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Guía Modelos Discretos I Modelos Discretos 1. Un hospital de niños informa hace poco que solo el 40% de los niños sobreviven a un determinado tipo de accidente. En un mes dado el hospital recibe 9 niños que sufrieron la lesión en cuestión a) Defina la variable y su distribución. b) ¿Cuál es la probabilidad de que los 9 niños sobrevivan c) Las instalaciones del hospital tienen una capacidad para tratar no más de 5 casos de este tipo, ¿Cuál es la probabilidad de que el hospital sea sobrepasado en su capacidad? d) ¿Cuántos de los 9 niños pueden esperar los médicos que sobrevivan? e) ¿Cuál es la desviación estándar de niños que sobreviven? Solución: a) Variable: número de niños que sobreviven a un determinado tipo de accidente de un total de 9. Distribución Binomial, n = 9 y p = 0,4 b) 00026,06,04,0 9 9 )9( 09 XP c) 0993,0000262,06,0*000655,0*936,0*001638,0*36216,0*004096,0*84 6,04,0 9 9 6,04,0 8 9 6,04,0 7 9 6,04,0 6 9 )5(1)5( 09182736 XPXP d) 6,34,0*9*)( pnXE niños e) 47,16,0*4,0*9)( XVar niños 2. Diez individuos, cada uno de ellos propenso a la tuberculosis, entran en contacto con un portador de la enfermedad. La probabilidad de que la persona se contagie del portador a un sujeto cualquiera es 0,10. a) Diga cuál en el nombre de la variable en este problema. b) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos dos personas contraigan la enfermedad? c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 8 no se contagien con la enfermedad? d) ¿Cuántos se espera que contraigan la enfermedad? e) ¿Cuál es la desviación estándar de los que contraen la enfermedad? Solución: a) Variable: número de personas que contraen la enfermedad en un total de 10. b) c) Y: número de personas que no se contagian de la enfermedad 9298,03487,01,0*3874,0*1001,0*43046,0*45 1,09,0 10 10 1,09,0 9 10 1,09,0 8 10 )10()9()8()8( 0101928 XPXPXPXP d) personapnXE ..11,010)( e) personasDSpersonasppnXVar ..9486,09,0.9,09,01,010)1()( 2 3. En una encuesta reciente, se obtuvo que el 60% de las dueñas(os) de casa de la octava región prefieren comprar un televisor de la marca A. Si se entrevista a un grupo de personas de forma aleatoria de la misma región: a) ¿Cuál es la probabilidad de que se tenga que entrevistar a exactamente cinco personas para obtener la primera dueña(o) de casa que prefiere comprar el televisor de la marca A? b) ¿Cuál es la probabilidad de que se tenga que entrevistar a exactamente cinco personas para obtener dos dueñas(os) de casa que prefieran comprar el televisor de la marca A? c) ¿Cuál es la probabilidad de que se tenga que entrevistar al menos a 3 personas para obtener la primera dueña(o) de casa que prefiere comprar el televisor de la marca A? Solución: a) 01536,06,0*4,0)5( 4 XP b) 09216,036,0*064,0*46,0*4,0 1 4 )5( 23 XP c) 16,0 6,0*4,06,016,0*4,06,0*4,01)2()1(1)3(1)3( 10 XPXPXPXP 4. Un alumno que vive en una zona rural de la Quinta Región va todos los días de la semana a su colegio en bicicleta. En el camino, hay 6 semáforos que funcionan de forma independiente. La probabilidad de que un semáforo cualquiera esté en verde es 2/3. Se supone que este alumno solo pasa cuando el semáforo está en verde y que se detiene cuando el semáforo está en rojo o en amarillo. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día cualquiera, cuando se traslada hacia su colegio, le toquen todos los semáforos en verde b) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día cualquiera, cuando se traslada hacia su colegio, le toquen a lo más la mitad de los semáforos en verde? Solución: X~Binomial(n=6,p=2/3). a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día cualquiera, cuando se traslada hacia su colegio, le toquen todos los semáforos en verde Se busca P(X=6), usando la función de masa de la distribución Binomial se tiene: 𝑃(𝑋 = 6) = ( 6 6 ) ∗ 0.676 ∗ 0.330 ≈ 0.09 b) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día cualquiera, cuando se traslada hacia su colegio, le toquen a lo más la mitad de los semáforos en verde? 𝑃(𝑋 ≤ 3) = 𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) + 𝑃(𝑋 = 3) = ( 6 0 ) ∗ 0.670 ∗ 0.336 + ( 6 1 ) ∗ 0.671 ∗ 0.335 + ( 6 2 ) ∗ 0.672 ∗ 0.334 + ( 6 6 ) ∗ 0.673 ∗ 0.333 ≈ 0.001 + 0.016 + 0.080 + 0.216 ≈ 0.313 5. El peso de un moderno zapato deportivo para correr tiene una distribución normal con media 12 onzas y desviación estándar de 0,5 onzas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el zapato pese más de 13 onzas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el zapato pese entre 12,5 y 13,5 onzas? c) ¿Sobre qué peso se encuentra el 25% de los pesos de los zapatos? d) ¿Cuál debe ser la desviación estándar del peso para que la compañía que los produce pueda garantizar que el 99,9% de los zapatos tiene un peso menor que 13 onzas? Solución: b) 1574,08413,09987,0)31( 5,0 125,13 5,0 125,12 )5,135,12( ZPZPXP c) 335,1267,0 5,0 12 75,0 5,0 12 75,0)(25,0)( x xx ZPxXPxXP El 25% del peso de los zapatos se encuentran sobre 12,335 onzas. d) 6. 7. 8. Solución 9. 10. 11. En una industria, después de un estudio de control de calidad, se concluyó que el 60% de los artículos producidos cumplen con las normas exigidas. Se eligen cinco artículos de la producción, al azar y en forma independiente, se controla su calidad. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Resulte exactamente un artículo que no cumple con las normas exigidas?. b) Todos los artículos elegidos cumplan con las normas exigidas?. 12. Según una empresa, el 40% de los automóviles que circulan en la ciudad de Santiago contaminan el ambiente eliminando más cantidad de monóxido de carbono del permitido. Una comisión Municipal examina 10 automóviles. ¿Cuál es la probabilidad de que encuentre por lo menos dos infractores?. 13. En una gran compañía de camiones de carga hay un promedio de dos camiones inactivos en un día cualquiera, debido a reparaciones. Si el número de camiones inactivos es una v.a. con distribución de Poisson y la compañía tiene dos camiones extras. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día : a) No se necesiten camiones extras. b) El número de camiones extras sea suficiente. 14. En una fábrica de pantallas de televisores se tiene un stock de 35 pantallas y se sabe que cuatro están defectuosas. Se realiza un muestreo sin reposición, tomando al azar 10 de estas pantallas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que las 10 pantallas estén buenas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que tres pantallas estén malas?. c) ¿Cuál es la probabilidad de al menos ocho pantallas estén buenas? d) ¿Cuál es el número esperado de pantallas buenas?. 15. En una editorial se sabe que en la primera edición de los libros, el número de errores promedio por página es de 0,8. Se toma un libro que ha sido editado una vez y se realiza control de calidad. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un capítulo de 28 páginas se encuentren exactamente dos errores?. b) ¿Cuál es la probabilidad de que en un libro de 200 páginas, editado por primera vez se encuentren entre 10 y 13 errores (inclusive)?. c) ¿Cuál es la probabilidad de que en un 10 hojas se encuentren a lo menos dos errores?. 16. En una empresa los trabajadores faltan en promediouna vez en 30 días. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador falte una o dos veces en quince días? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador falte a lo menos tres días en dos meses?.
