4 TRIGONOMETRIA

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Dirección del Módulo de Matemática: 
Prof. Sara Pettina 
 
Coordinación General del Módulo de Matemática: 
Prof. Marianela Bello 
 
Co-Coordinación del Módulo de Matemática: 
Prof. Germán Diez 
 
Dictado de clases presenciales: 
 
Prof. Matías Albornoz 
Prof. Gabriel Aluz 
Prof. Sofía Amorós 
Prof. Melanie Antolinez 
Prof. Giuliana Calani 
Prof. Carolina Camargo 
Prof. Sebastián Egea 
Prof. Carolina Gonzalez 
Prof. Lorena Granero 
Prof. Alejandra Larralde 
Prof. Agostina Ligutti 
Prof. Carolina Maza 
Prof. Paula Sosa 
Prof. Matías Vidoret 
 
Dictado de clases de tutorías: 
 
Cristina Berea 
León Diaz 
Ana Paula Donaire 
Carolina Fernández 
Katherina Fernández 
Gonzalo Molina 
Wanda Perez de Luis 
Daniel Yacante 
 
 
2 
 
 
 
 Página 
Símbolos matemáticos 3 
UNIDAD N° 4: Conceptos básicos de geometría y trigonometría 
TEMA N° 1: Punto, recta y ángulos 4 
1.- Puntos y rectas 4 
2.- Ángulos 6 
3.- Sistemas de medición de ángulo 13 
TEMA N° 2: Triángulos y razones trigonométricas 19 
1.- Triángulos 19 
2.- Teorema de Pitágoras 21 
3.- Razones trigonométricas 22 
4.- Identidades trigonométricas 36 
5.- Ecuaciones trigonométricas 38 
TEMA N° 3: Perímetro y superficie de polígonos regulares 39 
1.- Polígonos 39 
2.- Clases de polígonos 39 
3.- Perímetros y áreas de polígonos regulares 40 
4.- Resumen de elementos y fórmulas de perímetros y áreas 41 
TEMA N° 4: Fórmulas de volumen de algunos cuerpos geométricos 42 
Bibliografía 47 
 
 
 
3 
 
 
 
ℕ: Números naturales (a;b): Intervalo abierto 
ℤ: Números enteros (a;b]: Intervalo semiabierto por la izquierda 
ℚ: Números racionales [a;b): Intervalo semiabierto por la derecha 
𝕀: Números irracionales [a;b]: Intervalo cerrado 
ℝ: Números reales ϕ: Número irracional fi = 
1+√5
2
 
: Existe π: número irracional pi (3,1415…) 
∄: No existe e: Número e o constante de Euler (2,7182…) 
: Para todo 𝑓: 𝐴 → 𝐵: función de A en B 
: Conjunto vacío 𝑓−1: Función inversa 
∪: Unión ≅ : Aproximadamente igual 
: Intersección f o g: Composición de las funciones f y g. 
: Pertenece f(x): función de x 
: No pertenece Dom f: Dominio de la función f 
∞: Infinito Rec f: Recorrido de la función f 
−∞: Menos infinito % : Porcentaje 
a = b: a igual a b : Incluido 
a ≠ b: a distinto de b ⊈: No incluido 
a > b: a mayor a b ∆: Discriminante 
a < b: a menor a b |a|: Valor absoluto de a, para a  ℝ 
a ≥ b: a mayor o igual que b ∆= |
a b
c d
| = ad − bc: determinante 
a ≤ b: a menor o igual que b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: Agrega los que vayas utilizando y no aparezcan en la lista. 
 
4 
 
 
TEMA N° 1: PUNTO, RECTA Y ÁNGULOS 
 
1.- PUNTOS Y RECTAS 
 
PUNTO: Indica una posición en el plano o en el espacio. 
Para nombrarlos se utilizan letras mayúsculas. Por ejemplo: • A 
 
RECTA: Es una sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión. 
Las rectas se representan indicando dos puntos que pertenecen a ella. 
 
Por ejemplo: Recta 𝐴𝐵 ⃡ 
 
 
POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO 
 
 RECTAS PARALELAS: Se denominan a las rectas que tienen la misma pendiente, pero entre 
sí, guardan una cierta distancia. Son aquellas que nunca se cruzan o no tienen un punto de 
intersección. Para referirse a ellas se utiliza la siguiente simbología: 𝐴𝐵 ⃡ // 𝐶𝐷 ⃡ , lo que se lee la 
recta AB es paralela a la recta CD. 
 
 
 
 
 
 RECTAS COINCIDENTES: Tienen infinitos puntos de intersección. 
 
 
 
 RECTAS SECANTES: Se cortan en un único punto (P). 
 
 
 
 
A B 
C D 
P 
A B 
 
 
5 
 
 
 RECTAS PERPENDICULARES: Al cortarse forman 4 
ángulos rectos: AB ⃡ ⊥ CD ⃡ , lo que se lee, la recta AB es 
perpendicular a la recta CD. 
 
 
 
 POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA 
 
 
 
 SEMIRRECTA O RAYO: Una semirrecta es cada una de las partes en que queda dividida una 
recta por uno cualquiera de sus puntos. Es una parte de una recta, que tiene un límite o un 
punto extremo. Se denota: 𝐴𝐵 . 
 
 
 
 
 SEGMENTO: Es un fragmento de la recta que está comprendido entre dos puntos, llamados 
puntos extremos o finales. Por ejemplo: segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 
 
 
 
ACTIVIDADES 
 
1.- Dada la siguiente figura, nombrar: 
a) Tres puntos. 
b) Tres rectas que contengan al punto A. 
c) Dos semirrectas con extremo B. 
d) Cuatro segmentos con extremo A. 
e) Dos rectas que contengan al punto D. 
 
A B 
A B 
A
B
C D
E
 
 
6 
 
 
 
2.- Dada la siguiente figura, nombrar: 
a) Un par de rectas perpendiculares. 
b) Un par de rectas secantes no perpendiculares. 
c) Un par de rectas coincidentes. 
d) Tres semirrectas. 
e) Cinco segmentos. 
 
 
2.- ÁNGULOS 
 
ÁNGULO: Es la porción del plano limitada por dos semirrectas que comparten un mismo origen 
llamado vértice. Cada semirrecta recibe el nombre “lado del ángulo”. Simbólicamente se escribe: 
𝐴𝑂�̂�, que implica que es un ángulo con vértice en O. 
 
Ejemplo: El ángulo AOB̂, de medida , siendo O el vértice del ángulo. 
 
 
 
 NOTACIÓN DE ÁNGULOS: En general, a la medida de los ángulos se la nombra utilizando 
letras del alfabeto griego tales como  (Alfa),  (Beta),  (Gamma),  (Delta),  (Omega) 
 
 
 AMPLITUD DE UN ÁNGULO: Es el tamaño de la abertura 
entre las dos semirrectas que forman un ángulo. En general, 
se usa el sistema sexagesimal para su medición. 
 
 
 CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SUS MEDIDAS 
 
COMPLETO: Mide 360° 
 
LLANO: Mide 180° 
 
A
D
C
B
E
F
G
 
 
7 
 
RECTO: Mide 90° 
 
AGUDO: Si mide entre 
0° y 90° 
 
OBTUSO: Si mide entre 
90° y 180° 
 
NULO: Mide 0° 
 
CONVEXO: Si mide menos 
de 180° 
 
CÓNCAVO: Si 
mide más de 180° 
 
 
 CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN LA SUMA DE SUS MEDIDAS 
 
 
COMPLEMENTARIOS: dos ángulos son complementarios si suman 90°. 
 
SUPLEMENTARIOS: dos ángulos son suplementarios si suman 180°. 
 
 CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU POSICIÓN RELATIVA 
 
 
ÁNGULOS CONSECUTIVOS: Son aquellos ángulos que tienen el vértice y un 
lado común. 
 
ÁNGULOS ADYACENTES: Son aquellos que tienen el vértice y un lado 
común; y los otros lados forman una recta. 
Dos ángulos adyacentes son suplementarios y forman un ángulo llano. 
 
 
ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE: Teniendo el vértice común, los 
lados de uno son prolongación de los lados del otro. Dos ángulos opuestos por 
el vértice tienen igual medida. Los ángulos 1 y 3 son iguales; los 
ángulos 2 y 4 son iguales. 
Clasificación de las 
expresiones algebraicas 
https://youtu.be/Ov1K_SxHn-s
https://youtu.be/Ov1K_SxHn-s
 
 
8 
 
 
 
 ÁNGULOS CONGRUENTES: Dos ángulos son congruentes cuando 
miden lo mismo, aunque su posición u orientación sean distintas. Las 
partes coincidentes de los ángulos congruentes se llaman homólogas o correspondientes. 
 
 ÁNGULOS MAYORES DE UN GIRO: Un ángulo de un giro completo es un ángulo equivalente 
a 360°. En algunas ocasiones se trabajan con ángulos mayores que un giro. En estos casos se 
debe buscar su ángulo congruente comprendido entre 0° y 360°. 
Por ejemplo: Un ángulo de 60° es congruente con uno de 420°, ya que sus lados y vértices 
coinciden. Esto es porque 420° = 360° + 60°, es decir, que un ángulo de 420° es igual a un giro más 
60°. Pero no podemos decir que son iguales, ya que claramente 60° ≠ 420°, la relación de 
congruencia entre ambos se indica así: 𝟔𝟎° ~ 𝟒𝟐𝟎° 
 
 ÁNGULOS DE LADOS PARALELOS: Dos ángulos cuyos lados correspondientes son 
paralelos, tienen igual medida. 
 
 BISECTRIZ DE UN ÁNGULO: La bisectriz de un ángulo es una 
semirrecta con origen en el vértice del ángulo, que lo divide en dos 
ángulos de igual medida. 
 
 
En el caso particular de ángulos adyacentes, las 
bisectrices correspondientes a dos ángulos 
adyacentes son perpendiculares entre sí. 
 
 
 
 ÁNGULOS DETERMINADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE 
 
 
 
 
Dos rectasparalelas cortadas por una tercera determinan 
ocho ángulos: Esta distribución numérica permite caracterizar 
parejas de ángulos según su posición, haciendo notar que los 
ángulos 3, 4, 5 y 6 son interiores (o internos) y los ángulos 1, 
2, 7 y 8 son exteriores (o externos) respecto a las rectas. 
 
 
 
9 
 
 
ÁNGULOS INTERNOS (3, 4, 5 y 6) 
 
Los ángulos internos, de un mismo lado de la transversal a dos rectas paralelas, 
son suplementarios (suman 180º). 
 
 
Ángulos 3 y 5 son suplementarios (suman 180º) Ángulos 4 y 6 son suplementarios (suman 180º) 
 
ÁNGULOS EXTERNOS (1, 2, 7 y 8) 
 
Los ángulos externos, de un mismo lado de la transversal a dos rectas paralelas, 
son suplementarios (suman 180º). 
 
 
 
Ángulos 1 y 7 son suplementarios (suman 180º) Ángulos 2 y 8 son suplementarios (suman 180º) 
 
ÁNGULOS CORRESPONDIENTES 
 
Son aquellos que están al mismo lado de las paralelas y de la transversal. 
 
 
 
 
 
1 y 5 son ángulos 
correspondientes 
(congruentes) 
2 y 6 son ángulos 
correspondientes 
(congruentes) 
3 y 7 son ángulos 
correspondientes 
(congruentes) 
4 y 8 son ángulos 
correspondientes 
(congruentes) 
 
 
10 
 
 
Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ángulos 
correspondiente es congruente (tienen la misma amplitud) entre sí. 
 
 
 
ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS 
 
Son aquellos ángulos interiores que están a distinto lado de la transversal y de las paralelas. 
 
 
 
3 y 6 son ángulos alternos internos (congruentes) 4 y 5 son ángulos alternos internos (congruentes) 
 
 
Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ángulos 
alternos internos es congruente entre sí. 
 
 
ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS 
 
Son aquellos ángulos exteriores que están a distinto lado de la transversal y de las paralelas. 
 
 
 
1 y 8 son ángulos alternos externos (congruentes) 2 y 7 son ángulos alternos externos (congruentes) 
 
Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ángulos 
alternos externos es congruente entre sí. 
 
 
Clasificación de las 
expresiones algebraicas 
https://youtu.be/YmeL3BCdFdM
 
 
11 
 
 
 ÁNGULOS ORIENTADOS 
 
Un ángulo es positivo cuando su sentido de giro es antihorario 
(contrario a las agujas del reloj); mientras, que será negativo, si su sentido 
es horario o igual que las agujas del reloj. 
 
 
 
 ÁNGULOS EN EL PLANO CARTESIANO 
 
El sistema de coordenadas cartesianas divide 
al plano en 4 regiones llamadas cuadrantes. 
Cualquiera sea la orientación de los ángulos, 
el nombre de los cuadrantes no varía. 
El eje horizontal (generalmente de las x) se 
denomina eje de abscisas, mientras que el vertical 
(generalmente de las y), es el eje de ordenadas. El 
origen está dado por el punto donde se cortan 
ambos ejes y sus coordenadas son (0;0). 
 
Cuando se quiere identificar un punto del plano 
cartesiano se escribe primero el valor de abscisa, 
seguido por punto y coma, y luego el valor de 
ordenada. 
Por ejemplo: En la siguiente gráfica el punto A = 
(2;2) se ubica en la intersección de dos unidades de x 
(eje de abscisas u horizontal) y dos unidades de y (eje 
de ordenadas o vertical). 
 
Trate de comprobar si están bien identificado los restantes puntos del gráfico. 
 
 
12 
 
 
ACTIVIDADES 
 
3.- Sabiendo que ŵ = 100° y L1 // L2 y t: es una recta transversal, determinar el valor de x̂, ŷ, ẑ 
 
 
 
4.- Dada la siguiente gráfica, nombrar: 
a) Un ángulo agudo. 
b) Un par de ángulos complementarios. 
c) Un par de ángulos suplementarios. 
d) Dos ángulos rectos adyacentes. 
 
5.- Calcular la medida de los ángulos pedidos en cada caso: 
 
 
a) x = ………. 
 
 
 
 
 
 
b) y = ………… ; x = ……………. 
 
 
 
 
 
 
 
w
x
y
z
L1 L2
t
2x+3 x
A
D
C
B
E
F
G
x
Y2 +3450°
 
 
13 
 
 
6.- Clasificar los siguientes ángulos según sus medidas. 
 
a) α̂ = 180° b) β̂ = 95° 
c) γ̂ = 45° d) δ̂ = 90° 
e) ε̂ = 35° 15′ 10′′ f) ω̂ = 360° 
 
 
7.- Si a = 30°, calcular el valor de b, c, e, h+b, c+f 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.- SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS 
 
Los sistemas de medición de ángulos más utilizados son: el Sistema Sexagesimal, el Sistema 
Centesimal y el Sistema Circular o Radial. 
 
A.- SISTEMA SEXAGESIMAL 
 
En el sistema sexagesimal, la unidad de medida es el grado, que corresponde a la 360-ava 
parte de la circunferencia. A su vez, cada grado sexagesimal se divide en 60 partes iguales llamadas 
minutos, y cada minuto se divide en 60 partes iguales llamadas segundos. 
 Entre los usos actuales de este sistema están los siguientes: 
 
 MEDICIÓN DEL TIEMPO 
 
Para la medición del tiempo se combina el sistema sexagesimal con el sistema duodecimal 
(base 12). Una hora se divide en 60 minutos y un minuto en 60 segundos, para medir el número de 
horas de un día se utilizan dos bloques de 12 horas. Entonces, 
 
1 hora = 60 minutos, o bien, 1 h = 60’ 
1 minuto = 60 segundos, o bien, 1 m = 60’’ 
1 hora = 3.600 segundos, o bien, 1 h = 3.600’’ 
a
c
d
f
hg
b
e
 
 
14 
 
 
Para expresar una unidad de medición de tiempo del sistema sexagesimal en una unidad del 
sistema decimal (segundos), se procede según la siguiente fórmula: 
 
h (horas) m (minutos) s (segundos) = h . 602 + m . 60 + s 
 
Ejemplo: Expresar 3 horas, 50 minutos y 34 segundos, en segundos: 
 
3 h 50’ 34’’ = 3 h . 60 m . 60 s + 50 . 60 m + 34 s = 13.834’’ 
3 h 50’ 34’’ = 3 . 602 + 50 . 60 + 34 = 13.834’’ 
 
 
 MEDICIÓN DE ÁNGULOS 
 
Las unidades utilizadas para medir ángulos son: 
grado, minuto y segundo. 
Para medir ángulos se utiliza un transportador, el 
cual se asemeja a un semicírculo graduado. 
Las equivalencias entre las unidades utilizadas 
para medir ángulos son las siguientes: 
1 grado = 60 minutos, o bien, 1° = 60’ 
1 minuto = 60 segundos, o bien, 1’ = 60’’ 
 
Para transformar una unidad de medida en otra del sistema sexagesimal se debe considerar 
lo siguiente: 
☺ Para transformar grados en minutos, se multiplica por 60. Por ejemplo: 20° equivale a 1.200 
minutos, ya que 20 grados * 60 minutos/grado = 1.200 minutos. 
☺ Para transformar grados en segundos, se multiplica por 3.600. Por ejemplo: 45° equivalen a 
162.000 segundos, ya que 45 grados * 3600 segundos/ grados = 162.000 segundos. 
☺ Para transformar minutos en grados, se divide por 60. Por ejemplo: 30 minutos equivalen a 
0,5°, ya que 30: 60 = 0,5. 
 
En síntesis, 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
 
ACTIVIDADES 
8.- Expresar en minutos: 
a) 58° 
b) 36° 
c) 36’’ 
d) 20° 36’ 180’’ 
9.- Expresar en horas, minutos y segundos: 
a) 425’ 
b) 7.295’’ 
c) 1.217’ 
d) 43.280’’ 
10.- Expresar en grados las siguientes medidas de ángulos: 
a) 37° 49’ 48’’ 
b) 51° 21’ 18’’ 
c) 49° 38’ 51’’ 
d) 27° 51’ 36’’ 
11.- Si un ángulo mide 45° 35’ 24’’ 
a) ¿Cuántos grados mide el ángulo? 
b) ¿Cuántos minutos mide el ángulo? 
c) ¿Cuántos segundos mide el ángulo? 
12.- Si α = 25° 12’ 45’’ y β = 18° 25’ 51’’. Calcular: 
a) α + β 
b) α − β 
c) El ángulo complementario de α 
d) El ángulo complementario de β 
e) El ángulo suplementario de α 
f) El ángulo suplementario de β 
13.- Graficar los siguientes ángulos en el plano cartesiano: 
a)  = 30° 
b)  = −80° 
c)  = 160° 
d)  = 370° 
e)  = −110° 
 
 
 
16 
 
 
14.- Resolver: 
 
a) Una persona comenzó su jornada laboral a las 7 horas 50 minutos 40 segundos y la terminó 
a las 14 horas 15 minutos 30 segundos. ¿Cuánto tiempo ha estado en el trabajo? 
 
b) Un ángulo mide 45° 18’ 36’’. ¿Cuánto mide su complemento? 
 
c) Francisca ha recorrido 8 km en 1 hora, 30 minutos y 12 segundos. ¿Cuánto tiempo ha 
empleado en recorrer un km si ha mantenido el mismo paso durante todo el recorrido? 
 
d) En una casa se han realizado 150 conexiones a Internet en 30 días, con una duracióntotal 
de 103 horas 29 minutos y 22 segundos. Si se han conectado todos los días el mismo tiempo, 
¿Cuánto ha sido el tiempo de conexión diario? ¿Cuántas conexiones realizó por día? ¿Cuánto 
tiempo promedio duró cada conexión diaria? 
 
e) Un ángulo recto se divide en dieciséis ángulos iguales. ¿Cuántos grados, minutos y 
segundos mide cada ángulo? ¿Y si se divide en 15 partes iguales? 
 
B.- SISTEMA CENTESIMAL 
 
En este sistema la unidad de medida es el grado centesimal (1g) o también llamado gradián. 
Un grado centesimal se subdivide en 100 minutos centesimales (100m) y cada uno de estos minutos 
en 100 segundo centesimales (100s), es decir, 1g = 100m = 10.000s. No lo utilizaremos durante este 
curso de ingreso. 
 
C.- SISTEMA CIRCULAR O RADIAL 
 
En este sistema la unidad de medida es el radián (1 rad). Se llama 
radián al ángulo que, teniendo su vértice en el centro de un círculo, corta 
en su circunferencia un arco de longitud igual al radio de la 
circunferencia. 
 
Si se sabe que una circunferencia completa tiene 360° y su longitud es 𝟐  𝐫, entonces: 
 
Longitud de la circunferencia = 360° = 2  rad 
Entonces 𝟏 𝒓𝒂𝒅 ≈ 
𝟑𝟔𝟎°
𝟐𝝅
≈ 𝟓𝟕, 𝟐𝟗𝟔°  𝟓𝟕° 𝟏𝟕’ 𝟒𝟔’’ 
 
 Clasificación de las 
expresiones algebraicas 
https://youtu.be/L5GNg9a_gSc
https://youtu.be/L5GNg9a_gSc
 
 
17 
 
 
Teniendo en cuenta la igualdad de la longitud de la 
circunferencia medida en grados o radianes, por medio de la aplicación 
de una regla de tres simple directa, se pueden convertir grados 
sexagesimales en radianes y viceversa. Se debe tener en cuenta que 
al ser  un número irracional, en general, los ángulos se expresan en 
términos de  radianes. Por ejemplo: 
 Si se quiere convertir un ángulo del sistema sexagesimal de 
90° a  radianes, del sistema radial, se debe hacer el siguiente planteo: 
 
Luego, si despejo: 𝑥 =
90° ∙2 𝜋 𝑟
360°
= 
1
2
 𝜋 𝑟, es decir, que el ángulo de 90° equivale a un ángulo 
de 
𝟏
𝟐
 𝝅 𝒓, lo que se lee, un medio Pi radianes. 
 
90° =
𝟏
𝟐
 𝝅 𝒓 
 Ahora se analiza cómo convertir un ángulo del sistema radial al sexagesimal. Dado el ángulo 
de 1,5  radianes: 
 
 
Luego, si despejo: 𝑥 =
1,5 𝜋 𝑟 ∙360°
2 𝜋 𝑟
= 270° 
𝟏, 𝟓 𝛑 𝐫 = 𝟐𝟕𝟎° 
 
Cuando se trabaja con la calculadora hay que configurar el modo, según el cálculo que se 
desea realizar, pruebe en su calculadora científica, si no dispone puede encontrar varias 
aplicaciones gratuitas para el celular. 
DEG o D: Permite operar en sistema sexagesimal. 
GRA o G: Es para el sistema centesimal. 
RAD o R: Corresponde al sistema circular o radial. 
 
 
 Convertir radianes a grados 
Convertir grados a 
radianes 
Relación entre grados y 
radianes 
Grados decimales a 
sexagesimales 
Grados sexagesimales a 
centesimales 
https://www.youtube.com/watch?v=nKSylFrOzRw
https://youtu.be/seR9VVW4DaI
https://youtu.be/-nz4EpEWhzw
https://youtu.be/8qU5P6BwxWQ
https://youtu.be/ZO8nSJS8Dvs
https://www.youtube.com/watch?v=nKSylFrOzRw
https://youtu.be/seR9VVW4DaI
https://youtu.be/-nz4EpEWhzw
https://youtu.be/8qU5P6BwxWQ
https://youtu.be/ZO8nSJS8Dvs
https://www.youtube.com/watch?v=nKSylFrOzRw
https://youtu.be/seR9VVW4DaI
https://youtu.be/-nz4EpEWhzw
https://youtu.be/8qU5P6BwxWQ
https://youtu.be/ZO8nSJS8Dvs
https://www.youtube.com/watch?v=nKSylFrOzRw
https://youtu.be/seR9VVW4DaI
https://youtu.be/-nz4EpEWhzw
https://youtu.be/8qU5P6BwxWQ
https://youtu.be/ZO8nSJS8Dvs
https://www.youtube.com/watch?v=nKSylFrOzRw
https://youtu.be/seR9VVW4DaI
https://youtu.be/-nz4EpEWhzw
https://youtu.be/8qU5P6BwxWQ
https://youtu.be/ZO8nSJS8Dvs
https://www.youtube.com/watch?v=nKSylFrOzRw
https://youtu.be/seR9VVW4DaI
https://youtu.be/-nz4EpEWhzw
https://youtu.be/8qU5P6BwxWQ
https://youtu.be/ZO8nSJS8Dvs
 
 
18 
 
 
ACTIVIDADES 
15.- Completar el siguiente cuadro de equivalencias de ángulos: 
 
SISTEMA ÁNGULOS 
SEXAGESIMAL 0° 30° 60° 90° 
CIRCULAR O RADIAL π
4
rad 
2
3
𝜋 rad 
 
SEXAGESIMAL 135° 150° 210° 225° 
CIRCULAR O RADIAL 𝜋 rad 4
3
𝜋 rad 
 
SEXAGESIMAL 270° 330° 360° 38° 15’ 20” 
CIRCULAR O RADIAL 5
3
𝜋 rad 
7
4
𝜋 rad 
 
 
16.- Indicar a qué cuadrante pertenece el ángulo ε̂: 
a) 
1
2
 π rad < ε̂ < π rad 
 
b) − π rad < ε̂ < −
1
2
π rad 
 
c) π rad < ε̂ <
3
2
π rad 
 
d) −
3
2
 π rad < ε̂ < −π rad 
 
e) 
3
2
 π rad < ε̂ < 2 π rad 
 
f) 0 π rad < ε̂ <
1
2
π rad 
 
17.- Identificar el cuadrante al que pertenecen los siguientes ángulos: 
ÁNGULO 130° π
4
rad 
9
4
π rad 
520° -120° 
CUADRANTE 
 
 
 
19 
 
 
TEMA N° 2: TRIÁNGULOS Y RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 
 
 
1.- TRIÁNGULOS 
 
El triángulo es una de las figuras geométricas cerradas más 
simple que existe. Es un polígono de tres lados, tres ángulos 
interiores, tres ángulos exteriores y tres vértices. Se distingue por 
no poseer diagonales. 
Los puntos A, B y C, se llaman vértices y los segmentos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 
𝐵𝐶̅̅ ̅̅ y 𝐶𝐴̅̅ ̅̅ , son los lados. 
Siendo , ,  ángulos interiores, también se los puede escribir como: 𝐵𝐴�̂�, 𝐴𝐵�̂� y 𝐴𝐶�̂� (la 
letra que se escribe en el medio de las tres que forman parte del nombre del ángulo, es la que 
corresponde al vértice de este). Los ángulos exteriores son ’, ’, ’. 
 
A.- PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS 
 
 DESIGUALDAD TRIANGULAR: La suma de las longitudes de dos lados de un triángulo es 
siempre mayor que la longitud del tercer lado. Es decir, si a, b y c son las medidas de tres 
segmentos, podemos construir un triángulo con ellos solo sí cumple lo siguiente: 
 
𝑎 + 𝑏 > 𝑐 
𝑎 + 𝑐 > 𝑏 
𝑏 + 𝑐 > 𝑎 
 
 
 PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS: 
 
☺ La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es 180°. 
☺ La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un triángulo es 360°. 
☺ El ángulo de mayor medida de un triángulo es opuesto al lado de mayor longitud. Del mismo 
modo, si dos lados del triángulo tienen igual medida, sus ángulos interiores opuestos también 
tienen la misma medida y viceversa. 
 
 
 
20 
 
 
B.- CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS 
 
 SEGÚN LA MEDIDA DE SUS LADOS: Pueden ser: 
 
☺ EQUILÁTEROS: Tienen todos sus lados de igual medida, al igual que sus ángulos. 
☺ ISÓSCELES: Tienen dos lados de igual medida y dos ángulos de igual medida. El ángulo 
desigual está formado por los lados de igual medida. 
☺ ESCALENOS: Tienen todos sus lados de diferentes medidas, al igual que sus ángulos. 
 
 
 SEGÚN LA MEDIDA DE SUS ÁNGULOS: 
 
Pueden ser: 
 
☺ RECTÁNGULOS: Tienen un ángulo recto (90°). En un 
triángulo rectángulo el lado de mayor longitud, opuesto al 
ángulo recto, recibe el nombre de HIPOTENUSA y los dos de menor longitud, CATETOS. 
☺ ACUTÁNGULOS: Sus tres ángulos son agudos (menores que 90°). 
☺ OBTUSÁNGULOS: Tiene un ángulo obtuso (mayor que 90° y menor que 180°). 
 
 
Se pueden establecer relaciones entre las clasificaciones de triángulos mencionadas 
anteriormente. Por ejemplo: Un triángulo equilátero es siempre acutángulo. Un triángulo 
obtusángulo no puede ser equilátero, etc. 
 
 
21 
 
 
C.- ÁREA O SUPERFICIE DE UN TRIÁNGULO 
 
 
 
2.- TEOREMA DE PITÁGORAS 
 
Algebraicamente, el Teorema de Pitágoras establece que el cuadrado de la hipotenusa de un 
triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. 
Conociendo las medidas de dos lados de un triángulo rectángulo se puede determinar la 
medida del tercer lado aplicando el teorema de Pitágoras. 
Si a y b son catetos y c es la hipotenusa, entonces: 
 
𝐚𝟐 + 𝐛𝟐 = 𝐜𝟐 
𝐜 = √𝐚𝟐 + 𝐛𝟐 
𝐚 = √𝐜𝟐 − 𝐛𝟐 
𝐛 = √𝐜𝟐 − 𝐚𝟐 
 
 
 
ACTIVIDADES 
 
 
18.- Calcular la medida de la altura de un triángulo equilátero cuyos lados miden 8 cm. 
 
19.- Calcular la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 5 cm. 
 
20.- Calcular la longitud de una escalera, sabiendo que está apoyada en una pared a una distancia 
de 1,1 metros sobre el suelo y alcanza una altura de 6 metros.21.- Determinar si se puede construir un triángulo con las siguientes medidas, aplique las 
propiedades de la desigualdad triangular y propiedades de los ángulos. 
a) a= 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm 
b) a= 5 cm, b = 3 cm, c = 1 cm 
c) = 45°,  = 50°,  = 85° 
d) = 67°,  = 22°,  = 92° 
 
https://youtu.be/XfVWlO3sRw0
https://youtu.be/XfVWlO3sRw0
https://youtu.be/XfVWlO3sRw0
 
 
22 
 
 
22.- Resolver: 
a) Un edificio proyecta una sombra de 50 m de largo, y la distancia entre la punta de la sombra y el 
extremo superior del edificio es de 100 m. ¿Cuál es la altura del edificio? 
b) ¿Cuál es el área de un rectángulo si su ancho mide 15 cm y su diagonal mide 20 cm? 
 
23.- Hallar el valor del lado desconocido: 
a) 
 
b) 
 
 
x 
 
 
3.- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 
 
Se llaman razones trigonométricas a las relaciones entre los lados y los ángulos agudos de 
cualquier triángulo rectángulo. 
Como se observa en la gráfica el vértice C 
corresponde al ángulo recto o de 90°; mientras que �̂� y �̂� 
son los ángulos agudos. 
El lado del triángulo, opuesto al ángulo recto C, es la 
hipotenusa del triángulo (c). Siempre es el lado de mayor 
medida en un triángulo rectángulo. 
Los lados que se oponen a los ángulos agudos se llaman catetos. Según el ángulo que 
analicemos, si es �̂� ó �̂�, serán catetos opuestos o catetos adyacentes a cada ángulo. 
En la figura se puede identificar que b es el cateto opuesto al ángulo 𝛃; mientras que a será 
el cateto adyacente a �̂�. 
Si ahora se analiza el ángulo �̂�, el cateto opuesto a �̂� es b, mientras que el cateto adyacente 
a �̂� es a. 
 
 
 
23 
 
 
Una vez que se identifican los elementos del triángulo rectángulo, la hipotenusa y los catetos, 
las fórmulas para calcular las razones trigonométricas fundamentales y sus recíprocas son: 
 
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 
FUNDAMENTALES 
RECÍPROCAS DE LAS RAZONES 
TRIGONOMÉTRICAS 
seno de α̂ = sen ̂ = 
cateto opuesto a ̂
hipotenusa
 
 
cosecante de α̂ = cosec ̂ =
1
sen ̂
 = 
hipotenusa
cateto opuesto a ̂
 
 
coseno de α̂ = cos ̂ = 
cateto adyacente a ̂
hipotenusa
 secante de α̂ = sec ̂ =
1
cos ̂
= 
hipotenusa
cateto adyacente a ̂
 
 
tangente de α̂ = tg ̂ = 
cateto opuesto a ̂
cateto adyacente a ̂
 
tg ̂ =
sen ̂
cos ̂
 
cotangente de α̂ = cotg ̂ =
1
tg ̂
= 
cateto adyacente a ̂
cateto opuesto a ̂
 
cotg ̂ =
cos ̂
sen ̂
 
 
Por ejemplo: Dado el siguiente triángulo, utilizando el Teorema de Pitágoras se puede obtener 
la medida de la hipotenusa: 
a2 + b2 = c2 
32 + 42 = c2 
√32 + 42 = c 
5 = c 
 
 
Luego podemos calcular las RAZONES 
TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES y sus 
RECÍPROCAS del ángulo 𝛅: 
 
 
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES RECÍPROCAS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 
sen δ̂ = 
cateto opuesto a δ̂
hipotenusa
=
b
c
=
4
5
 
 
cosec δ̂ =
1
sen δ̂
 = 
hipotenusa
cateto opuesto a δ̂
=
c
b
=
5
4
 
 
cos δ = 
cateto adyacente a δ̂
hipotenusa
=
a
c
=
3
5
 sec δ̂ =
1
cos δ̂
= 
hipotenusa
cateto adyacente a δ̂
=
c
a
=
5
3
 
 
tg δ̂ = 
cateto opuesto a δ̂
cateto adyacente a δ̂
=
b
a
=
4
3
 cotg δ̂ =
1
tg δ̂
= 
cateto adyacente a δ̂
cateto opuesto a δ̂
=
a
b
=
3
4
 
 
 
 
 
Cateto opuesto, cateto 
adyacente e hipotenusa 
 
Razones trigonométricas de 
un ángulo 
 
https://youtu.be/FUMlQtJfrHo?list=PLeySRPnY35dEAIFYvOhtD2cztVuq15qw1
https://youtu.be/GbDpIjp52qA
https://youtu.be/FUMlQtJfrHo?list=PLeySRPnY35dEAIFYvOhtD2cztVuq15qw1
https://youtu.be/GbDpIjp52qA
https://youtu.be/FUMlQtJfrHo?list=PLeySRPnY35dEAIFYvOhtD2cztVuq15qw1
https://youtu.be/GbDpIjp52qA
https://youtu.be/FUMlQtJfrHo?list=PLeySRPnY35dEAIFYvOhtD2cztVuq15qw1
https://youtu.be/GbDpIjp52qA
 
 
24 
 
 
 CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA 
 
Se define como circunferencia trigonométrica, a una circunferencia de radio igual a 1 unidad 
y centro en el origen del plano cartesiano (0;0). El origen de los ángulos es el semieje positivo de 
las x. 
Todo ángulo θ̂, orientado y centrado, determina un punto P sobre la circunferencia 
trigonométrica. Este punto P tiene asociado un par (x;y) del plano. Cuando el ángulo varía en el 
intervalo [0; 2𝜋], cambia la posición del punto P, cambiando también sus coordenadas. En el 
siguiente link puedes ver el comportamiento animado de las razones seno, coseno y tangente 
aplicadas al ángulo tita. Comportamiento razones trigonométricas 
 
A continuación, se adjunta una gráfica, donde se puede observar el ángulo tita en la 
circunferencia trigonométrica. Observe que el radio de la circunferencia es de 1 unidad, si se 
extiende el lado del ángulo tita hasta que corta la circunferencia en el punto P, se obtiene para ese 
punto un valor de x (eje de abscisas), que será el valor del coseno del ángulo tita y un valor de y 
(eje de ordenadas) que será el valor del seno del ángulo tita. 
Luego, se debe trazar una recta tangente a la circunferencia, que solo la toque en el punto 
(x;y)=(1;0); y prolongamos el radio que pasa por el punto P hasta que corte a esta tangente. Desde 
ese punto de corte hasta el punto (1;0) la medida es el valor de la tangente del ángulo tita. 
En el gráfico se han pintado de azul el valor del cos θ̂; de rojo el valor del sen θ̂; y de rosado el 
correspondiente a la tg θ̂. 
 
El seno es una medida sobre el eje de ordenadas “y”, mientras que el coseno se mide en el 
eje de abscisas “x”. Lo cual ayuda a analizar los signos de las funciones trigonométricas en los 
cuatro cuadrantes. 
Si analiza el valor del seno y del coseno podrá concluir que siempre varían en el intervalo 
[−1; 1], ya que son los valores que pueden tomar x e y en la circunferencia trigonométrica. 
https://www.geogebra.org/m/gf35VZ2t
 
 
25 
 
 
 
 SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 
 
El seno será positivo en los cuadrantes con semieje positivo en las “y”, de lo contrario será 
negativo. 
El coseno será positivo en los cuadrantes con semieje positivo de las “x”, caso contrario, será 
negativo. 
Para saber el signo de la tangente debemos prolongar el lado del ángulo hasta que corte a la 
recta tangente a la circunferencia (que la toca en el punto (1;0)) y ahí se observa si la tangente es 
positiva (semieje positivo de las y) o negativa (semieje negativo de las y). 
 
I CUADRANTE II CUADRANTE III CUADRANTE IV CUADRANTE 
 
 
Recomendación: Aprender a analizar el signo de las funciones trigonométricas en cada cuadrante 
es mejor que estudiarlo de memoria. 
 
 
 
 
 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES 
 
En trigonometría, la palabra “notable” se utiliza para referirse a procesos o valores que están 
bien definidos o muy comunes, y por ende, se reconocen y memorizan fácilmente. 
 
 
 
26 
 
 
En este sentido, los ángulos notables son aquellos que tienen valores que aparecen muy 
seguido en la vida cotidiana. 
Estos ángulos son los de 30°, 45°, 60° y 90°. Para los ángulos notables se puede encontrar 
las razones trigonométricas sin conocer las medidas exactas de los triángulos que los contienen, ya 
que ellos están contenidos en dos triángulos muy especiales e importantes en geometría, los 
triángulos isósceles rectángulos y los triángulos equiláteros. 
 
El triángulo equilátero que se requiere es aquel cuyos tres lados tienen una longitud de 1 
unidad; además, cada uno de sus ángulos mide 60°. 
Ya que se tiene el triángulo equilátero, de éste se formarán dos triángulos a partir de su altura. 
Estos nuevos triángulos estarán compuestos por un ángulo de 30° y 60°. Finalmente, para obtener 
el valor de una relación trigonométrica, ya sea para 30° o 60°, sólo hay que utilizar sus definiciones. 
 
Para encontrar los valores de las funciones trigonométricas del ángulo notable de 45° se utiliza 
un triángulo rectángulo isósceles. En dicho triángulo, se cumple que dos de sus lados tienen la 
misma longitud. Además, como el triángulo es rectángulo, uno de los ángulos es de 90°, por lo quelos otros dos medirán 45°. Por conveniencia hay que asignar a la hipotenusa el valor de 1 unidad. 
A continuación, se utiliza el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de sus catetos. 
Finalmente, para obtener el valor de las funciones trigonométricas solo hay que utilizar sus 
definiciones. 
 
Luego se obtienen los siguientes valores para las razones trigonométricas de dichos ángulos: 
α̂ 
(grados) 
0° 30° 45° 60° 90° 135° 180° 225° 270° 360° 
α̂ 
(radianes) 
0 1
6
π 
1
4
π 
1
3
π 
1
2
π 
3
4
π 
π 5
4
π 
3
2
π 
2π 
sen α̂ 0 1
2
 √2
2
 
√3
2
 
1 √2
2
 
0 −√2
2
 
−1 0 
cos α̂ 1 √3
2
 
√2
2
 
1
2
 
0 −√2
2
 
-1 −√2
2
 
0 1 
tg α̂ 0 √3
3
 
1 √3 No 
 definido 
-1 0 1 No 
 definido 
0 
 
 
 
 
 
 
Seno, coseno y tangente de 
30° 45° 60° | Sin calculadora 
https://youtu.be/rQSuqLrhn7E
 
 
27 
 
 
 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 
 
Para hallar el valor de los lados y ángulos de un triángulo rectángulo se necesitan al menos 
dos datos. Los conocimientos previos necesarios para resolverlos son: 
a) Las definiciones de las tres razones trigonométricas: seno, coseno y tangente. 
b) El Teorema de Pitágoras. 
c) La relación entre los ángulos agudos de un triángulo rectángulo y los lados del triángulo. 
 
A fin de organizar el estudio de este tema, se analizan 5 casos diferentes a partir de ejemplos, 
donde lo importante es observar los datos que da el problema y la metodología de resolución: 
 
☺ PRIMER CASO: DATOS: VALOR DE UN ÁNGULO AGUDO Y LA HIPOTENUSA 
 
Por ejemplo: Si se desea calcular el otro ángulo agudo y los catetos: 
Datos {
β̂ = 65°
a = 19,2 cm
 
 
Incógnitas {
Ĉ =?
b =?
c =?
 
 
Siempre conviene graficar la situación planteada. 
Sabiendo que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°, se puede calcular por 
diferencia el valor del ángulo desconocido: Ĉ = 180° − 90° − 65° = 25° 
Por medio de las razones trigonométricas se pueden calcular los lados desconocidos del 
triángulo: 
Cálculo de b: 
sen β̂ =
cateto opuesto
hipotenusa
 
sen 65° =
b
19,2
 
b = 19,2 ∙ sen 65° = 17,40110951 ≅ 17,40 cm 
 
Cálculo de c: 
cos β̂ =
cateto adyacente
hipotenusa
 
cos 65° =
c
19,2
 
c = 19,2 ∙ cos 65° = 8,114270625 ≅ 8,11 cm 
 
Con el Teorema de Pitágoras puede verificar los resultados obtenidos. 
 
 
28 
 
 
Recomendación: Siempre vea como calcular las incógnitas a partir de los datos del problema, 
evitando calcular las siguientes incógnitas a partir de los valores calculados en ejercicios 
anteriores. Esto evitará que, si cometió un error en el primer cálculo, arrastre el error al resto del 
ejercicio. 
 
☺ SEGUNDO CASO: DATOS: VALOR DE UN ÁNGULO AGUDO Y SU CATETO OPUESTO 
 
Datos {β̂ = 38°17′
b = 20 cm
 
 
Incógnitas {
Ĉ =?
a =?
c =?
 
 
Sabiendo que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°, se puede calcular por 
diferencia el valor del ángulo desconocido: Ĉ = 180° − 90° − 38°17′ = 51°43′ 
Cálculo de a: 
sen β̂ =
cateto opuesto
hipotenusa
 
sen 38°17′ =
20
a
 
a =
20
sen 38°17′
= 32,28145694 ≅ 32,28 cm 
Cálculo de c: 
tg β̂ =
cateto opuesto
cateto adyacente
 
tg 38°17′ =
20
c
 
c =
20
tg 38°17′
= 25,33954345 ≅ 25,34 cm 
 
☺ TERCER CASO: DATOS: VALOR DE UN ÁNGULO AGUDO Y SU CATETO ADYACENTE 
 
Datos {
β̂ = 43°29′
c = 13,2 cm
 
 
Incógnitas {
Ĉ =?
a =?
b =?
 
 
Sabiendo que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°, se puede calcular por 
diferencia el valor del ángulo desconocido: Ĉ = 180° − 90° − 43°29′ = 46°31′ 
 
 
29 
 
 
Cálculo de a: 
cos β̂ =
cateto adyacente
hipotenusa
 
cos 43°29′ =
13,2
a
 
a =
13,2
cos 43°29′
= 18,19247871 ≅ 18,19 cm 
 
Cálculo de b: 
tg β̂ =
cateto opuesto
cateto adyacente
 
tg 43°29′ =
b
13,2
 
b = 13,2 ∙ tg 43°29′ = 12,51903677 ≅ 12,52 cm 
 
☺ CUARTO CASO: DATOS: HIPOTENUSA Y UN CATETO 
 
En este caso se debe saber que cuando se conoce el valor del seno, coseno o tangente de 
un ángulo desconocido, se puede hallar el valor del ángulo mediante la función inversa del seno 
(arcoseno), del coseno (arco coseno) o de la tangente (arcotangente). 
 
Por ejemplo: 
sen ̂ = 1 → ̂ = arcosen 1 = sen-1 = 90° 
cos ̂ = 1 → ̂ = arcocos 1 = cos-1 = 0° 
tg ̂ = 5 → ̂ = arcotag 5 = tag-1 = 78° 41’ 24” 
 
 
Los ángulos se deben expresar en grados (°), minutos (‘) y segundos (“). 
 
Con la calculadora se puede obtener pulsando la combinación de teclas: INV SEN (shift 
sin), INV COS (shift cos), INV TAN (shift tan). 
 
 
 
En el caso anterior, al sacar el valor de , la calculadora arroja el siguiente resultado: 
 
 
 = inv tg 5 =shift tan 5 = 78,69006752597978691352549456166, ahora aprieta la tecla ° ‘ ‘’ (grados minutos 
y segundos) y obtiene el resultado para el ángulo delta. 
 
 
 
30 
 
 
Si no tuviera calculadora, para pasar un valor a grados, minutos y segundos debe proceder de la 
siguiente manera: 
 
78,69006752597978691352549456166 → tomo la parte entera como grados  78° 
(78,69006752597978691352549456166 – 78) * 60 minutos = 41,404051558787214811529673699608  41’ 
(41,404051558787214811529673699608 – 41)*60 segundos=24,243093527232888691780421976502  24” 
 
 
Ahora podemos continuar resolviendo el ejemplo planteado: 
 
 
Datos {
a = 25
c = 12 cm
 
 
Incógnitas {
Ĉ =?
β̂ =?
b =?
 
 
 
Cálculo de β̂: 
cos β̂ =
cateto adyacente
hipotenusa
 
cos β̂ =
12
25
 
β̂ = arcocoseno (
12
25
) = 61,31459799 = 61°18′52′′ 
 
 
Cálculo de Ĉ: 
sen Ĉ =
cateto opuesto
hipotenusa
 
sen Ĉ =
12
25
 
Ĉ = arcoseno (
12
25
) = 28,68540201 = 28°41′7′′ 
 
Cálculo de b: 
b2 + c2 = a2 
b = √252 − 122 = 21,9317122 ≅ 21,93 cm 
 
 
 
31 
 
 
☺ QUINTO CASO: DATOS: LOS CATETOS 
 
Datos {
b = 15
c = 12 cm
 
 
Incógnitas {
Ĉ =?
β̂ =?
a =?
 
 
Cálculo de β̂: 
tg β̂ =
cateto opuesto
cateto adyacente
 
tg β̂ =
15
12
 
β̂ = arcotangente (
15
12
) = 51,34019175 = 51°20′24′′ 
 
Cálculo de Ĉ: 
tg Ĉ =
cateto opuesto
cateto adyacente
 
tg Ĉ =
12
15
 
Ĉ = arcotangente (
12
15
) = 38,65980825 = 38°39′35′′ 
 
Cálculo de a: 
b2 + c2 = a2 
a = √152 + 122 = 19,20937271 ≅ 19,21 cm 
 
 
 
ACTIVIDADES 
 
24.- Dada la siguiente figura, calcular: 
 
̂ = 
sen ̂ = 
cos ̂ = 
tg α̂ = 
 
 
 
 
Playlist de Razones 
Trigonométricas y resolución de 
triángulos rectángulos 
https://www.youtube.com/playlist?list=PLeySRPnY35dEAIFYvOhtD2cztVuq15qw1
https://www.youtube.com/playlist?list=PLeySRPnY35dEAIFYvOhtD2cztVuq15qw1
https://www.youtube.com/playlist?list=PLeySRPnY35dEAIFYvOhtD2cztVuq15qw1
https://www.youtube.com/playlist?list=PLeySRPnY35dEAIFYvOhtD2cztVuq15qw1
 
 
32 
 
 
25.- Determinar en cada caso el valor del ángulo correspondiente: 
a) sen ̂ = 0,89475 
b) cos ̂ = 0,78564 
c) tg ̂ = 2,45476 
d) cos ̂ = 0,6234 
 
26.- Calcular: 
a) sen 35° = 
b) cos 120° 30’ 15” = 
c) tg 122° 10’ 33” = 
d) sen 46° 20’ 3” = 
e) cos 76° 12’ 38” = 
 
27.- Marcar la opción correcta: 
 
a) La inversa del coseno es… 
 El arcoseno 
 El arcocoseno 
 La secante 
 
b) La inversa de la tangente es… 
 La cotangente 
 La arcotangente 
 La tangente es la inversa de sí misma. 
 
c) La cosecante es… 
 La inversa del seno 
 La recíproca del seno 
 La opuesta del coseno 
 
 
 
 
33 
 
 
d) El resultado de multiplicar el coseno por la secante de un mismo ángulo es… 
 0 
 1 
 No se puede saber 
 
e) El resultado de multiplicar el seno por la secante de un mismo ángulo es… 
 0 
 1 
 No se puede saber 
 
f) En la circunferencia trigonométrica el valor del seno se obtiene en el eje de: 
 Abscisas 
 Ordenadas 
 
g) En la circunferencia trigonométrica el coseno se calcula sobre el: 
 Eje horizontal 
 Eje vertical 
 
h) En el primer cuadrante… 
 El seno es positivo y el coseno negativo 
 El seno y el coseno son positivos 
 El seno es negativo y el coseno positivo 
 El seno y el coseno son negativosi) En el cuarto cuadrante… 
 La tangente es negativa 
 La tangente es positiva 
 
 
 
34 
 
 
28.- Dado el siguiente triángulo rectángulo, calcula la medida de los lados y ángulos desconocidos 
en cada caso. 
a) Si b = 6 cm y c = 11 cm. 
b) Si b = 39 cm y B = 31°. 
c) Si c = 8 cm y B = 50°. 
d) Si a = 8 cm y C = 65°. 
e) Si b = 7 cm y a = 12 cm. 
f) Si b = 20 m y C = 37° 20’. 
 
29.- Plantear y resolver los siguientes problemas. Graficar cuando sea posible. 
a) ¿Cuál es el ángulo de elevación del sol cuando un mástil de 24 metros proyecta una sombra 
de 16 metros? 
b) ¿Cuál es la altura de una antena si a una distancia de 250 metros de su base tiene un 
ángulo de elevación de 22°? 
c) El perímetro de un triángulo isósceles es de 26 cm y su base mide 10 cm, ¿cuál es el valor 
de sus ángulos interiores? 
d) Con una escalera de 5,8 metros de largo necesitamos alcanzar una lámpara que se 
encuentra en una pared a 4 metros de altura, ¿cuál es el ángulo de inclinación que le damos a la 
escalera? ¿a qué distancia de la pared debemos colocar el pie de la escalera? 
e) Un barrilete se encuentra a 40 metros de altura y su cuerda tiene una longitud de 80 metros, 
¿cuál es el ángulo que forma la cuerda con el piso? 
f) ¿Cuál es el área de un triángulo equilátero cuyos lados miden 2√3 cm? 
g) Calcular la altura de una torre sabiendo que su sombra mide 18 metros cuando el sol forma 
un ángulo de 65° con el suelo. 
h) Se necesita instalar una torre de 50 metros de altura: 
h.1) Calcular la longitud de la cuerda que une el extremo superior de la torre con el punto 
de amarre (A) situado a 80 metros de la base. 
h.2) Hallar el ángulo que forma la cuerda con la horizontal. 
i) Una persona, cuya altura es de 1,80 metros; observa desde el punto A el extremo de 
un edificio con un ángulo de 30°. Si avanza 30 metros en línea recta hacia la base del edificio, 
observa el mismo extremo con un ángulo de 50°. ¿Qué altura tiene el edificio? ¿Cuál es la distancia 
desde la medición del último ángulo hasta la base del edificio? 
 
 
 
35 
 
 
j) ¿Habrán utilizado la plomada los albañiles que levantaron esta 
pared de 1,80 metros de altura? Observa los datos del dibujo y las 
medidas que tomaron luego de construirla. 
 
 
k) Una escalera se apoya en una pared tiene un pie a 2,75 metros de esta. Si alcanza a una 
ventana que está a 5,30 metros del suelo, ¿qué ángulo determina la escalera con el suelo? ¿cuánto 
mide la escalera? 
l) Calcular el ángulo agudo de un triángulo rectángulo entre el lado adyacente de longitud a y 
su hipotenusa de longitud igual a 5/3 de a. Hallar la longitud del lado que falta. 
ll) Dado un triángulo cuyos lados tienen las siguientes longitudes: 3 m, 4 m y 5 m, 
respectivamente; hallar los ángulos de este. 
 
Para realizar este tipo de ejercicio se debe repasar el Teorema del Seno y del Coseno: 
 
 TEOREMA DEL SENO Y DEL COSENO 
 
En trigonometría, el teorema de los senos o también llamado Ley de los senos, es una 
relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de sus 
respectivos ángulos opuestos. Usualmente se presenta de la siguiente forma: 
 
 
 
 
36 
 
 
Teorema del coseno: El cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los 
cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de dichos lados por el coseno del ángulo 
que forman: 
 
a2 = b2 + c2 − 2bc ∙ cos α 
b2 = a2 + c2 − 2ac ∙ cos β 
c2 = a2 + b2 − 2ab ∙ cos γ 
 
m) Una valla cuyo perímetro tiene forma triangular mide 20 metros en su lado mayor, 6 metros 
en otro y 60° en el ángulo que forman entre ambos. Calcula cuánto mide el perímetro de la valla. 
 
4.- IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 
 
Las identidades trigonométricas son igualdades entre expresiones que contienen funciones 
trigonométricas y esta igualdad es válida o verdadera para todos los valores del ángulo en los que 
están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas). 
 
A partir de las siguientes relaciones básicas entre las funciones trigonométricas de un ángulo, 
se pueden comprobar distintas Identidades Trigonométricas: 
cosec ̂ = 
1
sen ̂
 
sec ̂ = 
1
cos ̂
 
tg ̂ = 
sen ̂
cos ̂
 
cotg ̂ =
1
tg ̂
 = 
cos ̂
sen ̂
 
Para resolver una identidad se desarrolla uno o ambos miembros de la igualdad, SIN 
PASAR TÉRMINOS O FACTORES DE UN MIEMBRO AL OTRO DE LA IGUALDAD, tratando de 
expresar todo en términos de las funciones seno y coseno. 
 
 
37 
 
 
 
Por ejemplo: Si b y c son los catetos de un triángulo rectángulo y a es su hipotenusa: 
 
sen β̂ =
b
a
 ⇒ b = a ∙ sen β̂ 
cos β̂ =
c
a
 ⇒ c = a ∙ cos β̂ 
 
Considerando el Teorema de Pitágoras: 
 
b2 + c2 = a2 
(a ∙ sen β̂)2 + (a ∙ cos β̂)2 = a2 
(a ∙ sen β̂)2 + (a ∙ cos β̂)2 = a2 
a2 ∙ (sen β̂)2 + a2 ∙ (cos β̂)2 = a2 
 
Se dividen todos los términos por a2: 
a2
a2
∙ (sen β̂)2 +
a2
a2
∙ (cos β̂)2 =
a2
a2
 
 
sen2 β̂ + cos2 β̂ = 1 esta relación se llama Relación Pitagórica o Relación Fundamental de 
la Trigonometría. 
 
De ella se deducen las siguientes relaciones: 
 
sen2̂+ cos2̂ = 1 
sen ̂ = √1 − cos2̂ 
cos ̂ = √1 − sen2̂ 
 
Veamos otra identidad trigonométrica: Si se quiere comprobar la siguiente identidad: 
 
sen ̂ . sec ̂ = tg ̂ → primero hay que expresarla en términos de seno y coseno 
 
sen ̂ .
1
cos ̂
 = 
sen ̂
cos ̂
 → Luego se observa que: 
 
sen ̂
cos ̂
 = 
sen ̂
cos ̂
 → Se comprueba la identidad trigonométrica 
 
 
 
 
Identidades Trigonométricas | 
Introducción 
Identidades Trigonométricas: 
Identidades recíprocas 
Playlist de Identidades 
Trigonométricas 
https://youtu.be/PbvKVSWyvpI?list=PLeySRPnY35dHK3mo8UWd3zAnYCG13OgAR
https://youtu.be/3FjBlgSSlok?list=PLeySRPnY35dHK3mo8UWd3zAnYCG13OgAR
https://www.youtube.com/playlist?list=PLeySRPnY35dHK3mo8UWd3zAnYCG13OgAR
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38 
 
 
ACTIVIDADES 
 
30.- Comprobar las siguientes identidades trigonométricas: 
 
a) cos ̂ . tg ̂ = sen ̂ 
b) cos ̂ . cosec ̂ . tg ̂ = 1 
c) sec2 ̂ ∙ (cosec2 ̂ − 1) = cosec2 ̂ 
d) sec2̂ = 1 + tg2̂ 
e) 1 + cotg2 ̂ = cosec2 ̂ 
f) cosec2̂ . (1 – cos2 ̂) = 1 
g) tg2 ̂ . cosec2 ̂. cotg2̂ . sen2̂ = 1 
h) tg ̂ . sen ̂ + cos ̂ = sec ̂ 
i) cosec ̂ = cotg ̂ . cos ̂ + sen ̂ 
j) (tg ̂ + cotg ̂) . sen ̂ . cos ̂ = 1 
k) tg2 ̂ = sen2̂ . (1 + tg2̂) 
l) (1 + tg ̂) . ( 1 – tg ̂) + sec2̂ = 2 
m) tg ̂ + cotg ̂ = sec ̂ . cosec ̂ 
n) tg ̂ . cotg ̂ + 
1
cotg2 ̂
 = sec2 ̂ 
ñ) (1 – cos2̂) . (1 + tg2̂) . cotg ̂ = tg ̂ 
 
 
5.- ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 
 
Las ecuaciones trigonométricas relacionan funciones trigonométricas de un ángulo y números. 
Resolver dichas ecuaciones es encontrar la amplitud de un ángulo que haga cumplir la ecuación 
planteada. 
Para resolverlas se hacen transformaciones necesarias para trabajar con una sola función 
trigonométrica, para ello se utilizan las identidades trigonométricas fundamentales. Por ejemplo: Si 
se quiere resolver la siguiente ecuación: 
 
2 . cos x = 1 → se requiere determinar el valor del ángulo x. 
cos x = ½ 
x = arcocoseno ½ → x=60° 
 
ACTIVIDADES 
31.- Resolver las siguientes ecuaciones: 
 
a) 4 tg2̂ − 1 = 0 
b) sec ̂ = 4 
c) cos ̂ = −0,5 
d) tg ̂ = −1 
e) tg ̂ = −3 
f) 4 sen ̂ = 1 
g) sen ̂ = 
√2
2
 
h) cosec ̂ = 1 
i) cosec ̂ = −3 
j) cotg ̂ = −2 
 
 
 
39 
 
 
 
TEMA N° 3: PERÍMETRO Y SUPERFICIE DE POLÍGONOS REGULARES 
 
1.- POLÍGONOSUn polígono es la región del plano limitada por tres o más segmentos. Es una figura 
geométrica formada por segmentos consecutivos no alineados, llamados lados. 
 
 ELEMENTOS DE UN POLÍGONO 
 
✓ LADOS: Son los segmentos que lo limitan. 
✓ VÉRTICES: Son los puntos donde concurren dos lados. 
✓ ÁNGULOS INTERIORES: Son los determinados por dos lados consecutivos. La suma de los 
ángulos interiores de un polígono es igual a [(𝑛 − 2) · 180°], donde n es el número de lados. 
✓ DIAGONAL: Son los segmentos que determinan dos vértices no consecutivos. El número de 
diagonales de un polígono es: [𝑛 · (𝑛 − 3) ∶ 2], siendo n igual al número de lados. Por 
ejemplo: En un cuadrado: [4 · (4 − 3) ∶ 2] = 2 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 
 
2.- CLASES DE POLÍGONOS 
 
 POLÍGONOS REGULARES: Es el que tiene sus ángulos y lados iguales. 
Los vértices de un polígono regular están circunscritos en una circunferencia 
 
ELEMENTOS DE UN POLÍGONO REGULAR 
 
✓ Centro: Punto interior que equidista de cada vértice 
✓ Radio: Es el segmento que va del centro a cada vértice. 
✓ Apotema: Distancia del centro al punto medio de un lado. 
✓ Ángulo central: Formado por 2 radios consecutivos. Si n es el número de lados de un 
polígono: Ángulo central = 360°: n. Por ejemplo: El ángulo central del pentágono regular es 
igual a 360°:5 = 72º 
✓ Ángulo interior: Formado por 2 lados consecutivos. Ángulo interior = 180° − Ángulo central. 
Por ejemplo: El ángulo interior del pentágono regular = 180° − 72º = 108º 
✓ Ángulo exterior: Es el formado por un lado y la prolongación de un lado 
consecutivo. Ángulo exterior del pentágono regular = 72º. Los ángulos 
exteriores e interiores son suplementarios, es decir, que suman 180º. 
 
 
 
40 
 
 
✓ Contorno del polígono: Es la línea poligonal que lo limita. 
✓ Lados del polígono: Segmentos rectilíneos que forman el contorno. 
✓ Vértices del polígono: Puntos donde se unen dos lados consecutivos del polígono. 
✓ Diagonal del polígono: Segmento que une dos vértices que no son consecutivos. 
 
 
 
 
 
 
CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS REGULARES 
 
 
 POLÍGONOS IRREGULARES: Son aquellos polígonos cuyos lados no son de igual longitud 
y/o sus vértices no están contenidos en una circunferencia. De acuerdo con el número de sus 
lados, se denominan: 
 
 
 
 
 
3.- PERÍMETROS Y ÁREAS DE LOS POLÍGONOS REGULARES 
 
El perímetro se obtiene sumando las longitudes de sus 
lados. En los polígonos regulares se obtiene multiplicando el 
número de lados por la longitud de uno de ellos. P = n • l 
La superficie o área se calcula dividiéndolo en triángulos, 
los que se obtienen uniendo el centro con cada uno de los 
vértices. 
 
 
41 
 
 
La altura de cada uno de los triángulos coincide con la 
apotema del polígono. Se calcula el área de uno de estos 
triángulos y se multiplica por el número de triángulos que se han 
formado. 
El área de un polígono regular es igual al producto de su 
perímetro por su apotema dividido entre dos. Esta fórmula permite calcular la apotema de cualquier 
polígono regular. 
 
4.- RESUMEN DE ELEMENTOS Y FÓRMULAS DE PERÍMETRO Y ÁREA 
 
 
 
42 
 
 
ACTIVIDADES 
32.- Determinar el lado de un triángulo equilátero cuyo perímetro es igual al de un 
cuadrado de 12 cm de lado. ¿Serán iguales sus áreas? 
 
33.- Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6 cm. 
 
34.- Determinar el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18,84 m. 
 
35.- El área de un cuadrado es 2304 cm2. Calcular el área del hexágono regular que tiene su mismo 
perímetro. 
 
36.- Calcula el área sombreada, sabiendo que el lado del cuadrado es 6 cm y el 
radio del círculo mide 3 cm. Recuerda la fórmula del área del círculo que es 
igual a 𝛑 ∙ 𝐫𝟐, siendo r la medida del radio. 
 
 
TEMA N° 4: FÓRMULAS DE VOLUMEN DE ALGUNOS CUERPOS GEOMÉTRICOS 
 
 
 VOLUMEN: Es la medida del espacio que ocupa un cuerpo. La medida universal del volumen 
es el metro cúbico (m3), existiendo los múltiplos y submúltiplos de esta medida. 
 CAPACIDAD: Es la medida del volumen que puede contener un cuerpo. 
 
Como en general estas medidas son iguales, se suele calcular la capacidad mediante la 
fórmula del volumen. 
 
 GENERATRIZ DEL CILINDRO: El cilindro es un cuerpo de revolución generado por un 
rectángulo al girar en torno a uno de sus lados. La generatriz es la altura del cilindro y el lado 
opuesto. Por tanto, la altura del cilindro será igual a la generatriz: h = g; donde h es la altura 
y g es la generatriz 
 
 GENERATRIZ DEL CONO: El cono es un cuerpo de revolución generado por un triángulo 
rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos, la altura del cono y la hipotenusa será la 
generatriz. Por el teorema de Pitágoras la generatriz del cono será igual a: g2 = h2 + r2 
 
Donde: g = generatriz, h = altura, r = radio 
 
 
 
 
43 
 
 
 
 
ACTIVIDADES 
37.- Calcula el volumen, en centímetros cúbicos, de una habitación que tiene 5 m de largo, 40 dm 
de ancho y 2500 mm de alto. 
38.- Una piscina tiene 8 m de largo; 6 m de ancho y 1,5 m de profundidad. Se pinta la piscina a 
razón de $600 el metro cuadrado. ¿Cuánto costará pintarla? ¿Cuántos litros de agua serán 
necesarios para llenarla? 
 
 
44 
 
 
39.- Hallar la diagonal, el perímetro y el área del cuadrado: 
 
40.- Hallar la diagonal, el perímetro y el área del rectángulo: 
 
41.- Hallar el perímetro y el área del trapecio rectángulo: 
 
42.- Hallar el perímetro y el área del trapecio isósceles: 
 
43.- Hallar el perímetro y el área del triángulo equilátero: 
 
44.- Hallar el perímetro y el área del pentágono regular: 
 
45.- Hallar el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 5 cm de radio. 
 
 
45 
 
 
46.- Nota: Este ejercicio fue evaluado en el 3° EXAMEN FINAL del Ingreso 2022. NO UTILICE 
CALCULADORA PARA SU RESOLUCIÓN. 
En la siguiente figura el radio ( r ) es igual a 1 metro. Calcular el área sombreada sabiendo que h es 
igual a 6 veces el radio. Expresar el resultado en decímetros cuadrados. 
Dato que puede requerir: 𝝅 ≅ 𝟑, 𝟏𝟒 
 
 
47.- Nota: Este ejercicio fue evaluado en el 2° EXAMEN FINAL del Ingreso 2022. NO UTILICE 
CALCULADORA PARA SU RESOLUCIÓN. 
Analizar y resolver. En caso de ser necesario, aproximar por redondeo sólo el resultado final. 
Una empresa constructora de caminos ha ganado una licitación para la construcción de una ruta 
que tiene una orientación Oeste – Este. 
Esta ruta atraviesa una montaña de 2500 metros de altura, por lo que se debe construir un túnel a 
través de ella, al cual se ingresará por el lado Oeste y se saldrá por el Este. 
Usted como Jefe de Operaciones debe calcular la longitud de dicho túnel sabiendo que la montaña 
presenta un ángulo de inclinación entre su base y su lado Oeste (ladera de entrada al túnel) de 
63° 26’ 6’’; mientras que el ángulo de inclinación entre la base de la montaña y su lado Este (ladera 
de salida del túnel) es de 68° 11’ 55’’. 
a) Hacer un esquema de la situación e identificar en él los datos del problema. 
Gráfico 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
 
b) Calcular en kilómetros la longitud del túnel a construir 
 
Datos que puede requerir para la resolución: 
𝒔𝒆𝒏 𝟔𝟑° 𝟐𝟔′ 𝟔′′ = 𝟎, 𝟖𝟗𝟒𝟒 𝐜𝐨𝐬 𝟔𝟑° 𝟐𝟔′ 𝟔′′ = 𝟎, 𝟒𝟒𝟕𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝟔𝟑° 𝟐𝟔′ 𝟔′′ = 𝟐, 𝟎𝟎𝟎𝟎 
𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟖° 𝟐𝟏′ 𝟓𝟗′′ = 𝟎, 𝟕𝟒𝟕𝟒 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝟖° 𝟐𝟏′ 𝟓𝟗′′ = 𝟎, 𝟔𝟔𝟒𝟑 𝐭𝐚𝐧 𝟒𝟖° 𝟐𝟏′ 𝟓𝟗′′ = 𝟏, 𝟏𝟐𝟒𝟗 
𝒔𝒆𝒏 𝟔𝟖° 𝟏𝟏′ 𝟓𝟓′′ = 𝟎, 𝟗𝟐𝟖𝟒 𝐜𝐨𝐬 𝟔𝟖° 𝟏𝟏′ 𝟓𝟓′′ = 𝟎, 𝟑𝟕𝟏𝟑 𝐭𝐚𝐧 𝟔𝟖° 𝟏𝟏′ 𝟓𝟓′′ = 𝟐, 𝟓𝟎𝟎𝟎 
 
Respuesta 
 
 
 
 
 
47 
 
Baeza, Á., Fehrman, P., Rodríguez, C., Molina, R., Norambuena, A., Venegas, S. y Villena, M. (2014). 
Aritmética y Álgebra. Manual esencial. Santillana, Tomo I. 
 
Baldor, Aurelio (1980). Álgebra. Madrid, España, Cultural Centroamericana SA. 
 
Berruti, Pedro (1969). “Manual de ingreso en primeraño: Matemáticas y Castellano”, 46° edición, Buenos 
Aires, Argentina, Editorial Escolar, Volumen I, 235 páginas. 
 
Cabrera, Mauricio y Valdés, Katherina (2013). Guía de Aprendizaje N° 2: Razones y Proporciones, primer 
nivel o ciclo de educación media para personas Jóvenes y Adultas, Ministerio de Educación, Gobierno de 
chile. 
 
Centro para la Innovación y Desarrollo de la Educación a Distancia. Matemáticas. 23/07/2020 
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Chorny, F., Krimker, G. y Salpeter, C. (2005). Pitágoras 8 Matemática, Proyecto Mundo para todos, 
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Corrías, Celina, Gei, Carina, Herrera, Héctor, Julián, Francisca y Rodríguez, María Cecilia (2019). Módulo 
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Universidad Nacional de Cuyo, Mendoza, Argentina. 
 
Greco de Laugero, Cecilia, Guevara Molina, Silvia y Zaragoza de Cueto, Liliana (1993). Haciendo… 
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Nuñez, Pamela y Ramírez, Manuel (2009). Apuntes de preparación para la prueba de selección 
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Seveso de Larotonda, J., Wykowski, A., Ferrarini, G., Matemática 8 EGB 1er Año, Serie Vértices, Kapelusz. 
 
Videos recuperados de: 
Matemáticas Profe Alex: https://www.youtube.com/channel/UCanMxWvOoiwtjLYm08Bo8QQ 
Matemáticas con Grajeda: https://www.youtube.com/channel/UCX-9il8XGlV6kkrIVyTdWQQ 
JulioProfe: https://www.youtube.com/channel/UCIkCzk3ezlAxX5r2OFlHLaQ 
Tuto mate: https://www.youtube.com/channel/UC4w7epYKiuMvFuBBpTh97IA 
Educatina: https://www.youtube.com/channel/UCvYgy9xNtl7jeJAdzppgK8g 
Gominol Tree Matemáticas: https://www.youtube.com/channel/UCKyv3xEV-pK9BnKPAwxyE5g 
Portaleducativo.net https://portaleducativo.net/ 
https://www.youtube.com/channel/UCanMxWvOoiwtjLYm08Bo8QQ
https://www.youtube.com/channel/UCX-9il8XGlV6kkrIVyTdWQQ
https://www.youtube.com/channel/UCIkCzk3ezlAxX5r2OFlHLaQ
https://www.youtube.com/channel/UC4w7epYKiuMvFuBBpTh97IA
https://www.youtube.com/channel/UCvYgy9xNtl7jeJAdzppgK8g
https://www.youtube.com/channel/UCKyv3xEV-pK9BnKPAwxyE5g
https://portaleducativo.net/
 
 
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Última fecha de acceso: 09/10/2022.