Trigonometria ejercicios

Vista previa del material en texto

TRIGONOMETRIA 
 
 
Llibre de text 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gerard Romo Garrido 
 
 
 
 
 
 
 
Toomates Coolección vol. 15 
 
 
 
Toomates Coolección 
 
Los documentos de Toomates son materiales digitales y gratuitos. Son digitales porque están pensados para ser consultados 
mediante un ordenador, tablet o móvil. Son gratuitos porque se ofrecen a la comunidad educativa sin coste alguno. Los libros de 
texto pueden ser digitales o en papel, gratuitos o en venta, y ninguna de estas opciones es necesariamente mejor o peor que las otras. 
Es más: Suele suceder que los mejores docentes son los que piden a sus alumnos la compra de un libro de texto en papel, esto es un 
hecho. Lo que no es aceptable, por inmoral y mezquino, es el modelo de las llamadas "licencias digitales" con las que las editoriales 
pretenden cobrar a los estudiantes, una y otra vez, por acceder a los mismos contenidos (unos contenidos que, además, son de una 
bajísima calidad). Este modelo de negocio es miserable, pues impide el compartir un mismo libro, incluso entre dos hermanos, 
pretende convertir a los estudiantes en un mercado cautivo, exige a los estudiantes y a las escuelas costosísimas líneas de Internet, 
pretende pervertir el conocimiento, que es algo social, público, convirtiéndolo en un producto de propiedad privada, accesible solo a 
aquellos que se lo puedan permitir, y solo de una manera encapsulada, fragmentada, impidiendo el derecho del alumno de poseer 
todo el libro, de acceder a todo el libro, de moverse libremente por todo el libro. 
Nadie puede pretender ser neutral ante esto: Mirar para otro lado y aceptar el modelo de licencias digitales es admitir un mundo más 
injusto, es participar en la denegación del acceso al conocimiento a aquellos que no disponen de medios económicos, y esto en un 
mundo en el que las modernas tecnologías actuales permiten, por primera vez en la historia de la Humanidad, poder compartir el 
conocimiento sin coste alguno, con algo tan simple como es un archivo "pdf". El conocimiento no es una mercancía. 
El proyecto Toomates tiene como objetivo la promoción y difusión entre el profesorado y el colectivo de estudiantes de unos 
materiales didácticos libres, gratuitos y de calidad, que fuerce a las editoriales a competir ofreciendo alternativas de pago atractivas 
aumentando la calidad de unos libros de texto que actualmente son muy mediocres, y no mediante retorcidas técnicas comerciales. 
Este documento se comparte bajo una licencia “Creative Commons 4.0 (Atribution Non Commercial)”: Se permite, se promueve 
y se fomenta cualquier uso, reproducción y edición de todos estos materiales siempre que sea sin ánimo de lucro y se cite su 
procedencia. Todos los documentos se ofrecen en dos versiones: En formato “pdf” para una cómoda lectura y en el formato “doc” 
de MSWord para permitir y facilitar su edición y generar versiones parcial o totalmente modificadas. 
 
¡Libérate de la tiranía y mediocridad de las editoriales! Crea, utiliza y comparte tus propios materiales didácticos 
 
Toomates Coolección Problem Solving (en español): 
Geometría Axiomática , Problemas de Geometría 1 , Problemas de Geometría 2 
Introducción a la Geometría , Álgebra , Teoría de números , Combinatoria , Probabilidad 
Trigonometría , Desigualdades , Números complejos , Funciones 
 
Toomates Coolección Llibres de Text (en catalán): 
Nombres (Preàlgebra) , Àlgebra , Proporcionalitat , Mesures geomètriques , Geometria analítica
 Combinatòria i Probabilitat , Estadística , Trigonometria , Funcions , Nombres Complexos , 
Àlgebra Lineal , Geometria Lineal , Càlcul Infinitesimal , Programació Lineal , Mates amb Excel 
 
Toomates Coolección Compendiums: 
Ámbito PAU: Catalunya TEC Catalunya CCSS Galicia País Vasco Portugal A Portugal B Italia 
Ámbito Canguro: ESP , CAT , FR , USA , UK , AUS 
Ámbito USA: Mathcounts AMC 8 AMC 10 AMC 12 AIME USAJMO USAMO 
Ámbito español: OME , OMEFL , OMEC , OMEA , OMEM , CDP 
Ámbito internacional: IMO OMI IGO SMT INMO CMO REOIM Arquimede HMMT 
 Ámbito Pruebas acceso: ACM4 , CFGS , PAP 
Recopilatorios Pizzazz!: Book A Book B Book C Book D Book E Pre-Algebra Algebra 
Recopilatorios AHSME: Book 1 Book 2 Book 3 Book 4 Book 5 Book 6 Book 7 Book 8 Book 9 
 
¡Genera tus propias versiones de este documento! Siempre que es posible se ofrecen las versiones 
editables “MS Word” de todos los materiales, para facilitar su edición. Descarga en los siguientes enlaces 
la versión ".doc" de este documento: 
www.toomates.net/biblioteca/Trigonometria01.doc → www.toomates.net/biblioteca/Trigonometria06.doc 
 
¡Ayuda a mejorar! Envía cualquier duda, observación, comentario o sugerencia a toomates@gmail.com 
 
¡No utilices una versión anticuada! Todos estos documentos se mejoran constantemente. Descarga 
totalmente gratis la última versión de estos documentos en los correspondientes enlaces superiores, en los 
que siempre encontrarás la versión más actualizada. 
 
Consulta el Catálogo de libros de la biblioteca Toomates Coolección en http://www.toomates.net/biblioteca.htm 
 
Encontrarás muchos más materiales para el aprendizaje de las matemáticas en www.toomates.net 
 
Visita mi Canal de Youtube: https://www.youtube.com/c/GerardRomo 
 
 
Versión de este documento: 18/07/2023 
 
 
http://www.toomates.net/biblioteca/GeometriaAxiomatica.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasGeometria.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasGeometria2.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/Geometria.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasAlgebra.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/Aritmetica.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/Combinatoria.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/Probabilidad.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasTrigonometria.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/Desigualdades.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasNumerosComplejos.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasFunciones.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/Nombres.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/Algebra.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/Proporcionalitat.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/MesuresGeometriques.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/GeometriaAnalitica.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/GeometriaAnalitica.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/CombinatoriaProbabilitat.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/Estadistica.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/Trigonometria.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/Funcions.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/NombresComplexos.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/AlgebraLineal.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/GeometriaLineal.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/Calcul.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/ProgramacioLineal.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/MatesExcel.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/Pautec.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/Pauccss.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/Galiciapau.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/Paisvascopau.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/Portugal635.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/Portugal735.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/Italia.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/Canguro.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/Cangur.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumKangourou.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumKangaroo.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumKangarooUK.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumKanguru.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumMathcounts.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumAMC8.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumAMC10.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumAMC12.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumAIME.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumUSAJMO.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumUSAMO.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumOME.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumOMEFL.pdfhttp://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumOMEC.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumOMEA.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumOMEM.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumCDP.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumIMO.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumOMI.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumIGO.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumSMT.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumINMO.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumCMO.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumREOIM.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumArchimede.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumHMMT.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumACM4.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumCFGS.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumPAP.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca2/PizzazzBookA.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca2/PizzazzBookB.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca2/PizzazzBookC.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca2/PizzazzBookD.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca2/PizzazzBookE.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca2/Pizzazz_pre_Algebra.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca2/pizzazz_algebra.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca2/contestproblembooks/TheContestProblemBook1.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca2/contestproblembooks/TheContestProblemBook2.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca2/contestproblembooks/TheContestProblemBook3.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca2/contestproblembooks/TheContestProblemBook4.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca2/contestproblembooks/TheContestProblemBook5.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca2/contestproblembooks/TheContestProblemBook6.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca2/contestproblembooks/TheContestProblemBook7.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca2/contestproblembooks/TheContestProblemBook8.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca2/contestproblembooks/TheContestProblemBook9.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/Trigonometria01.doc
http://www.toomates.net/biblioteca/Trigonometria06.doc
http://www.toomates.net/biblioteca.htm
http://www.toomates.net/
https://www.youtube.com/c/GerardRomo
Índex. 
 
1 Trigonometria amb triangles rectangles. → Arxiu doc 
 1.1 Mesura d'angles: Graus i radians. 
 1.2 Raons trigonomètriques amb angles aguts. 
 1.3 Les funcions trigonomètriques inverses: arcsin, arccos i arctan. 
 1.4 Raons trigonomètriques dels angles 30º, 45º i 60º. 
 1.5 Descomposició de figures en triangles rectangles. 
 1.6 Determinació de distàncies inaccessibles. 
 1.7 Notes d'històrica dels termes trigonomètrics. 
 
2 Trigonometria amb triangles en general. → Arxiu doc 
 2.1 Raons trigonomètriques d'angles > 90º. 
 2.2 El Teorema del sinus. 
 2.3 El Teorema del cosinus. 
2.4 Problem Solving amb Teorema del Sinus i del Cosinus. 
 2.5 Àrea mitjançant trigonometria. Fórmula de Heron. 
 2.6 Problemes PAU de trigonometria. 
 2.7 Repàs general de resolución de triangles amb trigonometria. 
 
3 Les funcions trigonomètriques. → Arxiu doc 
 3.1 Raons trigonomètriques amb angles negatius. 
 3.2 Raons trigonomètriques amb angles > 360º. 
 3.3 Coordenades polars. 
 
4 Equacions trigonomètriques. → Arxiu doc 
4.1 Equacions trigonomètriques fonamentals amb el sinus. 
4.2 Equacions trigonomètriques fonamentals amb el cosinus. 
4.3 Equacions trigonomètriques fonamentals amb la tangent. 
4.4 Equacions trigonomètriques senzilles. 
4.5 Equacions trigonomètriques per factorització. 
4.6 Equacions trigonomètriques per canvi de variable. 
4.7 Equacions trigonomètriques amb quadrats de sinus i cosinus. 
4.8 Repàs d'equacions trigonomètriques. 
 
5 Les identitats trigonomètriques. → Arxiu doc 
 5.1 Les identitats trigonomètriques. 
 5.2 Demostració de les fórmules trigonomètriques de la suma d'angles. 
 5.3 Equacions trigonomètriques aplicant les identitats. 
 5.4 Combinacions lineals de sinus i cosinus. 
 
Solucions. → Arxiu doc 
 
 
 
La trigonometria és una eina transversal en les matemàtiques, i apareix en la 
resolució de problemes de tots els seus àmbits, més enllà dels geomètrics. 
Trobaràs aplicacions de la trigonometria en el següents documents: 
http://www.toomates.net/biblioteca/Geometria.pdf 
http://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasTrigonometria.pdf 
http://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasGeometria.pdf 
http://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasGeometria2.pdf 
http://www.toomates.net/biblioteca/Desigualdades.pdf 
http://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasNumerosComplejos.pdf 
 
 
http://www.toomates.net/biblioteca/Trigonometria01.doc
http://www.toomates.net/biblioteca/Trigonometria02.doc
http://www.toomates.net/biblioteca/Trigonometria03.doc
http://www.toomates.net/biblioteca/Trigonometria04.doc
http://www.toomates.net/biblioteca/Trigonometria05.doc
http://www.toomates.net/biblioteca/Trigonometria06.doc
http://www.toomates.net/biblioteca/Geometria.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasTrigonometria.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasGeometria.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasGeometria2.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/Desigualdades.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasNumerosComplejos.pdf
1 Trigonometria amb triangles rectangles. 
 
1.1 Mesura d'angles: Graus i radians. 
 
Anomenem grau a la 360/1 part de la circumferència: 1º360  circumferència 
 
Anomenem radian a l'amplitud de l'angle central d'una circumferència d'arc 
igual al radi: 12 rad circumferència 
 
 
La proporcionalitat entre graus i radians és º3602 rad 
 
 
 
Exercici resolt. 
Converteix 18º a radians. 
 
Solució: 
És una simple regla de tres: 
 
radx
radx
rad
10360
182
º18
º3602 











 
 
 
Exercici resolt. 
Converteix rad
9

 a graus. 
 
Solució: 
Plantegem la regla de tres: 
 
º20
2
9/360
º9/
º3602















x
xrad
rad
 
 
 
1.1.1 
Converteix els següents angles a radians. Expressa els resultats com fraccions de 
 . 
 a) 180º b) 60º c) 45º d) 90º 
 
1.1.2 
Converteix els següents angles a radians. Arrodoneix els resultats a les 
centèsimes. 
 
 a) 24º b) 78º 
 
1.1.3 
Converteix a graus. Arrodoneix els resultats a les dècimes. 
 a) 
6

 rad b) 0.73 rad 
 
1.1.4 
Converteix els següents angles a radians. Expressa els resultats com fraccions de 
 . 
 a) 45º b) 75º c) 20º d) 140º e) 25º 
 
1.1.5 
Converteix a graus: 
 a) 
7
3
 b) 
18

 c) 
3
2
 d) 4.0 
1.2 Raons trigonomètriques amb angles aguts. 
 
Un triangle rectangle és un triangle en el què l'angle d'un vèrtex és recte, és a dir, 
mesura 90º. 
Fixem un altre angle, al que anomenem  . 
El costat oposat a l'angle recte s'anomena hipotenusa, i l'anomenarem hip. Els 
altre dos costats s'anomenen catets. 
El catet que no toca l'angle  s'anomena costat oposat, i l'anomenarem opo. 
El catet que toca l'angle  s'anomena costat adjacent, i l'anomenarem adj. 
 
 
 
 
 
 
hip
opo
)sin( 
hip
adj
)cos( 
adj
opo
)tan( 
 
 
 
 
Les identitats fonamentals de la trigonometria. 
 
1)(cos)(sin 22   
)cos(
)sin(
)tan(


  
 
 
En efecte: 
1)(cos)(sin
2
2
2
22
2
2
2
222
22 














AP
AP
AP
AQPQ
AP
AQ
AP
PQ
AP
AQ
AP
PQ
 
)cos(
)sin(
/
/
)tan(


 
hipadj
hipopo
adj
opo
 
on estem suposant que en tot triangle rectangle 0hip . 
 
Raons trigonomètriques recíproques. 
 
Definim la secant, la cosecant i la cotangent d'un angle de la següent forma: 
 
 secant: cosecant: cotangent: 
adj
hip

)cos(
1
)sec(

 
opo
hip

)sin(
1
)csc(

 
opo
adj

)tan(
1
)cot(

 
1.2.1 
Determina les raons trigonomètriques associades al següent angle  : 
 
 
)sin( 
 
)cos( 
 
)tan( 
 
 
Exercici resolt. 
Determina la longituddels costats: 
 
 
Solució: 
Etiquetem vèrtexs, angles i costats: 
 
 
i apliquem les raons trigonomètriques: 
5.2)º30sin(5
5
)º30sin(  a
a
 
33.4)º30cos(5
5
)º30cos(  b
b
 
 
1.2.2 Problema. 
Determina 2tan 
 
Exercici resolt. 
Determina el costat assenyalat: 
 
 
 
Solució: 
 
Etiquetem vèrtexs, angles i costats: 
El costat que mesura 3 no toca l'angle de 60º, per tant és el costat oposat a . 
El costat que volem determinar toca l'angle de 60º, per tant és el costat adjacent 
b . 
La raó trigonomètrica adequada per aquest problema és, doncs, la que lliga 
costats adjacent i oposat, és a dir, la tangent: 
 
73.1
)º60tan(
33
)º60tan(  b
bb
a
 
 
1.2.3 
Calcula les longituds dels costats indicats: 
 
 
 
1.2.4 
Determina la longitud del costat assenyalat: 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
f) 
 
 
g) 
 
h) 
 
 
 
1.2.5 
Una escala de 2m de llarg està recolzada en una paret formant un angle de 60º. 
Determina l'altura del punt de contacte entre aquesta escala i la paret. 
 
 
1.2.6 
Calcula la distància d : 
 
 
1.2.7 
Calcula l'altura de l'arbre: 
 
 
 
1.2.8 
Calcula la distància AB entre el vaixell i el far. 
 
 
 
1.2.9 
Quina serà l’altura d’un arbre que forma un angle de 37º des de una distància de 
15 m? 
 
 
1.2.10 
Quina serà l’altura d’un edifici si veiem el seu extrem superior amb un angle de 
17º des d’una distància de 54 m? 
 
 
 
1.2.11 
Calcula la profunditat del pou de la figura: 
 
 
1.2.12 
Quina és la longitud d’una escala quan l’extrem que recolza en la paret arriba a 
una altura de 4,6 m i forma un angle de 71º? 
 
1.2.13 
Un cotxe puja per una rampa amb un pendent de 32º. Quants metres pujarà 
verticalment si ha recorregut 510 m. de la rampa? 
 
 
 
 
Exercici resolt. 
Calcula l'altura AB de l'edifici de l'esquerra. Presenta el resultat exacte com a 
fracció simplificada. 
 
Solució: 
 
 
Un cop hem tret els elements decoratius, tenim el següent esquema: 
 
 
Aplicant raons trigonomètriques al triangle rectangle de la dreta: 
 mBC
BC 3
50
)º60tan(
5050
)º60tan(  
 
Aplicant ara raons trigonomètriques al triangle rectangle de l'esquerra: 
 mAB
ABAB
BC
AB
3
50
33
50
50
3
3/503
1
)º30tan(  
Exercici resolt. 
Calcula l'altura de la torre de la dreta: 
 
Solució: 
 
 
Representem esquemàticament la situació: 
 
 
 mBC
BC
03.25
)º40tan(
2121
)º40tan(  
 
 mBCAD 07.20 
 
 mDE
DE
AD
DE
53.17
)º55tan(
03.25
03.25
)º55tan(  
 
 mDECDCE 53.3853.1721  
 
1.2.14 
Determina la distància AB entre les dues persones: 
 
Triangles encadenats. 
 
1.2.15 
Calcula els costats x i y assenyalats: 
 
 
1.2.16 
Calcula el costat DG: 
 
 
 
 
1.2.17 
Calcula la longitud y : 
 
 
 
 
1.2.18 Math English Corner 
 
 
 
Font: Pizzazz! Algebra pàg. 227 
http://www.toomates.net/biblioteca2/pizzazz/pizzazz_algebra.pdf
1.3 Les funcions trigonomètriques inverses: arcsin, arccos i arctan. 
 
La funció    1,0º90,0:)sin( x té associada una funció inversa anomenada 
)arcsin( x : 
 º30
2
1
arcsin 





 perquè 
2
1
)º30sin(  
   º7.270.465arcsin  perquè 465.0)º7.27sin(  .... 
 
De la mateixa manera, disposem de funcions inverses per al cosinus: )arccos(x 
i per a la tangent: )arctan(x 
Les funcions trigonomètriques inverses ens permeten determinar angles 
coneguts els costats. 
 
Exercici resolt. 
Determina l'angle assenyalat: 
 
 
Solució: 
 
Etiquetem vèrtexs, angles i costats: 
 
 
i veiem que la relació trigonomètrica que hem d'aplicar és el sinus: 
º57.23
5
2
arcsin
5
2
)sin( 





 
c
a
 
 
 
 
 
Sempre   xx )arcsin(sin , però no sempre xxarc )sin(sin 
 
L'equació kx sin té dos solucions en º3600  x , i la funció arcsin dóna 
sempre la solució més propera a 0º. 
Per exemple:   º30
2
1
arcsinº30sinarcsin 





 
Però   º60
2
3
arcsinº120sinarcsin 








 
Perquè dels dos angles que tenen sinus igual a 
2
3
, que són 60º i 120º, la funció 
arcsin dóna el més proper a 0º, que és 60º. 
El mateix passa amb el cosinus i la tangent. 
 
Trigonometria amb calculadora científica (CASIO fx82 i similars) 
 
Fins a l’aparició de les calculadores científiques, hi havia taules 
trigonomètriques que permetien trobar les raons trigonomètriques de qualsevol 
angle; de la mateixa manera, també hi havia taules que permetien trobar un angle 
a partir d’una de les seves raons trigonomètriques. En l’actualitat, aquestes taules 
no s’utilitzen, perquè qualsevol calculadora fa aquestes funcions de manera més 
eficient i senzilla. 
 
)arcsin( x La tenim a la calculadora científica com 
 
Per exemple, per a calcular 





2
1
arcsin : 
 
 
)arccos(x La tenim a la calculadora científica com 
 
Per exemple, per a calcular 





2
1
arccos : 
 
 
)arctan(x La tenim a la calculadora científica com 
 
 
 
 
Comprova que la unitat angular de la teva calculadora és la correcta! 
Si treballes amb graus sexagesimals (com en aquest llibre), comprova que la teva 
calculadora apareix una D a la part superior de la pantalla: 
 
 
 
 
 
 
El mode més friki de la calculadora: El mode G fa referència als "gradians", 
que es defineixen com la 400/1 part de la circumferència. Així doncs, 
grad100º90  . Fora d'àmbits molt especialitzats (artilleria militar per exemple) 
aquest mode no es fa servir mai. 
 
1.3.1 
Determina amb la calculadora científica. Escriu el resultat amb 4 decimals 
exactes: 
 
 a) º72sin b) º33tan c) º9.3cos d) º9.13sin e) º7.24tan 
 f) º45cos 
 
1.3.2 
Determina els següents angles amb la calculadora científica. Escriu el resultat 
amb 1 decimal exacte: 
 
 a) 7.0sin  b) 4.0cos  c) 14tan  d) 6.0cos  e) 9.0sin  
 f) 1.0tan  
 
1.3.3 
Determina l'angle assenyalat: 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
 
 
1.3.4 Calcula l'angle  : 
 
 
 
 
1.3.4 Math English Corner 
 
 
 
Font: Pizzazz! Algebra pàg. 229 
http://www.toomates.net/biblioteca2/pizzazz/pizzazz_algebra.pdf
1.4 Raons trigonomètriques dels angles 30º, 45º i 60º. 
 
Del triangle “cartabó” podem deduir les raons trigonomètriques de l’angle 45º 
 
 
 
1
1
1
)º45tan(
2
2
2
1
)º45cos(
2
2
2
1
)º45sin(



 
 
Construïm un triangle equilàter de costat 1, determinem la seva altura per 
Pitàgores: 
2
3
4
3
4
1
1
2
1
1
2
22 





 aa
 
i obtenim un triangle “escaire”, d’angles 30º, 90º i 60º i de costats 2
1
, 1 i 2
3
 
 
 
 
d’on podem deduir fàcilment 
que 
 
3
1
2/3
2/1
)º30tan(
2
3
1
2/3
)º30cos(
2
1
1
2/1
)º30sin(



 
 
 
3
2/1
2/3
)º60tan(
2
1
1
2/1
)º60cos(
2
3
1
2/3
)º60sin(



 
1.5 Descomposició de figures en triangles rectangles. 
 
Exercici resolt. 
Determina la longitud del costat assenyalat: 
 
 
 
 
Solució: 
Sobre aquest triangle no podem aplicar directament les raons trigonomètriques perquè 
no és rectangle. Però si que podem traçar l'altura h per descomposar-lo en dos triangles 
rectangles: 
 
 
 
Aplicant les raons trigonomètriques sobre el triangle rectangle de l'esquerra: 
55.22)º70sin(24
24
)º70sin(  h
h
 
 
Aplicant les raons trigonomètriques sobre el triangle rectangle de la dreta: 
06.33
)º43sin(
55.2255.22
)º43sin(  x
xx
h
 
 
Exercici resolt. 
Determina l'angle assenyalat: 
 
 
 
Solució: 
Sobre aquest triangle no podem aplicar directament les raons trigonomètriques perquè 
no és rectangle. El que sí podem fer és traçar l'altura per dividir-lo en dos triangles 
rectangles: 
 
 
 
Aplicant raons trigonomètriques al triangle de l'esquerra: 
28.25)º50sin(33
33
)º50sin(  h
h
 
 
Aplicant raons trigonomètriques al triangle de la dreta: 
º44.6927
28.25
arcsin
27
28.25
27
)sin( 





 
h
 
 
Exercici resolt. 
Determina la longitud del costat assenyalat: 
 
 
 
Solució: 
Per poder aplicar les raons trigonomètriques tracem l'altura i dividim el triangle en dos 
triangles rectangles: 
 
 
Apliquem raons trigonomètriques sobre el triangle de l'esquerra: 
)º70cos(28
28
)º70cos(  x
x
 
 
Apliquem raons trigonomètriques sobre el triangle de la dreta: 
)º50cos(35
35
)º50cos(  y
y
 
 
La distància buscada es la suma 07.32)º50cos(35)º70cos(28  yx 
 
Nota: Aquest problema es pot resoldre també amb el "Teorema del Sinus", que 
estudiarem més endavant. 
 
1.5.1 
Una bola negra queda penjada del sostre per dues cordes tenses: 
 
 
 
 
Calcula l'angle entre les dues cordes. 
 
 
1.5.2 
Determina la longitud de la base del següent triangle isòsceles: 
 
 
1.5.3 
Calcula el angle  de la següent cometa: 
 
 
 
 
1.6 Determinació de distàncies inaccessibles. 
 
Exercici resolt. 
Determina el costat assenyalat: 
 
 
Solució: 
Etiquetem vèrtexs, angles i longituds: 
 
 
Observem que, encara que no ens la demanen, etiquetem la longitud xBD  perquè la 
necessitarem per completar triangles rectangles. 
Apliquem trigonometria al triangle rectangle DBC : 
x
h
)º42tan( 
Apliquem trigonometria al triangle rectangle ABC : 
x
h


11
)º30tan( 
(No podem aplicar raons trigonomètriques al triangle ADC perquè no és rectangle) 
Obtenim un sistema de dues equacions i dues incògnites que resoldrem pel mètode 
d'igualació en h : 
 )11)(º30tan()º42tan(
)11)(º30tan(
11
)º30tan(
)º42tan()º42tan(
xx
xh
x
h
xh
x
h











 
 
 
 
66.19
)º30tan()º42tan(
)º30tan(11
)º30tan(11)º30tan()º42tan(
)º30tan(11)º30tan()º42tan(
)º30tan()º30tan(11)º42tan(
)11)(º30tan()º42tan(







x
x
xx
xx
xx
 
 
 70.17)º42tan(66.19)º42tan(  xh 
 
Exercici resolt. 
Tomàs i Alicia volen mesurar la distància entre la Terra i la Lluna. Per això, se situen a 
una distància de 300 km l’un de l’altre i mesuren l’angle d’elevació de la Lluna. Tomàs 
mesura 49.8974º, i Alicia mesura 49.9312º. Amb aquestes dades, determina la distància 
aproximada entre la Terra i la Lluna. 
 
 
 
Solució. 
Posem lletres i plantegem i resolem un sistema d’equacions 2×2: 
 
 
 









300
8974.49tan
9312.49tan
x
y
x
y
 
 8974.49tan)300(9312.49tan
8974.49tan)300(
9312.49tan






xx
yx
yx
 
 
  
kmx
x
xx
250389
8974.49tan9312.49tan
8974.49tan300
8974.49tan3008974.49tan9312.49tan
8974.49tan3008974.49tan9312.49tan





 
 
Ara calculem la distància d’Alicia a la Lluna amb el cosinus: 
 388833
)º913.49cos(
250389250389
)º913.49cos(  d
dd
x
km 
 (Distancia oficial: 384400 km) 
 
1.6.1 
Calcula l'altura de l'arbre: 
 
 
 
 
1.6.2 
Determina l'altura h de la torre: 
 
 
 
1.6.3 
Determina la longitud del segment BC: 
 
 
 
1.6.4 
Determina la distància x: 
 
 
 
1.6.5 
Determina la longitud x: 
 
 
1.6.6 
Determina l'altura de l'arbre: 
 
 
 
1.6.7 
Calcula l'amplada d'aquest congost amb les dades següents: 
 
1.6.8 Exercici del Youtube 
Determina l’altura de l’arbre: 
 
 
 
Solució: https://youtu.be/reeI3nAUz6c (Juan Sanmartín) 
https://youtu.be/reeI3nAUz6c
1.6.9 Exercici del Youtube 
 Determina l’altura de l’arbre. 
 
 
 
Solució: https://youtu.be/hxHZzSeqm5I (explicamates) 
 
 
 
https://youtu.be/hxHZzSeqm5I
1.7 Notes d'històrica dels els termes trigonomètrics. 
 
La trigonometria és una part de la matemàtica que, genèricament, estudia la relació 
entre la mesura dels angles i els costats d’un triangle. De fet, la mateixa paraula 
trigonometria té l’origen en aquest fet: tri– significa "tres", gono–, significa "angle" i –
metria significa "mesura”, és a dir, trigonometria significa una "mesura de (figures) amb 
tres angles". 
El terme trigonometria el trobem per primera vegada en l’obra del matemàtic alemany 
Bartholomaeus Pitiscus, Blatnometria sive de dimensione triangulorum, publicada el 
1595, encara que molts resultats de la trigonometria ja eren coneguts a l’antiguitat 
(teorema de Pitàgores, teorema de Tales...). Els primers usos de la trigonometria (encara 
que no tingués aquest nom) van ser la cartografia, l’astronomia i la navegació, i només 
recentment el seu ús s’ha estès a molts altres camps. L’astronomia és, potser, el camp 
que des d’antic va estar més unit a la trigonometria i, de fet, la major part d’estudis 
trigonomètrics es presentaven en treballs astronòmics. Fins al segle XIII no es va 
produir la primera presentació de la trigonometria com a ciència independent de 
l’astronomia: va ser el matemàtic persa Sharaf al–Din al–Tusi. 
 
 
De l’obra Problematum variorum geodaeticum de B. Pitiscus. 
 
Els termes sinus, cosinus i tangent tenen una història curiosa. Una antiga obra hindú 
sobre astronomia, Surya Siddhanta, dóna una taula de mitjanes–cordes (en un altre tema 
s’estudiarà el significat de la corda), que coincideixen amb la idea del sinus d’un angle, 
molt útils per a calcular els moviments de les estrelles. Posteriorment, l’obra 
Aryabhatiya d’Aryabhata, que també era hindú (cap al 500 dC) fa un estudi més 
profund de les mitjanes–cordes, que denomina jiva (en sànscrit, llengua en què està 
escrita aquesta obra). Els àrabs la van traduir i el terme jiva va ser transformat en 
l’aràbic jiba, però escrit jb (atès que l’àrab clàssic no té vocals). Més endavant, els 
traductors al llatí d’aquesta obra, van traduir jb per sinus, ja que van pensar que es 
referia a jaib (i no a jiba), i jaib significa pit o sina (tot i que en català utilitzem la 
paraula sinus). Així, del significat original, mitjana–corda, es va passar, per una 
traducció errònia, a sinus. 
A banda de l’anècdota, aquest relat il·lustra el recorregut dels estudis trigonomètrics al 
llarg de la història: primer, a l’Índia, posteriorment, en àrab, des de Bagdad fins a l’Al–
Andalus; des d’aquí es va introduir a Europa amb les traduccions llatines, fins a les 
llengües modernes. 
Les altres dues raons trigonomètriques tenen una història més recent. El cosinus va 
sorgir de la necessitat de calcular el sinus de l’angle complementari. Així, 
originàriament, Edmund Gunter el 1620 va escriure co.sinus precisament per a indicar 
"sinus de l’angle complementari" (que com sabem, és igual al cosinus de l’angle); una 
mica més tard, John Newton (no Isaac Newton) va estandarditzar el terme cosinus, del 
qual prové el nostre cosinus. 
Finalment, la paraula tangent deriva de la paraula llatina tangere, que significa tocar 
(molt relacionat amb la idea geomètrica de la tangent), i va ser introduïda per Dane 
Thomas Fincke el 1583. 
Font: Document "Iniciació a les Matemàtiques per a l’enginyeria". 
2 Trigonometria amb triangles en general. 
 
2.1 Raons trigonomètriques d'angles > 90º. 
 
Donades dues semirectes AB i AC , determinant un angle  obtús, per a qualsevol 
punt ACP , sigui Q la seva projecció perpendicular en la recta AB . 
Com que  és obtús, el punt Q pertany a la semirecta oposada de AB . 
 
 
 
Definim: 
 
AP
PQ
)sin( 
AP
AQ
)cos( 
AQ
PQ
)tan( 
 
 
 
)º180sin()sin(   , )º180cos()cos(   
 
 
I per tant: )tan(
)cos(
)sin(
)180cos(
)180sin(
)180tan( 




 




 
 
 
 
Exercici resolt. 
Coneixent 2/1)º30sin(  i 2/3)º30cos(  , calcula les raons trigonomètriques 
associades a l'angle º150 
 
Solució: 
3
3
3
1
2/3
2/1
)º150cos(
)º150sin(
)º150tan(
2
3
)º30cos()º30º180cos()º150cos(
2
1
)º30sin()º30º180sin()º150sin(









 
2.2 El Teorema del sinus. 
 
 
 
 
 
C
c
B
b
A
a
sinsinsin
 
 
 
 
Demostració. Tracem l'altura h que passa pel vèrtex C. Així, obtenim dos triangles 
rectangles: ADC y BDC : 
 
 
 
 
 
Enel triangle rectangle ADC : Abh
b
h
A sinsin  
 
En el triangle rectangle BDC : Bah
a
h
B sinsin  
 
Per tant: 
A
a
B
b
BaAb
sinsin
sinsin  , tal i com volíem demostrar. 
 
 
Repetint aquest mateix procés amb les altres dues altures, obtenim les altres igualtats. 
 
Exercici resolt. 
Determina la longitud dels costats: 
 
 
 
Solució: 
Etiquetem vèrtexs, angles i costats: 
 
 
i veiem que el costat de la dreta s'adapta perfectament al Teorema del sinus: 
 928.3
)º50sin(
)º37sin(5
)º37sin()º50sin(
5
sinsin
 a
a
A
a
B
b
 
 
Per poder calcular el costat inferior necessitem determinar l'angle C del vèrtex superior: 
 
 º93º50º37º180º180º180  BACCBA 
 
I apliquem, de nou, el Teorema del Sinus: 
 
 518.6
)º50sin(
)º93sin(5
)º93sin()º50sin(
5
sinsin
 c
c
C
c
B
b
 
 
2.2.1 
Determina la longitud assenyalada: 
 
2.2.2 
Determina la longitud i l'angle assenyalats: 
 
 
2.2.3 
Determina la longitud del costat assenyalat: 
 
2.2.4 
El "Triangle de les Bermudes" se situa entre Miami, Bermuda i la illa de San Juan. 
Observa l'esquema i determina la distància entre Miami i San Juan: 
 
 
 
2.2.5 Exercici del Youtube 
 Determina la longitud del costat indicat: 
 
 
 
Solució: https://youtu.be/r2DZSxFLRK0 (unicoos) 
https://youtu.be/r2DZSxFLRK0
2.2.6 Exercici del Youtube (en anglès) 
 Determina la longitud dels costats a i c: 
 
 
 
Solució: https://youtu.be/i6kIjZA2UAI (NancyPi) 
 
https://youtu.be/i6kIjZA2UAI
Determinació d’angles aplicant el Teorema del Sinus. 
 
Exercici resolt. 
Determina l'angle assenyalat: 
 
Solució: 
Etiquetem vèrtexs, angles i costats: 
 
 
 
Apliquem el Teorema del Sinus: 
 
 
 











º51.137675.0arcsinº180
º49.42675.0arcsin
675.0
32
º70sin23
sin
sin32º70sin23
º70sin
32
sin
23
sinsin
BB
B
BC
c
B
b
 
 
La solució correcta és 42.49 perquè a l’esquema que apareix en l’enunciat es veu que 
l’angle demanat és agut. 
 
 
 
 
Has de tenir molta atenció quan determines angles amb el Teorema del Sinus, 
perquè l’equació bAsin té dues solucions possibles: 
 





)arcsin(º180
)arcsin(
b
b
A 
 
Per tant, tindrem dos triangles candidats a solució del problema. 
En l’exercici anterior vam escollir la solució aguda perquè era la coherent amb 
l’esquema que es mostra a l’enunciat. Però no sembre ens donen un esquema, i 
per tant haurem de comprovar les dues solucions possibles. Observa el següent 
exemple. 
 
 
 
 
Exemple resolt. 
Determina l’angle B d’un triangle amb º45A , 4a i 5b . 
 
Solució. 
Apliquem el Teorema del Sinus: 














º89.117)884.0arcsin(º180
º11.62)884.0arcsin(
884.0
24
5
4
)º45sin(5
)sin(
)sin(
5
)º45sin(
4
sinsin
B
B
BB
b
A
a
 
 
Les dues solucions són vàlides: 
 
 
 
 
2.3 El Teorema del cosinus. 
 
 
 
 
 
 
Abccba cos2222  
 
 
 
Demostració. Tracem l'altura h que passa pel vèrtex C. Així, obtenim dos triangles 
rectangles: ADC y BDC . Sigui m la distància AD , per tant, mcDB  : 
 
 
 
Apliquem Pitàgores a tots dos triangles: 
En el triangle rectangle ADC : 
222222 mbhmhb  
En el triangle rectangle BDC : 222222 )()( mcahmcha  
Per tant: 2222222222 2)2()( mmccammccamcamb  
Eliminem 
2m a dreta i esquerra: mccab 2
222  
Aïllem 
2a : mccba 2
222  
Apliquem trigonometria al triangle ADC : Abm
b
m
A coscos  
Finalment, substituïm m a l'expressió anterior: Abccba cos2222  
 
Problema Proposat: PG/6.23a
Exercici resolt. 
Determina la longitud del costat assenyalat: 
 
 
Solució: 
Etiquetem vèrtexs, angles i costats: 
 
 
i veiem que aquest problema s'adapta perfectament al Teorema del Cosinus: 
 
0049.29)º50cos(704925)º50cos(75275cos2 22222  Abccba 
386.50049.29 a 
 
2.3.1 
Determina la longitud del costat assenyalat: 
 
 
 
 
2.3.2 
Determina el costat assenyalat: 
 
2.3.3 Exercici del Youtube 
 Determineu el costat a i l’angle B. 
 
 
 
Solució: https://youtu.be/CYHWl_7dIdw (unicoos) 
 
 
2.3.4 Exercici del Youtube 
 Determina la longitud del costat indicat, seguint dos mètodes diferents: 
 
 
 
a) Dividint el triangle amb una altura central. 
 
Solució: https://youtu.be/uqk9EWQRq3c (Mates con Andrés) 
 
b) Aplicant el teorema del cosinus. 
 
Solució: https://youtu.be/_oCZjw4LbvM (Mates con Andrés) 
 
 
2.3.5 Exercici del Youtube (en anglès) 
 Determina la longitud del costat indicat: 
 
 
 
Solució: https://youtu.be/HOI_PnFG67Q?t=622 (Professor Leonard) 
 
 
https://youtu.be/CYHWl_7dIdw
https://youtu.be/uqk9EWQRq3c
https://youtu.be/_oCZjw4LbvM
https://youtu.be/HOI_PnFG67Q?t=622
Determinació d’angles mitjançant el Teorema del cosinus. 
 El Teorema del Cosinus ens permet determinar els angles en funció dels costats: 
 
bc
acb
A
2
cos
222 
 , 
ac
bca
B
2
cos
222 
 , 
ab
cba
C
2
cos
222 
 
 
 
 
Aquestes fórmules no s’han de memoritzar. S’han de poder deduir, sempre que 
calgui, de la fórmula original. 
 
 
Exercici resolt. 
Determina els angles del següent triangle: 
 
 
Solució: 
Etiquetem vèrtexs, angles i longituds: 
 
 
Apliquem el Teorema del Cosinus per a determinar l'angle A : 
 
º96.35
1472
1192
arccos
1472
1192
)cos(
)cos(14721192
)cos(14721024529361
)cos(14721024529361
)cos(32232322319)cos(2 222222
















AA
A
A
A
AAbccba
 
Apliquem el Teorema del Cosinus per a determinar l'angle B : 
 
º26.45
1216
856
arccos
1216
856
)cos(
)cos(1216856
)cos(12161024361529
)cos(12161024361529
)cos(32192321923)cos(2 222222
















BB
B
B
B
BBaccab
 
L'angle C el podem deduir directament: 
 º78.98º26.45º96.35º180º180º180  BACCBA 
2.3.6 Exercici del Youtube 
 Determina els tres angles del següent triangle: 
 
 
 
Solució: https://youtu.be/Nud7FLaGjCI (Matemáticas con Juan) 
 
 
2.3.7 Exercici del Youtube 
 Determina l’angle  : 
 
 
 
Solució: https://youtu.be/cCeJffSwHvc (Matemáticas profe Alex) 
 
https://youtu.be/Nud7FLaGjCI
https://youtu.be/cCeJffSwHvc
Exercici resolt. 
Determina la longitud dels costats del següent paral·lelogram: 
 
 
Solució: 
La part de la dreta de la figura és un triangle al qual podem aplicar el Teorema del 
Cosinus per a obtenir la distància AD: 
 
 
 
ADaaa  567.4852.20852.20)º48cos(65265 2222 
 
 
La part superior de la figura també és un triangle amb un angle COD que és el 
suplementari de AOD , per tant º132º48º180 COD 
 
 
 
057.10148.101148.101)º132cos(65265 2222  aaa 
 
Nota: En aquest problema estem tenint en compte que les diagonals d'un triangle tallen 
pel punt mig. 
 
Exercici resolt. 
Determina la distància CD del quadrilàter següent: 
 
 
Solució: 
 
 
En primer lloc, amb el triangle ABC obtenim la longitud a: 
 
 
 
51.19)50sin(
)101sin(
25
)50sin()101sin(
25
º1015029180
º502723



a
a
C
B
 
 
Amb el triangle ABD obtenim la longitud b: 
 
 
 
 
27.10)23sin(
)108sin(
25
)23sin()108sin(
25
º1082349180
º492029



b
b
D
A
 
 
i, finalment, amb el triangle BCD i el teorema del cosinus determinem el costat CD: 
 
 
465.10)20cos(51.1927.10251.1927.10)20cos(2 2222  ababCD
 
 
2.3.8 Exercici del Youtube 
 Calcula la distància entre l’arbre A i la casa C: 
 
 
 
Solució: https://youtu.be/zdSuV54NcU8 (explicamates) 
 
2.3.9 Exercici del Youtube 
 Calcula la distància entre el punt A i el punt B 
 
 
 
Solució: https://youtu.be/ItMkwTWyCNY (Miguel Ángel Andrés) 
 
https://youtu.be/zdSuV54NcU8
https://youtu.be/ItMkwTWyCNY
2.4 Problem Solving amb Teoremadel Sinus i del Cosinus. 
 
2.4.1 
Determina la longitud del costat indicat. En les imatges es mostren les dues solucions 
possibles. 
 
 
 
2.4.2 
 Determina l’angle assenyalat. 
 
 
2.5 Àrea mitjançant trigonometria. La fórmula de Heron. 
 
Àrea coneixent dos costats i l'angle que determinen. 
 
 
 
 
 
AcbÀrea sin
2
1
 
 
 
Demostració. Tracem l'altura h i apliquem les raons trigonomètriques al triangle 
rectangle de l'esquerra: 
 
Abh
b
h
A sinsin  
AcbAcbchalturabaseÀrea sin
2
1
sin
2
1
2
1
2
1
 
 
Exercici resolt. 
Calcula l'àrea del triangle: 
 
Solució: 
53.9º33sin75
2
1
)sin(
2
1
 AcbÀrea 
 
2.5.1 
Determina l'àrea del següent triangle: 
 
2.5.2 
Si l'àrea del triangle és 21m
2
, determina la x. 
 
Exercici resolt. 
Determina l'àrea de la següent figura: 
 
Solució: 
L'àrea del triangle ABD es pot calcular directament amb la fórmula anterior: 
   2m7244.44 )75(120125
2
1
)75(
2
1
 SinSinADABABD 
 
Per calcular l'àrea del triangle BCD , hem de determinar la longitud DB amb el 
Teorema del Cosinus sobre el triangle ABD : 
 
mBDCos
ACosADABADABBD
2.1494.222604.22260)75(1201252120125
)(2
22
222


 
 
I ara podem aplicar la fórmula de l’àrea: 
   2m3357 )35(902.149
2
1
)30(
2
1
 SinSinCDBDBCD 
 
Finalment, l'àrea de la figura serà la suma de les dues àrees parcials: 
       2m10601.4 3357 44.7244  BCDABDABCD 
 
2.5.3 
Find: 
a) the length of BD 
b) the total area of quadrilateral ABCD. 
 
 
2.5.4 
Triangle ABC has acute angle θ at vertex A. Find θ correct to 1 decimal place if the area 
of triangle ABC is 33.4 cm2. 
 
 
 
2.5.5 
The area of triangle ABD is 33.6 m
2
. Find the length of CD. 
 
 
 
Problema. 
L'hexàgon ABCDEF es divideix en cinc rombes: P, Q, R, S i T, tal i com s'indica en la 
figura: 
 
 
 
Els rombes P, Q, R i S són congruents, i tenen àrea 2600 . Sigui K l'àrea del rombe T. 
Suposant que K és un enter positiu, trobeu el nombre de valors possibles de K. 
 
2006 AIME I #8 
Solució: PG/6.24 
 
 
http://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasGeometria.pdf
Àrea d'un triangle coneixent els tres angles i un costat. 
 
 
 
 
 
 
B
CAb
ABC
sin2
sinsin2
 
 
 
Demostració. Partim de la fórmula anterior: AcbÀrea sin
2
1
 
i apliquem el Teorema del Sinus: 
B
Cb
c
B
b
C
c
sin
sin
sinsin
 
 
 
B
ACb
A
B
Cb
bAcbABC
sin2
sinsin
sin
sin
sin
2
1
sin
2
1 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Àrea d'un triangle coneixent els tres costats ("La fórmula d'Heron"). 
 
 
 
 
 
  ))()(( csbsassABC  
 
on 
2
cba
s

 s'anomena 
semiperímetre del triangle. 
 
 
 
 
Demostració. Partim de la fórmula 
  AAAA
cb
Àrea
AcbÀreaAcbÀreaAcbÀrea
cos1cos1cos1sin
4
sin
4
1
sin
4
1
sin
2
1
22
22
2
22222222


 
 
Ara apliquem el Teorema del Cosinus: 
bc
acb
bc
cba
AAbccba
22
coscos2
222222
222 


 
I per tant 
 
bc
cba
bc
acbbc
bc
acbbc
bc
acb
A
2
)(
2
2
2
2
2
1cos1
22222222222 






 
 
bc
acb
bc
acbbc
bc
acbbc
bc
acb
A
2
)(
2
2
2
2
2
1cos1
22222222222 






 
Arribem a: 
  
  
     (**))()(
)()(16
4
)()(
2
)(
2
)(4
22222
22
22222222
22
2







acbacbcbacba
acbcbaÀrea
cb
acbcba
bc
acb
bc
cba
cb
Àrea
 
Tenint en compte que: 
asacbaacb
sacb
bsbcbabcacba
csccbacbacba
222
2
222)(
222)(




 
Llavors: 
    
)())((16
)(22)(2)(22222222(**)
assbscs
assbscsassbscs


 
finalment: 
)())((
)())(()())((1616 22
assbscsÀrea
assbscsÀreaassbscsÀrea


 
Exercici resolt. 
Calcula l'àrea del triangle: 
 
 
Solució: 
8
2
16
2
754
2





cba
s 
 
  8.964961438)78)(48)(58(8 ABC 
 
2.6 Problemes PAU de trigonometria. 
 
 
 
Aquests problemes corresponen a proves de selectivitat de Catalunya entre els 
anys 1998 i 2003. 
Podeu trobar les solucions al Compendium PAU TEC Catalunya 
 
 
2.6.1 
La figura ens mostra tres jardins circulars mútuament tangents. Els radis d'aquests 
jardins són respectivament de 8, de 10 i de 12 metres. La zona del jardí més petit que 
està ombrejada en el dibuix (sector circular delimitat pels dos radis pels punts de 
tangència amb els altres dos jardins i l'arc de circumferència corresponent) es vol 
sembrar d'una gespa especial i es vol envoltar completament amb una petita tanca 
metàl·lica. Quina superfície té? Quina longitud de tanca farà falta? 
 
 
 
PAU CAT TEC 1997 #J3AP1 
 
2.6.2 
Quina és la superfície del cercle en el qual podem inscriure un triangle equilàter de 
perímetre 60 centímetres? 
 
PAU CAT TEC 1997 #J3BQ2 
 
2.6.3 
Determineu l'amplada d'un riu sabent que des d'una torre de 40 metres d'altura i situada 
a 30 metres en horitzontal de la riba del riu l'amplada d'aquest es veu sota un angle de 
45 graus. 
PAU CAT TEC 1997 #S1AQ4 
 
2.6.4 
Per fixar exactament una direcció terrestre respecte als quatre punts cardinals (nord, sud, 
est i oest) convindrem a mesurar l'angle que la direcció nord forma amb la direcció 
donada, prenent com a sentit positiu el sentit nord – est – sud –oest. Així, per exemple, 
una direcció de 0 graus voldrà dir la direcció nord, i una direcció de 270 graus voldrà dir 
la direcció oest. Un vaixell demana ajut per ràdio i els senyals es reben en dues 
estacions P i Q distants entre si 65 km. L'estació P veu l'estació Q en una direcció de 
132 graus (utilitzant el conveni anterior). P rep el senyal de ràdio del vaixell en una 
direcció de 135 graus. Q rep el senyal de ràdio del vaixell en una direcció de 264 graus. 
A quina distància de cada estació es troba el vaixell? 
 
PAU CAT TEC 1997 #S1BP1 
http://www.toomates.net/biblioteca/Pautec.pdf
2.6.5 
Estic situat davant la paret d'una casa il·luminada pel sol. Em trobo a una distància de 2 
metres d'aquesta paret. En aquest moment el meu cos fa una ombra sobre terra que té 
una longitud d'1,6 m i segueix una direcció perpendicular al pla de la paret (a la figura I, 
el meu cos està representat pel segment AB; l'ombra, pel segment AB', i la línia 
discontínua representa el raig de sol que passa pel meu cap). Si avanço un pas d'un 
metre en direcció a la paret (si em situo, doncs, a 1 metre de la paret), la meva ombra es 
trencarà en dos trossos, un tros estarà contingut al pla de terra (segment AC de la figura 
II) i l'altre estarà contingut al pla de la paret (segment CB' de la figura II). 
 
Sabent que la meva alçada és d'1,7 metres, calculeu l'alçada que atenyerà l'ombra sobre 
la paret (segment CB'). 
 
PAU CAT TEC 1997 #S4AP1 
 
2.6.6 
Suposem que les òrbites de la Terra i de Venus al voltant del Sol són circumferències de 
radis respectius 15·107 km i 10,9·107 km. a) A quina distància es troba Venus de la 
Terra quan l'angle d'observació Sol –Terra – Venus és de 20º ? b) A quina distància es 
trobaran la Terra i Venus quan l'angle Terra – Sol –Venus sigui de 90º ? 
 
 
PAU CAT TEC 1998 #J3P1 
 
 
2.6.7 
Es vol mesurar l'amplada d'un riu. A una distància de 25 m d'una de les ribes hi ha una 
torre de telecomunicacions de 35 m d'alçària. Pugem dalt de la torre i observem l'angle 
que formen les visuals que van cap a una riba i cap a l'altra, que és de 20º. Feu un 
croquis de la situació i calculeu, amb aquestes dades, l'amplada del riu. 
 
PAU CAT TEC 1998 #J6P1 
 
2.6.8 
Des dels dos extrems de la badia d'Alcúdia (Mallorca), que són a 15,25 km l'un de 
l'altre, es pot veure el cim del Puig Major. Un equip de topògrafs ha pres les mides dels 
angles que es poden veure en el croquis següent: 
 
 
 
on A i B són els dos extrems de la badia i C, el peu del cim. A més, l'angle d'elevació 
del cimvist des del punt A és de 3º . Calculeu: 
a) L'angle entre la línia AC i la línia BC. 
b) Les distàncies de A a C i de B a C. 
c) L'alçària del cim. 
 
PAU CAT TEC 1998 #S5P1 
 
2.6.9 
Les diagonals d'un paral·lelogram mesuren 30 cm i 20 cm i es tallen formant un angle 
de 40º. Calculeu–ne els costats. 
 
PAU CAT TEC 1998 #S2Q1 
 
2.6.10 
Des d'una certa distància, l'angle amb l'horitzontal de la visual cap al punt més alt d'un 
arbre és de 60º . Ens allunyem 10 metres i l'angle anterior és ara de 30º. Quina és 
l'alçària de l'arbre? 
 
PAU CAT TEC 1999 #J1Q4 
 
2.6.11 
Des de terra veiem el terrat d'un gratacel sota un angle de 60º . Amb quin angle el 
veuríem des d'una distància al peu del gratacel doble de l'anterior? 
 
PAU CAT TEC 1999 #J6Q3 
 
2.6.12 
Per mesurar l'altura d'un núvol s'han fet simultàniament dues observacions des dels 
punts A i B distants entre si 1 quilòmetre i situats tots dos al nivell del mar. La 
inclinació de la visual des de A al núvol respecte a l'horitzontal és de 47º . Els angles 
que formen les visuals des de A i des de B amb la recta AB són, respectivament, de 38º i 
53º tal com s'indica a la figura següent: 
 
 
 
Calculeu l'altura del núvol respecte al nivell del mar. 
 
PAU CAT TEC 1999 #J6P2 
 
2.6.13 
L'angle entre els dos costats iguals d'un triangle isòsceles és de 40º i el costat desigual té 
una longitud de 40 centímetres. Quina és la longitud de cada un dels costats iguals 
d'aquest triangle? 
 
PAU CAT TEC 1999 #S2Q4 
 
2.6.14 
Us situeu en un punt d'un terreny horitzontal i l'angle que forma la visual dirigida al 
punt més alt d'un arbre amb l'horitzontal és de 60º . Quin serà l'angle que formarà amb 
l'horitzontal la visual dirigida al punt més alt de l'arbre si us n'allunyeu a una distància 
triple de la que éreu abans? 
 
PAU CAT TEC 1999 #S5Q4 
 
2.6.15 
Volem penjar un llum a una certa distància del sostre d'una habitació. Per fer–ho, 
agafem una corda, hi lliguem el llum i la clavem pels extrems en dos punts del sostre 
separats per una distància de 140 centímetres, de manera que els angles entre la corda i 
el sostre són de 40º i 60º a cada un dels extrems. 
a) Quina serà la longitud total de la corda? 
b) A quina distància del sostre quedarà el llum? 
 
 
 
PAU CAT TEC 1999 #S5P2 
 
2.6.16 
El circ és a la ciutat i s'ha d'instal·lar. L'especialista a muntar–lo encara no ha arribat i 
els altres no saben la quantitat de cable d'acer que necessiten. El més espavilat recorda 
que, un cop tensat el cable des de l'extrem del pal principal fins a un punt determinat del 
terra amb el qual forma un angle de 60º, calen dos metres més de cable que si forma 
amb el terra un angle de 70º. En total han de posar sis cables tensats formant amb el 
terra un angle de 60º . Quants metres de cable necessiten? 
 
PAU CAT TEC 2000 #J1Q4 
 
2.6.17 
Els costats d'un triangle són de longituds 8 cm, 11 cm i 13 cm. Calculeu el valor del 
sinus de l'angle més petit. 
 
PAU CAT TEC 2000 #J3Q4 
 
2.6.18 
D'un angle α del primer quadrant coneixeu que sin α= 1/3. Calculeu el valor exacte de: 
a) tan α 
b) sin 2α 
 
PAU CAT TEC 2000 #S2Q4 
 
2.6.19 
Dos amics, l'Àlex i la Berta, són cadascun al terrat de casa seva, veuen un vaixell i els 
interessa determinar la distància a què es troba. a) Primer de tot volen calcular la 
distància que separa el teodolit de l'Àlex del de la Berta. Sigui A el punt on l'Àlex té 
plantat el teodolit i B el punt on la Berta té situat el seu. L'Àlex mesura exactament al 
seu terrat una distància AC = 10 m, de manera que el triangle ACB és rectangle a A. 
Llavors la Berta mesura l'angle a B d'aquest triangle i resulta que és de 5,6º . Calculeu la 
distància AB. b) Per determinar a quina distància és el vaixell, l'Àlex mesura l'angle que 
formen a A les visuals A–vaixell i A–B, que resulta que és 75,5º , i la Berta l'angle que 
formen a B les visuals B–A i B–vaixell, que és de 81,6º . A quina distància és el vaixell 
de la Berta? Es pot saber, sense fer més càlculs, qui és més a prop del vaixell? Per què? 
 
PAU CAT TEC 2000 #S6P2 
2.6.20 
Els tres costats d'un triangle mesuren 3 cm, 4 cm i 5 cm. Calculeu els seus angles i la 
seva àrea. 
 
PAU CAT TEC 2001 #S2Q4 
 
2.6.21 
Hem de fer un mapa d'una certa zona geogràfica. A, B i C són els cims de tres 
muntanyes de la mateixa alçària, de manera que les posicions de A i B són ben 
conegudes i ja estan representades en el mapa, mentre que la posició de C s'ha de 
determinar. Pugem a dalt del cim A i mesurem l'angle entre la línia A–B i la línia A–C, 
que és de 68°. Pugem a dalt del cim B i aquí mesurem l'angle entre les línies B–C i B–
A, que resulta ser de 35°. En el mapa que tenim, la distància sobre el paper entre A i B 
és de 3 cm. a) Feu un diagrama de la situació i determineu quin angle formen en C les 
línies C–A i C–B. b) Quines seran, sobre el mapa, les distàncies entre A i C i entre B i 
C? c) Si el mapa és a escala 1:50000, calculeu la distància real entre els punts A,B i C. 
 
PAU CAT TEC 2001 #S2P1 
 
2.6.22 
L'àrea del triangle de vèrtexs A, B i C és de 50 m² . L'angle en A d'aquest triangle és de 
45° i l'angle en B és de 30°. Sigui D el peu de l'altura des del vèrtex C, és a dir, el punt 
del segment AB tal que CD és perpendicular a AB. 
 
 
 
Calculeu la longitud dels segments CD, AD, BD, AB, BC i AC. 
 
PAU CAT TEC 2001#S5P2 
 
2.6.23 
Siguin A, B i C els tres vèrtexs d'un triangle equilàter de costat 3 cm i P el punt del 
costat AB que és a 1 cm del vèrtex A. Quina és la longitud del segment CP? 
 
PAU CAT TEC 2001 #S4Q2 
 
2.6.24 
D'un paral·lelogram sabem que el costat més llarg mesura 20 cm, que la seva àrea és de 
120 cm
2
 i que l'angle més petit val 30°. Determineu: a) El valor de l'altre angle del 
paral·lelogram (el més gran). b) La longitud del costat petit. c) El que mesura la 
diagonal més llarga. 
 
PAU CAT TEC 2002 #J3P2 
 
2.6.25 
Sobre una circumferència de radi 1 m i centre en el punt O considerem els cinc vèrtexs 
A, B, C, D, E d'un pentàgon regular (és a dir, amb els cinc costats de la mateixa 
longitud) com el del dibuix següent: (on hem dibuixat també els costats AB, BC, CD i 
DE; les diagonals AC, BD, CE, DA i EB; i els radis que acaben en cada un dels vèrtexs 
OA, OB, OC, OD i OE). 
 
Calculeu: 
a) L'angle que formen el radi que acaba en el vèrtex A amb el costat AB i l'angle que 
formen en el vèrtex A els dos costats que el tenen com a extrem (és a dir, l'angle A entre 
els costats EA i AB). 
b) La longitud de cada un dels costats del pentàgon. c) La longitud de qualsevol de les 
diagonals (per exemple la EB). 
c) L'àrea del triangle EAB. 
 
PAU CAT TEC 2002 #J2P2 
 
2.6.26 
Les agulles d'un rellotge de paret fan 10 i 12 centímetres, respectivament. 
a) Quina és la distància entre els seus extrems quan el rellotge assenyala les quatre? 
b) Quina és la superfície del triangle que determinen a aquesta hora? 
 
PAU CAT TEC 2002 #S1Q4 
 
2.6.27 
D’un triangle sabem que la suma de les longituds de dos costats a i b és d’11 m, que 
l’angle C oposat al tercer costat val 30° i que l’àrea és de 7 m². Calculeu 
a) La longitud de cada un dels costats del triangle. 
b) Els angles del triangle. 
 
PAU CAT TEC 2003 J2P2 
 
2.6.28 
Al terrat d'un edifici hi ha instal·lada una antena de telefonia mòbil. Des d'un punt P del 
carrer, l'angle entre l'horitzontal i la línia que va de P cap a l'extrem superior de l'antena 
és de 34°. Ens apropem fins a un punt Q que és 15 metres més a prop de l'edifici i ara 
l'angle entre l'horitzontal i la línia que apunta cap a l'extrem superior de l'antena és de 
42°, mentre que l'angle entre l'horitzontal i la línia que apunta cap a l'extrem inferior de 
la mateixa antena és de 35°. a) Feu un esquema de la situació marcant molt clarament 
quins són els angles que es donen a l'enunciat. b) Calculeu les distànciesde Q als dos 
extrems de l'antena. c) Calculeu l'altura de l'antena i l'altura de l'edifici. 
 
PAU CAT TEC 2003 #J5P2 
2.6.29 
Calculeu l’àrea del triangle ABC representat en l’esquema següent: 
 
 
 
PAU CAT TEC 2003 #S3Q3 
 
2.6.30 
Calculeu el perímetre del triangle rectangle ABC, sabent que la longitud del segment CP 
és 32 . 
 
 
PAU CAT CCSS JUNY 2003 5.4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.7 Repàs general de resolució de triangles amb trigonometria. 
 
2.7.1 
En la següent figura, determina la distància x: 
 
 
2.7.2 
En la següent figura, determina la distància x i l’altura h: 
 
 
2.7.3 
En la següent figura, determina la longitud del costat b 
 
 
2.7.4 
En la següent figura, determina la longitud del costat a: 
 
 
2.7.5 
D’un triangle coneixem a=54, b=62 cm i A=40º (que és l’angle oposat al costat a). 
Determina l’angle B, és a dir, l’angle oposat al costat b. 
 
2.7.6 
Determina la distància CD 
 
 
2.7.7 Exercici del Youtube 
Calcula la altura de la muntanya h i la distància x: 
 
 
 
Solució: https://youtu.be/d4KaFeUT5B8 (Píldoras matemáticas) 
 
2.7.8 Exercici del Youtube 
Calcula els angles d’un triangle de costats a=5, b=8, c=7 
 
Solució: https://youtu.be/8kmB1Vkr6PU?t=356 (Píldoras matemáticas) 
 
2.7.9 Exercici del Youtube 
Calcula la distància entre els dos vaixells: 
 
 
 
Solució: https://youtu.be/DYEGu9oNaZc (Píldoras matemáticas) 
 
https://youtu.be/d4KaFeUT5B8
https://youtu.be/8kmB1Vkr6PU?t=356
https://youtu.be/DYEGu9oNaZc
3 Les funcions trigonomètriques. 
 
3.1 Raons trigonomètriques amb angles negatius. 
 
Fixada una semirecta AB de referència, direm que un angle és positiu quan gira en el 
sentit contrari de les agulles del rellotge, i és negatiu quan gira en el sentit de les agulles 
del rellotge. Per a angles negatius el sinus i la tangent canvien de signe i passen a 
negatiu. El cosinus queda igual: 
 
 
)sin()sin(   
 
)cos()cos(   
 
)tan()tan(   
Per tant, estenem les funcions sinus i tangent com a funcions senars i la funció 
cosinus com a funció parell: 
 
 
 
 
   1,1º180,º180:sin 
 
 
 
 
 
 
 
 
   1,1º180,º180:cos 
 
 
 
 
 
 
 
 
    ,º180,º180:tan
 
 
3.1.1 
Construeix de forma gràfica la funció )sin( x 
 
 
Propietats immediates de les raons trigonomètriques. 
 
1) En tot triangle rectangle, la hipotenusa és sempre major que els catets, per 
tant, sempre es compleix 
1)sin(1   , 1)cos(1   
 
 
2) Les tres funcions trigonomètriques estan relacionades entre sí: 
)cos(
)sin(
)tan(


  
 
En efecte, per a qualsevol punt ),( yxP  amb argument  , 
)cos(
)sin(
/
/
)tan(


 
mx
my
x
y
 
 
3) Es compleix la Identitat Fonamental de les raons trigonomètriques: 
1)(cos)(sin 22   
 
En efecte, en tot moment s'aplica el Teorema de Pitàgores: 222 yxm  , per 
tant 
)(cos)(sin1 22
22
2
2
2
2
2
22
2
2
222  














m
x
m
y
m
x
m
y
m
xy
m
m
xym
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2 Raons trigonomètriques amb angles > 360º. 
 
Estenem les funcions trigonomètriques mòdul 360º: 
 
   1,1,:sin  
 
 
 
 
   1,1,:cos  
 
 
 
 
      ,180º90,:tan k 
 
 
 
Veiem que la funció tangent no està definida per als valors 
 
 kx 180º90...º450,º270,º90,...,º450,º270,º90  
3.3 Coordenades polars. 
 
Tot punt ),( ba de IR
2
 es pot expressar en forma polar, és a dir, de la forma 
mòdul+argument: 
  );(sin,cos),(  mmba  
 
Per evitar confusions, en polars separarem les dues coordenades amb un punt i 
coma. Per exemple, el punt )1,1( en cartesianes és  º45;2 en polars. 
 
 
 
 
De cartesianes a polars: 
 
b
a
bam


tan
22
 
 
(tenint en compte el quadrant del punt) 
 
De polars a cartesianes: 
 


sin
cos
mb
ma


 
 
 
Exercici resolt. 
Determina les coordenades polars del punt )3,6( 
 
Solució: 





º57.206º57.26180
º57.26
6
3
)tan(  
El punt )3,6( està clarament al primer quadrant, per tant º57.26 
71.663 22 m   º57.26;71.6)3,6(  
 
Exercici resolt. 
Determina les coordenades cartesianes del punt  º30;2 
 
Solució: 
   1,3º30;2
1
2
1
2º30sin2
3
2
3
2º30cos2









y
x
 
 
Exercici resolt. 
Determina les coordenades polars del punt )4,3(  . 
 
Solució: 








º13.233º13.53º180
º13.53
3
4
)tan(  . 
El punt )4,3(  està al tercer quadrant, per tant º13.233 
5)4()3( 22 m 
)º13.233;5()4,3(  
 
 
 
4 Equacions trigonomètriques. 
 
Les equacions trigonomètriques són equacions en les quals apareixen raons 
trigonomètriques i la incògnita és un angle. 
 
4.1 Equacions trigonomètriques fonamentals amb el sinus. 
 
Domini de definició de l'equació: 11  a 
 
 
Una equació de la forma ax )sin( té com a solucions: 
 






ka
ka
xax
º360)arcsin(º180
º360)arcsin(
)sin( 
 
 
 
Exercici resolt. 
Resol l'equació 8.0)sin( x 
 
Solució: 






º86.126º360)8.0arcsin(º180
º13.53º360)8.0arcsin(
8.0)sin(
k
k
xx 
 
 
 
Exercici resolt. 
Resol l'equació 4.1)sin( x 
 
Solució: 
Com que 14.1  , aquest valor està fora del domini de definició de l'equació, i 
per tant aquesta equació no té cap solució. 
 
Exercici resolt. 
Resol l'equació 1)sin( x 
 
Solució: 






º90º360)1arcsin(º180
º90º360)1arcsin(
1)sin(
k
k
xx 
 
Per tant, aquesta equació només té una solució: º90x 
 
4.1.1 
Equacions trigonomètriques amb sinus. Dóna les possibles solucions dintre de 
l’interval º3600  . 
 
a) 75.0sin  b) 05.1sin2   c) 05sin8  
d) 25sin64
2  e) 65sin4 2  f) 0sin3sin4 2   
g) 02sinsin
2   h) 01sin3sin2 2   
 
4.2 Equacions trigonomètriques fonamentals amb el cosinus. 
 
Domini de definició de l'equació: 11  a 
 
 
Una equació de la forma ax )cos( té com a solucions: 
 






ka
ka
xax
º360)arccos(º360
º360)arccos(
)cos( 
 
 
 
Exercici resolt. 
Resol l'equació 7.0)cos( x 
 
Solució: 






314.43ºº360)7.0arccos(º360
º57.45º360)7.0arccos(
7.0)cos(
k
k
xx 
 
 
 
 
Exercici resolt. 
Resol l'equació 1)(cos2 x 
 
Solució: 
11)cos(1)(cos2  xx 
Si 






0ºkº603)1arccos(º360
º0º360)1arccos(
1)cos(
k
xx 
Si 






180º-180ºº360)1arccos(º360
º180º360)1arccos(
1)cos(
k
k
xx 
Per tant, les solucions són º0 i º180 . 
 
Exercici resolt. 
Resol l'equació 
2
3
)º303cos(

x 
 
Solució: 




















 









 



kk
k
kk
xx
º360º210º360º150º360
º360
2
3
arccosº360
º360º150º360
2
3
arccos
303
2
3
)º303cos( 
 º300,º180,º60
º120º60
3
º360
3
º180
º360º1803
º360º30º1503º360º150º303



x
kxkxkx
kxkx
 
 
 º320,º200,º80
º120º80
3
º360
3
º240
º360º2403
º360º30º2103º360º210º303



x
kxkxkx
kxkx
 
 
Les solucions són  º320,º300,º200,º180,º80,º60x 
 
4.2.1 
Equacions amb cosinus. Dóna el resultat en l’interval º3600  . 
a)   9.0cos  b)   1cos3  c)  
4
1
cos2  
d)     coscos2 2  e)     0cos3cos4 2   
 
4.3 Equacions trigonomètriques fonamentals amb la tangent. 
 
Domini de definició de l'equació:   , (no hi ha cap restricció) 
 
 
Una equació de la forma ax )tan( té com a solucions: 
 






ka
ka
xax
º360)arctan(º180
º360)arctan(
)tan( 
 
 
Exercici resolt. 
Resol l'equació 2.1)tan( x 
 
Solució: 






kk
kk
xx
º360º19.230º360)2.1arctan(º180
º360º19.50º360)2.1arctan(
2.1)tan( 
 
 
 
Exercici resolt. 
Resol l'equació 34tan x 
 
Solució: 
 
 
 
 
 ...,º330,º285,º240,º195,º105,º60,º15...,º330,º240,º60º90º60
4
º360º240
º360º2404
...,º285,º195,º105,º15º90º15
4
º360º60
º360º604
º360º240º3603arctanº180
º360º60º3603arctan
434tan













k
k
xkx
k
k
xkx
kk
kk
xx
 
 
4.3.1 
Equacions amb tangent. 
a)   4.1tan  b)   4tan2  c)   12tan  
d)   01tan3 2  e)     0tan2tan2   f)     tan2tan2  
4.4 Equacions trigonomètriques senzilles. 
 
4.4.1 
Resol les següents equacions: 
a) 
2
1
cos

x b) 
2
2
sin x c) 
2
1
2
1
sin 





x 
d) 
2
3
2sin x e) 
2
1
3cos x f) 1
3
1
sin x 
g) 0
3
1
cos x h) 1
3
2
cos x i) 1
3
1
tan x 
 
4.4.2 
Resol les següents equacions: 
a) 32tan3 x b) 012sin2 x c) 1)3º180tan(  x 
 
4.4.3 
Resol les següents equacions: 
a) 1sin2
2 x b) 3cos4
2 x c) 3tan
2 x 
 
4.4.4 
Resol les següents equacions: 
a) 03)º20sin(2 x b) 1)º202tan(3 x 
c) 01)º452cos(2 x 
 
4.4.5 
Resol les següents equacions trigonomètriques: 
a) 
3
1
)sin( x b) 1)sin(2 x c) 75.01)cos( x 
d) 4.1
2
3)cos(

x
 e) 5)tan( x f) 31)sin(2 x 
g) 1
5
2)tan(3

x
 
4.5 Equacions trigonomètriques per factorització. 
 
Exercici resolt. 
Resol l'equació: xxx cos4cossin
2  
 
Solució: 


0cos4cossin
cos4cossin
2
2
xxx
xxx
 
 0)4(sincos 2 xx Aquí apliquem la identitat "suma per diferència": 









02sin
02sin
0cos
0)2)(sin2(sincos
x
x
x
xxx 






k
k
xx
º360º270
º360º90
0cos 
2sin02sin  xx Aquesta equació no té solució. 
2sin02sin  xx Aquesta equació no té solució. 
 
Per tant, les solucions són kº360º90  , kº360º270  . 
 
 
4.5.1 
Resol l'equació 
0cossin2sin3  xxx , amb º3600  x 
 
4.5.2 
Resol l'equació 
02sinsin 2  xx , amb º3600  x 
 
4.5.3 
Resol les següents equacions: 
 a) 0cos2cossin  xxx b) 0cossincos2  xxx 
 c) 1sinsin2
2  xx d) 0cossincos2  xxx 
 
4.5.4 
Equacions amb sin & cos. 
a) )cos(4)sin(5   b)     0sin4cos10   
c)     sin8cos  d) 0)cos()sin()(cos2   
 
 
Exercici resolt. 
Resol l'equació xx sin3cos1  
 
Solució: 
22 )sin3()cos1( xx  Elevem al quadrat 
xxx 22 sin3coscos21  Apliquem Teorema Pitàgores 
)cos1(3coscos21 22 xxx  
xxx 22 cos33coscos21  
0cos33coscos21 22  xxx 
0cos4cos22 2  xx 
0)cos2cos1(2 2  xx Factoritzem: )1)(12(12 2  aaaa 
 






01cos
01cos2
0)1)(cos1cos2(2
x
x
xx 
 












 






 



kk
kk
xxx
º360º240º360
2
1
arccosº360
º360º120º360
2
1
arccos
2
1
cos01cos2 
 
º01cos01cos  xxx 
 
 
 
 
Es molt important comprovar les possibles solucions. No sempre són vàlides! 
 
 
 
º0x sí és solució de l'equació: 
 
003º0sin3
011º0cos1


 
 
º120x sí és solució de l'equació: 
 
2/303º120sin3
2/311º120cos1


 
 
Però el valor º240x no és solució de l'equació: 
 
2/3º240sin3
2/3º240cos1


 
 
Les úniques solucions vàlides són kº360º120  i kº360º0  
 
4.6 Equacions trigonomètriques per canvi de variable. 
 
Convertim una equació trigonomètrica en una equació polinòmica de segon 
grau. 
 
Exercici resolt. 
Resol l'equació 5.2)sin(3)(sin5 2  xx 
 
Solució: 
Fent el canvi de variable )sin( xz  obtenim una equació polinòmica de segon 
grau: 
 
5.235
)sin(
5.2)sin(3)(sin5 2
2






zz
xz
xx
 
 
Resolem l'equació de segon grau que hem obtingut: 
 
















068.1
468.0
52
681.73
52
593
52
)5.2(5433
05.235
5.235
2
2
2
zzz
zz
 
 
Desfem el canvi de variable: 
 






º10.152)468.0arcsin(180
º90.27)468.0arcsin(
)sin(468.0 xxz 
 
)sin(068.1 xz  
 
Aquí veiem que -1.068 està fora del domini de definició de l'equació, per 
tant aquesta segona equació no té solució. 
 
Les solucions són: º10.152,º90.27 (i tots els seus múltiples de 360º) 
 
 
 
4.6.1 
Resol la següent equació: 
01cos4cos2  xx 
 
 
 
 
Exercici resolt. 
Resol l'equació 5cos9cos2
2  xx 
 
Solució: 
05cos9cos2
5cos9cos2
2
2


xx
xx
 
 
 
 
 
Volem factoritzar 592
2  xz . 
 
Sempre es millor factoritzar que "tirar de fórmula". I sempre es millor factoritzar 
de cap, intentant completar quadrats o completar productes. Les fórmules són 
per als losers. 
 
Especulem amb què serà de la forma ))(2( BzAz  
ABzABzABAzBzzBzAz  )2(222))(2( 22 
Per tant volem dos nombres, A i B, de forma que 92  AB i 5AB . 
Pensant pensant arribem a 5B i 1A . 
Efectivament, 5925102)5)(12( 22  zzzzzzz 
 
 
 
Ara tornem a l'equació trigonomètrica: 
















impossiblexx
x
x
xx
xxxxxx
5cos05cos
º240º120º360
º120
2
1
cos01cos2
0)5)(cos1cos2(05cos9cos25cos9cos2 22
 
 
Exercici resolt. 
Resol l'equació 01sin2sin2
2  xx 
 
Solució: 
Acabem de dir que hem d'intentar factoritzar, que les fórmules són per als losers. 
Però, per molt que ho intentem, no hi ha manera de factoritzar aquesta expressió. 
Així doncs, fem servir la fórmula: 
 















366.1
366.0
2
31
4
322
4
122
22
)1(2422
sin
01sin2sin2
2
2
x
xx
 
 
El valor 366.1 està fora del rang de l'equació, per tant, l'únic valor acceptable 
és: 






º529.158º471.21º180
º471.21366.0arcsin
366.0sin xx 
4.7 Equacions trigonomètriques amb quadrats de sinus i cosinus. 
 
Aplicarem la Propietat fonamental de la trigonometria: 1)(cos)(sin 22  xx i 
després apliquem un canvi de variable. 
 
Exercici resolt. 
Resol l'equació 2.21)sin()(cos2  xx 
 
Solució: 
 
Prenem la Propietat fonamental de la trigonometria... 
)(sin1)(cos1)(sin)(cos 2222 xxxx  
 
...i l'apliquem a la nostra equació: 
 
02.0)sin()(sin
02.0)sin()(sin
02.211)sin()(sin
2.21)sin()(sin1
2.21)sin()(sin1
2.21)sin()(cos
2
2
2
2
2
2






xx
xx
xx
xx
xx
xx
 
 
Fem un canvi de variable )sin( xz  i resolem l'equació de segon grau: 
















724.0
277.0
2
447.01
12
2.01
12
2.01411
12
2.014)1(1
02.002.0)sin()(sin
22
22
z
zzxx
 
 
Desfem el canvi de variable: 
 






º92.163)277.0arcsin(º180
º081.16)277.0arcsin(
277.0)sin(277.0 xxz 
 






º614.133)724.0arcsin(º180
º386.46)724.0arcsin(
724.0)sin(724.0 xxz 
 
Les solucions són: 
 º614.133,º386.46,º92.163,º081.16 (i tots els seus múltiples de 360º) 
 
4.7.1 
Resol les següents equacions: 
a) 0)(sin2)(cos 22   b) 1)sin()(cos2 2   
c) 08)cos(7)(sin6 2   d) )(sin)cos()(cos 22   
e) 3)(sin)cos(6)(cos3 22   
 
4.8 Repàs d'equacions trigonomètriques. 
 
4.8.1 
Resol les següents equacions. 
 a) 
2
1
)3sin( x b) 01)sin(2 x c) 01)(tan3
2 x 
 d) )º60cos()2sin( x e) )sin(2)sin( xx  f) )cos()(cos 2 xx  
 g) 01)sin()(sin2 2  xx h) 03)cos(3)(sin2 2  xx 
 i) 
2
1
)(cos)(sin 22  xx j) 0)(sin3)(cos
22  xx 
 k) 3)(cos)sin(3 2  xx 
 
4.8.2 
Resol les següents equacions. 
 a) 03sin4
2  b) 0cossincos2   c) 1sincos 2   
 
4.8.3 Exercici del Youtube 
 Resol les següents equacions: 
a) 1)sin(2 x https://youtu.be/XhIz5xK6IeU?t=323 
b) 4
3
)tan(
5 
x
 https://youtu.be/XhIz5xK6IeU?t=539 
c) 1cos2
2 x https://youtu.be/XhIz5xK6IeU?t=669 
 
4.8.4 Exercici del Youtube 
 Resol les següents equacions: 
a) 0)(cos2)sin(3 2  xx https://youtu.be/8Em5CxFV-aU?t=139 
b) 1)(sin)cos( 2  xx https://youtu.be/8Em5CxFV-aU?t=365 
c) 0)cos()sin(  xx https://youtu.be/8Em5CxFV-aU?t=464 
d) )sin()cos()sin( xxx  https://youtu.be/8Em5CxFV-aU?t=598e) 1)2sin( x https://youtu.be/8Em5CxFV-aU?t=702 
f) 3)2tan( x https://youtu.be/8Em5CxFV-aU?t=828 
 
4.8.5 Exercici del Youtube 
 Resol la següent equació: 
3)(cos)sin(3 2  xx https://youtu.be/VkKqxGarYw0 (unicoos) 
 
 
https://youtu.be/XhIz5xK6IeU?t=323
https://youtu.be/XhIz5xK6IeU?t=539
https://youtu.be/XhIz5xK6IeU?t=669
https://youtu.be/8Em5CxFV-aU?t=139
https://youtu.be/8Em5CxFV-aU?t=365
https://youtu.be/8Em5CxFV-aU?t=464
https://youtu.be/8Em5CxFV-aU?t=598
https://youtu.be/8Em5CxFV-aU?t=702
https://youtu.be/8Em5CxFV-aU?t=828
https://youtu.be/VkKqxGarYw0
5 Les identitats trigonomètriques. 
 
5.1 Les identitats trigonomètriques. 
 
Suposem l'existència de dues funcions reals, a les que anomenarem sinus i 
cosinus, que satisfan les següents tres propietats: 
 
(a) Domini de definició: Les funcions sinus i cosinus estan definides a tota la 
recta real. 
 
(b) Valors especials: 1)90sin()0cos(  , 1)180cos(  
 
(c) Cosinus de la diferència:   yxyxyx sinsincoscoscos  
 
Llavors aquestes funcions compliran les següents propietats: 
 
(d) La identitat pitagòrica: 1)(cos)(sin 22  xx 
 
(e) Nous valors especials: 0)180sin()90cos()0sin(  
 
(f) El cosinus és una funció parell: )cos()cos( xx  . 
 
(g) )sin()90cos( xx  
 
(h) El sinus és una funció senar: )sin()sin( xx  
 
(i) )cos()90sin( xx  , )sin()90cos( xx  
 
(j) Periodicitat: )sin()360sin( xx  , )cos()360cos( xx  
 
(k) Fórmules de la suma i diferència d'angles: 
 





yxyxyx
yxyxyx
sinsincoscos)cos(
sincoscossin)sin(
 
 




yxyxyx
yxyxyx
sinsincoscoscos
sincoscossin)sin(
 
 
yx
yx
yx
tantan1
tantan
)tan(


 
yx
yx
yx
tantan1
tantan
)tan(


 
 
(l) Identitats "Suma-A-Producte" i "Resta-A-Producte": 
 










2
cos
2
cos2coscos
2
cos
2
sin2sinsin
yxyx
yx
yxyx
yx
 










2
sin
2
sin2coscos
2
sin
2
cos2sinsin
yxyx
yx
yxyx
yx
 
 
(m) Fórmules per a l'angle doble: 
 
 
 










x
x
x
xxxxx
xxx
2
2222
tan1
tan2
2tan
sin211cos2sincos2cos
cossin22sin
 
 
(n) Fórmules per a l'angle meitat: 
 
 
 










2
)cos(1
2/sin
2
1)cos(
2/cos
2
2
x
x
x
x
 
 
 














)cos(1
)sin(
)sin(
)cos(1
2/tan
)cos(1
)cos(1
2/tan2
x
x
x
x
x
x
x
x
 
 
(o) Identitats "Producte-A-Suma": 
 








)sin()sin(cossin2
)cos()cos(sinsin2
)cos()cos(coscos2
yxyxyx
yxyxyx
yxyxyx
 
 
(p) Fórmules per a l'angle triple: 
 






xxx
xxx
3
3
cos4cos33cos
sin4sin33sin
 
 
(q) Fórmules per a l'angle quàdruple: 
 






1cos8cos84cos
sincos4sincos84sin
24
3
xxx
xxxxx
 
 
(r) Tangent de la semisuma i de la semidiferència: 
 















yx
yxyx
yx
yxyx
coscos
sinsin
2
tan
coscos
sinsin
2
tan
 
 
(s) Les "fórmules T": 
 Si 






2
tan

t , llavors: 
 
21
2
sin
t
t

 , 
2
2
1
1
cos
t
t


 , 
21
2
tan
t
t

 
 
Demostració. 
d) Prenem xy  en (c): 
  xxxxxxxx 22 sincossinsincoscoscos)0cos(1  
e) Prenem 0x en l'apartat anterior: 
 0)0sin(0)0(sin1)0(sin)0(cos)0(sin1 22222  
Prenem 90x en l'apartat anterior: 
 0)90cos(0)90(cos)90(cos1)90(cos)90(sin1 22222  
Prenem 180x en l'apartat anterior: 
 
0)180sin(0)180(sin)1()180(sin)180(cos)180(sin1 22222  
f) Prenem 0x en (c): 
  yyyyyyy cossin0cos1sin)0sin(cos)0cos(0cos)cos(  
g) Apliquem (c): 
)sin()sin(1)cos(0)sin()90sin()cos()90cos()90cos( xxxxxx  
h) Apliquem la propietat anterior: 
)sin()90cos()90sin(0)90cos()1(
)90sin()180sin()90cos()180cos(
))90(180cos()90cos())(90cos()sin(
xxxx
xx
xxxx



 
i) )cos()cos())90(90cos()90sin( xxxx  
)sin()sin())(90cos()90cos( xxxx  
j)  )90180cos()270cos()90)270sin(()360sin( xxxx 
)sin())sin(()90cos()9090sin()180sin( xxxxx  
i l'altra identitat es demostra de forma similar. 
k) Apliquem (c) i tenim en compte la paritat de les funcions: 
   
yxyxyxyx
yxyxyxyx
sinsincoscos)sin(sincoscos
)sin(sin)cos(cos)(coscos


 
 
  yxyxyxyx
yxyxyxyx
cossinsincossincoscossin
sin)90sin(cos)90cos()90cos()sin(


 
l) Tenim: 
yxyxyx sincoscossin)sin(  
yxyxyxyxyxyx sincoscossin)sin(cos)cos(sin)(sin()sin(  
Per tant, restant les identitats anteriors: 
yxyxyx sincos2)sin()sin(  
Prenent 
2
ba
x

 i 
2
ba
y

 , la igualtat anterior és equivalent a: 
    




 





 





 





 

















 





 





 







 


2
sin
2
cos2sinsin
2
sin
2
cos2
2
2
sin
2
2
sin
2
sin
2
cos2
22
sin
22
sin
baba
ba
bababa
babababababa
 
Fent el mateix amb la funció cosinus arribem al segon resultat. 
 
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yxyx
yxyx
yx
yx
yx
tantan1
tantan
coscos
sinsin
coscos
coscos
coscos
sincos
coscos
cossin
sinsincoscos
sincoscossin
)cos(
)sin(
)tan(













 
 
m) Es dedueixen directament de (k): 
 xxxxxxxxx cossin2sincoscossin)sin()2sin(  
 
xxx
xxx
xxxxxxxxx
222
222
22
cos21)cos1(cos
sin21sin)sin1(
sincossinsincoscos)cos()2cos(



 
 
x
x
xx
xx
xxx
2tan1
tan2
tantan1
tantan
)tan()2tan(




 
 
 
p) 
3sin 
=   2sin 
=  sin2coscos2sin  
=    sinsin21coscossin2 2 
=  32 sin2sincossin2  
=    32 sin2sinsin1sin2  
=  33 sin2sinsin2sin2  
=  3sin4sin3  
 
3cos 
=   2cos 
=  sin2sincos2cos  
=    sincossin2cos1cos2 2  
=  cossin2coscos2 23  
=    coscos12coscos2 23  
=  32 cos2cos2coscos2  
=  cos3cos4 3  
 
3tan 
=   2tan 
= 


tan2tan1
tan2tan


 
= 



 
2
2
tan1
tantan2
tan1
tan2
1
tan




= 




2
22
2
3
tan1
tan2tan1
tan1
tantantan2




= 


2
3
tan31
tantan3


 
 
(r) Aplicant les identitats "Producte-A-Suma" 
xy
yxyxyxyxyxyx
sinsin
22
sin
22
sin
2
cos
2
sin2 




 







 







 





 
 
yx
yxyxyxyxyxyx
coscos
22
cos
22
cos
2
cos
2
cos2 




 







 







 





 
 
per tant: 
 
 
   
    yx
yx
yxyx
yxyx
yx
yxyx
coscos
sinsin
2/)(cos2/)(cos2
2/)(cos2/)(sin2
2/)(cos
2/)(sin
2
tan













 
 
 
 
yx
xy
yxyxyxyxyxyx
sinsin
sinsin
22
sin
22
sin
2
sin
2
cos2






 







 







 





 
 
Per tant: 
 
 
   
    yx
yx
yxyx
yxyx
yx
yxyx
coscos
sinsin
2/)(cos2/)(cos2
2/)(cos2/)(sin2
2/)(cos
2/)(sin
2
tan













 
 
 
(s) 
sin = 
22
cossin2  = 
2
2
2
2
22
sincos
cossin2



= 
2
2
2
2
2
2
2
2
22
cos
sincos
cos
cossin2





= 
2
2
2
tan1
tan2



 
= 
21
2
t
t

 
cos = 
2
2
2
2 sincos   =
2
2
2
2
2
2
2
2
sincos
sincos




=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
sincos
cos
sincos






=
2
2
2
2
tan1
tan1




= 
2
2
1
1
t
t


 
tan = 


cos
sin
 = 
2
2
2
1
1
1
2
t
t
t
t


 = 
21
2
t
t

 
 
 
 
Al 1822, el matemàtic francès Joseph Fourier va descobrir que 
qualsevol funció d'ona, com per exemple el so, es pot modelar 
com a combinació lineal de funcions sinusoïdals. La disciplina 
que determina la combinació lineal de funcions sinusoïdalsassociada a qualsevol funció d'ona s'anomena Anàlisi de 
Fourier. 
 
5.2 Demostració visual de les fórmules trigonomètriques de la suma 
d'angles. 
 
 a)    cossincossinsin  
 b)    sinsincoscoscos  
 c)  



tantan1
tantan
tan


 
 
Demostració. Siguin  y  dos angles tals que 90,,   aa . Construïm un 
rectangle ABCD amb un punt E en AB i un punt F en BC tals que 
ADE , EDF , º90DEF y 1DF . 
 
Aquest rectangle el podem construir de la següent forma: Donat el triangle 
rectangle DEF amb EDF i 1DF , tracem una recta r exterior  
amb angle  , i una recta perpendicular a r per D. Tracem ara la perpendicular a 
r per E, que tallarà amb r al punt A, i la perpendicular a s per F, que tallarà amb s 
en C. El punt B serà la intersecció entre aquestes dues perpendiculars. 
 
 
 
DE
DF
DE
EF
DF
EF




cos
sin
 
 
En el triangle EBF : 











BEFBEF
BEFDEFAED
DEF
AEDAED
1809090
180
90
9018090


cossincos
sinsinsin


BE
EF
BE
BF
EF
BF
 
 
En el triangle DAE : 
ADADDE
DE
AD
AEAEDE
DE
AE




coscoscoscos
sincossinsin
 
En el triangle CFD : 
Com que CDAB // tenim que  DFC . 
 
  

sinsincoscoscos
cossinsincossin


BFADBFBCCF
DF
CF
BEAECD
DF
CD
 
I amb això arribem a les fórmules de la suma d'angles: 
 
  

sinsincoscoscos
cossinsincossin


 
 
De les que podem deduir la fórmula de la tangent de la suma: 
 
 
 
   
   















tantan1
tantan
coscos
sinsin
1
cos
sin
cos
sin
coscos/sinsincoscos
coscos/cossinsincos
sinsincoscos
cossinsincos
cos
sin
tan


















 
 
 
Exercici resolt. 
Donats angles A i B tals que 
5
4
sin A , 
5
3
cos A , 
13
12
sin B i 
13
5
cos B , 
determina els valors exactes de )sin( BA , )cos( BA  i )tan( BA  
 
Solució: 
65
56
13
12
5
3
13
5
5
4
sincoscossin)sin(  BABABA 
 
65
33
13
12
5
4
13
5
5
3
sinsincoscos)cos(  BABABA 
 
33
56
65/33
65/56
)cos(
)sin(
)tan(







BA
BA
BA 
 
Exercici resolt. 
Determina el valor exacte de º5.7cosº5.52sin 
 
Solució: 
 
 
4
23
º45sinº60sin
2
1
)º5,7º5.52sin()º5.7º5.52sin(
2
1
º5.7cosº5.52sin



 
5.3 Equacions trigonomètriques aplicant les identitats. 
 
Exercici resolt. 
Resol l'equació xx sin412cos  
 
Solució: 
Apliquem la identitat   xx 2sin212cos  
 
xxxx sin41sin21sin412cos 2  
 
 










impossiblexx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
2sin02sin
º180,º00sin
02sinsin
0sin2sin
sin2sin
sin4sin2
sin41sin21
2
2
2
2
 
 
Les solucions són 0º, 180º (i tots els seus múltiples de 360º) 
 
Exercici resolt. 
Resol l’equació 0sin)2sin(  tt 
 
Solució: 
 0sin)2sin( tt Apliquem la identitat xxx cossin2)2sin(  
 0sincossin2 ttt Factoritzem traient factor comú tsin 
 






01cos2
0sin
01cos2sin
t
t
tt 
 






k
k
tt
º360º180
º360º0
0sin 











 



kk
k
ttt
º360º240º360º120º360
º360º120
2
1
arccos
2
1
cos01cos2 
 
Per tant, les solucions són kº360º0  , kº360º180  , kº360º120  , kº360º240  
Exercici resolt. 
Resol l'equació 
2
sincos
x
x  
 
Solució: 
Apliquem la identitat de l'angle meitat: 
01coscos2
cos1cos2
2
cos1
cos
2
cos1
2
sincos
2
2
2








xx
xx
x
x
xx
x
 
 
Factoritzem aquesta equació: )1)(12(12 2  aaaa 
 
  







01cos
01cos2
01cos1cos2
01coscos2 2
x
x
xx
xx
 
 






kk
kk
xxx
º360º300º360)2/1arccos(º360
º360º60º360)2/1arccos(
2
1
cos01cos2 
 
kxxx º360º1801cos01cos  
 
Les solucions són kº360º60  , kº360º300  , kº360º180  
 
Exercici resolt. 
Resol 
2
3
2coscos2sinsin  xxxx 
 
Solució: 
 
Apliquem la identitat de la diferència d'angles: 
)cos()2cos(2coscos2sinsin
2
3
xxxxxxx  
 
Amb el què la hem convertit en fonamental: 



























kkk
kk
xx
º360º330º360º30º360º360
2
3
arccosº360
º360º30º360
2
3
arccos
)cos(
2
3
 
 
Les solucions són: kº360º30  , kº360º330  . 
 
5.3.1 
Resol les següents equacions: 
 a) 
2
1
sin2coscos2sin  xxxx b) 
2
3
sin2sincos2cos  xxxx 
 
 
Exercici resolt. 
Resol l'equació 2sincos3  xx 
 
Solució: 











º75º45º180º60
º345º15º45º60
)º45sin()º60sin(
2
2
sinº60coscosº60sin
2
2
sin
2
1
cos
2
3
2
2
2
sincos3
2sincos3
xx
xx
x
xx
xx
xx
xx
 
5.4 Combinacions lineals de sinus i cosinus. 
 
 
Tota combinació lineal de cosinus i sinus: 
xBxA sincos  
 
es pot expressar com un sinus pur: 
)sin( bxa  
 
prenent 
222 BAa  , BAb /tan  
 
 
Demostració. Apliquem la identitat trigonomètrica Suma-A-Producte: 
  xbabxaxbbxabxa cossincossinsincoscossin)sin(  
 
Per tant: 






baB
baA
xbabxaxBxA
cos
sin
cossincossinsincos 
B
A
aB
aA
b
b
b 
/
/
cos
sin
tan 
      222222222222 cossincossincossin abbababababaBA  
 
Exercici resolt. 
Resol l'equació 1sincos  xx 
 
Solució: 
Apliquem les fórmules anteriors per expressar xx sincos  en forma d'un sinus pur: 
En el nostre cas 1A , 1B i per tant 
)4/3sin(2sincos
4/31
1
1
tan
2)1(1 22222












xxx
b
B
A
b
aBAa
 
 
Amb el què hem convertit una equació difícil en una equació més senzilla: 














kxkk
kkxk
x
x
x
xx














202
4
3
2
4
2
2
2
4
3
4
2
4
4
3
2
1
)4/3sin(
1)4/3sin(2
1sincos
 
Les solucions són: kx 

2
2


 i kx 20 
 
Solucions. 
 
1.1.1 a)  b) 
3

 c) 
4

 d) 
2

 
1.1.2 a) 0.42 b) 1.36 
1.1.3 a) 30º b) 41.8º 
1.1.4 a) 
4

 b) 
12
5
 c) 
20

 d) 
9
7
 e) 
36
5
 
1.1.5 a) 77.14º b) 10º c) 120º d) 72º 
1.2.1 a) 
5
3
)sin(  b) 
5
4
)cos(  c) 
4
3
)tan(  
1.2.2 
  )90(90180BCD . Siguin BCx  , DABDy  
2
1
2
2
tan
2
tan
2
2
22 








x
y
yx
x
y
y
x
x
y
y
x


 
2
1
tantan
2
2
2 
x
y
x
y
 
 
1.2.3 a) cmx 8.38 , cmy 7.20 b) cma 6.6 , cmb 4.12 
 c) cmh 0.13 d) cma 5.35 
1.2.4 a) 37.31 b) 8.91 c) 10.90 d) 21.65 e) 41.04 f) 12.52
 g) 29.46 h) 10 
1.2.5 m73.13  
1.2.6 86.92 m. 
1.2.7 ≈11,30 m. 
1.2.8 203.6 m 
1.2.9 11.31 m 
1.2.10 ≈16,51 m. 
1.2.11 ≈7.18 m. 
1.2.12 ≈4,87 m. 
1.2.13 ≈270,26 m. 
1.2.14 
1.2.15 4.67 m 
1.2.16 12.41 cm 
1.2.17 4.4 
1.2.18 
 
1.3.1 a) 0.9511 b) 0.6494 c) 0.9980 d) 0.2402 e) 0.4599 f) 0.7071 
1.3.2 a) 44.4º b) 66.4º c) 85.9º d) 53.1º e) 64.2º f) 5.7º 
1.3.4 
 
1.1.5 139.03m 
1.5.1 67.251º 
1.5.2 6.76 cm 
1.5.3 110.087º 
1.6.1 28.95 m 
1.6.3 110 
1.6.5 42x 
1.6.6 45 m. aprox. 
1.6.7 49.92 
2.2.1 88.1m 
2.2.2 r=26.5 , º77.43 
2.3.1 3.337 
2.3.2 x=28.38 
2.4.2 116.9977º 
2.5.1 a) 88.3 km
2
. 
2.6.1 Superfície 48,9851 m² , longitud 28,2463 m 
2.6.2 400π/3 
2.6.3 250 m 
2.6.4 61,5091 m de P; 4,8109 m de Q 
2.6.5 Un quadrat de costat 6/(4+ π )≈ 0,8401m i un cercle de radi 3/(4+π) ≈0,4201m. Àrea 
 mínima (36+9 π)/(4+ π)² ≈1.2602 m². 
2.6.6 a) Dues possibles distàncies: 237126070 km o 44782171,77 km b) 185421142,3 km 
2.6.7 
2.6.8 a) 17º b) AC=29,1673 km , BC=40,5356 km c) 1528,6 m 
2.6.9 9,7564 i 23,5545 
2.6.10 5√3 ≈ 8.660 m 
2.6.11 40º53’36” 
2.6.12 0,5842 km 
2.6.13 58,4761 cm 
2.6.14 30º 
2.6.15 a)214,4924 m b) 79,1361 m 
2.6.16 ≈153,0708 m. 
2.6.17 ≈0,6128 
2.6.18 a) tan(α) = √2/4 b) sin(2α)= 4√2/9 
2.6.19 a) 101, 988 b) 253, 748 L’Àlex, perquè l’angle ABV és més gran que el BAV. 
2.6.20 6 
2.6.21 a) 77º, b) BC=2.8547 cm, AC=1.7659 cm, c) d(A,B)=1.5 km, d(B,C)=1.427 km, 
 d(A,C)=883 m 
2.6.22 
2.6.23 PC = √7 ≈ 2,64575 
2.6.24 a) 150º b) 12 cm c) ≈30, 9789 cm 
2.6.25 a) 54º b) ≈1,1755m c) ≈1,90211m d) ≈0,65716m² 
2.6.26 a) ≈19,078 b) ≈51,96152 
2.6.27 a) 7, 4 i 4.0623 metres b) 30º, 120.5063º i 29.4937º 
2.6.28 a) 
 
 b) Fins extrem sup: 60,2695 m , fins extrem inf: 54,6772 m c) Antena: 8,9666 m 
 Edifici: 31,3616 m 
2.6.29 ≈106,8813 cm² 
2.7.1 13.38 
2.7.2 x=42.01, h=57.82 
2.7.3 b=3.48, c=6.2 
2.7.4 29.13 
2.7.5 Dues solucions: 47.56º i 132.44º. 
 
2.7.6 2.54 
4.1.1 a) b) c) 38.31º, 141.68º d) 38.68º, 141.68º, -38.31º, 218.31º 
 e) 30º, 150º, 330º, 210º f) 0º, 180º, -48.6º, 228.6º g) 270º 
 h) 210º, 330º 270º 
4.2.1 a) 25.84º , 334.16º b) 70.52º , 289.47º c) 60º, 300º, 120º, 240º 
 d) 270º, 90º, 300º, 60º e) 270º, 90º , 318.6º, 41.90º 
4.3.1 a) 54.46º b) 63.43º c) 22.5º d) 30º, 330º e) 0º, 63.44º 
4.4.1 a) 120º, 240º b) 225º, 315º c) 60º , 300º 
 d) 30º,60º,210º,240º e) 20º,100º,140º,220º,260º,340º f) 270º 
 g) 270º h) 270º i) 135º 
4.4.2 a) 15º, 105º, 195º, 285º b) 105º,165º,285º,345º 
 c) 15º, 75º,135º,195º, 255º, 315º 
4.4.3 a) 45º, 135º, 225º, 315º b) 30º, 150º, 210º, 330º 
 c) 60º, 120º, 240º, 300º 
4.4.4 a) 220º, 280º b) 25º, 115º, 205º, 295º 
 c) 90º, 135º, 270º, 315º 
4.4.5 
 a) 






k
k
x
360º53.160
360º47.19
 b) 






k
k
x
360º150
360º30
 c) 






k
k
x
360º52.75
360º52.75
 
 d) 






k
k
x
360º54.101
360º54.101
 e) 






k
k
x
360º69.258
360º69.78
 f) kx 360º90  
 g) 






k
k
x
360º5.246
360º5.66
 
4.5.1 0º, 30º,180º, 330º 
4.5.2 90º 
4.8.1 a) 30º, 150º b) 10º, 50º c) 30º, 210º, 330º d) 15º, 75º 
 e) 315º, 225º f) 0º, 90º, 270º g) 90º, 150º, 330º h) 300º, 60º, 0º 
 i) 60º, 140º, 120º, 300º j) 150º, 210º, 30º, 330º k) 270º 
4.8.3 
a) 
 























º240)4/3arcsin(º180
º300º60)4/3arcsin(
4/3
º120)4/3arcsin(º180
º60)4/3arcsin(
4/3
sin
4
3
sin03sin4 22


 
b) 
 
 





















º150)2/1arcsin(º180
º30)2/1arcsin(
2/1sin01sin2
º270)2/1arcsin(º360
º90)0arccos(
0cos
1sin2coscossincos20



 
c) 
 
 






















º90)1arcsin(º180
º90)1arcsin(
1sin01sin
º180)0arcsin(º180
º0)0arcsin(
0sin
1sinsinsinsin0
sinsin1sinsin1sincos1
2
222




 
5.3.1 a) 30º, 90º b) 60º, 180º