Cálculo de Funciones Multivariadas

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<p>Universidad Abierta y a Distancia de México.</p><p>Licenciatura en Enseñanza de las Matemáticas</p><p>Cuarto semestre</p><p>Nombre de la Alumna: Rosa Mercedes Koyoc Aguilar</p><p>Nombre de la Maestro: Miguel Ángel Huerta Vázquez</p><p>Matricula: ES172005055</p><p>Unidad 1</p><p>Módulo 7: Calculo de varias variables y</p><p>ecuaciones diferenciales ordinarias</p><p>Actividad 1</p><p>Módulo 7</p><p>Unidad 1. Cálculo Vectorial</p><p>Actividad 1. Las funciones nos cuentan su historia</p><p>Indicaciones:</p><p>Antes de enviar tu actividad al docente, verifica que el producto o desempeño corresponda a los</p><p>criterios establecidos a evaluar.</p><p>1. Revisa tu actividad y determina el nivel que mejor se ajusta a tu trabajo de acuerdo con los criterios</p><p>solicitados. Luego, suma la puntuación de todos los criterios presentados.</p><p>2. Adjunta tu instrumento contestado con tu actividad al apartado en plataforma.</p><p>3. El docente retroalimentará la actividad con el propósito de identificar áreas de oportunidad y anotará</p><p>observaciones según sea el caso.</p><p>4. Atiende las observaciones con la finalidad de que puedas mejorar y enviar una segunda versión de tu</p><p>producto o desempeño.</p><p>Investigar lo siguiente (anexar las fuentes en las referencias APA de estas investigaciones):</p><p>• Definición de función escalar de varias variables.</p><p>• Definición de función vectorial de varias variables.</p><p>• Definición de continuidad de una función</p><p>• Cómo se calcula la derivada parcial de una función escalar y vectorial</p><p>• Cómo encontrar el límite de una función escalar usando el método de trayectorias</p><p>• Como encontrar el límite de una función vectorial</p><p>• Cómo encontrar la ecuación del plano tangente da una ecuación escalar.</p><p>• Cómo encontrar la longitud de curva y el vector de una función vectorial.</p><p>Dadas las funciones:</p><p>1. 𝒇(𝒙, 𝒚) =</p><p>𝒙𝟐+𝒚𝟐</p><p>𝒙</p><p>2. 𝒓(𝒕) = (𝒔𝒆𝒏𝒕, 𝒄𝒐𝒔𝒕, 𝒕)</p><p>• Identificar cuál de las funciones es vectorial y cual es escalar</p><p>• Encontrar para cada una de las funciones sus puntos de discontinuidad</p><p>• Encontrar el vector gradiente en el punto (1,2) para la función 1.</p><p>• Realizar la gráfica de las dos funciones en algún software, dar al menos 3 vistas de cada una</p><p>de las funciones.</p><p>Contestar las siguientes preguntas</p><p>• ¿Cuáles son las diferencias entre las funciones escalares y las vectoriales?</p><p>• En qué situación se podrían aplicar las funciones escalares y las vectoriales.</p><p>Investigar lo siguiente (anexar las fuentes en las referencias APA de estas investigaciones):</p><p>• Definición de función escalar de varias variables.</p><p>Funciones escalares: Si m = 1 (como ocurre en el ejemplo, f: R 3 → R, f (x1, x2, x3) = x 3 1 + 2 cos (x2 + x3) se</p><p>dice que la función es una función escalar de n variables reales. Es habitual en esta situación denotar a la</p><p>función sin utilizar el símbolo de vector. Toda función no escalar (función vectorial) se compone entonces</p><p>de varias (exactamente m) funciones escalares componentes: si f (x1, . . ., xn) = (y1, . . ., y m), entonces</p><p>evidentemente yj = fj (x1, . . ., xn), con j = 1, . . ., m, son las m funciones escalares componentes de la función</p><p>vectorial si f. Utilizaremos a menudo la notación f ≡ (f1, . . ., fm) para representarlas</p><p>• Definición de función vectorial de varias variables.</p><p>Definición. Sea F: D ⊂ R n → R m una función definida sobre un conjunto D ⊂ R n. Se dice que F es una</p><p>función vectorial de varias variables. Si F hace corresponder a un vector X = (x1, x2, ..., xn) ∈ D un único</p><p>vector Y ∈ R m tal que Y = F(X) = (F1(X), F2(X), ..., Fm(X)). A las funciones Fi: D ⊂ R n → R se les llama funciones</p><p>coordenadas. Si n = m, la función F se llama CAMPO VECTORIAL (en R n).</p><p>• Definición de continuidad de una función</p><p>En términos sencillos, puede decirse que una función real de variable real es continua en un intervalo</p><p>cuando se puede dibujar sobre el papel a lo largo de dicho intervalo sin levantar el lápiz. La descripción</p><p>matemática de esta idea intuitiva recurre al uso de la noción de límite.</p><p>Continuidad de una función</p><p>Se dice que una función f(x) es continua en un punto a, si y sólo, si se verifican las condiciones siguientes:</p><p>• La función existe en a.</p><p>• Existe límite de f(x) cuando x tiende a a.</p><p>• El valor de la función en el punto y el límite en dicho punto son iguales:</p><p>lim</p><p>𝑥→𝑎</p><p>𝑓 (𝑥) = 𝑓(𝑎)</p><p>Cuando no se cumple alguna de las anteriores condiciones, se dice que la función es discontinua en el</p><p>punto.</p><p>Por otra parte, se considera que la función es continua en un intervalo (a, b) cuando es continua en todo</p><p>punto x, tal que a < x < b.</p><p>Ejemplo de función continua.</p><p>La función de la figura es discontinua en el punto x = 1.</p><p>• Cómo se calcula la derivada parcial de una función escalar y vectorial</p><p>Función derivada parcial de una función escalar</p><p>Descripción:</p><p>Dada una función escalar, f: A⊆Rn⟶ℜ, definimos la función derivada parcial primera de f respecto de la</p><p>variable xi, como función escalar que a cada punto x∈A le hace corresponder la derivada</p><p>parcial de f respecto de la variable xi en ese punto:</p><p>∂f</p><p>∂xi</p><p>(𝑥).</p><p>Descriptores: Funciones de varias variables</p><p>Derivada</p><p>Funciones</p><p>Ejemplo:</p><p>Dada la función escalar, f: A⊆R2⟶ℜ, definida por 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 3𝑥𝑦, calcular la función derivada</p><p>parcial de f respecto a x,</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>(𝑥, 𝑦)</p><p>La función derivada parcial se obtiene derivando 𝑓(𝑥, 𝑦) respecto de la variable x, considerando la otra</p><p>variable (la y) como constante:</p><p>𝛛𝐟</p><p>𝛛𝐱</p><p>(𝒙, 𝒚) = 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚</p><p>Derivadas parciales de funciones vectoriales de más de una variable</p><p>Definición:</p><p>Donde P, Q , R son las funciones escalares de x, y, z se llaman componentes de</p><p>La derivada parcial de de nuestro vector f con respecto a x se define por:</p><p>x = =</p><p>Siempre que exista el límite.</p><p>De igual manera definimos las derivadas parciales de f para z e y:</p><p>x</p><p>= z</p><p>y= =</p><p>Siempre que existan los límites.</p><p>Teorema:</p><p>Sea</p><p>Las derivadas parciales de orden superior se pueden definir de la siguiente manera.</p><p>xx= =</p><p>xy= = xz= =</p><p>=</p><p>yy= =</p><p>yx= = yz= =</p><p>zz= =</p><p>zx= = zy= =</p><p>REGLAS DE LAS DERIVADAS PARCIALES DE FUNCIONES VECTORIALES.</p><p>Sean funciones vectoriales diferenciables de x, y, z y φ es una función escalar</p><p>diferenciable de x, y, z entonces.</p><p>• Cómo encontrar el límite de una función escalar usando el método de trayectorias</p><p>Límite direccional (o límite según trayectorias rectilíneas) de una función escalar</p><p>Descripción:</p><p>Dada una función escalar de dos variables f:A⊆R2⟶R, definimos el límite de f en el punto (a,b) según la</p><p>dirección de la recta que pasa por el punto (a,b) y tiene la pendiente m, como sigue:</p><p>Lim f(x,y)=: lim f (x,b+m(x−a))</p><p>(x,y)→(a,b) x→a</p><p>y−b= m(x−a)</p><p>Descriptores: Funciones de varias variables</p><p>Funciones</p><p>Ejemplo:</p><p>Dada una función escalar de dos variables f:A⊆R2⟶ℜ, definida por 𝑓(𝑥, 𝑦) =</p><p>4𝑥2−4𝑥𝑦+𝑦2</p><p>2𝑥</p><p>buscar</p><p>su límite según la dirección de la recta paralela a la bisectriz del primer cuadrante en el punto (1,2).</p><p>a. La ecuación de la bisectriz del primer cuadrante es y=x, y su pendiente es m=1. Así la ecuación de la</p><p>recta paralela a la bisectriz que pasa por el punto dado</p><p>es: y−2=m(x−1)=x−1, es decir, y=x+1</p><p>b. Aplicamos la fórmula anterior.</p><p>Lim f(x, y)=: lim f (x, b +m(x−a))</p><p>(x, y)→(a, b) x→ a</p><p>y−b=m(x−a)</p><p>𝑙𝑖𝑚</p><p>4𝑥2−4𝑥𝑦+𝑦2</p><p>2𝑥</p><p>= lim</p><p>4𝑥2−4𝑥(𝑥+1)+(𝑥+1)2</p><p>2𝑥</p><p>=</p><p>4.12−4.1.(1+1)+(1+1)2</p><p>2.1</p><p>= 0</p><p>(x, y)→(1,2) x→1</p><p>y−2=x−1</p><p>• Como encontrar el límite de una función vectorial</p><p>La noción fundamental de límite de una función vectorial se define en términos de los límites de las</p><p>funciones componentes.</p><p>Si existen los límites de f(t), g(t), h(t) cuando t -> a, entonces:</p><p>lim r(t) = lim f(t) i + lim g(t) j + lim h(t) k cuando t -> a</p><p>Ejemplos de límites de funciones vectoriales:</p><p>r(t)= xi + yj = 2t i + t2 j</p><p>Entonces:</p><p>lim ( 2t i + t2 j ) = 2 i + j cuando t -> 1</p><p>r(t)= xi + yj = [3 + 2 Sin(t)] i + [2 + Cos(t)] j</p><p>Entonces:</p><p>lim [3 + 2 Sin(t)] i + [2 + Cos(t)] j = 1.5858 i + 2.7071 j</p><p>cuando t -> 5.4978</p><p>Un tipo de límite muy importante es el que nos da la derivada de una función:</p><p>La derivada de una función vectorial r(t) es:</p><p>r ' (t) = lim [ r (t + deltat ) - r (t) ] cuando deltat -> 0</p><p>deltat</p><p>Ejemplos:</p><p>1) (t) = 4cos t + 3sen t</p><p>2) (t) = cos 2t + sen t</p><p>3) (t) = (5cos t - cos5t) + (5sen t - sen5t)</p><p>En los tres ejemplos anteriores el vector [ r ( t + deltat ) - r( t) ] / deltat tiende a un vector único</p><p>cuando deltat -> 0, y ése vector es Tangente a la curva.</p><p>Este es un resultado muy importante:</p><p>El vector r ' (t0) es TANGENTE a la curva descrita por r(t) en el punto con vector de posición r(t0).</p><p>Para encontrar la derivada de una función vectorial r (t) nos es muy útil el siguiente teorema.</p><p>Teorema</p><p>Si r(t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k en donde f, g, h son funciones diferenciables, entonces:</p><p>r ' (t) = f '(t) i + g '(t) j + h'(t) k</p><p>El teorema nos dice que, para encontrar la derivada de una función vectorial, basta derivar cada una</p><p>de sus componentes.</p><p>• Cómo encontrar la ecuación del plano tangente da una ecuación escalar.</p><p>Qué vamos a construir</p><p>• Un plano tangente a una función de dos variables, 𝑓(𝑥, 𝑦) es un plano que es tangente a su gráfica.</p><p>• La ecuación del plano tangente de la gráfica de una función de dos variables 𝑓(𝑥, 𝑦) en un punto</p><p>particular (x0,y0) se ve así:</p><p>T(x,y)=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)</p><p>La tarea inmediata</p><p>Piensa acerca de una función escalar con una entrada con dos coordenadas, como esta:</p><p>𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥2 − 𝑦2 + 3</p><p>De manera intuitiva, es común visualizar una función como esta con su gráfica tridimensional.</p><p>Esta gráfica se describe como un conjunto de puntos en el espacio tridimensional. Específicamente, son</p><p>todos los puntos que se ven así:</p><p>(𝑥, 𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦)) = (𝑥, 𝑦, −𝑥2 − 𝑦2 + 3)</p><p>Aquí, 𝑥 𝑦 𝑦 pueden estar en todos los números reales.</p><p>Un plano tangente a esta gráfica es un plano que es tangente a la gráfica.</p><p>Representar los planos como gráficas</p><p>Bueno, en primer lugar, ¿qué funciones 𝑔(𝑥, 𝑦) tienen gráficas que se ven como planos?</p><p>Un plano que pasa por (2, 2, 2)</p><p>La pendiente de un plano en cualquier dirección es constante sobre todos los valores de entrada, así que</p><p>ambas derivadas parciales gx, gy, tendrían que ser constantes. Las funciones con derivadas parciales</p><p>constantes se ven así:</p><p>𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐</p><p>Aquí, a, b y c son constantes. Estas se llaman funciones lineales. Bueno, técnicamente, son funciones</p><p>afines ya que las funciones lineales deben pasar por el origen, pero es común llamarlas funciones lineales</p><p>de todos modos.</p><p>Pregunta: ¿cómo puedes garantizar que la gráfica de una función lineal pase por un punto particular (x0,</p><p>y0, z0) en el espacio?</p><p>Una manera limpia de lograrlo es escribir la función lineal como</p><p>g (x, y) =a(x−x0) +b(y−y0) +z0</p><p>Escribir 𝑔(𝑥, 𝑦) =de esta manera hace claro que g (x0, y0) =z0. Esto garantiza que la gráfica de g pase</p><p>por (x0, y0, z0)</p><p>(x0, y0, g (x0, y0)) = (x0, y0, z0)</p><p>Las otras constantes a y b pueden ser cualquier valor que queramos. Diferentes opciones de a y b resultan</p><p>en diferentes planos que pasan por el punto (x0, y0, z0).</p><p>La ecuación de un plano tangente</p><p>Queremos una función T (x, y) que represente un plano tangente a la gráfica de alguna función f (x, y) el</p><p>punto (x0, y0, f (x0, y0)) por lo que sustituimos f (x0, y0) f, para z0 en la ecuación general del plano.</p><p>T (x, y) =f (x0, y0) +a(x−x0) +b(y−y0)</p><p>A medida que ajustas los valores de a y b esta ecuación dará varios planos que pasan por la gráfica de f</p><p>en el punto deseado, pero solo uno de ellos va a ser un plano tangente.</p><p>De todos los planos que pasan por ((x0, y0, f (x0, y0)), aquel tangente a la gráfica de f tendrá las mismas</p><p>derivadas parciales que f. Gratamente, las derivadas parciales de nuestra función lineal están dadas por</p><p>las constantes ay b.</p><p>• Toma las derivadas parciales de la ecuación para la expresión T (x, y)</p><p>Por lo tanto, a=fx(x0, y0) y b=fy(x0,y0) garantizará que las derivadas parciales de nuestra función</p><p>lineal T coincidan con las derivadas parciales de f. Bueno, por lo menos van a coincidir para la entrada (x0</p><p>,y0), pero ese es el único punto que nos importa. Al poner todo esto junto, obtenemos una fórmula útil</p><p>para el plano tangente.</p><p>T(x,y)=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)</p><p>Ejemplo 1</p><p>Determinar la ecuación del plano tangente a la superficie de ecuación 𝒛 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙𝒚 + 𝟐𝒚 − 𝟐</p><p>en el punto p (1,2,3)</p><p>Hallar las derivadas parciales de [</p><p>𝜕𝑧</p><p>𝜕𝑥</p><p>]</p><p>𝑝</p><p>= −2; [</p><p>𝜕𝑧</p><p>𝜕𝑦</p><p>]</p><p>𝑝</p><p>= 4</p><p>Luego la ecuación del plano tangente en el punto p (1,2,3) es:</p><p>𝑧 − 𝑧0 = (</p><p>𝜕𝑧</p><p>𝜕𝑥</p><p>)</p><p>𝑝</p><p>(𝑥 − 𝑥0) + (</p><p>𝜕𝑧</p><p>𝜕𝑦</p><p>)</p><p>𝑝</p><p>(𝑦 − 𝑦0) → 𝑧 − 3 = −2(𝑥 − 1) + 4(𝑦 − 2)</p><p>O bien, simplificando 𝑧 = −2𝑥 + 4𝑦 − 3 simplificando</p><p>Ejemplo 2</p><p>Hallar la ecuación del plano tangente al paraboloide 𝒛 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐en el punto p (2,-1,5)</p><p>Encuentre las derivadas parciales de</p><p>𝜕𝑧</p><p>𝜕𝑥</p><p>= 2𝑥;</p><p>𝜕𝑧</p><p>𝜕𝑦</p><p>= 2𝑦</p><p>En el punto p (2,-1,5) las derivadas parciales son: [</p><p>𝜕𝑧</p><p>𝜕𝑥</p><p>]</p><p>𝑝</p><p>= 4; [</p><p>𝜕𝑧</p><p>𝜕𝑦</p><p>]</p><p>𝑝</p><p>= −2</p><p>Luego la ecuación del plano tangente en el punto p (2,-1,5) es:</p><p>𝑧 − 𝑧0 = (</p><p>𝜕𝑧</p><p>𝜕𝑥</p><p>)</p><p>𝑝</p><p>(𝑥 − 𝑥0) + (</p><p>𝜕𝑧</p><p>𝜕𝑦</p><p>)</p><p>𝑝</p><p>(𝑦 − 𝑦0) → 𝑧 − 5 = 4(𝑥 − 2) − 2(𝑦 + 1)</p><p>O bien, simplificando 𝑧 = 4𝑥 − 2𝑦 − 5</p><p>• Cómo encontrar la longitud de curva y el vector de una función vectorial.</p><p>Instrucciones: Grafica las curvas siguientes y evaluar su longitud.</p><p>Ejercicio: 1.1</p><p>http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=x=e%5Et%20cost,%20y=e%5Etsent,%200%5Cleq%20t%5Cgeq%5Cpi</p><p>Obtener las derivadas de las funciones x y y.</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑑𝑡</p><p>(𝑒𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡)</p><p>𝑑𝑥 = 𝑒𝑡(𝑠𝑒𝑛𝑡 + 𝑐𝑜𝑠𝑡)𝑑𝑡</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑡</p><p>(𝑒𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡)</p><p>𝑑𝑥 = 𝑒𝑡(𝑠𝑒𝑛𝑡 + 𝑐𝑜𝑠𝑡)</p><p>Aplicar y resolver la integral para la longitud de arco.</p><p>Evaluación de F:</p><p>Gráfica:</p><p>https://sites.google.com/site/calculovectorialnum3/unidad-2/2-1-longitud-de-alco/CodeCogsEqn.gif?attredirects=0</p><p>https://sites.google.com/site/calculovectorialnum3/unidad-2/2-1-longitud-de-alco/1.1_nuevo_evaluacion.gif?attredirects=0</p><p>Funciones Vectoriales</p><p>Cabe comenzar con que la gráfica de una función vectorial siempre es una curva.</p><p>Este tipo de funciones asignan vectores a números reales. y he aquí la definición:</p><p>DEFINICION DE FUNCION VECTORIAL</p><p>Una función de la forma</p><p>𝑟 (𝑡) = 𝑓(𝑡)𝑖 + 𝑔(𝑡)𝑗 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜.</p><p>O</p><p>𝑟 (𝑡) = 𝑓(𝑡)𝑖 + 𝑔(𝑡)𝑗 + ℎ(𝑡)𝑘 𝐸𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜.</p><p>Es una función vectorial donde las funciones componentes f, g y h son funciones del parámetro t.</p><p>algunas veces, las funciones vectoriales se denotan como</p><p>𝑟 (𝑡) = 𝑓(𝑡) , 𝑔(𝑡) 𝑜 𝑟 (𝑡) = 𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡)</p><p>, ℎ(𝑡)</p><p>https://sites.google.com/site/calculovectorialnum3/unidad-2/2-1-longitud-de-alco/graph_1.1_800x355.jpg?attredirects=0</p><p>Técnicamente, una curva en el plano o en el espacio consiste en una colección de puntos y ecuaciones</p><p>paramétricas que la definen. Dos curvas diferentes pueden tener la misma gráfica. Por ejemplo, cada una</p><p>de las curvas dadas por</p><p>tiene como gráfica el círculo unidad o unitario, pero estas ecuaciones no representan la misma curva</p><p>porque el círculo está trazado de diferentes maneras.</p><p>Es importante asegurarse de ver la diferencia entre la función vectorial r y las funciones reales ƒ, g y h.</p><p>Todas son funciones de la variable real t, pero r(t) es un vector, mientras que ƒ(t), g(t) y h(t) son números</p><p>reales (para cada valor específico de t).</p><p>Las funciones vectoriales juegan un doble papel en la representación de curvas. Tomando como</p><p>parámetro t, que representa el tiempo, se puede usar una función vectorial para representar el</p><p>movimiento a lo largo de una curva. O, en el caso más general, se puede usar una función vectorial para</p><p>trazar la gráfica de una curva. En ambos casos, el punto final del vector posición r(t) coincide con el punto</p><p>(x, y) o (x, y, z) de la curva dada por las ecuaciones paramétricas, como en la figura:</p><p>La punta de flecha en la curva indica la orientación de la curva apuntando en la dirección de valores</p><p>crecientes de t. A menos que se especifique otra cosa, se considera que el dominio de una función</p><p>vectorial r es la intersección de los dominios de las funciones componentes ƒ, g y h. Por</p><p>ejemplo, el dominio de es el intervalo (0,1].</p><p>https://sites.google.com/site/glenmedimon/quinto-parcial/funciones-vectoriales/poor.png?attredirects=0</p><p>https://sites.google.com/site/glenmedimon/quinto-parcial/funciones-vectoriales/vvvvvvvvvvvvvvvbbbbbbbbbbbbbbbbbb.png?attredirects=0</p><p>https://sites.google.com/site/glenmedimon/quinto-parcial/funciones-vectoriales/figure.png?attredirects=0</p><p>Dadas las funciones:</p><p>1. 𝒇(𝒙, 𝒚) =</p><p>𝒙𝟐+𝒚𝟐</p><p>𝒙</p><p>2. 𝒓(𝒕) = (𝒔𝒆𝒏𝒕, 𝒄𝒐𝒔𝒕, 𝒕)</p><p>• Identificar cuál de las funciones es vectorial y cual es escalar</p><p>1. 𝑓(𝑥, 𝑦) =</p><p>𝑥2+𝑦2</p><p>𝑥</p><p>es una función escalar</p><p>2. 𝑟(𝑡) = (𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑡) es una función vectorial</p><p>• Encontrar para cada una de las funciones sus puntos de discontinuidad</p><p>1. 𝑓(𝑥, 𝑦) =</p><p>𝑥2+𝑦2</p><p>𝑥</p><p>= (0,0)</p><p>lim</p><p>𝑥→0</p><p>(lim</p><p>𝑦→0</p><p>𝑥2 + 𝑦2</p><p>𝑥</p><p>) = lim</p><p>𝑥→0</p><p>= 0</p><p>lim</p><p>𝑦→0</p><p>(lim</p><p>𝑥→0</p><p>𝑥2 + 𝑦2</p><p>𝑥</p><p>) = lim</p><p>𝑦→0</p><p>= 0</p><p>2. 𝑟(𝑡) = (𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑡)= (0,1,0)</p><p>lim 𝑆𝑒𝑛</p><p>𝑡→0</p><p>(𝑡) = 0</p><p>lim 𝐶𝑜𝑠</p><p>𝑡→0</p><p>(𝑡) = 1</p><p>lim</p><p>𝑡→0</p><p>(𝑡) = 0</p><p>• Encontrar el vector gradiente en el punto (1,2) para la función 1.</p><p>𝑓(𝑥, 𝑦) =</p><p>𝑥2 + 𝑦2</p><p>𝑥</p><p>𝑓(𝑥) =</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑥</p><p>=</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝑥 (𝑥2 + 𝑦2)(𝑥) −</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝑥 (𝑥)(𝑥2 + 𝑦2)</p><p>(𝑥)2</p><p>=</p><p>𝒙𝟐 − 𝒚𝟐</p><p>𝒙𝟐</p><p>𝑓𝑥(𝑝) =</p><p>𝑥2 − 𝑦2</p><p>𝑥2</p><p>=</p><p>(1)2 − (2)2</p><p>(1)2</p><p>=</p><p>1 − 4</p><p>1</p><p>= −3</p><p>𝑓(𝑦) =</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑦</p><p>=</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝑦 (𝑥2 + 𝑦2)(𝑥) −</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝑦 (𝑥)(𝑥2 + 𝑦2)</p><p>(𝑥)2</p><p>=</p><p>𝟐𝒚</p><p>𝒙</p><p>𝑓𝑦(𝑝) =</p><p>2y</p><p>x</p><p>=</p><p>2(2)</p><p>1</p><p>=</p><p>4</p><p>1</p><p>= 𝟒</p><p>Vector gradiente</p><p>𝛁𝒇(𝒑) = < 𝒇𝒙(𝒑), 𝒇𝒚(𝒑) ></p><p>< −𝟑, 𝟒) ></p><p>−𝟑𝒊 + 𝟒𝒋</p><p>• Realizar la gráfica de las dos funciones en algún software, dar al menos 3 vistas de cada una</p><p>de las funciones.</p><p>1. 𝒇(𝒙, 𝒚) =</p><p>𝒙𝟐+𝒚𝟐</p><p>𝒙</p><p>2. 𝒓(𝒕) = (𝒔𝒆𝒏𝒕, 𝒄𝒐𝒔𝒕, 𝒕)</p><p>Contestar las siguientes preguntas</p><p>• ¿Cuáles son las diferencias entre las funciones escalares y las vectoriales?</p><p>En matemática, un campo escalar asocia un valor escalar a cada punto en un espacio. El valor puede ser</p><p>un número matemático, o una cantidad física. Las funciones escalares son a menudo usadas en física, en</p><p>caso particular para indicar la distribución de temperatura a través del espacio, o la presión del aire.</p><p>Físicamente una función escalar representa la distribución espacial de una magnitud escalar.</p><p>Matemáticamente una función escalar es una función escalar de las coordenadas.</p><p>Las representaciones de estas funciones en un espacio tridimensional requieren cuatro dimensiones, por</p><p>lo que graficarlas resulta imposible en tres dimensiones, pero pueden usarse como herramientas de</p><p>optimización para modelado de casos donde intervienen distintas variables.</p><p>Una función escalar es una función real de varias variables en la que a cada punto de su dominio se le</p><p>asigna el valor que toma una determinada magnitud escalar sobre dicho punto,</p><p>𝒇: 𝑨 ⊂ ℝ𝟐 ⟶ ℝ</p><p>Ejemplos:</p><p>𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧): 𝑥𝑦 + 3𝑧</p><p>𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧): 4𝑥 −</p><p>𝑦</p><p>√𝑧2</p><p>+ 3</p><p>En matemáticas, una función vectorial representa la distribución espacial de una magnitud vectorial. Es</p><p>una expresión de cálculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio euclidiano, de la forma</p><p>𝜑: ℝ𝒏 ⟶ ℝ𝒎</p><p>Se utilizan en física, por ejemplo, para representar la velocidad y la dirección de un fluido en el espacio, o</p><p>la intensidad y la dirección de fuerzas como la gravitatoria o la fuerza electromagnética.</p><p>Como expresión matemática, las funciones vectoriales se definen en variedades diferenciables</p><p>como secciones del fibrado tangente de la variedad.</p><p>Una función vectorial es una función vectorial de varias variables en la que a cada punto de su dominio se</p><p>le asigna el vector correspondiente a una determinada magnitud vectorial que actúa sobre dicho punto.</p><p>𝒇: 𝑨 ⊂ ℝ𝟐 ⟶ ℝ𝟐</p><p>Ejemplos:</p><p>𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧): (3𝑥𝑧, 𝑥 − 𝑦, 𝑧 − 𝑦)</p><p>𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧): (4 sin(𝑥2𝑦) , √𝑧, 𝑦𝑥 − 𝑧)</p><p>https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas</p><p>https://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_vectorial</p><p>https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_vectorial</p><p>https://es.wikipedia.org/wiki/Vector_(f%C3%ADsica)</p><p>https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_euclidiano</p><p>https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica</p><p>https://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza</p><p>https://es.wikipedia.org/wiki/Gravedad</p><p>https://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza_de_Lorentz</p><p>https://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_(matem%C3%A1tica)</p><p>https://es.wikipedia.org/wiki/Secci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)</p><p>https://es.wikipedia.org/wiki/Fibrado_tangente</p><p>• En qué situación se podrían aplicar las funciones escalares y las vectoriales.</p><p>Las funciones vectoriales tienen muchas aplicaciones tanto en la física, como en las matemáticas. Por</p><p>ejemplo, en la prevención de temblores: Un campo donde se aplican las funciones vectoriales es en la</p><p>medición de las escalas de impacto del movimiento de las placas tectónicas es decir de los temblores.</p><p>A través de los años el ser humano a tratado de analizar la creación de nuestro de planeta y no tan sólo de</p><p>nuestro planeta sino también de nuestro sistema solar; por lo que los físicos de todas las épocas han</p><p>hecho hasta lo imposible por tratar de descifrar los secretos que esconde el sistema solar. Un tema muy</p><p>singular del cual se tiene más conocimiento por las grandes aportaciones de los físicos es la medida de las</p><p>distancias entre los planetas, de sus anillos en algunos casos singulares, la medida de sus orbitas, etc., a</p><p>pesar de la basta información con la que se cuenta en la actualidad sobre estos temas los físicos y los</p><p>matemáticos se han aliado para saber con exactitud las medidas de estas.</p><p>Para este fin las funciones vectoriales y sus derivadas son y serán demasiado útiles, para le medición de</p><p>las orbitas gravitacionales, ya que si estas no se midieran y se alteraron en alto grado lo que pasaría con</p><p>los planetas es que llegaría un punto en el que colisionarían al ser atraídos</p><p>por sus campos gravitacionales.</p><p>La aplicación de las funciones escalares está orientada a la descripción de fenómenos relacionados con la</p><p>distribución de temperaturas dentro de un cuerpo, las presiones en el interior de fluidos, el potencial</p><p>electrostático, la energía potencial en un sistema gravitacional, las densidades de población o de cualquier</p><p>magnitud cuya naturaleza pueda aproximarse a una distribución continua.</p><p>¿Qué diferencias encuentras entre las funciones de una variable y las de dos variables?</p><p>La función genera resultados para y = f(x) dependiendo el valor que tome x. En el mundo real, estas</p><p>funciones describen fenómenos que dependen de solo una variable. Por ejemplo, en cinemática, la rama</p><p>de la física que estudia el movimiento sin preocuparse por las causas que lo provocan, la posición de un</p><p>objeto se define por funciones que varían respecto al tiempo t. Son funciones de una única variable</p><p>dependiente. Sin embargo, existen fenómenos de la naturaleza cuyo comportamiento no depende</p><p>únicamente de un solo factor. Estas son funciones de varias variables. Las funciones de varias variables</p><p>son funciones como cualquier otra, cumplen la misma definición de función; una relación. La diferencia</p><p>es que una variable dependiente estará regida por más de una variable independiente. Es muy común</p><p>trabajar con funciones de tres variables, generalmente llamadas z = f(x,y). La idea de relación es más</p><p>compleja puesto que el valor de z depende no solo del valor de x o de y, sino de puntos coordenados a los</p><p>que les corresponde un valor de z.</p><p>¿Los métodos de traficación para curvas de nivel te parecen intuitivos?</p><p>Cumple con una función evidente e inmediata de orientar y unificar el trabajo, con la intención de facilitar</p><p>el uso activo del método.</p><p>FUENTES DE CONSULTA</p><p>Campus Usal. Funciones de varias variables. Recuperado de</p><p>http://campus.usal.es/~mpg/Personales/PersonalMAGL/Docencia/Tema2CIG(curso09-10).pdf</p><p>Cano, M. (2018). Funciones vectoriales de varias variables. Recuperado de:</p><p>https://es.scribd.com/document/376323692/Funciones-Vectoriales-de-Varias-Variables</p><p>Hiru.eus. continuidad de funciones. Recuperado de:</p><p>https://www.hiru.eus/es/matematicas/continuidad-de-funciones</p><p>Universidad de Barcelona. Glosario matemático, Función derivada parcial de una función escalar.</p><p>Recuperado de: http://www.ub.edu/glossarimateco/content/funci%C3%B3n-derivada-parcial-de-una-</p><p>funci%C3%B3n-escalar</p><p>Slideshare. Derivadas parciales de funciones vectoriales demás de una variable. Recuperado de:</p><p>https://es.slideshare.net/stfyp/derivadas-parciales-de-funciones-vectoriales-de-mas-de-una-</p><p>variable?from_action=save</p><p>Universidad de Barcelona. Glosario temático, Límite direccional (o límite según trayectorias rectilíneas)</p><p>de una función escalar. Recuperado de: http://www.ub.edu/glossarimateco/content/l%C3%ADmite-</p><p>direccional-o-l%C3%ADmite-seg%C3%BAn-trayectorias-rectil%C3%ADneas-de-una-funci%C3%B3n-</p><p>escalar</p><p>UACJ. Matemáticas en movimiento, Cálculo de funciones vectoriales. Recuperado de :</p><p>http://www.uacj.mx/CGTI/CDTE/JPM/Documents/IIT/sterraza/mate2016/funvect/fvect_calc.html</p><p>Khan Academy. Planos tangentes. Recuperado de https://es.khanacademy.org/math/multivariable-</p><p>calculus/applications-of-multivariable-derivatives/tangent-planes-and-local-linearization/a/tangent-</p><p>planes</p><p>ITT. Calculo vectorial 3. Recuperado de https://sites.google.com/site/calculovectorialnum3/unidad-</p><p>2/2-1-longitud-de-alco</p><p>http://campus.usal.es/~mpg/Personales/PersonalMAGL/Docencia/Tema2CIG(curso09-10).pdf</p><p>https://es.scribd.com/document/376323692/Funciones-Vectoriales-de-Varias-Variables</p><p>https://www.hiru.eus/es/matematicas/continuidad-de-funciones</p><p>http://www.ub.edu/glossarimateco/content/funci%C3%B3n-derivada-parcial-de-una-funci%C3%B3n-escalar</p><p>http://www.ub.edu/glossarimateco/content/funci%C3%B3n-derivada-parcial-de-una-funci%C3%B3n-escalar</p><p>https://es.slideshare.net/stfyp/derivadas-parciales-de-funciones-vectoriales-de-mas-de-una-variable?from_action=save</p><p>https://es.slideshare.net/stfyp/derivadas-parciales-de-funciones-vectoriales-de-mas-de-una-variable?from_action=save</p><p>http://www.ub.edu/glossarimateco/content/l%C3%ADmite-direccional-o-l%C3%ADmite-seg%C3%BAn-trayectorias-rectil%C3%ADneas-de-una-funci%C3%B3n-escalar</p><p>http://www.ub.edu/glossarimateco/content/l%C3%ADmite-direccional-o-l%C3%ADmite-seg%C3%BAn-trayectorias-rectil%C3%ADneas-de-una-funci%C3%B3n-escalar</p><p>http://www.ub.edu/glossarimateco/content/l%C3%ADmite-direccional-o-l%C3%ADmite-seg%C3%BAn-trayectorias-rectil%C3%ADneas-de-una-funci%C3%B3n-escalar</p><p>http://www.uacj.mx/CGTI/CDTE/JPM/Documents/IIT/sterraza/mate2016/funvect/fvect_calc.html</p><p>https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/applications-of-multivariable-derivatives/tangent-planes-and-local-linearization/a/tangent-planes</p><p>https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/applications-of-multivariable-derivatives/tangent-planes-and-local-linearization/a/tangent-planes</p><p>https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/applications-of-multivariable-derivatives/tangent-planes-and-local-linearization/a/tangent-planes</p><p>https://sites.google.com/site/calculovectorialnum3/unidad-2/2-1-longitud-de-alco</p><p>https://sites.google.com/site/calculovectorialnum3/unidad-2/2-1-longitud-de-alco</p><p>Calculo vectorial (2014), funciones vectoriales. Recuperado de</p><p>https://sites.google.com/site/glenmedimon/quinto-parcial/funciones-vectoriales</p><p>UAL. Campos escalares y campos vectoriales, Integrales de línea y de superficie. Recuperado de</p><p>https://w3.ual.es/~plopez/docencia/ita/EVA_trasptema9.pdf</p><p>ECURED. (1986). Campo Escalar. Recuperado de: https://www.ecured.cu/Campo_Escalar</p><p>https://sites.google.com/site/glenmedimon/quinto-parcial/funciones-vectoriales</p><p>https://w3.ual.es/~plopez/docencia/ita/EVA_trasptema9.pdf</p><p>https://www.ecured.cu/Campo_Escalar</p>