Guia4_Cap2_Esperanza, Varianza

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Ejercicios Resueltos de Probabilidad Profesor: Víctor Correa S. 
 
Semestre 1 2013 Capítulo 2: Esperanza y Varianza 
 
Warning: This section may be bad for your academic health. In order to get any 
benefit from doing de exercises, do not look at the hints until you have given the 
problem an honest try are stuck. More importantly, never look at the partial solutions 
below until you have finished that exercise yourself. The use the answer only to check 
that you have not made a mistake . “Working backwards” from a solution will never 
teach you crucial solving skill. 
 
George R, Terrel, pag. 437, “Mathematical Statistics: A Unified Introduction”, 1999 
Springer. 
 
 
Ejemplo 1 
Considera una variable aleatoria X con rango R = { 2, 3, 5, 7} tal que: 
P( X = 2) = P(X= 5) = ¼, P(X=3) = 3/8 y P(X=7) = 1/8. 
 
Determina E[X], E[X
2
] y Var[X]. 
Solución 
E(X) = 2*(1/4) + 3*(1/4) + 5*(3/8) + 7*(1/8) = 4 
 
E(X
2
) = 2
2
*(1/4) + 3
2
*(1/4) + 5
2
*(3/8) + 7
2
*(1/8) = 18,75 
 
Usando la fórmula abreviada para la varianza, Var(X) = E(X2) - E(X)2 
 
Var(X) = E(X
2
) - E(X)
2 
= 18,75 - 4
2
 = 2,75 
 
 
Ejemplo 2 
Considera una variable aleatoria X con función de probabilidad 
p(k) = k/15 si k = 1,2,3,4,5. 
 
Determina E[X], E[X
2
] y Var[X] 
Solución 
E(X) = 1*0,067 + 2*0,133 + 3*0,200 + 4*0,267 + 5*0,333 = 3,666 
 
E(X
2
) = 1
2
*0,067 + 2
2
*0,133 + 3
2
*0,200 + 4
2
*0,267 +5
2
*0,333 = 14,996 
 
Var(X) = E(X
2
) - E(X)
2 
= 14,996 – 13,440 = 1,556 
. 
 
Ejemplo 3 
Sea Y = N° que resulta en el lanzamiento de un dado equilibrado. 
 
a) Determina E[Y], E[Y2] y Var[Y] 
b) Determina E[ 2Y2 +1] 
 
 2 
Solución 
La función de probabilidad es p(k) = P( X = k), así la tabla queda: 
 
Valor k 1 2 3 4 5 6 Total 
 p(k) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1,0 
 
Es decir, la distribución es uniforme. 
 
a) 
E(X) = 1*(1/6) + 2*(1/6) + 3*(1/6) + 4*(1/6) + 5*(1/6) + 6*(1/6) = 3,5 
 
E(X
2
) = 1
2
*(1/6) + 2
2
*(1/6) + 3
2
*(1/6) + 4
2
*(1/6) +5
2
*(1/6) + 6
2
*(1/6) = 91/6 =15,167 
 
Var(X) = E(X
2
) - E(X)
2 
= 15,167 – 3,5
2
 = 3,267 
 
b) 
E[ 2Y
2
 +1] = (2*1
2
+1)*1/6 + (2*2
2
+1)*1/6 +(2*3
2
+1)*1/6+(2*4
2
+1)*1/6+(2*5
2
+1)*1/6 + (2*6
2
+1)*1/6 
 = 94/3 
 
 
Ejemplo 4 
El número de “completos” que se venden en un puesto durante un partido de fútbol 
tiene la siguiente distribución de probabilidades: 
 
Número: 800 900 1000 1300 1400 
Probabilidad: 0,05 0,30 0,35 0,25 0,05 
 
El vendedor paga $200 por cada completo y los vende a $450. Por lo tanto, por cada 
uno que vende gana $250, y por cada uno que no vende pierde $200. 
 
a) Encuentra la media y varianza de la Ganancia del vendedor si ordena 1100 
completos. 
b) Si el vendedor quiere maximizar su ganancia esperada, ¿cuántos completos debe 
ordenar: 1100 o 1200? 
 
Solución 
La ganancia por completo, si ordena 1100 y vende N es G = 250*N – (1100-N)*200. Entonces, la 
distribución de probabilidad de G es: 
 
Si X = 800, N=800, es G = 250*N – (1100-N)*200 =140 
Si X = 900, N=900, es G = 250*N – (1100-N)*200 =185 
Si X = 1000, N=800, es G = 250*N – (1100-N)*200 =230 
Si X = 1300, N=1100, es G = 250*N – (1100-N)*200 =275 
Si X = 1400, N=1100, es G = 250*N – (1100-N)*200 =275 
 
G (miles de $) 140 185 230 275 
Probabilidad: 0,05 0,30 0,35 0,30 
 
a) 
La media es E[G] = 1400,05+1850,30+2300,35+2750,30 = $226. 
Var[G] = (140–226)
2
0,05+(185–226)
2
0,30+(230–226)
2
0,35+(275–226)
2
0,30 = 1.600 
b) 
En este caso: 
Si X = 800, N=800, es G = 250*N – (1200-N)*200 =120 
Si X = 900, N=900, es G = 250*N – (1200-N)*200 =165 
Si X = 1000, N=800, es G = 250*N – (1200-N)*200 =210 
 3 
Si X = 1300, N=1200, es G = 250*N – (1200-N)*200 =300 
Si X = 1400, N=1200, es G = 250*N – (1200-N)*200 =300 
 
La nueva distribución es: 
G (miles de $) 120 165 210 300 
Probabilidad: 0,05 0,30 0,35 0,30 
Entonces, ordenando 1200 la media resulta E[G] = $219, así conviene ordenar 1100 completos. 
 
Ejemplo 5 
Supón que se selecciona al azar una palabra de la oración LA NIÑA SE PUSO SU 
PRECIOSO SOMBRERO ROJO. Si X es el número de letras de la palabra 
seleccionada, ¿cuál es el valor de E[X]? ¿Cómo interpretas el valor anterior? 
 
Solución 
La variable X puede tomar los valores 2; 4 y 8, con probabilidades, 3/8; 3/8 y 2/8. Así se tiene: 
E[X] = 23/8 + 43/8 +82/8 = 4,25. 
 
 
Si realizaras muchas veces, por ejemplo 1.000, el experimento de seleccionar, con 
reemplazo, una palabra de la oración anterior, y contarás el número de letras en cada 
palabra seleccionada, el promedio de los 1.000 conteos anteriores daría 
aproximadamente 4,25 letras por palabra. 
 
La propiedad anterior se llama la Ley de los Grandes Números (LGN) y dice que: 
“Registraremos n observaciones de una variable X y obtendremos: x1, x2, . . ., xn. 
Entonces, si n es grande (n ≥ 30) : 
 
 
 
Ejemplo 6 
Si la varianza de una variable aleatoria X, es 0,8. ¿Cuál es la varianza de las variables 
5X y (X/2) -3? 
Solución 
De las propiedades de la varianza se tiene: Var( 5X ) = 5²Var(X) = 250,8 = 20. 
Var( (X/2) - 3 ) = (1/4)Var(X) + 0 = (1/4)0,8 = 2. 
 
 
Ejemplo 7 (Los Seguros reparten el riesgo) 
Supón que planeas vender un seguro de vida a un amigo que tiene 21 años de edad. La 
probabilidad de que un hombre de 21 años de edad muera el próximo año es alrededor 
de 0,0015, Decides cobrar una póliza de $US 200 y pagaras (de tú bolsillo) $US 
100.000 si tú amigo muere. Determina para tu ganancia G en un año: 
 
a) La función de probabilidad de G. 
b) ¿Cuál es tú ganancia esperada? ¿Cuál es la desviación estándar de la ganancia? 
c) Aunque la ganancia esperada sea positiva, no sería razonable vender a tú amigo la 
póliza, porque tu amigo podría morir y tu tener que pagar los 100.000 dólares. La 
probabilidad 0,0015 revela una frecuencia de muertes en muchas personas de 21 
años, pero no se aplica a una persona individual. Entonces, ¿por qué a una 
compañía de seguros le conviene vender pólizas iguales a la tuya, a cientos de 
personas de 21 años? 
 
E(X) 
...21 

 
n
xxx
 x nn
 4 
Solución 
a) Tú ganaras US$ 200 con probabilidad 0,9985 y perderás $99.800 (100.000 – 200) con probabilidad 
0,0015. Entonces: 
.g: -99.800 200 
.p(g) 0,0015 0,9985 
b) E[ G ] = -99.8000,0015 + 2000,9985 = US$ 50 > 0; Var[ G ] = (-99.800 – 50)20,0015 + ( 
200– 50)
2
0,9985 = 14.977.500 y DE[ G ] = 3.870. 
c) Para la compañía opera la Ley de los Grandes Números: para un gran número de pólizas 
(independientes) como la descrita, la ganancia promedio por cliente será aproximadamente US$50. 
Por ejemplo, si la compañía vende 200 pólizas su ganancia total será aproximadamente 20050 = 
US$ 10.000. 
 
Ejemplo 8 (Jugando en un Casino casi siempre pierdes) 
Considera una ruleta con 38 troneras, una numerada con un 0, otra numerada 00, y el 
resto numeradas de 1 a 36. La probabilidad de que la bola caiga en una tronera 
cualquiera es 1/38. Antes que la bola caiga en una tronera se puede poner las apuestas 
sobre la mesa. 
 
Se puede apostar al color rojo o al negro y a excepción de las troneras numeradas 0 y 
00, que son verdes, el resto son alternativamente rojas y negras. Si apuestas 1000 pesos 
al rojo y sale un número rojo recuperas tus 1000 pesos y ganas otros 1000. Si sale un 
número verde o negro pierdes tus 1000 pesos. 
 
a) Determina la función de probabilidad de la ganancia G de un jugador en una apuesta 
de 1000 pesos al rojo. 
b) Determina la ganancia esperada de un jugador en una apuesta de 1000 pesos al rojo.c) Un juego es justo si el valor esperado de la ganancia neta es igual a cero, de modo 
que en promedio los jugadores ni ganan ni pierden. Un casino generoso debería 
ofrecer algo más de 1000 pesos si un jugador apostase mil pesos al rojo de la ruleta 
y ganase. ¿Cuánto debería pagar para que el juego fuese justo? 
 
Solución 
a) El jugador ganara $ 100 con probabilidad 18/38 y perderá $100 con probabilidad 20/38. Entonces: 
.g: -1000 1000 
.p(g) 18/38 20/38 
b) E[ G ] = -100020/38 + 100018/38 = -53 pesos. 
c) Sea x el pago del casino por una apuesta de 100 pesos. Entonces, para que la apuesta sea justa: 
 E[ G ] = -100020/38 + x18/38 = 0 pesos, entonces, x = 1.111 pesos. 
 
El casino es un negocio gracias a la Ley de los Grandes Números. En un mes, se realizan muchas 
apuestas de $100, así, el casino ganará aproximadamente 53 pesos por apuesta. Por ejemplo, si se 
producen 10000 apuestas independientes, el casino ganará aproximadamente 10.00053 = 530.000 
pesos. 
 
NOTA 
Los dos ejercicios anteriores muestran como la LGN es la responsable de que Casinos y 
Seguros sean “negocios”. 
 
En ambos casos, el negocio consiste en fijar un premio y un pago de modo que la 
ganancia esperada por ensayo sea positiva para el Casino o Compañía de Seguros: 
 
- Ganancia media del casino por jugada: 
 
 5 
 E[ Ganancia ] = $ apuesta  + ( $apuesta – $ premio ) (1- ) > 0 
 
  = Probabilidad de que el casino gane. 
 
- Ganancia media de la compañía de seguros por póliza: 
 
 E[Ganancia] = $prima  + ($ prima – $pago por siniestro) (1- ) > 0 
 
  = Probabilidad de que no haya siniestro, así el seguro gana la prima que paga el 
 cliente. 
 
 En ambos casos se fija 1 -   0 para el cliente. 
 
En las tragamonedas la perdida en el largo plazo es segura, en otras apuestas como el 
Blackjack (veinte y uno) es posible obtener una ganancia positiva. 
 
 
Ejemplo 9 
Dada la va X con f.d.p. f( x ) = 0,02e 
-0,02x
 , si x  0, 0, si no. 
 
Calcular E(X), Var(X) y DE(X). 
 
Solución 
a) 
1)(- 
02,0
02,002,002,0 )( 002,002,0
0
02,0
0
02,0
0
02,0 

 







 ee
e
dxedxedxxf
x
xx 
 
b) 








0
02,0
0
02,0 02,002,0 )( dxxedxexdxxxfEX xx 
Integrando por partes: 
 
2
0
02,0
0
02,0
0
02,0
0
02,0
02,0
1
02,002,0
1
)00(1
02,002,0













 




xxx
x edx
ee
xdxxe 
50
02,0
1
02,0
1
02,0
2
EX 
 
Para la varianza, usaremos Var(X) = E(X
2
) – (E(X))
2
 
 








0
02,02
0
02,0222 02,002,0 )( dxexdxexdxxfxEX xx 
 
Integrando por partes nuevamente: 
 
 6 
32
0
02,0
0
02,0
0
02,0
2
0
02,02
02,0
2
02,0
1
02,0
2
02,0
2
)00(2
02,002,0




 


 


 dxxexdx
ee
xdxex x
xx
x
 
23
2
02,0
2
02,0
2
02,0 EX 
2500
02,0
1
02,0
1
02,0
2
))(()()(
2
2
2
22 





 XEXEXVar 
50)()(  XVarXDE 
 
Ejemplo 10 
Sea X una variable aleatoria con f.d.p., f(x) = 6x(1-x) si 0  x  1, 0 si no. 
 
a) Calcular E(X) y Var(X). 
b) Calcular i) E(1/X); ii) E(1-X); iii) E(X(1-X)) 
 
Solución 
a) 
 5,0)1(6 )()(
1
0
 


dxxxxdxxxfXE 
 3,0)1(6 )()(
1
0
222
 


dxxxxdxxfxXE 
Var[X] = E{X
2
] - E[X]
 2 
= 0,3-(0,5)
2 
 = 1/20 
 
b) 
 3)1(6)1(6
1
 )(
1
)/1(
1
0
1
0
  


dxxdxxx
x
dxxf
x
XE 
 5,0)1(6)1(6)1( )()1()1(
1
0
1
0
2
  


dxxxdxxxxdxxfxXE 
 /51 1/4 - 1/20 -0,5
))(()()()()( )()1()1((
1
0
22

 




XEXVarXEdxxfxdxxxfdxxfxxXXE
 
 
Ejemplo 11 
Sea X una variable aleatoria con función de densidad f(x) = cx +1/2, -1x1. 
a) Calcula la media de la distribución de X. 
b) ¿Para que valor de “c” se minimiza la varianza de X? 
 
Solución 
a) 
 3/2 )2/1(][
1
1
cdxcxxXE   
b) 
Var[X] = E{X
2
] - E[X]
 2
 
 3/1 )2/1(][
1
1
2   dxcxxXE 
 7 
Var[X] = 1/3- (2c/3)
 2 
 = 1/3 - (4/9)c
 2 
 
La función anterior de “c” es una parábola invertida que se hace máxima cuando c = 0. 
 
 
Ejemplo 12 
Un aparato electrónico, tiene una longitud de vida X ( en unidades de 1000 horas) con 
densidad de probabilidad f(x) = e
-x
, para x > 0. 
 
El costo de manufacturar un artículo es de 2 u.m. El fabricante vende este artículo en 5 
u.m., pero garantiza devolución total del pago si X  0,9. ¿Cuál es el beneficio esperado 
del fabricante? 
 
Solución 
El beneficio es una v.a B = 3 (=5-2) si X > 0,9, -2 si X  0,9. Entonces, E[ B ] = 3P[X > 0,9] - 2P[ 
X  0,9]. 
 Ahora, 59,01 ]9,0[ 9,0
9,0
0
  edxeXP
x
. 
Así E[B] = 30,41 - 20,59 = 0,05 u.m. 
 
 
Ejemplo 13 
Si la varianza de una variable aleatoria X, es 0,8. ¿Cuál es la varianza de 
5X y (X/2) -3? 
 
Solución 
De las propiedades de la varianza se tiene: 
Var( 5X ) = 5²Var(X) = 250,8 = 20. 
Var( (X/2) - 3 ) = (1/4)Var(X) + 0 = (1/4)0,8 = 2. 
 
Ejemplo 14 
Considere la función de probabilidad . . . ,.3 ,2 ,1 ,
2
1
)(  xxp
x
 
a) Determine P( X  7). 
b) Determine XeXgXgE 2)( donde )],([  . 
c) Considere la repetición del lanzamiento de una moneda simétrica hasta que aparece 
la primera “Cara”, momento en que se deja de lanzar la moneda. En el experimento 
anterior, interprete p(x) como la probabilidad de que la primera “Cara” aparezca en 
el lanzamiento ”x” de la moneda, con x = 1, 2, 3, . . . . 
 
Usted participa en un juego, donde recibe $2 si la “Cara” aparece en el primer 
lanzamiento, 2
2 
= $4 si la “Cara” aparece en el segundo lanzamiento, 2
3 
= $8 si 
aparece en tercer lanzamiento y así, sucesivamente hasta 2
6
= $64 si aparece en el 
ensayo número 6. Si la “Cara” aparece en el lanzamiento número 7 o después, 
recibe 2
7 
= $128. Determine la ganancia esperada en este juego. 
 
Solución 
a) 
P(X  7) = 1 - P( X  6) = 1- { p(1) +p(2)+p(3)+p(4)+p(5)+p(6) } 
 = 1 – { (0,5)
1
+ (0,5)
2
+(0,5)
3
 +(0,5)
4
 +(0,5)
5
 +(0,5)
6
} 
 = 1 – 0,984375 = 0,015625 
b) 
 8 
0350,0
)2(1
)2(
])2[()2(])2[(2 )]([
2
2
0k
2
1x
22
1x
2 











 
e
e
eeeeXgE kxxx 
c) 
Sea, Y = ganancia en el juego. 
 
Y = 2
x 
 si x = 1,2,3,4,5,6 
 = 128 si x  7 
 
 E[Y] = 2(0,5)
1 
+2
2
(0,5)
2 
+2
3
(0,5)
3 
+2
4
(0,5)
4 
+ 2
5
(0,5)
5 
+ 2
6
(0,5)
6 
+ 2
7
Pr(X 7)
 
 
 = 1 + 1+ 1 + 1+ 1+ 1+ 1280,015625 = 6 + 2 = 8 pesos. 
 
Ejemplo 15 
Sea X una variable con función de densidad uniforme en el intervalo [0, 1], es decir, 
f(x) = 1 si 0  x  1, 0 si no. 
 
a) Demuestra que F(x) = P[ X x ] = x si 0  x  1, 0 si x < 0, 1 si x >1. 
b) Encuentra, media y varianza de X. 
c) Se selecciona al azar un punto de una barra de longitud 1 y se rompe en dos trozos 
en ese punto. Determina el valor esperado de la longitud del trozo más grande. 
Indicación parte b): Considera la barra ubicada sobre el intervalo [0, 1] y “X” el punto 
seleccionado al zar. Entonces, la longitud del trozo de la izquierda es “X” y el de la derecha 1-X. 
 
Sea la variable aleatoria Y = g(X) = Max{ X, 1 - X }. El rango de Y es el intervalo [ ½, 1]. 
Finalmente calcula E(g(X)) con la fórmula, 


 dxxfxgXgE )()()]([ . 
Solución 
a) 
 1]Pr[)(
0
xdxxXxF
x
  si 0  x  1 
 1 1]Pr[)(
1
0
  dxxXxF si x > 1 
 0 0]Pr[)(
0
 
x
dxxXxF si x < 0 
b) 
 
2
1
 )(][
1
0
 


xdxdxxxfXE 
 
3
1
 )(][
1
0
222  


dxxdxxfxXE 
Var[X] = E[X
2
] – (E[X])
 2
 = 1/3 –(1/2)
 2
 = 1/12 
 
c) 
 


1
0
1}1,{)()()]([ dxxxMaxdxxfxgXgE 
4/311)1(
1
5,0
5,00
  dxxdxx . 
 
 
 
 9 
 
Ejemplo 16 
Sea una variable X que vale 1 con probabilidad P(A) =  y 0 con probabilidad 1- P(A). 
Se sabe que Var(X) = 0,16 y E(X - )
3
 > 0. Determine el valor de π. 
 
Rpta: 0,2. 
 
Ejemplo 17: 
Sea una variable X que vale 1 con probabilidad P(A) y 0 con probabilidad 1 - P(A). 
 
Si repetimos 1.000 veces la observación de X, ¿podemos decir algo sobre la proporción 
de 1’s en las 1.000 repeticiones? 
 
Solución 
Según la Ley de los Grandes Números el promedio (es decir, proporción de unos) en las 
1.000 observaciones debería resultar próximo a E(X) = 1P(A) + 0(1-P(A)) = P(A). 
 
Por ejemplo, lanzas una vez una moneda balanceada y defines: X = 1, si sale “cara”, 0 
si no. Entonces, P(A) = P(Cara) = 0,5. La LGN dice que al lanzar muchas veces la 
moneda la proporción de caras debe ser próxima al 50% como dice la intuición. 
 
NOTAS: 
- La LGN justifica la interpretación “frecuentista” del concepto de probabilidad. 
 
- La LGN no actúa por compensación 
Cuando se lanza una moneda muchas veces, la LGN no trabaja compensando los 
desequilibrios, más bien los “aplasta” con el peso de los resultados de muchos ensayos. 
 
Por ejemplo, supón que en los primeros seis lanzamientos de la moneda resultan 
exactamente seis caras. 
¿Cuál es la proporción de caras después de 100 lanzamientos si los últimos 94 ensayos 
producen 47 caras? (Rpta 47/100= 0,47) 
¿Cuál es la proporción de caras después de 1000 lanzamientos si los últimos 994 
ensayos producen la mitad de caras? (Rpta, 497/1000=0,497) 
¿Cuál es la proporción de caras después de 10000 lanzamientos si los últimos 9994 
ensayos producen la mitad de caras? (Rpta: 4997/10.000 = 0,4997). 
 
Así, se aprecia que el hecho de que resultaron seis caras en los primeros seis 
lanzamientos se vuelve irrelevante a medida que aumentan los ensayos, es decir, los seis 
primeros resultados son aplastados por la avalancha de resultados siguientes. 
 
- La LGN no le sirve a una persona que busca tener un hijo de un sexo dado. El 
rey Ingles Enrique VIII se caso 6 veces y no pudo tener un heredero varón. 
Debió casarse unas 30 veces o mejor 100. 
 
- Una interpretación incorrecta de la LGN es responsable de la “falacia del 
jugador” que dice, por ejemplo, “si obtienes 6 caras en seis lanzamientos de una 
moneda balanceada, entonces, la probabilidad de que resulte “sello” en el 
séptimo lanzamiento es mayor que 0,5”. 
 
 10 
 
Ejemplo 18 (Jugando en una lotería también pierdes) 
En una lotería se venden 500 boletos, cada uno a $2.000, y el premio es de $400.000. 
Sea G la ganancia al comprar un boleto, entonces: G = $398.000 si gana y -$2000 si 
pierde. 
 
a) Determine la media y desviación estándar de G. 
b) ¿Cuánto ganaría si se participas en 1000 sorteos comprando, cada vez, un boleto?. 
 
Rptas. a) E(G) = -1.200 y DE(G) = 17.871; b) Según la LGN, ganarías -1.2001.000 = 
$-1.200.000 con una desviación de más menos $17.871, es decir, esperas perder más o 
menos, $ 1.200.000 17.871. 
 
Ejemplo 19 
Sea una variable X con X = E(X) y ²X = Var(X). Considera la transformación: 
X
XXXgZ


 )( 
Demuestra que E(Z) = 0 y Var(Z) = 1. 
 
Solución 
Aplicando las propiedades de la esperanza y varianza, E( aX + b ) = aE(X) y Var( aX+ b ) = a²Var(X), 
se tiene: 
.1
0
 ;0
2
2
2







X
X
XX
XX
X
X VarXVarZ
EEX
EZ






 
 
NOTAS: 
- La variable Z definida en el ejercicio anterior se denomina “estandarización de 
la variable X”. Dada una variable X la estandarización consiste en restar a X su 
media y luego dividir por su desviación estándar. La “estandarización” cambia 
el origen a la media y la escala a “unidades de desviación estándar” (DE) 
respecto de la media. 
 
Por ejemplo, si dos valores de X estandarizados resultan: z1 = -3,23 y z2 = 
2,76, significa que la primera observación (de X) es inferior a la media de X en 
3,23 desviaciones estándar y la segunda esta a 2,76 DE por sobre la media de X. 
 
Otro ejemplo: Un alumno obtuvo un 5,3 en la prueba 1, donde la media fue 4,7 
con desviación estándar 0,8, mientras que en la prueba 2 obtuvo 5,0 donde la 
media fue 4,0 con desviación 1,0. A primera vista al alumno le fue mejor en la 
prueba 1, sin embargo, si se estandarizan las notas: 
 
 ;00,1
0,1
0,40,5
 ;75,0
8,0
7,43,5
21 



 zz 
Así, su nota relativa respecto del curso es mejor en la prueba 2. En la prueba 1 
su nota está a 0,75 DE sobre la media, en cambio en la prueba 2 está a 1,0 DE 
sobre la media del curso. 
 
 11 
- Considera la transformación inversa: .ZX XX   La ecuación anterior 
significa que toda variable aleatoria con media y varianza finita, se puede 
descomponer como la suma de su media más el producto de su desviación 
estándar por una variable aleatoria con media 0 y desviación 1. 
 
- Nótese que E( X - X ) = E( X ) - X = 0. En propiedad anterior significa 
que, necesariamente X toma valores sobre y bajo la media. Por ejemplo: Un 
conductor argumenta a un juez que se le curso un parte por exceso de velocidad 
injusto, dado que conducía a una velocidad promedio igual a la máxima 
permitida. El juez inmediatamente confirma la multa dado que el algún 
momento el conductor debió conducir a una velocidad sobre la norma (“a 
confesión del acusado relevo de pruebas”). 
 
 
Ejemplo 20 (El teorema del eje paralelo) 
Sea una variable X con X = E(X) y ²X = Var(X). Demostrar que: 
 
222 )()( XX ccXE   
 
Indicación: Usar el viejo truco de sumar “0”: cXcX XX   . 
 
NOTAS: 
- ¿Por qué al resultado anterior se le llama “Teorema del eje paralelo”?. 
Probablemente se refiere al dibujo de dos ejes verticales en el histograma de 
probabilidades de X, uno en x = c y el otro en x = X, 
 
- El teorema anterior implica que la desviación cuadrática 2)( cXE  es mínima 
cuando c = X. En otras palabras: 
 
 
222 )()( cXEXE XX   . 
 
La esperanza es el valor que minimiza la media cuadrática de las desviaciones de 
X respecto de un “c” y su valor mínimo es la Varianza de X. 
 
 
Ejemplo 21 
Sea una variable X con X = E(X) y ²X = Var(X). Demostrar que: 
a) 



c
c
dxxxfdxxxfcFccXE )()()1)(2()( 
Indicación: 0 si ),(y 0 si ,  XcXcXXcXcX . 
 
b) Demuestra que E(X – c) es mínima cuando c = F-1(0,5) (es decir la mediana 
de X) 
 
Solución 
a) 
Siguiendo la indicación:: 
 12 














c
c
c
c
c
c
c
c
dxxxfdxxxfcFcFc
dxxxfdxxxfdxxfcdxxcf
dxxfcxdxxfcxcXE
)()()))(1()((
)()()()()(
)()()()()(
 
b) 
Usando la parte a) y derivando: 
0)()()(2)1)(2()(  xcfxcfxcfcFcXE
dc
d
 
 
 F( c ) = 0,5  c es la mediana de X es decir, P( X  c ) = 0,5. 
 
 
Ejemplo 22 
Sea X variable con distribución f(x) = 1/b si 0  x  b, 0 si no. 
a) Pruebe que “f” es una función de densidad de probabilidad. 
b) Determina i) E( X ); ii) Var( X ) y iii) E(X – E(X)) . 
 
Rptas: b) i) b/2 ii) b
2
/12 iii) b/4 
 
NOTAS: 
La expresión E(X – E(X)) representa otra medida de la dispersión de una variable 
que compite con la desviación estándar: )(][ 2EXXEXDE  . 
 
Para la distribución del ejemplo anterior resulta: 
 
E(X – E(X)) = b/4 < b/3,464. 12/][ 2  bXDE Es decir, ambas medidas dan 
valores distintos para la variabilidad de X. No existe una medida única de dispersión 
como tampoco la hay de centro (la media y mediana son medidas de centro) 
 
 
Ejemplo 23 
Si imaginamos que el resultado monetario incierto de una inversión o negocio es una 
variable aleatoria, entonces, la esperanza recibe el nombre de “retorno medio” y la 
desviación estándar “riesgo de la inversión”. 
 
Existen en general dostipos de personas, aquellas, una minoría, que se denominan 
“amantes del riesgo” y la mayoría “adversas al riesgo” Los “amantes del riesgo” eligen 
las inversiones con el mayor retorno medio, sin importar el riesgo y los “adversos” 
eligen las que tienen el menor riesgo. 
 
Una empresa puede invertir en uno de dos proyectos, mutuamente excluyentes. Ambos 
proyectos presentan la siguiente distribución discreta de probabilidades de los flujos de 
fondos netos, anualmente durante su vida útil, que es idéntica. 
 13 
 
Flujo neto de fondos 
(miles de u.m.) 
 
Proyecto A 
 
Proyecto B 
1.000 
2.000 
3.000 
4.000 
0,20 
0,30 
0,30 
0,20 
0,10 
0,40 
0,40 
0,10 
 
Se pide: 
a) Sin hacer cálculos seleccione la mejor propuesta, suponiendo que quién toma la 
decisión es adverso(a) al riesgo. 
b) Verifique con cálculos su respuesta intuitiva. 
 
Solución 
a) 
El adverso al riesgo elige la inversión con menor riesgo, es decir, menor variabilidad, dispersión, 
en definitiva desviación estándar menor. 
 
El proyecto A es más riesgoso que el B pues asigna mayor probabilidad a los valores extremos 
1.000 y 4.000, entonces, debe tener mayor dispersión. La mejor propuesta es la B. 
b) 
 Retorno Medio Proyecto A: 
 E(A) = 1.00000,20 + 2.0000,30 +30000,30+0,20 = 2500 u..m 
 
 Riesgo Proyecto A: 
 Var(A) = 1000² 0,20 + 2000² 0,30 + 3000²0,30+4000²0,20 – 2500² = 1.050.000 
 Riesgo A: DE(A) = 1.024,7 u.m. 
 
 Retorno Medio Proyecto B: 
 E(B) = 1.00000,10 + 2.0000,40 +30000,40+0,10 = 2500 u..m 
 
 Riesgo Proyecto B: 
 Var(B) = 1000² 0,10 + 2000² 0,40 + 3000²0,40+4000²0,10 – 2500² = 650.000 
 Riesgo A: DE(B) = 806, 2 u.m. 
 
 Entonces, dado que los retornos medios de ambos proyectos son iguales, conviene elegir el de 
 menor riesgo, es decir, el B. 
 
NOTAS: 
Las probabilidades asignadas en el ejemplo anterior son claramente subjetivas. No tiene 
sentido interpretar el ejemplo desde un punto de vista de frecuencias. 
 
 
¿Se entendió el ejemplo anterior? Muy bien, entonces, será fácil responder la pregunta 
siguiente: 
 
Ejemplo 19b 
A un amigo, adverso al riesgo se le ofrecen dos alternativas y debe elegir una y sólo 
una: 
 
1. Recibe seguro $100.000. 
2. Lanzar una moneda balanceada. Si sale “cara” recibe $ 280.000, si no recibe 0. 
 
a) Determina el retorno medio de cada alternativa. 
b) Justifica que alternativa a) o b) debe elegir nuestro amigo.