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<p>10</p><p>CONGRUENCIA</p><p>· Dado el heptágono regular ABCDEFG, y siendo H el punto de intersección entre las diagonales y . Demostrar que HG forma parte de la mediatriz de.</p><p>1. ABCDEFG es heptágono regular por dato del problema.</p><p>por definición de polígono regular.</p><p>3. por definición de polígono regular.</p><p>4.E por definición de polígono regular.</p><p>5. Trazo segmento y por construcción.</p><p>6. Triángulo EDF Triangulo BCA por 2, 4 y 3 postulado LAL.</p><p>7.EDF BCA por 6 P.C.T.C.C.</p><p>8.EDF = mBCA por 7 definición de ángulos congruentes.</p><p>9. EDF + FDC = mD por suma de ángulos.</p><p>10. mBCA + ACD = mC por suma de ángulos.</p><p>11. D C por definición de polígono regular.</p><p>12. mD = mC por 11 definición de ángulos congruentes.</p><p>13. EDF + FDC = mBCA + ACD por 9, 10 y 12 propiedad transitiva.</p><p>14. EDF - EDF + FDC = mBCA - EDF + ACD.</p><p>FDC= ACD por 13 y 7 propiedad uniforme y cancelativa.</p><p>15. FDC ACD por 14 definición de ángulos congruentes.</p><p>16. por propiedad reflexiva.</p><p>17. por 6 P.C.T.C.C.</p><p>18. Triángulo DFC Triángulo CAD por 17, 15 y 16 postulado LAL.</p><p>19. DCF CAD por 18 P.C.T.C.C.</p><p>20. por 18 P.C.T.C.C.</p><p>21. Triangulo HDC es isósceles en H por 19, teorema si 2 ángulos de un triángulo son congruentes entonces los lados opuestos a esos ángulos son congruentes.</p><p>22. por 21 definición de triangulo isósceles.</p><p>23. m+ m = por suma de segmentos H pertenece al segmento.</p><p>24. m+ m = por suma de segmentos H pertenece al segmento</p><p>26. = por 20 definición de segmentos congruentes.</p><p>25. m = m por 22 definición de segmentos congruentes.</p><p>27. m+ m= m+ m por 23, 24 y 26 propiedad transitiva.</p><p>28. m- m + m= m - m+ m</p><p>29. m = m por 28 y 25, propiedad uniforme y cancelativa.</p><p>30. por 29 definición de segmentos congruentes.</p><p>31. por definición de polígono regular.</p><p>32. El punto H equidista de los extremos del segmentopor ser los segmentos y congruentes, también el punto G equidista de los extremos del segmento y congruentes.</p><p>Entonces los puntos H y G pertenecen a la mediatriz del segmento</p><p>· Sea P un punto interior de un octógono regular ABCDEFGH (P no coincide con el</p><p>centro del polígono) y P está en la bisectriz perpendicular de BF.</p><p>Probar que los triángulos ABP y GFP son congruentes.</p><p>Plan:</p><p>Los ángulos y son congruentes por definición de polígono regular, FG es congruente con GH y HA es congruente AB por definición de polígono regular, entonces los triángulos, FGH y ABH son congruentes por postulado LAL y por PCTCC, FH es congruente con BH y el ángulo que se opone al lado GH es congruente con el ángulo que se opone al lado HA, el triángulo FPB es isósceles en P por ser FP Y BP congruentes por lo tanto los ángulos opuestos a los lados congruentes son congruentes.</p><p>M es punto medio de FB, el punto medio de FB existe y es único.</p><p>El triángulo FHB es isósceles en H por ser FH y BH congruentes por lo tanto los ángulos opuestos a estos lados son congruentes</p><p>Los triángulos GFP Y ABP son congruentes por postulado LAL.</p><p>· ABCDEF es un hexágono regular.</p><p>Probar que biseca al ángulo CDE.</p><p>Plan:</p><p>ABCDEF es hexágono regular por dato del problema, luego trazo segmentos y por construcción, AF y FE son congruentes por definición de hexágono regular y los segmentos AB y BC son congruentes por definición de hexágono regular, los ángulos y B, son congruentes por definición de hexágono regular.</p><p>Entonces el triángulo AFE y el triángulo ABC son congruentes por postulado LAL.</p><p>Por PCTCC AE AC.</p><p>Trazo segmento AD por construcción, los segmentos ED y CD son congruentes por definición de hexágono regular, ADAD por propiedad reflexiva.</p><p>Los triángulos AED y ACD son congruentes, por postulado LLL.</p><p>Por PCTCC los ángulos y son congruentes, entonces el segmento AD biseca al ángulo</p><p>· Sabiendo que:</p><p>ABCDEFGH es un octágono regular biseca CDE.</p><p>FDH BDH, I es el punto de intersección entre las diagonales BE y CF.</p><p>Probar que ∆ BCI ∆ FEI.</p><p>Plan:</p><p>FE ED son congruentes por definición de polígono regular, lo mismo que DCCB.</p><p>Los ángulos y son congruentes por definición de polígono regular.</p><p>Los triángulos FED BCD por postulado LAL.</p><p>Por PCTCC, los segmentos FD y BD son congruentes, DIDI por propiedad reflexiva, FDHBDH por dato del problema.</p><p>Entonces los triángulos FDI y BDI son congruentes, y por PCTCC, los segmentos FI ≅ IB.</p><p>Los segmentos ED DC, por definición de polígono regular, DIDI por propiedad reflexiva, por dato del problema biseca al ángulo CDE por definición de bisectriz del ángulo EDHCDH, entonces los triángulos EDI Y CDI son congruentes por postulado LAL.</p><p>Por PCTCC EI CI, Entonces los triángulos FEI y BCI son congruentes por postulado LLL.</p><p>· Sabiendo que: ABCDEFGH es un octágono regular, biseca <CDE</p><p><FDH<BDH, I es el punto de intersección entre las diagonales FC y EB.</p><p>Probar que:</p><p>Plan:</p><p>EDDC por definición de polígono regular, DH biseca al ángulo CDE por dato del problema, entonces por definición de bisectriz del ángulo CDE,EDI además DI DI por propiedad reflexiva.</p><p>Los triángulos EDI y CDI son congruentes por postulado LAL.</p><p>Por PCTCC los EID CID.</p><p>Por PCTCC los segmentos EICI.</p><p>Los segmentos FEED lo mismo que los segmentos DCCB, por definición de polígono regular.</p><p>Los ángulos C por definición de polígono regular.</p><p>Entonces los triángulos FED y BCD son congruentes por postulado LAL.</p><p>Por PCTCC los segmentos FE DE.</p><p>DI DI por propiedad reflexiva además por dato del problema <FDH <BDH.</p><p>Los triángulos FDI y BDI son congruentes por LAL, y por PCTCC, FI</p><p>Como FE CB, EICI y FI los triángulos FEI y BCI son congruentes por postulado LLL.</p><p>Por PCTCC EIF y CIB son congruentes. Y por definición de ángulos congruentes m=mCIB lo mismo que mEID = mCID por ser congruentes.</p><p>Por suma de ángulos mFID=mEIF +mEID.</p><p>Por suma de ángulos mBID= mCID+ mCIB.</p><p>Por sustitución y propiedad transitiva mFID= mBID entonces por definición los ángulos congruentes tienen la misma medida, entonces .</p><p>Observación CDEF es trapecio isósceles.</p><p>· Dado ABCDEF hexágono regular inscripto en una circunferencia de centro O.</p><p>La recta s contiene a los puntos A, B y Z, siendo Z, un punto exterior al hexágono.</p><p>AE y FC se intersecan perpendicularmente en R.</p><p>B es punto medio de AZ.</p><p>El triángulo ABE es semejante al triangulo ROE.</p><p>a) Demostrar que BZCO es un paralelogramo.</p><p>b) Comparar las áreas de los cuadriláteros ABOF y BZCO.</p><p>Los segmentos AE y FC se intersecan perpendicularmente en R, por dato del problema, entonces forman 4 ángulos rectos congruentes, por definición.</p><p>Los triángulos ABE Y ROE son semejantes por dato del problema, si 2 triángulos son semejantes los ángulos correspondientes a los lados proporcionales son congruentes.</p><p>Entonces EROEAB y ROEABO</p><p>EAB y ERO son ángulos correspondientes, por definición y además congruentes, por teorema si los ángulos correspondientes entre 2 rectas cortadas por una recta transversal son congruentes, dichas rectas son paralelas.</p><p>B es punto medio del segmento AZ por dato del problema, por definición de punto medio, ABBZ y además ABBC por definición de polígono regular, BZBC por propiedad simétrica.</p><p>El triángulo BZC es isósceles, por definición de triangulo isósceles y por teorema si 2 lados de un triángulo son congruentes los ángulos opuestos a estos lados resultan congruentes, BZC es congruente con BCZ.</p><p>BCZ y OBC son ángulos alternos internos, por definición, por teorema los ángulos alternos internos entre 2 rectas paralelas cortadas por una recta secante son congruentes.</p><p>ZBC y BCO son ángulos alternos internos por definición, por teorema los ángulos alternos internos entre 2 rectas paralelas cortadas por una recta transversal resultan congruentes.</p><p>OB OC por ser radios de la misma circunferencia el triángulo OBC es isósceles en O por teorema los ángulos opuestos a los lados congruentes resultan congruentes entonces BCO OBCZBC BCZ y BC BC por propiedad reflexiva, los triángulos OBC y ZBC son congruentes por postulado ALA.</p><p>Por PCTCC el cuadrilátero BZCO tiene 4 lados congruentes.</p><p>Si un cuadrilátero tiene un par de lados opuestos paralelos y congruentes entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.</p><p>· y son cuerdas paralelas,es la bisectriz perpendicular de</p><p>Probar que:</p><p>a) biseca a</p><p>b) Los triángulos CFA y DFB son congruentes.</p><p>Plan:</p><p>1. es la bisectriz perpendicular de por dato del problema.</p><p>2. r es la recta que contiene a los puntos E y F por postulado del punto y la recta.</p><p>3. es perpendicular al segmento por 2 definición de bisectriz perpendicular</p><p>4 los ángulos BEF y AEF son rectos y congruentes, por 3) 2 segmentos perpendiculares generan ángulos rectos congruentes por definición.</p><p>5. los ángulos BEF Y CFE son conjugados internos por definición</p><p>6. y son cuerdas paralelas por dato del problema.</p><p>7. los ángulos BEF Y CFE son congruentes y rectos, lo mismo que para el par de angulos DFE Y AEF por 2 y 6 teorema ángulos conjugados internos entre 2 segmentos paralelos cortados por una recta secante resultan congruentes.</p><p>8. E es el punto medio de por 1 definición de bisectriz perpendicular.</p><p>9. por 4 definición de punto medio.</p><p>10. EF EF por propiedad reflexiva.</p><p>11. los triángulos son BEF y AEF son congruentes. Por 9, 4, 10 postulado LAL.</p><p>12. AF BF por 11 PCTCC.</p><p>13. la recta r contiene al centro de la circunferencia por 1 teorema la bisectriz perpendicular de una cuerda contiene al centro de la circunferencia.</p><p>14. EF es perpendicular a DC por 7 definición 2 segmentos son perpendiculares si al intersecarse forman ángulo recto.</p><p>15. DF CF por 13, 7, teorema si una recta secante a una circunferencia pasa por su centro e interseca en forma perpendicular a una cuerda de dicha circunferencia entonces biseca a dicha cuerda.</p><p>16 los 1 y 2 son congruentes por 11 PCTCC.</p><p>17. 1 = 2 por 16 por definición de segmentos congruentes.</p><p>18. AFC= 1 + EFC</p><p>19. BFD= 2 + DEF</p><p>20. EFC= DEF por 7 definición de ángulos congruentes.</p><p>21AFC=BFD por 17 y 20 propiedad transitiva.</p><p>22.AFCBFD POR 21 definición de ángulos congruentes.</p><p>23. Los triángulos CFA y DFB son congruentes por 12,15,22 postulado LAL</p><p>· es diámetro, biseca biseca a .</p><p>Probar que //</p><p>Recordar definición de diámetro de una circunferencia;</p><p>Es una cuerda que contiene al centro de dicha circunferencia.</p><p>Plan:</p><p>1. Dada una circunferencia con centro O y radio R (O ES DATO DEL PROBLEMA)</p><p>2. es diámetro dato del problema.</p><p>3. biseca dato del problema.</p><p>4. biseca dato del problema.</p><p>5. P es punto medio de por 3 definición de bisectriz de un segmento</p><p>6. Q es punto medio de por 4 definición de bisectriz de un segmento.</p><p>7. PA PB por 5 definición de punto medio.</p><p>8. QC QD por 5 definición de punto medio.</p><p>9. contiene al punto O y dicho punto es el centro de la circunferencia por 1 definición de diámetro de una circunferencia.</p><p>10. Marco punto O centro de la circunferencia, por 4 definición de diámetro.</p><p>11. por ser radios de C (O, R) y los radios de una misma circunferencia son congruentes</p><p>12. Los puntos O, P y Q equidistan de los extremos de los segmentos AB Y CD por 7,8 y 11</p><p>13. contiene a los puntos</p><p>14. interseca perpendicularmente a los segmentos AB y CD por 12 definición de bisectriz perpendicular</p><p>15. LOS ANGULOS APP y OQD son rectos y congruentes por 13 definición de bisectriz perpendicular.</p><p>16. Los ángulos APP y OQD son alternos internos por definición.</p><p>· Sabiendo que //</p><p>es la bisectriz perpendicular de</p><p>Probar que biseca a y ABCD es un trapecio isósceles.</p><p>Plan:</p><p>1. // por dato del problema.</p><p>es la bisectriz perpendicular de por dato del problema.</p><p>3. contiene al centro de la circunferencia que pasa por los puntos A, B, C y por teorema la bisectriz perpendicular de una cuerda contiene al centro de dicha circunferencia.</p><p>4. Trazar segmento , y la recta mediatriz de dicho segmento nombrarla m por construcción.</p><p>5. Marcar el punto donde interseca la recta m y el segmento nombrarlo O.</p><p>6. El punto O es el centro de la circunferencia, por teorema el punto de intersección de las bisectrices perpendiculares de 2 cuerdas en el cual al menos una de ella no es diámetro, es el centro de dicha circunferencia.</p><p>7. por definición de circunferencia.</p><p>8. El triángulo ODC es isósceles por 7 definición de triangulo isósceles.</p><p>9. Los ángulos NDO y NCO son congruentes por teorema los ángulos opuestos a los lados congruentes en un triángulo resultan congruentes.</p><p>10. Marcar el punto de intersección del segmento con el segmento nombrarlo M.</p><p>11. M es punto medio de por 2 definición de bisectriz perpendicular.</p><p>12. Los ángulos EMA y EMB son rectos y congruentes, por 2 una recta y un segmento que se intersecan en forma perpendicular forman ángulos rectos congruentes.</p><p>13. Marcar el punto de intersección del segmento con el segmento nombrarlo N.</p><p>14. Los ángulos EMA y DNF son alternos internos por definición.</p><p>15. Los ángulos EMB y CNF son alternos internos por definición.</p><p>EMA DNF por teorema los ángulos alternos internos entre 2 rectas paralelas cortadas por una recta secante resultan congruentes.</p><p>17. análogamente a 16, EMB CNF.</p><p>DNF CNF y rectos por 12, 16 y 17 propiedad transitiva.</p><p>19. Los triángulos DNO Y CNO son rectos por 18.</p><p>20. Los triángulos DNO Y CON son congruentes por postulado HC.</p><p>21 DN CN por 20, PCTCC.</p><p>22. biseca a por 21 definición de bisectriz de un segmento.</p><p>· ABCD es rectángulo F es punto medio de , E es punto medio de se traza que interseca a en G. Probar que G es punto medio de</p><p>Plan:</p><p>Trazar diagonal AC queda el triángulo ACD y por teorema AC // FE, marcar el punto de intersección de las diagonales nombrarlo P.</p><p>En un triángulo rectángulo se forman siempre 2 pares de triángulos congruentes por teorema, entonces PCTCC ubicar los 4 pares de ángulos congruentes</p><p>Los PDE DCP y DEG DCP por ser ángulos correspondientes entre paralelas</p><p>El triángulo DGE es isósceles por teorema</p><p>Los ángulos DAP DFG por ser ángulos correspondientes entre paralelas.</p><p>Entonces DFG es isósceles y por transitiva FG DG GE y por definición G es punto medio de FE.</p><p>· Dado un hexágono regular ABCDEF inscripto en una circunferencia, de centro O.</p><p>ABCF es trapecio isósceles.</p><p>AE y FC se intersecan en el punto G.</p><p>BD y FC se intersecan en el punto H.</p><p>AOEF Y BCDO son rombos.</p><p>a) Demostrar que BHEG es un paralelogramo.</p><p>b) Comparar las áreas de los triángulos GOB y GHB.</p><p>AB ED por definición de polígono regular, los triángulos FAE y CBD son congruentes</p><p>FA FE CB CD y F D por definición de polígono regular entonces postulado LAL y por PCTCC AE BD entonces ABDE es un paralelogramo entonces GE//BE.</p><p>Por definición de rombo se cumple que FA FE OA OE CB CD OB OD</p><p>Entonces BD es mediatriz de OC, H es punto medio de OC por definición de mediatriz de un segmento y HO HC por definición de punto medio.</p><p>Análogamente en el rombo FAOE AE es mediatriz de FO G es punto medio FO</p><p>entonces FG GO.</p><p>mFG = mGO y mHO = mHC por definición de segmentos congruentes.</p><p>mFO = mFG + mGO por suma de segmentos.</p><p>mCO = mHC + mHO por suma de segmentos.</p><p>además FO CO por definición de circunferencia.</p><p>2mHC = 2mFG por sustitución y propiedad transitiva.</p><p>FO es mediatriz de AE y BD es mediatriz de OC y como AE BD análogamente entonces AG EG BH DH.</p><p>Entonces si el cuadrilátero BHEG tiene 2 lados opuestos paralelos y congruentes el cuadrilátero es un paralelogramo.</p><p>· Sabiendo que: ABCDEFGH es un octágono regular, DH biseca <CDE</p><p><FDH <BDH, I es el punto de intersección entre las diagonales FC y EB.</p><p>Demostrar</p><p>· Dado el pentágono regular ABCDE y siendo J el punto de intersección de las diagonales BE y DA demostrar que los puntos J y C forman parte de la mediatriz del segmento DB.</p><p>· Un hexágono regular ABCDEF inscripto en una circunferencia de centro O, los puntos OC y BD se intersecan en I, los triángulos EBD Y OBI son semejantes, EOCD es un paralelogramo. Demostrar que ABIO es un trapecio.</p><p>image3.png</p><p>image4.png</p><p>image5.png</p><p>image6.png</p><p>image7.png</p><p>image8.png</p><p>image9.png</p><p>image10.png</p><p>image11.png</p><p>image12.png</p><p>image1.png</p><p>image2.png</p>
