X_Sem13

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��������������
Radio
Polonio
Semana 13
Álgebra
Anual Virtual UNI Álgebra
El teorema de Cardano también funciona 
para ecuaciones de grado mayor o igual 
a 4.
Sea a0xn + a1xn –1 + a2xn – 2 + ... + an = 0
de raíces x1; x2; x3; ...; xn
se cumple
 x x x x
a
an1 2 3
1
0
+ + + + = −...
 x x x x x x
a
an n1 2 1 3 1
2
0
+ + + =−

...
 x x x x
a
an
n
n
1 2 3
0
1
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
−( )
...
 
Ejemplo
Sea la ecuación polinomial
3x4 + 7x3 + 2x2 – x + 4 = 0
de raíces x1; x2; x3 y x4, entonces
 x x x x1 2 3 4
7
3
+ + + = −
 x x x x x x1 2 1 3 3 4
2
3
+ + + =...
 x x x x x x1 2 3 2 3 4
1
3
+ + =...
 x x x x1 2 3 4
4
3
=
Observación
semana
13
Ecuaciones polinomiales II
TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL ÁLGEBRA
Toda ecuación polinomial de grado n ≥1, con coeficientes comple-
jos, posee al menos una raíz compleja.
Corolario
Toda ecuación polinomial de grado n ≥1, con coeficientes comple-
jos, tiene exactamente n raíces.
Ejemplo
Sea la ecuación polinomial
 (x – 4)(x+3)2(x – 7)3=0
Como la ecuación es de grado 6, tendrá 6 raíces; entonces
 x x x x x x−( ) +( ) +( ) −( ) −( ) −( ) =4 3 3 7 7 7 0
0 0 0 0 0 0
������������������
 x1 4 4= } es raíz simple.
 
x
x
2
3
3
3
3
= −
= −



− es raíz doble o de multiplicidad 2.
 
x
x
x
4
5
6
7
7
7
=
=
=





7 es raíz triple o de multiplicidad 3.
TEOREMAS DE CARDANO
Sea la ecuación ax3+bx2+cx+d=0; a ≠ 0 de raíces x1; x2 y x3. Se 
cumple que
x x x
b
a1 2 3+ + =
−
 
x x x x x x
c
a1 2 1 3 2 3+ + =
 
x x x
d
a1 2 3⋅ ⋅ = −
Ejemplo
Sea la ecuación 2x3+5x – 7x – 8=0 de raíces x1; x2 y x3. Entonces
 x x x x x x x x x x x x1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3
5
2
7
2
8
2
4+ + = − + + = − = =
 
Material Didáctico Academia CÉSAR VALLEJO
Si x1; x2; x3 son las raíces de la ecuación
 ax3 + bx2 + cx + d = 0; ad ≠ 0
entonces
 
1 1 1
1 2 3x x x
; ;
son las raíces de la ecuación 
 dx3 + cx2 + bx + a = 0; ad ≠ 0
Ejemplo
Si x1; x2; x3 son las raíces de la ecuación
 2x3 + 7x2 – 4x + 6 = 0
entonces 
1 1 1
1 2 3x x x
; ; son las raíces de
 6x3 – 4x2 + 7x + 2 = 0
¡Sabia que...!
Dado P(x) de grado positivo, se dice que 
a es raíz de multiplicidad k si y solo si 
P(x)=(x – a)k q(x), tal que q(a) ≠ 0.
Ejemplo
Sea P(x) un polinomio donde 3 es raíz de 
multiplicidad 2, entonces
P(x) = (x – 3)2q(x), tal que q(3) ≠ 0.
¡Tenga en cuenta que...!
TEOREMAS DE PARIDAD DE RAÍCES
1. En toda ecuación polinomial de coeficientes racionales y 
grado n ≥ 2, se cumple que
a b+( ) es raíz ↔ a b−( ) es raíz ∧ a ∈ Q; b ∈I
 Ejemplo
 Sea una ecuación polinomial de coeficientes racionales de 
grado n ≥ 2, donde
 • si 1 2+ es raíz, entonces 1 2- también es raíz.
 • si 2 3- es raíz, entonces 2 3+ también es raíz.
 • si 7 es raíz, entonces - 7 también es raíz.
2. En toda ecuación polinomial de coeficientes reales y grado 
n ≥ 2, se cumple que
(a+bi) es raíz ↔ (a – bi) es raíz; b ≠ 0; a; b ∈ R
 Ejemplo
 Sea una ecuación polinomial de coeficientes reales de grado 
n ≥ 2, donde
 • si 2+3 i es raíz, entonces 2 – 3 i también es raíz.
 • si 1– i es raíz, entonces 1+i también es raíz.
 • si 4 i es raíz, entonces – 4 i también es raíz.
3. En toda ecuación polinomial de coeficientes racionales y grado 
n ≥ 4, se cumple que
a b−( )
a b+( ) es raíz ↔ − +( )a b son raíces; a y b ∈ I
− −( )a b
 Ejemplo
 Sea una ecuación polinomial de coeficientes fraccionales y de 
grado n ≥ 4, donde
 2 3-
 • si 2 3+ es raíz, entonces − +2 3 también son raíces.
 - -2 3
Anual Virtual UNI Álgebra
Problemas resueltos
1. Si a, b y q son raíces de la ecuación
 2x3+10x2+5x – 4=0
 calcule E = + +
α
βθ
β
αθ
θ
αβ
.
 Resolución
 En E =
+ +α β θ
αβθ
2 2 2
 (I)
 por el teorema de Cardano
 α β θ+ + = − = −
10
2
5
 Elevamos al cuadrado
 α β θ αβ αθ βθ2 2 2 2
5
2
25+ + + + +( ) =� ��� ���
 a2+b2+q2+5=25
 → a2+b2+q2=20 ∧ αβθ =
− −( )
=
4
2
2
 Reemplazamos en (I)
 ∴ E = =
20
2
10
2. Dada la ecuación x3 – 8x2+ax+b=0, determine
 el valor de b2 si 
3
3 6-
 es raíz de esa ecuación.
 Resolución
 Racionalizamos la raíz.
 3
3 6
3
3 6
3 6
3 6
3 3 6
3
3 6
−
=
−( )
+( )
+
=
+( )
= +
 Sean las raíces de la ecuación x1; x2 y x3, donde 
 x1 3 6= + (dato)
 x2 3 6= − (por paridad)
 Por el teorema de Cardano tenemos
 • x x x1 2 3
8
1
+ + =
− −( )
��� ��
 6+x3=8 → x3=2
 • x x x
b
1 2 3 1
= −
 3 6 3 6 2+( ) −( )( ) = −b
 6= – b
 – 6=b
 ∴ b2=36
3. Sea la ecuación 2x3+mx2+nx+14=0; m, n ∈ R, 
donde 2 3- i es raíz. Calcule (m – n)2.
 Resolución
 Sean las raíces de la ecuación x1; x2 y x3, donde
 x i1 2 3= − (por dato)
 x i2 2 3= + (por paridad)
 Por el teorema de Cardano
 x x x1 2 3
14
2
⋅ ⋅ = −
 2 3 2 3 73−( ) +( ) = −i i x
 2 3 72 2
3+( ) = −x
 7x3= – 7
 → x3= – 1
 Como – 1 es raíz, reemplazamos en la ecuación
 2x3+mx2+nx+14=0
 2( – 1)3+m( – 1)2+n( – 1)+14=0
 – 2+m – n+14=0
 m – n= – 12
 ∴ (m – n)2=144
Academia CÉSAR VALLEJO Material Didáctico 
4. Se sabe que la ecuación 
 ax3+bx2 – 4x+1=0 tiene 
 CS ; ;=
+ +





n
n
n
n
2
2
22 2
2
1
 Indique la mayor raíz.
 Resolución
 Invirtiendo los coeficientes de la ecuación
 x3 – 4x2+bx+a=0
 ahora su 
 CS ; ;=
+ +






n
n n
n
2
2 22
2
2
raíces
� ���� ����
 Por Cardano
 
n
n n
n
2
2 22
2
2
4
1+
+
+
+ =
− −( )
� ��� ���
 raíces
 1+n=4
 n=3
 Reemplazamos en las raíces de la ecuación 
inicial.
 ax3+bx2 – 4x+1=0
 
n
n
n
n
2
2
22 11
9
2
2
11
2
1 1
3
+
=
+
= =; ;
 Por lo tanto, la mayor raíz es 11/2.
5. Si 1+ i es raíz de la ecuación
 x4+3x3+(m – 7)x2+mx+n=0; m, n ∈ R
 determine 3m+3n.
 Resolución
 Como 1+ i es raíz, entonces 1– i también es raíz.
 Al reconstruir la ecuación de raíces 1+i y 1 – i 
tenemos
 x2 – 2x+2=0
 Entonces x2 – 2x+2 es factor del polinomio 
x4+3x3+(m – 7)x2+mx+n, es decir, la división 
es exacta.
 Por el método de Horner
 
1 1 3 (m – 7) m n
2 2 – 2
– 2 10 –10
(2m+2) (– 2m – 2)
1 5 m+1 0 0
 Del esquema
 m – 10+2m+2=0 ∧ n – 2m – 2=0
 3m=8 n − − =
16
3
2 0
 m = 8
3
 n =
22
3
 3n=22
 ∴ 3m+3n=30
Anual Virtual UNI Álgebra
Práctica dirigida
1. Dada la ecuación polinomial de grado 5
 (x–2)2(x3+4x2–3x–18)=0
 Indique la secuencia correcta de verdad (V) o 
falsedad (F), de las proposiciones.
I. ∑raíces=0
II. ∑soluciones=–1
III. Producto de raíces=–72
IV. Producto de soluciones=–6
A) VVFF B) VVFV C) VVVV
D) FVVF E) VFFV
2. Dada la ecuación
 x m x p x nn m p−( ) ⋅ −( ) ⋅ −( ) = 0
 si la suma de soluciones es 8 y la suma de 
 raíces es 19, calcule m2+n2+p2.
A) 26 B) 25 C) 30
D) 31 E) 22
3. Indique la suma y producto de raíces irracio-
nales de la ecuación x3–12x2+46x–55=0.
A) –7; 11 B) 7; 11 C) 7; –11
D) 12; –55 E) 8; –7
4. Calcule la suma de soluciones de la ecuación 
cúbica
 (x+1)3+ (x+1)2–8x – 20=0
A) –1 B) 2 C) 8
D) 3 E) –6
5. Dada la ecuación cúbica
 x3–7x2+4x+5=0
 cuyas raíces son a; b y c, halle el valor de 
 
K
a
bc
b
ca
c
ab
= + +
A) - 41
5
 B) 
41
5
 C) 
49
5
D) - 49
5
 E) 
56
5
6. Dada la ecuación
 4x3 – 5x2+x – 2=0
 de raíces m, n y p, calcule
 4 5 1 4 5 1 4 5 12 2 2m m n n p p− +( ) + − +( ) + − +( )
A) 4 B) 3 C) 2
D) 1 E) 0
7. Sea la ecuación 2x3 – 8x2+ax+b=0, donde
 1 3+ es raíz y a, b ∈Q. Halle el valor de 
a
b
.
A) 1 B) 2 C) 1/2
D) – 2 E) –1
8. Calcule |Z|, si Z=m+ni es una de las raíces 
de la ecuación x3 – (2m+3)x2+px – 48=0, 
(m, n, p ∈R).
A) 2 B) 7 C) 3
D) 1 E) 4
9. Dada la ecuación
 2x4+bx3+cx2+dx+e=0, (b, c, d, e ∈Q),
 donde 5 2+ es una de sus raíces,
 determine el valor de b – e.
A) –18 B) 18 C) 10
D) –10 E) 12
10. Halle el polinomio P(x) de coeficientes raciona-
les de menor grado con raíces 1 y 1 2+ , y que 
además cumpla P(0)=1. Dé como respuesta la 
suma de coeficientes del polinomio.
A) –2 B) –1 C) 0
D) 1 E) 3
UNI 2019 - I
Academia CÉSAR VALLEJO Material Didáctico 
Práctica domiciliaria
1. Calcule coef. M x( )∑ si M(x)
 I. 2 es raíz simple.
 II. – 3 es raíz de multiplicidad2.
 III. 4 es raíz triple.
 IV. Su término independiente es 128.
 V. º[M]=6
A) 48 B) – 48 C) 20
D) – 24 E) – 20
2. Sea la ecuación
 (x – m)m ⋅ (x – n)n ⋅ (x – p)p=0
 donde la suma de raíces y soluciones son 30 
y 8, respectivamente. Determine la suma de 
productos binarios de sus soluciones.
A) 20 B) 17 C) 35
D) 10 E) 22
3. Determine la suma de cuartas de las raíces 
irracionales de la ecuación
 x3–3x2–ax+3a=0, a es un número primo
A) 2a B) 2 a C) 2a2+1
D) 2a2 E) 2 1a +
4. Sea la ecuación cúbica x3–4x2–31x+70=0. 
Calcule la suma de cuadrados de las soluciones 
positivas de la ecuación.
A) 53 B) 29 C) 74
D) 61 E) 50
5. Determine la suma y el producto de raíces no 
reales de la ecuación
 x3–11x2+30x–48=0
A) –3 y 6 B) 3 y –6 C) 5 y –6
D) 3 y 6 E) 11 y –48
6. Al resolver la ecuación cúbica
 2x3–3x2+15x–7=0, se obtiene
 CS={a; b; c}, b; c ⊂ C–R.
 Calcule el valor de b3+c3.
A) –21 B) –20 C) 20
D) 35 E) –65
7. Dada la ecuación cúbica
 (n – 3)xn – 4+ (2n –1)x2+nx+n+1=0
 determine el valor de la suma de productos bi-
narios de sus raíces.
A) 
1
2
 B) 
3
4
 C) - 3
4
D) - 7
4
 E) 
7
4
8. Dada la ecuación 
 5x3+4=3x2+9x
 de raíces m, n y p determine el valor de 
 
1 1 1
mn mp np
+ + .
A) 
3
4
 B) - 1
2
 C) - 3
4
D) 
1
2
 E) 1
9. Según la ecuación
 2x3+7x2 – px – 3=0, de raíces x1, x2 y x3
 calcule x x x x x x x x x1
2
2 3 1 2
2
3 1 2 3
3+ + .
A) - 21
4
 B) 
21
4
 C) - 7
2
D) - 21
2
 E) 1
10. Determine el valor de
 
5
5
p q+
 si x3 – 15x2+px+q=0
 tiene raíces en progresión aritmética.
A) 10 B) 20 C) 30
D) 40 E) 50
11. Si 3 2+( ) es una raíz de la ecuación cúbica
 x3–8x2+bx–14=0, a ∈ Q; halle b2.
A) 36 B) 121 C) 49
D) 225 E) 361
Anual Virtual UNI Álgebra
12. Sea 7+ i una raíz de la ecuación cúbica
 x3–16x2+78x–k=0, halle k.
A) –104 B) 104 C) 100
D) 125 E) –64
13. Si 3 2- es una de las raíces de la ecuación 
x3 – 7x2+mx+n=0, donde {m, n} ⊂ Q, calcule 
m+n.
A) 2 B) 4 C) 6
D) 8 E) 10
14. Sea la ecuación x3–ax2+bx–15=0, {a; b} ⊂ Q, 
donde 2– i es una de sus raíces. Calcule el va-
lor de a+b.
A) 17 B) 34 C) 36
D) 24 E) 39
15. Sea la ecuación
 x4+nx3+px2+qx+ r=0, (n, p, q, r ∈Q)
 Calcule n+ r si 7 5- es una de sus raíces.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
 
01 - A
02 - B
03 - D
04 - A
05 - D
06 - B
07 - E
08 - C
09 - A
10 - E
11 - E
12 - C
13 - C
14 - D
15 - D