Producto vectorial de dos vectores

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PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES
El producto vectorial de los vectores P y Q se define como el vector V
 V= (P x Q)
También se conoce como el producto cruz de P y Q.
Línea de acción: Es perpendicular al plano que contiene a P y Q.
Magnitud: Es el producto de las magnitudes de P y Q por el seno del ángulo Ɵ. (V= PQ sen Ɵ).
Sentido: Se obtiene a partir de la regla de la mano derecha.
 V = P x Q ; C = (AB sen Ɵ) uc 
El vector unitario uc define la dirección de C.
PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES
-Cuando dos vectores P y Q tienen la misma dirección, o direcciones opuestas, su producto vectorial es igual a cero.
-Es igual al área del paralelogramo que tiene como lados a P y Q
-El producto vectorial P x Q permanece inalterado si Q se reemplaza por un vector Q´ que sea coplanar a P y Q y tal que la línea que une a las partes terminales de Q y Q´ sea paralelo a P.
V = P x Q = P x Q´
Los productos vectoriales no son comunitarios, es decir, Q x P no es igual a P x Q.
Q x P = -(P x Q)
Calcúlese el producto vectorial V=PxQ cuando el vector P tiene una magnitud de 6 y se encuentra en el plano zx que forma un ángulo de 30° con el eje x y el vector Q tiene una magnitud de 4 y se encuentra a lo largo del eje x.
PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES
PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES
Ejemplo . Calcúlese el producto vectorial V = P x Q cuando el vector P tiene una magnitud de 6 y se encuentra en el plano Zx que forma un ángulo de 30° con el eje X y el vector Q tiene una magnitud de 4 y se encuentra a lo largo del eje X.
A partir de la definición del producto vectorial se concluye que el vector V debe estar a lo largo del eje Y, tener la magnitud.
 V=PQ sen Ɵ 
V= (6)(4) sen 30° 
V= 12
y debe estar dirigido hacia arriba.
Ahora se puede preguntar si la propiedad distributiva se cumple, esto es, si la relación se cumple.
P x (Q₁ + Q₂) = (P x Q₁) + (P x Q₂)
La asociativa, la cual no es válida para los productos vectoriales; en general, se tiene que
(P x Q) x S ≠ P x (Q x S)
PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
P x (Q1+Q2) = (PxQ1 )+( PxQ2) (1)
P está dirigida a lo largo del eje y . Representando con Q la suma de Q1 y Q2 , se trazan perpendiculares a partir de los extremos terminales de Q, Q1 y Q2 hacia el plano ZX.
El término del lado izquierdo de la ecuación (1) puede ser reemplazado por P y Q´ y que, en forma similar, los productos vectoriales PxQ₁ y PxQ₂ del lado derecho pueden ser reemplazados, respectivamente, por 
Px Q₁´ y Px Q₂´. De es a forma, la relación puede escribirse :
P x Q´= P x Q₁´ + P x Q₂´ 
PRODUCTOS CRUZ EXPRESADOS EN TÉRMINOS DE COMPONENTES RECTANGULARES
Ahora se puede expresar fácilmente el producto vectorial V de dos vectores dados P y Q en términos de las componentes rectangulares de dichos vectores. Al descomponer a P y Q en sus componentes rectangulares.
i x j = k i x k = -j i x i = 0
j x k = i k x j = -i j x j = 0
k x i = j j x i = -k k x k= 0
PRODUCTOS CRUZ EXPRESADOS EN TÉRMINOS DE COMPONENTES RECTANGULARES
las componentes rectangulares del producto vectorial V están dadas por:
Se puede expresare el producto vectorial V de dos vectores dados P y Q en términos de las componentes rectangulares de dichos vectores. Al descomponer a P y Q en sus componentes rectangulares.
V=PxQ =(Pxi+Pyj+Pzk)x(Qxi+Qyj+Qzk)
V = +(PyQz - PzQ y)i 
 + (PzQx - PxQz)j 
 + (PxQy - PyQx)k
Por tanto, las componentes rectangulares del producto vectorial V están dadas por:
Vx = (PyQz – PzQy)
Vy = (PzQx – PxQz)
Vz = ( PxQy - PyQx)
Así, para determinar el producto cruz de dos vectores cartesianos P y Q cualesquiera.
Es necesario desarrollar un determinante cuya primera fila de elementos conste de los vectores unitarios i, j y k y cuyas segunda y tercera filas representen las componentes x, y, z de los dos vectores 
P y Q, respectivamente.
PRODUCTO PUNTO
Define un método para “multiplicar” dos vectores y se usa para localizar el ángulo entre dos líneas o las componentes de una fuerza paralela y perpendicular a una línea.
El producto punto de los vectores A y B, que se escribe A · B, y se lee “A punto B”, se define como el producto de las magnitudes de A y B ; y el coseno del ángulo Ɵ entre sus colas. Expresado en forma de ecuación.
A·B = AB cos Ɵ
donde : 
11
LEYES DE OPERACIÓN
1. Ley conmutativa: A∙B=B∙A
2. Multiplicación por un escalar: 
a(A∙B)=(aA)∙B 
a(A∙B)=A∙(aB)
3. Ley distributiva: 
A∙(B + D) = (A∙B) + (A∙D)
las componentes rectangulares del producto vectorial V están dadas por:
i · i = 1 i · j = 0 i · k = 0
j · i = 0 j · j = 1 j · k = 0
k · i = 0 k · j = 0 k · k = 1
PRODUCTOS PUNTO EXPRESADOS EN TÉRMINOS DE COMPONENTES RECTANGULARES
FORMULACIÓN VECTORIAL CARTESIANA
Si queremos encontrar el producto punto de dos vectores A y B que se expresan en forma vectorial cartesiana, tenemos:
Al realizar las operaciones del producto punto, el resultado final se convierte en:
Por tanto, para determinar el producto punto de dos vectores cartesianos, multiplique sus componentes correspondientes x, y, z, y sume sus productos algebraicamente. Observe que el resultado será un escalar positivo o negativo.
PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE UN EJE DADO
Un vector P que forma un ángulo Ɵ con un eje, o línea dirigida, OL (figura). La proyección de P sobre el eje OL se define como el escalar.
POL= P cos Ɵ
La proyección POL es igual en valor absoluto al valor de la longitud del segmento OA
Un vector Q dirigido a lo largo de OL con
el mismo sentido que OL. El producto escalar de P y Q se expresa:
P·Q = PQ cos Ɵ = POL Q
POL = 
POL = 
 POL = Pxcos Ɵx +Pycos Ɵy +Pzcos Ɵz 
Cuando el vector seleccionado a lo largo de OL es el vector unitario.
POL = P·λ
La relación que existe entre la fuerza F y sus componentes ; Fx ,Fy y Fz se presenta en la figura (a). La fuerza F está representada por la diagonal OA. La figura (b), muestra el triángulo rectángulo OAB empleado para deducir la fórmula: Fy = F cos Ɵy En las figuras (a) y (c) se han trazado otros dos triángulos rectángulos: el OAD y OAE. los ángulos que forma F con los ejes X y Z, se pueden escribir dos fórmulas semejantes a Fy=Fcos Ɵy . Entonces se escribe:
Fx=Fcos Ɵx ; Fy=Fcos Ɵy ; Fz=Fcos Ɵz (1) 
Los cosenos de Ɵx , Ɵy y Ɵz se conocen como cosenos directores. Con el uso de los vectores unitarios i, j y k, dirigidos a lo largo de los ejes x, y y z, respectivamente , se puede expresar F en la forma.
F= FXi +FYj + Fzk (2)
Si se sustituye (1) en (2) la ecuación se obtiene:
F=F(cos Ɵxi +cos Ɵyj + cos Ɵzk) (3)
La fuerza F puede expresarse como el producto del escalar F y del vector (cos Ɵxi +cos Ɵyj + cos Ɵzk) 
COMPONENTES RECTANGULARES DE UNA FUERZA EN EL ESPACIO
PRODUCTO TRIPLE MIXTO DE TRES VECTORES
Se define al producto triple escalar S, P y Q como la expresión escalar 
S·(P x Q)
Formando el producto escalar de S con el producto vectorial de P y Q.
Interpretación geométrica.
El vector P x Q es perpendicular al plano que contiene a P y a Q y que su magnitud es igual al área del paralelogramo que tiene por la dos a P y a Q.
El producto escalar de S y PxQ se obtiene multiplicando la magnitud de PxQ, por la proyección de S sobre el vector PxQ
El producto triple 
escalar es igual en 
valor absoluto
al volumen del 
paralelepípedo que 
tiene por lados a 
los vectores S, Py Q
El signo del producto triple escalar será positivo si S, P y Q forman una tríada a mano derecha, y negativo si éstos forman una tríada a mano izquierda.
Será igual a cero si S, P y Q son coplanares.
Como el paralelepípedo definido es independiente del orden en que se tomen los tres vectores, los seis productos triples escalares que se pueden formar con S, P y Q tendrán el mismo valor absoluto, pero no el mismo signo.
S · (P x Q)= P · (Q x S) = Q · (S x P)
-S · (Q x P)=-P · (S x Q)=-Q · (P x S)
PRODUCTO TRIPLE MIXTO DE TRES VECTORES
Se puede definir también conS·(P x Q) como con (S x P)·Q
El producto triple escalar de los vectores S, P y Q puede ser expresado en términos de las componentes rectangulares de estos vectores. Denotando a P x Q con V
S · (P x Q) = +Sx(PyQz - PzQy) 
 + Sy(PzQx - PxQz)
 + Sz(PxQy - PyQx)
Esta expresión se puede escribir en forma más compacta si se observa que representa la expansión de un determinante:
PRODUCTO TRIPLE MIXTO DE TRES VECTORES
APLICACIONES
El ángulo formado entre dos vectores o líneas que se intersecan.
El ángulo Ɵ entre las colas de los vectores A y B que se muestran en la figura pueden escribirse como: 
A·B se calcula observe que si A·B=0, Ɵ=90°, por tanto A será perpendicular a B. 
Pag 90(R)
Las componentes de un vector paralelo y perpendicular a una línea.
La componente de un vector A paralelo , o colineal con, la línea aa1 se define por Aa , donde : Aa=A cos Ɵ.
A esta componente se le llama la proyección de A sobre la línea.
Si la dirección de la línea está especificada por el vector unitario Ua, entonces como Ua =1, podemos determinar Aa directamente con el producto punto.
En ocasiones, a esta componente se le llama la proyección de A sobre la línea, puesto que se forma un ángulo recto en la construcción.
Si la dirección de la línea está especificada por el vector unitario ua entonces como ua =1, podemos determinar Aa directamente con el producto punto. 
PRODUCTO CRUZ DE DOS VECTORES
El producto vectorial de los vectores P y Q se define como el vector V que satisface las siguientes condiciones.
1. La línea de acción de V es perpendicular al plano que contiene a P y Q .
2. La magnitud de V es el producto de las magnitudes de P y Q por el seno del ángulo formado por P y Q (cuya medida siempre deberá ser menor o igual a 180°). 
V = PQ sen Ɵ
Los tres vectores P, Q y V, tomados en ese orden, forman una tríada a mano derecha.
3. La dirección de V se obtiene a partir de la regla de la mano derecha. Su mano derecha manténgala de manera que sus de dos estén doblados en el sentido que la rotación a través del ángulo que ha ría al vector P colineales con el vector Q, entonces, su dedo pulgar indicará la dirección del vector V.
Propiedad distributiva:
P x (Q1 + Q2) = (P x Q1) + (P x Q2) 
EJEMPLO 2.17
La estructura que se muestra en la figura está sometida a una fuerza horizontal F {300j}. Determine la magnitud de las componentes de esta fuerza paralela y perpendicular al elemento AB.
EJEMPLO 2.17
Ejercicio F.225
Encuentre la magnitud de la componente de la fuerza proyectada a lo largo del tubo.
Ejercicio F 229
-Determine el ángulo Ɵ entre la fuerza y la línea OA.
-Determine la componente de proyección de la fuerza a lo largo de la línea OA.
Ejercicio F 227-8
Determine el ángulo Ɵ entre la fuerza y la línea AO.
Ejercicio # 2.11
Determine el ángulo Ɵ entre la fuerza y la línea AB.
Ejercicio # 2-30 Buffa
Determine las componentes de la fuerza que actúan en forma paralela y perpendicular al eje del poste.
DEBER
Deber Estática 12ed Russelc.
 pag # 74
Ejerc. 25-30
 116-130 pares
MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS
PAG. 102 DEL 3.35 al 3.45
EXAMEN 2° PARCIAL
#1
Determine el ángulo Ɵ entre la fuerza y la línea AO.
# 2
Determine el ángulo Ɵ entre la fuerza y la línea AB.
EJERCICIO # 116
Determine el ángulo α entre las dos fuerzas que actúan sobre el gancho. Asimismo, ¿cuáles son las proyecciones de F1 y F2 a lo largo del eje y?
Aporte 8/7/17 (3.42 M.V.I.) 
Si se sabe que la tensión en el cable AD es de 405 N, determine
a) el ángulo entre el cable AD y el aguilón AB, 
b) la proyección sobre AB de la fuerza ejercida por el cable AD en el punto A.