 0.368 0.877 0,43 16,33 2,49
44 0.362 0.879 0.41 16,62 2,51
45 0.357 0.881 0.40 16,91 2,52
46 0.352 0.883 0.38 17,21 2,54
47 0.347 0.884 0,37 17.50 2,55
48 0.342 0.886 0.36 17.79 2,57
49 0.338 0,887 0,34 18,08 2,58
50 0.333 0.889 0.33 18,37 2,60
m K K 100 p Y. Y*
51 0.329 0.890 0,32 18.66 2.61
52 0.325 0.892 0.31 18.95 2.63
53 0.321 0.893 0.30 19,24 2.64
54 0.316 0.895 0,29 19.53 2.66
55 0.313 0.896 0.28 19.82 2.67
56 0.309 0.897 0,28 20,11 2.69
57 0.305 0.898 0.27 20,40 2.70
58 0.301 0.900 0.26 20.69 2.72
59 0.298 0.901 0.25 20.98 2,73
60 0.294 0.902 0,25 21,27 2.75
61 0.291 0.903 0,24 21,56 2.76
62 0.287 0.904 0,23 21,85 2.77
63 0.284 0.905 0,23 22,13 2.79
64 0.281 0.906 0,22 22,42 2.80
65 0.278 0.907 0.21 22,71 2,82
66 0.275 0.908 0,21 23,00 2,83
67 0.272 0.909 0,20 23,29 2,84
68 0.269 0.910 0,20 23,57 2,86
69 0.266 0,911 0,19 23.86 2,87
70 0.263 0.912 0.19 24.15 2.89
71 0.260 0.913 0,18 24,44 2,90
72 0,258 0.914 0,18 24,72 2.91
73 0.255 0.915 0.17 25,01 2.93
74 0.253 0.916 0,17 25,30 2.94
75 0.250 0.917 0,17 25,58 2,95
76 0.248 0.917 0,16 25,87 2,97
77 0.245 0.918 0,16 26.16 2.98
78 0.243
n oa(\
0.919 0,16
A < C
26.44 2.99
O A 1 79
80
U . t H U
0.238
0.920
0.921
0,15
0.15
c O , / O
27,02
3.01
3.02
81 0.236 0.921 0,15 27,30 3,03
82 0.234 0.922 0,14 27,59 3,05
83 0,231 0.923 0,14 27,88 3.06
84 0.229 0.924 0,14 28.16 3.07
85 0.227 "0.924 0,13 28,45 3,09
86 0.225 0.925 0,13 28.73 3,10
87 0.223 0.926 0,13 29,02 3.11
88 0.221 0.926 0,13 29,31 3,12
89 0.219 0.927 0.12 29,59 3,14
90 0.217 0.928 0.12 29.88 3,15
91 0.216 0.928 0,12 30,16 3,16
92 0.214 0.929 0.12 30,45 3.17
93 0.212 0.929 0,11 30,73 3,19
94 0.210 0.930 0,11 31,02 3,20
95 0.208 0.931 0,11 31,31 3.21
96 0.207 0.931 0.11 31,59 3,22
97 0.205 0.932 0.11 31.88 3,24
98 0.203 0.932 0.10 32.16 3,25
99 0.202 0.933 0,10 32,45 3,26
100 0.200 0.933 0,10 32,73 3,27
T A B E L A V C - TABELA UNIVERSAL DE CÁLCULO À FLEXÃO NO ESTÁDIO I I n = 3 5
m K k. 100 p Y. 'U m k. k, 100 p Y. 'U
1 0.972 0.676 48,61 1.74 1.74 51 0,407 0.864 0,40 17,03 2.38
2 0.946 0.685 23.65 2,49 1,76 52 0,402 0.866 0,39 17,28 2.40
3 0.921 0.693 15.35 3,07 1.77 53 0,398 0.867 0,38 17,53 2.41
4 0.897 0.701 11,22 3.57 1,78 54 0,393 0.869 0,36 17.78 2.42
5 0.875 0.708 8.75 4.02 1,80 55 0.389 0.870 0,35 18,03 2.43
6 0.854 0.715 7.11 4.43 1.81 56 0.385 0.872 0,34 18.28 2.44
7 0.833 0.722 5.95 4.82 1,82 57 0.380 0.873 0,33 18,53 2.45
8 0.814 0.729 5.09 5.19 1.84 58 0,376 0.875 0.32 18,77 2.47
9 0.795 0.735 4.42 5.55 1,85 59 0.372 0.876 0.32 19.02 2.48
10 0.778 0.741 3.89 5.89 1,86 60 0.368 0.877 0,31 19,27 2.49
11 0.761 0,746 3.46 6.22 1,88 61 0,365 0.878 0,30 19,52 2,50
12 0.745 0.752 3,10 6.55 1,89 62 0,361 0.880 0,29 19,76 2,51
13 0.729 0,757 2.80 6.86 1,90 63 0.357 0.881 0.28 20,01 2.52
14 0.714 0.762 2,55 7.17 1,92 64 0,354 0.882 0,28 20.26 2.53
15 0.700 0,767 2,33 7.48 1,93 65 0,350 0.883 0,27 20,51 2.54
16 0.686 0.771 2,14 7.78 1.94 66 0.347 0.884 0.26 20,75 2.55
17 0.673 0.776 1,98 8.07 1.96 67 0.343 0.886 0.26 21.00 2.57
18 0.660 0.780 1,83 8.36 1.97
—
68 0.340 0.887 0.25 21.25 2.58
19 0.648 0.784 1.71 8.65 1.98 — 69 0.337 0.888 0,24 21,49 2.59
20 0.636 0.788 1,59 8.93 2.00 70 0.333 0.889 0,24 21,74 2.60
21 0.625 0,792 1,49 9,21 2,01 71 0.330 0.890 0,23 21,98 2,61
22 0.614 0.795 1,40 9.49 2.02 72 0.327 0.891 0,23 22,23 2,62
23 0.603 0,799 1.31 9.77 2.04 73 0.324 0.892 0.22 22.47 2,63
24 0.593 0.802 1,24 10.04 2.05 74 0.321 0.893 0.22 22.72 2.64
25 0.583 0.806 1.17 10.32 2.06 75 0.318 0.894 0.21 22.96 2.65
26 0.574 0.809 1.10 10.59 2,08 76 0.315 0.895 0,21 23.21 2.66
27 0.565 0.812 1,05 10.85 2.09
—
77 0.313 0.896 0.20 23.45 2.67
28 0.556 0.815 0.99 11.12 2.10 — 78 0.310 0.897 0.20
0.19
23.70 2.68
29 0.547 0.818 0,94 11.39 2.11 79 0.307 0.898
0.20
0.19 23.94 2.69
30 0.538 0.821 0.90 11.65 2.13 80 0.304 0.899 0,19 24,19 2.70
31 0.530 0,823 0,86 11.92 2.14 81 0,302 0.899 0,19 24.43 2.71
32 0.522 0,826 0.82 12.18 2.15 82 0.299 0.900 0,18 24,68 2.73
33 0.515 0,828 0.78 12.44 2.17 83 0,297 0,901 0,18 24,92 2.74
34 0.507 0.831 0,75 12.70 2.18 84 0,294 0.902 0,18 25,17 2.75
35 0.500 0.833 0,71 12.96 2.19 85 0.292 0.903 0.17 25.41 2.76
36 0.493 0.836 0.68 13.22 2.20 86 0.289 0.904 0.17 25.65 2.77
37 0.486 0.838 0.66 13.48 2.22 87 0.287 0.904 0,16 25.90 2.78
38 0.479 0.840 0,63 13.74 2.23 88 0.285 0.905 0,16 26.14 2.79
39 0.473 0.842 0.61 13.99 2.24
—
89 0.282 0.906 0.16 26.38 2.80
40 0.467 0,844 0.58 14,25 2.25 — 90 0.280 0.907 0,16 26,63 2.81
41 0.461 0,846 0,56 14,50 2.27 91 0,278 0,907 0,15 26.87 2.82
42 0.455 0,848 0,54 14.76 2.28 92 0,276 0.908 0,15 27,11 2.83
43 0.449 0,850 0,52 15,01 2.29 93 0.273 0.909 0,15 27.36 2.84
44 0.443 0.852 0,50 15,27 2.30 94 0,271 0.910 0,14 27.60 2.85
45 0.438 0.854 0,49 15.52 2.31 95 0.269 0.910 0,14 27,84 2.86
46 0.432 0.856 0,47 15.77 2,33 96 0.267 0.911 0,14 28,09 2.87
47 0.427 0.858 0,45 16,02 2,34 97 0.265 0.912 0,14 28,33 2.88
48 0.422 0.859 0.44 16,28 2,35 98 0.263 0.912 0,13 28,57 2.89
49 0.417 0.861 0,43 16,53 2,36 99 0.261 0.913 0,13 28,82 2.90
50 0.412 0.863 0.41 16.78 2.37 100 0.259 0.914 0,13 29.06 2.91
T A B E L A V D - TABELA UNIVERSAL DE CÁLCULO À FLEXÃO NO ESTÁDIO I I n = 4 5
m K K 100p Y. Y-r m k. k, 100 p Y. Y*
1 0.978 0,674 48.91 1.74 1.74 51 0.469 0,844 0.46 16.06 2.25
2 0.957 0.681 23.94 2.48 1.75 52 0.464 0.845 0,45 16.28 2,26
3 0.938 0.688 15.63 3.05 1.76 53 0.459 0.847 0.43 16.51 2,27
4 0.918 0.694 11.48 3.54 1.77 54 0.455 0.848 0.42 16.73 2,28
5 0.900 0.700 9.00 3.98 1.78 55 0.450 0.850 0.41 16.96 2.29
6 0.882 0.706 7.35 4.39 1.79 56 0,446 0.851 0.40 17,18 2.30
7 0.865 0.712 6.18 4.77 1.80 57 0.441 0,853 0.39 17.41 2.31
8 0.849 0.717 5.31 5.13 1.81 58 0,437 0,854 0.38 17,63 2,31
9 0.833 0.722 4.63 5.471.82 59 0.433 0,856 0.37 17.85 2.32
10 0.818 0.727 4.09 5.80 1.83 60 0.429 0,857 0.36 18.07 2,33
11 0.804 0.732 3.65 6.12 1.84 61 0.425 0,858 0.35 18.30 2.34
12 0.789 0.737 3.29 6.42 1.85 62 0.421 0.860 0.34 18,52 2.35
13 0.776 0.741 2.98 6.72 1.86 63 0.417 0.861 0.33 18.74 2.36
14 0.763 0.746 2.72 7.02 1.88 64 0.413 0.862 0.32 18.96 2.37
15 0.750 0,750 2.50 7.30 1.89 65 0.409 0.864 0.31 19.18 2.38
16 0.738 0.754 2.31 7.58 1.90 66 0.405 0,865 0.31 19,40 2.39
17 0.726 0.758 2.13 7.86 1.91 67 0.402 0.866 0.30 19,62 2.40
18 0.714 0.762 1.98 8.13 1.92 68 0.398 0.867 0.29 19.84 2.41
19 0.703 0.766 1.85 8.40 1.93 69 0.395 0,868 0.29 20.06 2.42
20 0.692 0.769 1.73 8.67 1.94 70 0.391 0,870 0.28 20.28 2.42
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22 0.672 0.776 1.53 9.19 1,96 72 0.385 0.872 0.27 20.72 2,44
23 0.662 0.779 1,44 9.44 1.97 73 0.381 0,873 0.26 20.94 2.45
24 0.652 0.783 1,36 9.70 1.98 74 0.378 0,874 0,26 21.16 2.46
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44 0.506 0.831 0.57 14.47 2,18 94 0.324 0,892 0.17 25.51 2.63
45 0.500 0.833 0.56 14.70 2.19 95 0.321 0,893 0.17 25.73 2.64
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48 0.484 0.839 0.50 15.38 2.22 98 0,315 0.895 0.16 26.38 2,66
49 0.479 0.840 0.49 15.61 2.23 99 0.313 0.896 0.16 26.59 2.67
50 0.474 0.842 0.47 15.83 2.24 100 0.310 0.897 0.16 26.81 2.68
T A B E L A V E - TABELA UNIVERSAL DE CÁLCULO À FLEXÃO NO ESTÁDIO I I N = 5 5
m K k. 100 p Y. 'U m K K 100 p Y. •u
1 0.982 0.673 49.11 1,74 1.74 51 0.519 0.827 0.51 15.42 2.16
2 0.965 0.678 24.12 2.47 1.75 52 0,514 0.829 0,49 15.63 2.17
3 0.948 0.684 15,80 3.04 1.76 53 0,509 0.830 0,48 15.83 2.17
4 0.932 0.689 11.65 3.53 1.76 54 0,505 0.832 0,47 16.04 2.18
5 0.917 0.694 9.17 3.96 1.77 55 0,500 0.833 0,45 16.25 2.19
6 0,902 0.699 7.51 4.36 1.78 56 0,495 0.835 0.44 16.45 2.20
7 0.887 0.704 6,34 4.73 1.79
—
57 0.491
0.487
0.836 0,43 16.66 2.21
8 0.873 0.709 5.46 5.08 1.80 — 58
0.491
0.487 0.838 0.42 16.87 2.21
9 0.859 0.714 4.77 5.42 1.81 59 0,482 0.839 0.41 17.07 2.22
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11 0.833 0.722 3.79 6,05 1.82 61 0,474 0.842 0,39 17.48 2.24
12 0.821 0.726 3.42 6,34 1.83 62 0.470 0.843 0.38 17.69 2.25
13 0.809 0.730 3.11 6,63 1.84 63 0.466 0.845 0,37 17.89 2.25
14 0.797 0.734 2.85 6.92 1.85 64 0,462 0.846 0.36 18.09 2.26
15 0.786 0.738 2,62 7,19 1.86 65 0,458 0.847 0,35 18.30 2.27
16 0.775 0,742 2.42 7.46 1.87 66 0,455 0.848 0.34 18,50 2.28
17 0.764 0.745 2.25 7.73 1.87 67 0.451 0,850 0.34 18.70 2.28
18 0.753 0.749 2,09 7.99 1,88 68 0.447 0.851 0.33 18.91 2,29
19 0.743 0,752 1.96 8,24 1.89 69 0.444 0.852 0,32 19.11 2.30
20 0.733 0.756 1.83 8.50 1.90 70 0.440 0.853 0.31 19.31 2.31
21 0.724 0.759 1.72 8,75 1,91 71 0,437 0.854 0.31 19.51 2.32
?? 0.714 0.762 1.62 8,99 1.92 72 0,433 0.856 0,30 19.71 2.32
23 0.705 0.765 1.53 9.23 1.93 73 0.430 0,857 0,29 19.91 2.33
24 0.696 0.768 1.45 9.48 1.93 74 0.426 0.858 0,29 20.12 2.34
25 0,688 0.771 1.38 9.71 1.94 75 0.423 0.859 0.28 20.32 2.35
26 0.679 0.774 1.31 9.95 1.95 76 0.420 0.860 0.28 20.52 2.35
21 0.671 0.776 1.24 10.18 1.96 77 0.417 0.861 0.27 20.72 2.36
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29 0.655 0.782 1.13 10.64 1.98 79 0.410 0.863 0,26 21.12 2.38
30 0.647 0,784 1.08 10.87 1.99 80 0,407 0.864 0.25 21.32 2.38
31 0.640 0,787 1.03 11.10 1.99 81 0,404 0.865 0.25 21.52 2.39
32 0.632 0.789 0.99 11.33 2.00 82 0.401 0.866 0.24 21.72 2.40
33 0.625 0.792 0.95 11.55 2,01 83 0.399 0,867 0,24 21.92 2.41
34 0.618 0,794 0.91 11.77 2.02 84 0.396 0.868 0.24 22.12 2.41
35 0.611 0,796 0.87 11.99 2.03 85 0,393 0.869 0.23 22.31 2.42
36 0.604 0.799 0.84 12.21 2.04 86 0,390 0.870 0.23 22.51 2.43
37 0.598 0.801 0.81 12.43 2.04 87 0,387 0.871 0.22 22.71 2.43
38 0.591 0,803 0.78 12.65 2.05 88 0.385 0.872 0.22 22.91 2.44
30 0.S8S 0,805 0.75 12,07 2,05 80 0,382 0.873 0,21 23.11 2.45
40 0.579 0,807 0.72 13.09 2.07 90 0,379 0.874 0,21 23.31 2.46
41 0.573 0,809 0,70 13.30 2.08
2.09
91 0,377 0.874 0,21 23.51 2.46
42 0.567 0.811 0.68 13.52
2.08
2.09 92 0,374 0.875 0.20 23.70 2.47
43 0.561 0,813 0.65 13.73 2.09 93 0.372 0.876 0.20 23.90 2.48
44 0.556 0,815 0.63 13.94 2.10 94 0,369 0.877 0.20 24,10 2.49
45 0.550 0,817 0.61 14.16 2.11 95 0.367 0.878 0.19 24.30 2.49
46 0.545 0,818 0.59 14.37 2.12 96 0,364 0.879 0.19 24.49 2.50
47 0.539 0,820 0.57 14.58 2.13 97 0.362 0.879 0.19 24.69 2.51
48 0.534 0.822 0.56 14,79 2,13 98 0.359 0.880 0.18 24,89 2.51
49 0.529 0,824 0.54 15.00 2.14 99 0,357 0.881 0.18 25.09 2.52
50 0.524 0,825 0,52 15.21 2.15 100 0.355 0,882 0.18 25,28 2.53
Márcio Roberto Silva Corrêa
Engenheiro Civil (1979), pela Universidade
Federal de Juiz de Fora. Mestre (1983), Doutor
(1991), pela Escola de Engenharia de Sáo
Carlos, Universidade de Sáo Paulo, onde
atualmente é Professor Doutor Fez Pós-
Doutorado (2001) na University ol Newcastle,
Australia Leciona disciplinas em nível de
graduação e pós-graduação nas áreas de
resistência dos materiais, atvenana estrutural o
análise de estruturas de concreto Desenvolve
pesquisa nas referidas áreas, com dezenas de
trabalhos publicados em revistas, congressos e
outros eventos denfficos no Brasil e no exterior.
Tem experiência profissional em projeto de
estruturas de concreto e alvenaria Ministrou
vários cursos em universidades o associações
de engenheiros no Brasil Proferiu palestras em
universidades no Brasil o no exterior. Foi membro
da comissão executiva da nova NB-1. tendo
participado diretamente na redação de alguns de
seus capítulos.
O presente texto compreende uma atual e
ampla cobertura dos vários aspectos do
projeto estrutural e reflete o estado da arte
do projeto e prática de alvenaria no Brasil.
Uma vez que os princípios do projeto da
alvenaria são universais, grande parte do
material apresentado é igualmente aplicável
à construção em alvenaria em outros países.
O livro é relevante não apenas para alunos,
como também para pesquisadores e engenheiros
projetistas, e vem se juntar ao relativamente
reduzido número de textos amplos sobre projeto
de alvenaria disponíveis na literatura mundial.