TAREA N 3 ESTADÍSTICA

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<p>UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA</p><p>FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS – CIVIL – AMBIENTAL</p><p>ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL</p><p>TAREA N° 03</p><p>ASIGNATURA : ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E</p><p>INFERENCIAL</p><p>DOCENTE : ING. ANDRÉS ZÓSIMO ÑAHUI GASPAR</p><p>ESTUDIANTE : RONNY GILVER PRADO VÁSQUEZ</p><p>Fecha de entrega: 15 – 05 - 2023</p><p>LIRCAY – HUANCAVELICA</p><p>2023</p><p>1. De las 283 personas encuestadas en 2019 sobre si se encontraban afiliados a la EPIC, 86 contestaron</p><p>afirmativamente. Con los resultados afirmativos y clasificados según la edad obtenemos la siguiente</p><p>tabla.</p><p>Edad 25 - 35 35 - 45 45 - 55 55 - 65</p><p>N° de personas 45 23 155 3</p><p>Marca de clase 30 40 50 60</p><p>Hallar: media aritmética, mediana, moda, 1er cuartil, 6° decil y 52 percentil.</p><p>SOLUCIÓN:</p><p>EDAD 𝑿𝒊 𝒇𝒊 𝑭𝒊 𝑿𝒊 ∗ 𝒇𝒊</p><p>25-35 30 45 45 1350</p><p>35-45 40 23 68 920</p><p>45-55 50 15 83 750</p><p>55-65 60 3 86 180</p><p>86</p><p>3200</p><p>▪ Media aritmética (X̅)</p><p>X̅ =</p><p>∑ Xi ∗ fi4</p><p>i=1</p><p>N</p><p>=</p><p>3200</p><p>86</p><p>= 37.27 años</p><p>▪ Mediana (Me)</p><p>N</p><p>2</p><p>=</p><p>86</p><p>2</p><p>= 43, entonces Me 𝜖 [25 – 35></p><p>Me = Li + (</p><p>N</p><p>2 − Fi−1</p><p>Fi − Fi−1</p><p>) ∗ 𝐶𝑖 = 25 + (</p><p>86</p><p>2 − 0</p><p>45 − 0</p><p>) ∗ 10 = 34.56 años</p><p>▪ Moda (𝑀0)</p><p>𝑀𝑜 = 𝐿𝑖 + (</p><p>𝑑1</p><p>𝑑1 + 𝑑2</p><p>) ∗ 𝐶𝑖</p><p>Donde:</p><p>✓ 𝐿𝑖 = 𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙</p><p>✓ 𝑑1 = 𝑓𝑖 − 𝑓𝑖−1, frecuencia del intervalo modal menos la frecuencia del intervalo inmediatamente</p><p>inferior.</p><p>✓ 𝑑2 = 𝑓𝑖 − 𝑓𝑖+1, frecuencia del intervalo modal menos la frecuencia del intervalo inmediatamente</p><p>posterior.</p><p>✓ 𝐶𝑖 = 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜.</p><p>𝑀0 𝜖 [25 – 35></p><p>𝑑1 = 𝑓𝑖 − 𝑓𝑖−1 = 45 − 0 = 45</p><p>𝑑2 = 𝑓𝑖 − 𝑓𝑖+1 = 45 − 23 = 22</p><p>𝑀𝑜 = 𝐿𝑖 + (</p><p>𝑑1</p><p>𝑑1 + 𝑑2</p><p>) ∗ 𝐶𝑖 = 25 + (</p><p>45</p><p>45 + 22</p><p>) ∗ 10 = 31.72</p><p>▪ Primer cuartil (𝑄1)</p><p>QK = Li + (</p><p>kN</p><p>4 − Fi−1</p><p>Fi − Fi−1</p><p>) ∗ Ci</p><p>Q1 = Li + (</p><p>N</p><p>4 − Fi−1</p><p>Fi − Fi−1</p><p>) ∗ Ci = 25 + (</p><p>86</p><p>4 − 0</p><p>45 − 0</p><p>) ∗ 10 = 29.78</p><p>▪ Sexto decil (𝐷6)</p><p>DK = Li + (</p><p>kN</p><p>10 − Fi−1</p><p>Fi − Fi−1</p><p>) ∗ Ci</p><p>D6 = Li + (</p><p>6N</p><p>10 − Fi−1</p><p>Fi − Fi−1</p><p>) ∗ Ci = 35 + (</p><p>6 ∗ 86</p><p>10 − 45</p><p>68 − 45</p><p>) ∗ 10 = 37.87</p><p>▪ Percentil 52 (𝑃52)</p><p>PK = Li + (</p><p>kN</p><p>100</p><p>− Fi−1</p><p>Fi − Fi−1</p><p>) ∗ Ci</p><p>p52 = Li + (</p><p>52N</p><p>10 − Fi−1</p><p>Fi − Fi−1</p><p>) ∗ Ci = 25 + (</p><p>52 ∗ 86</p><p>10 − 0</p><p>45 − 0</p><p>) ∗ 10 = 34.94</p><p>2. Calcular los datos que faltan en la siguiente tabla:</p><p>𝑳𝒊−𝟏 − 𝑳𝒊 𝒏𝒊 𝒇𝒊 𝑵𝒊</p><p>0 - 10 60 𝑓1 60</p><p>10 - 20 𝑛2 0.4 𝑁2</p><p>20 - 30 30 𝑓3 170</p><p>30 – 100 𝑛4 0.1 𝑁4</p><p>100 - 200 𝑛5 𝑓5 200</p><p>SOLUCIÓN:</p><p>Del cuadro se observa que N5 = 𝑛 = 200</p><p>▪</p><p>n2</p><p>200</p><p>= 0.4, n2 = 80</p><p>▪</p><p>n4</p><p>200</p><p>= 0.1, n4 = 20</p><p>▪ 60 + n2 + 30 + n4 + n5 = 200</p><p>60 + 80 + 30 + 20 + n5 = 200</p><p>𝐧𝟓 = 𝟏𝟎</p><p>▪ f1 =</p><p>60</p><p>200</p><p>= 0.3</p><p>▪ f3 =</p><p>30</p><p>200</p><p>= 0.15</p><p>▪ f5 =</p><p>n5</p><p>200</p><p>=</p><p>10</p><p>200</p><p>= 0.05</p><p>▪ N2 = 60 + n2</p><p>N2 = 60 + 80 = 140</p><p>▪ N4 = 170 + n4</p><p>N4 = 170 + 20 = 190</p><p>𝑳𝒊−𝟏 − 𝑳𝒊 𝒏𝒊 𝒇𝒊 𝑵𝒊</p><p>0 - 10 60 0.30 60</p><p>10 - 20 80 0.40 140</p><p>20 - 30 30 0.15 170</p><p>30 – 100 20 0.10 190</p><p>100 - 200 10 0.05 200</p><p>3. Se ha tomado una muestra de 65 personas que leen mas de 5 revistas al mes y se ha clasificado según</p><p>el nivel cultural. Calcular la mediana.</p><p>Nivel cultural</p><p>N° de personas que leen 5 o más</p><p>revistas</p><p>1. Lee sin estudios 7</p><p>2. Lee sin terminar primaria 5</p><p>3. Estudios primarios 8</p><p>4. Bachiller o similar 15</p><p>5. Universitarios 30</p><p>SOLUCIÓN:</p><p>Nivel cultural 𝑓𝑖 𝐹𝑖</p><p>1. Lee sin estudios 7 7</p><p>2. Lee sin terminar primaria 5 12</p><p>3. Estudios primarios 8 20</p><p>4. Bachiller o similar 15 35</p><p>5. Universitarios 30 65</p><p>65</p><p>la mediana Me es el valor que divide a la distribución de los datos en 2 partes iguales</p><p>N</p><p>2</p><p>=</p><p>65</p><p>2</p><p>= 32.5, es el valor que ocupa el lugar inmediatamente después de 32.5 ósea el nivel 4.</p><p>por lo cual se puede indicar que el 50% de las personas que leen las revistas tienen un nivel cultural igual</p><p>o inferior a bachiller o similar y la otra mitad son universitarios.</p><p>4. Se desea estudiar las alturas de un grupo de 20 alumnos, a través de sus promedios.</p><p>Realizar el estudio:</p><p>1) Con los datos sin agrupar</p><p>2) Con los datos agrupados en intervalos de amplitud 10 cm.</p><p>Las alturas fueron expresadas en cm: 162 – 166 – 168 – 170 – 172 – 174 – 180 – 164 – 166 – 168 -168</p><p>– 172 – 178 – 182 – 164 – 166 – 168 – 170 – 176 – 188.</p><p>SOLUCIÓN:</p><p>1) Con los datos sin agrupar</p><p>𝐱𝒊 = 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒆𝒏 𝒄𝒎</p><p>𝐱𝒊 𝐧𝒊 𝐍𝐢 𝐱𝒊 ∗ 𝒏𝒊</p><p>162 1 1 162</p><p>164 2 3 328</p><p>166 3 6 498</p><p>168 4 10 672</p><p>170 2 12 340</p><p>172 2 14 344</p><p>174 1 15 174</p><p>176 1 16 176</p><p>178 1 17 178</p><p>180 1 18 180</p><p>182 1 19 182</p><p>188 1 20 188</p><p>20 3422</p><p>▪ Media aritmética (X̅)</p><p>X̅ =</p><p>∑ Xi∗fi12</p><p>i=1</p><p>N</p><p>=</p><p>3422</p><p>20</p><p>= 171.10 cm</p><p>La talla promedio de los 20 estudiantes es 171.10 cm</p><p>▪ Moda (𝑀0)</p><p>Es la variable que tiene mayor frecuencia en este caso 4 alumnos miden 168 cm</p><p>▪ Mediana (𝑀𝑒)</p><p>N</p><p>2</p><p>=</p><p>20</p><p>2</p><p>= 10, es la media aritmética de los valores que ocupan el lugar 10 y 11, es decir 168 y 170</p><p>por lo que la mediana es 169 cm.</p><p>2) Con los datos agrupados en intervalos de amplitud 10 cm</p><p>Intervalos</p><p>[𝐿𝑖 − 𝐿𝑖+1 ></p><p>𝐱𝒊 𝐧𝒊 𝐍𝐢 𝐱𝒊 ∗ 𝒏𝒊</p><p>172 167 12 12 2004</p><p>182 177 6 18 1062</p><p>192 187 2 20 374</p><p>20 3440</p><p>▪ Media aritmética (X̅)</p><p>X̅ =</p><p>∑ 𝐱𝒊∗𝒏𝒊</p><p>3</p><p>𝑖=1</p><p>𝑁</p><p>=</p><p>3440</p><p>20</p><p>= 172 cm</p><p>La talla promedio de los 20 estudiantes es 172 cm</p><p>▪ Moda (𝑀0)</p><p>𝑀𝑜 = 𝐿𝑖 + (</p><p>𝑑1</p><p>𝑑1 + 𝑑2</p><p>) ∗ 𝐶𝑖</p><p>𝑀0 𝜖 [162 – 172></p><p>𝑑1 = 𝑓𝑖 − 𝑓𝑖−1 = 12 − 0 = 12</p><p>𝑑2 = 𝑓𝑖 − 𝑓𝑖+1 = 12 − 6 = 6</p><p>𝑀𝑜 = 𝐿𝑖 + (</p><p>𝑑1</p><p>𝑑1+𝑑2</p><p>) ∗ 𝐶𝑖 = 162 + (</p><p>12</p><p>12+6</p><p>) ∗ 10 = 168.67 cm</p><p>▪ Mediana (𝑀𝑒)</p><p>N</p><p>2</p><p>=</p><p>20</p><p>2</p><p>= 10, entonces 𝑀𝑒 𝜖 [162 – 172></p><p>Me = Li + (</p><p>N</p><p>2 − Fi−1</p><p>Fi − Fi−1</p><p>) ∗ 𝐶𝑖 = 162 + (</p><p>20</p><p>2 − 0</p><p>12 − 0</p><p>) ∗ 10 = 170.33 cm</p><p>La mitad de los alumnos tienen una altura menor o igual a 170.33 cm y la otra mitad mayor al valor de la mediana.</p><p>5. La siguiente distribución se refiere a la duración en horas de un lote de 500 tubos fluorescentes.</p><p>DURACIÓN EN HORAS NÚMERO DE TUBOS</p><p>300 - 499 50</p><p>500 - 699 150</p><p>700 - 1099 275</p><p>1100 – O MÁS 25</p><p>TOTAL 500</p><p>1. Representar el histograma de frecuencias relativas y el polígono de frecuencias.</p><p>2. Trazar la curva de frecuencias relativas acumuladas.</p><p>3. Determinar el número mínimo de tubos que tienen una duración inferior a 900 horas.</p><p>SOLUCIÓN:</p><p>Tipo de variable: discreta (horas completas)</p><p>Se tiene un rango amplio de valores por lo que reagruparemos en intervalos [𝐿𝑖 − 𝐿𝑖+1 ></p><p>Intervalos</p><p>[𝑳𝒊 − 𝑳𝒊+𝟏 ></p><p>𝒄𝒊 𝐧𝒊 𝐡𝐢 𝒉𝒊</p><p>´ 𝑯𝐢</p><p>[300 − 500 > 200 50 0.10 0.10 0.10</p><p>[500 − 700 > 200 150 0.30 0.40 0.40</p><p>[700 − 900 ></p><p>400</p><p>137.5</p><p>0.55</p><p>0.275</p><p>0.95</p><p>[900 − 1100 > 137.5 0.275</p><p>[1100 − 1300 > 200 25 0.05 0.05 0.05</p><p>500 3440</p><p>Dado que el último intervalo está abierto por el límite superior y tiene una frecuencia de 25 observaciones,</p><p>para poder realizar las gráficas es conveniente cerrarlo con una amplitud considerable.</p><p>la mayoría de los intervalos tiene una amplitud de 200 horas, por lo cual podemos cerrar el último intervalo en</p><p>1300 horas.</p><p>en la tabla de frecuencias es necesario agregar una columna que representa las amplitudes de cada intervalo</p><p>y otra columna de frecuencias relativas rectificadas ℎ𝑖</p><p>´ para representar la altura del histograma.</p><p>1. Representar el histograma de frecuencias relativas y el polígono de frecuencias.</p><p>La altura del histograma en cada intervalo es ℎ𝑖</p><p>´ que coincide con ℎ𝑖 con la excepción en el intervalo</p><p>[700 − 900 > en el que ℎ𝑖</p><p>´ =</p><p>1</p><p>2</p><p>ℎ𝑖 ya que la amplitud de ese intervalo es doble a la de los demás.</p><p>0.10</p><p>0.30</p><p>0.275</p><p>0.05</p><p>0.00</p><p>0.05</p><p>0.10</p><p>0.15</p><p>0.20</p><p>0.25</p><p>0.30</p><p>0.35</p><p>400 600 900 1200</p><p>F</p><p>R</p><p>E</p><p>C</p><p>U</p><p>E</p><p>N</p><p>C</p><p>IA</p><p>R</p><p>E</p><p>L</p><p>A</p><p>T</p><p>IV</p><p>A</p><p>INTERVALOS</p><p>HISTOGRAMA DE FECUENCIAS RELATIVAS Y</p><p>POLÍGONO DE FRECUENCIAS</p><p>En la figura se observa que la suma de frecuencias relativas hasta las 900 horas es 0.10 + 0.30 +</p><p>0.275 = 0.675 = 67.5% de los tubos.</p><p>2. Trazar la curva de frecuencias relativas acumuladas.</p><p>3.</p><p>Determinar el número mínimo de tubos que tienen una duración inferior a 900 horas.</p><p>En la figura de la curva de frecuencias acumuladas se observa que la altura que corresponde a 900 es</p><p>0.675, como en total son 500 tubos, el número de tubos con una duración menor o igual que 900 horas</p><p>es 0.675𝑥500 = 337.5 ≈ 338 tubos.</p><p>6. Calcular: media, moda, mediana, 1er y 3er cuartil, varianza, desviación típica y coeficiente de variación</p><p>de los siguientes datos obtenidos de una investigación en un establecimiento benéfico que tiene</p><p>acogidos a 112 personas de diversas edades.</p><p>EDAD 40 - 50 50 - 60 60 - 70 70 - 80 80 - 90</p><p>N° PERSONAS 13 24 29 35 11</p><p>0</p><p>0.1</p><p>0.4</p><p>0.675</p><p>0.95</p><p>1</p><p>0</p><p>0.2</p><p>0.4</p><p>0.6</p><p>0.8</p><p>1</p><p>1.2</p><p>300 500 700 900 1100 1300F</p><p>R</p><p>E</p><p>C</p><p>U</p><p>E</p><p>N</p><p>C</p><p>IA</p><p>R</p><p>E</p><p>L</p><p>A</p><p>T</p><p>IV</p><p>A</p><p>A</p><p>C</p><p>U</p><p>M</p><p>U</p><p>L</p><p>A</p><p>D</p><p>A</p><p>INTERVALOS</p><p>CURVA DE FRECUENCIAS RELATIVAS</p><p>ACUMULADAS</p><p>SOLUCIÓN:</p><p>Sea la variable X = edad de las personas</p><p>Edad 𝒙𝐢</p><p>N° de personas</p><p>(𝒇𝐢)</p><p>𝑭𝐢 𝐱𝒊 ∗ 𝒇𝒊 (𝑿𝒊 − �̅�)𝟐 ∗ 𝒇𝒊</p><p>40-50 45 13 13 585 5530.08</p><p>50-60 55 24 37 1320 2709.38</p><p>60-70 65 29 66 1885 11.33</p><p>70-80 75 35 101 2625 3076.17</p><p>80-90 85 11 112 935 4129.3</p><p>112 7350 15456.26</p><p>▪ Media aritmética (𝐗)</p><p>X̅ =</p><p>∑ Xi ∗ fi4</p><p>i=1</p><p>N</p><p>=</p><p>7350</p><p>112</p><p>= 65.63 años</p><p>▪ Mediana (𝐌𝐞)</p><p>N</p><p>2</p><p>=</p><p>112</p><p>2</p><p>= 56, el valor se encuentra entre las frecuencias acumuladas 37 y 66 por lo que la</p><p>Me 𝜖 [60 – 70></p><p>Me = Li + (</p><p>N</p><p>2 − Fi−1</p><p>Fi − Fi−1</p><p>) ∗ 𝐶𝑖 = 60 + (</p><p>112</p><p>2 − 37</p><p>66 − 37</p><p>) ∗ 10 = 66.55 años</p><p>▪ Moda (𝑴𝟎)</p><p>𝑀𝑜 = 𝐿𝑖 + (</p><p>𝑑1</p><p>𝑑1 + 𝑑2</p><p>) ∗ 𝐶𝑖</p><p>𝑀0 𝜖 [70 – 80></p><p>𝑑1 = 𝑓𝑖 − 𝑓𝑖−1 = 35 − 29 = 6</p><p>𝑑2 = 𝑓𝑖 − 𝑓𝑖+1 = 35 − 11 = 24</p><p>𝑀𝑜 = 𝐿𝑖 + (</p><p>𝑑1</p><p>𝑑1+𝑑2</p><p>) ∗ 𝐶𝑖 = 70 + (</p><p>6</p><p>6+24</p><p>) ∗ 10 = 72 años</p><p>▪ Primer cuartil (𝑸𝟏)</p><p>QK = Li + (</p><p>kN</p><p>4 − Fi−1</p><p>Fi − Fi−1</p><p>) ∗ Ci</p><p>Q1 = Li + (</p><p>N</p><p>4</p><p>− Fi−1</p><p>Fi − Fi−1</p><p>) ∗ Ci = 50 + (</p><p>112</p><p>4</p><p>− 13</p><p>37 − 13</p><p>) ∗ 10 = 56.25</p><p>▪ Tercer cuartil (𝐐𝟑)</p><p>Q3 = Li + (</p><p>3N</p><p>4</p><p>− Fi−1</p><p>Fi − Fi−1</p><p>) ∗ Ci = 70 + (</p><p>3 ∗ 112</p><p>4</p><p>− 66</p><p>101 − 66</p><p>) ∗ 10 = 75.14</p><p>▪ Varianza (𝑺𝟐)</p><p>S2 =</p><p>∑ (Xi − X̅)2 ∗ ni</p><p>5</p><p>i=1</p><p>N</p><p>=</p><p>15456.26</p><p>112</p><p>= 138</p><p>▪ Desviación estándar (𝑺)</p><p>𝑆 = √</p><p>∑ (Xi − X̅)2 ∗ ni</p><p>5</p><p>i=1</p><p>N</p><p>= √</p><p>15456.26</p><p>112</p><p>= 11.75</p><p>▪ Coeficiente de variación (𝑪𝑽)</p><p>𝐶𝑉 =</p><p>𝑆</p><p>X̅</p><p>=</p><p>11.75</p><p>65.63</p><p>= 0.179, la distribución es homogénea y la media tiene buena representatividad</p><p>porque le valor se aproxima a cero.</p><p>7. Dada la siguiente distribución relativa a una muestra de 100 personas que emigran de una zona rural</p><p>a una urbana clasificada según la edad.</p><p>a) Calcular: media, mediana y moda.</p><p>b) Calcular el recorrido intercuartílico.</p><p>c) Calcular el coeficiente de variación.</p><p>EDADES 11 – 20 21 - 30 31 - 50 51 - 70</p><p>N° PERSONAS 40 30 20 10</p><p>SOLUCIÓN:</p><p>sea X = edad de las personas que emigran de una zona rural a una zona urbana</p><p>agrupamos las edades en intervalos</p><p>Edades 𝒙𝐢</p><p>N° de</p><p>personas</p><p>𝒇𝐢</p><p>𝑭𝐢</p><p>Densidad de</p><p>frecuencia</p><p>𝒅𝒊 =</p><p>𝑪𝒊</p><p>𝒇𝒊</p><p>𝐱𝒊 ∗ 𝒇𝒊 (𝑿𝒊 − �̅�)𝟐 ∗ 𝒇𝒊</p><p>11 - 20 15.5 40 40 4.44 620 5953.6</p><p>20 - 30 25 30 70 3 750 218.7</p><p>30 - 50 40 20 90 1 800 3025.8</p><p>50 - 70 60 10 100 0.5 600 10432.9</p><p>100</p><p>2770 19631</p><p>▪ Media aritmética (X̅)</p><p>X̅ =</p><p>∑ Xi ∗ fi4</p><p>i=1</p><p>N</p><p>=</p><p>2770</p><p>100</p><p>= 27.70 años</p><p>▪ Mediana (Me)</p><p>N</p><p>2</p><p>=</p><p>100</p><p>2</p><p>= 50, este valor se encuentra entre las frecuencias acumuladas 40 y 70 por lo que la</p><p>Me 𝜖 [20 – 30></p><p>Me = Li + (</p><p>N</p><p>2 − Fi−1</p><p>Fi − Fi−1</p><p>) ∗ 𝐶𝑖 = 20 + (</p><p>100</p><p>2 − 40</p><p>70 − 40</p><p>) ∗ 10 = 23.33 años</p><p>▪ Moda (𝑀0)</p><p>Los intervalos no tienen la misma amplitud por lo que el intervalo modal es el que tiene mayor densidad</p><p>de frecuencia [11 – 20></p><p>𝑀𝑜 = 𝐿𝑖 + (</p><p>𝑑𝑖 − 𝑑𝑖−1</p><p>(𝑑𝑖 − 𝑑𝑖−1) + (𝑑𝑖 − 𝑑𝑖+1)</p><p>) ∗ 𝐶𝑖</p><p>𝑀0 𝜖 [11 – 20></p><p>𝑑𝑖 = 4.44</p><p>𝑑𝑖−1 = 0</p><p>𝑑𝑖+1 = 3</p><p>𝑀𝑜 = 𝐿𝑖 + (</p><p>4.44 − 0</p><p>(4.44 − 0) + (4.44 − 3)</p><p>) ∗ 9 = 17.80 años</p><p>▪ Recorrido intercuartílico (Q)</p><p>Q = Q3 − Q1</p><p>Q3 = Li + (</p><p>3N</p><p>4</p><p>− Fi−1</p><p>Fi − Fi−1</p><p>) ∗ Ci = 30 + (</p><p>3 ∗ 100</p><p>4</p><p>− 70</p><p>90 − 70</p><p>) ∗ 20 = 35</p><p>Q1 = Li + (</p><p>N</p><p>4</p><p>− Fi−1</p><p>Fi − Fi−1</p><p>) ∗ Ci = 11 + (</p><p>100</p><p>4</p><p>− 0</p><p>40 − 0</p><p>) ∗ 9 = 16.63</p><p>Q = Q3 − Q1 = 35 − 16.63 = 18.37 años</p><p>▪ Desviación estándar (𝑆)</p><p>𝑆 = √</p><p>∑ (Xi − X̅)2 ∗ ni</p><p>5</p><p>i=1</p><p>N</p><p>= √</p><p>19631</p><p>100</p><p>= 14.01</p><p>▪ Coeficiente de variación (𝐶𝑉)</p><p>𝐶𝑉 =</p><p>𝑆</p><p>X̅</p><p>=</p><p>14.01</p><p>27.70</p><p>= 0.51, la distribución es homogénea y la media es representativa del conjunto.</p><p>8. El paro registrado en Lircay en el mes de julio, por sexos y grupos de edad fue:</p><p>VARONES MUJERES</p><p>𝑳𝒊−𝟏 − 𝑳𝒊 𝒏𝒊 𝑳𝒊−𝟏 − 𝑳𝒊 𝒏𝒊</p><p>59 319 > 59 101</p><p>1. Calcular razonadamente media, varianza, desviación típica, mediana, moda.</p><p>2. Calcular razonadamente 1er cuartil, 60 ° percentil.</p><p>SOLUCIÓN:</p><p>VARONES</p><p>Edades</p><p>[𝑳𝒊 − 𝑳𝒊+𝟏 ></p><p>𝐱𝒊 𝒇𝒊 𝑭𝐢 𝐱𝒊 ∗ 𝒇𝒊 (𝑿𝒊 − �̅�)𝟐 ∗ 𝒇𝒊</p><p>15 - 20 17.5 842 842 14735 247683.624</p><p>20 - 25 22.5 1439 2281 32377.5 212468.102</p><p>25 - 30 27.5 1412 3693 38830 72207.6784</p><p>30 - 35 32.5 872 4565 28340 4035.03774</p><p>35 - 40 37.5 628 5193 23550 5096.90533</p><p>40 - 45 42.5 516 5709 21930 31788.1004</p><p>45 - 50 47.5 453 6162 21517.5 74787.4009</p><p>50 - 55 52.5 456 6618 23940 145273.554</p><p>55 - 60 57.5 666 7284 38295 347699.359</p><p>60 - 65 62.5 319 7603 19937.5 247403.596</p><p>7603 263452.5 1388443.36</p><p>▪ Media aritmética (X̅)</p><p>X̅ =</p><p>∑ Xi ∗ fi10</p><p>i=1</p><p>N</p><p>=</p><p>263452.5</p><p>112</p><p>= 34.65 años</p><p>▪ Mediana (Me)</p><p>N</p><p>2</p><p>=</p><p>7603</p><p>2</p><p>= 3801.5, el valor se encuentra entre las frecuencias acumuladas 3693 y 4565 por lo que la</p><p>Me 𝜖 [30 – 35></p><p>Me = Li + (</p><p>N</p><p>2 − Fi−1</p><p>Fi − Fi−1</p><p>) ∗ 𝐶𝑖 = 30 + (</p><p>7603</p><p>2 − 3693</p><p>4565 − 3693</p><p>) ∗ 5 = 30.62 años</p><p>▪ Moda (𝑀0)</p><p>𝑀𝑜 = 𝐿𝑖 + (</p><p>𝑑1</p><p>𝑑1 + 𝑑2</p><p>) ∗ 𝐶𝑖</p><p>𝑀0 𝜖 [20 – 25></p><p>𝑑1 = 𝑓𝑖 − 𝑓𝑖−1 = 1439 − 842 = 597</p><p>𝑑2 = 𝑓𝑖 − 𝑓𝑖+1 = 1439 − 1412 = 27</p><p>𝑀𝑜 = 𝐿𝑖 + (</p><p>𝑑1</p><p>𝑑1+𝑑2</p><p>) ∗ 𝐶𝑖 = 20 + (</p><p>597</p><p>597+27</p><p>) ∗ 5 = 24.78 años</p><p>▪ Primer cuartil (𝑄1)</p><p>QK = Li + (</p><p>kN</p><p>4</p><p>− Fi−1</p><p>Fi − Fi−1</p><p>) ∗ Ci</p><p>Q1 = Li + (</p><p>N</p><p>4</p><p>− Fi−1</p><p>Fi − Fi−1</p><p>) ∗ Ci = 50 + (</p><p>7603</p><p>4</p><p>− 842</p><p>2281 − 842</p><p>) ∗ 5 = 23.68</p><p>▪ Percentil 60 (P60)</p><p>P60 = Li + (</p><p>60N</p><p>100 − Fi−1</p><p>Fi − Fi−1</p><p>) ∗ Ci = 30 + (</p><p>60 ∗ 7603</p><p>4 − 3693</p><p>4565 − 3693</p><p>) ∗ 5 = 34.98</p><p>▪ Varianza (𝑆2)</p><p>S2 =</p><p>∑ (Xi − X̅)2 ∗ ni</p><p>5</p><p>i=1</p><p>N</p><p>=</p><p>1388443.36</p><p>7603</p><p>= 182.62</p><p>▪ Desviación estándar (𝑆)</p><p>𝑆 = √</p><p>∑ (Xi − X̅)2 ∗ ni</p><p>5</p><p>i=1</p><p>N</p><p>= √</p><p>1388443.36</p><p>7603</p><p>= 13.51</p><p>MUJERES</p><p>Edades</p><p>[𝑳𝒊 − 𝑳𝒊+𝟏 ></p><p>𝐱𝒊 𝒇𝒊 𝑭𝐢 𝐱𝒊 ∗ 𝒇𝒊 (𝑿𝒊 − �̅�)𝟐 ∗ 𝒇𝒊</p><p>15 - 20 17.5 1493 1493 26127.5 439182.483</p><p>20 - 25 22.5 3140 4633 70650 463620.46</p><p>25 - 30 27.5 3381 8014 92977.5 172899.547</p><p>30 - 35 32.5 2841 10855 92332.5 13146.264</p><p>35 - 40 37.5 1919 12774 71962.5 15574.7792</p><p>40 - 45 42.5 1516 14290 64430 93392.9461</p><p>45 - 50 47.5 944 15234 44840 155848.359</p><p>50 - 55 52.5 487 15721 25567.5 155149.607</p><p>55 - 60 57.5 318 16039 18285 166018.613</p><p>60 - 65 62.5 101 16140 6312.5 78331.5462</p><p>16140 513485 1753164.6</p><p>▪ Media aritmética (X̅)</p><p>X̅ =</p><p>∑ Xi ∗ fi10</p><p>i=1</p><p>N</p><p>=</p><p>513485</p><p>112</p><p>= 31.81 años</p><p>▪ Mediana (Me)</p><p>N</p><p>2</p><p>=</p><p>16140</p><p>2</p><p>= 8070, el valor se encuentra entre las frecuencias acumuladas 3693 y 4565 por lo que la</p><p>Me 𝜖 [30 – 35></p><p>Me = Li + (</p><p>N</p><p>2 − Fi−1</p><p>Fi − Fi−1</p><p>) ∗ 𝐶𝑖 = 30 + (</p><p>16140</p><p>2 − 8014</p><p>10855 − 8014</p><p>) ∗ 5 = 30,10 años</p><p>▪ Moda (𝑀0)</p><p>𝑀𝑜 = 𝐿𝑖 + (</p><p>𝑑1</p><p>𝑑1 + 𝑑2</p><p>) ∗ 𝐶𝑖</p><p>𝑀0 𝜖 [25 – 30></p><p>𝑑1 = 𝑓𝑖 − 𝑓𝑖−1 = 3381 − 3140 = 241</p><p>𝑑2 = 𝑓𝑖 − 𝑓𝑖+1 = 3381 − 2841 = 540</p><p>𝑀𝑜 = 𝐿𝑖 + (</p><p>𝑑1</p><p>𝑑1+𝑑2</p><p>) ∗ 𝐶𝑖 = 25 + (</p><p>241</p><p>241+540</p><p>) ∗ 5 = 26.54 años</p><p>▪ Primer cuartil (𝑄1)</p><p>QK = Li + (</p><p>kN</p><p>4</p><p>− Fi−1</p><p>Fi − Fi−1</p><p>) ∗ Ci</p><p>Q1 = Li + (</p><p>N</p><p>4 − Fi−1</p><p>Fi − Fi−1</p><p>) ∗ Ci = 20 + (</p><p>16140</p><p>4 − 1493</p><p>4633 − 1493</p><p>) ∗ 5 = 24.05</p><p>▪ Percentil 60 (P60)</p><p>P60 = Li + (</p><p>60N</p><p>100</p><p>− Fi−1</p><p>Fi − Fi−1</p><p>) ∗ Ci = 30 + (</p><p>60 ∗ 16140</p><p>100</p><p>− 8014</p><p>10855 − 8014</p><p>) ∗ 5</p><p>= 32.94</p><p>▪ Varianza (𝑆2)</p><p>S2 =</p><p>∑ (Xi − X̅)2 ∗ ni</p><p>5</p><p>i=1</p><p>N</p><p>=</p><p>1753164.6</p><p>16140</p><p>= 108.62</p><p>▪ Desviación estándar (𝑆)</p><p>𝑆 = √</p><p>∑ (Xi − X̅)2 ∗ ni</p><p>5</p><p>i=1</p><p>N</p><p>= √</p><p>1753164.6</p><p>16140</p><p>= 10.42</p><p>9. Dado los siguientes valores de una distribución</p><p>Y3 = 10, C=10, f5 = 9, f1 = 6 = f6</p><p>H1 = 0.12, H2 = 0.28, j = 1.6 ̅̅ ̅̅ ̅(tiene 6 intervalos), Y̅ = 15.2</p><p>Reconstruir el cuadro</p><p>SOLUCIÓN:</p><p>Calculamos el valor inicial a partir del dato Y3 = 10</p><p>▪</p><p>𝐋𝐢+𝟐𝟎+𝐋𝐢+𝟑𝟎</p><p>2</p><p>= Y3</p><p>▪</p><p>𝐋𝐢+𝟐𝟎+𝐋𝐢+𝟑𝟎</p><p>2</p><p>= 10 , 𝐋𝐢 = −𝟏𝟓</p><p>Cálculo de las frecuencias relativas y frecuencias relativas acumuladas a partir de los datos</p><p>▪ H2 = H1 + h2 , h2 = 0.28 − 0.12 = 0.16</p><p>▪ h1 =</p><p>f1</p><p>𝑛</p><p>, 𝑛 =</p><p>f1</p><p>h1</p><p>=</p><p>6</p><p>0.12</p><p>= 50</p><p>▪ h5 =</p><p>f5</p><p>n</p><p>=</p><p>9</p><p>50</p><p>= 0.18</p><p>▪ h6 =</p><p>f6</p><p>n</p><p>=</p><p>6</p><p>50</p><p>= 0.12</p><p>▪ h2 =</p><p>f2</p><p>n</p><p>, f2 = h2 ∗ 𝑛 = 0.16 ∗ 50 = 8</p><p>▪ H6 − h6 = H5, H5 = 1 − 0.12 = 0.88</p><p>▪ H4 = H5 − h5 = 0.88 − 0.18 = 0.70</p><p>Cálculo de f3 y f4 a partir del dato Y̅ = 15.2</p><p>▪ Y̅ =</p><p>∑ 𝒙𝒊∗𝒇𝒊</p><p>𝑘</p><p>𝑖=1</p><p>𝑛</p><p>15.2 =</p><p>(−10 ∗ 6) + (0 ∗ 8) + (10 ∗ f3) + (20 ∗ f4) + (30 ∗ 9) + (40 ∗ 6)</p><p>50</p><p>𝐟𝟑 + 𝟐𝐟𝟒 = 𝟑𝟏 … … . . (𝟏)</p><p>▪ f1 + f2 + f3 + f4 + f5 + f6 = 50</p><p>𝐟𝟑 + 𝐟𝟒 = 𝟐𝟏 … … … (𝟐)</p><p>De la ecuación (1) y (2) se halla el valor de f3 y f4</p><p>▪ f3 = 11 𝑦 f4 = 10</p><p>▪ F3 = F2 + f3, F3 = 14 + 11 = 25</p><p>▪ F4 = F3 + f4, F4 = 25 + 10 = 35</p><p>▪ h3 =</p><p>f3</p><p>n</p><p>=</p><p>11</p><p>50</p><p>= 0.22</p><p>▪ h4 =</p><p>f4</p><p>n</p><p>=</p><p>10</p><p>50</p><p>= 0.20</p><p>INTERVALOS</p><p>(I)</p><p>MARCA</p><p>DE CLASE</p><p>𝒙𝒊</p><p>FRECUENCIA</p><p>ABSOLUTA</p><p>𝒇𝒊</p><p>FRECUENCIA</p><p>ABSOLUTA</p><p>ACUMULADA</p><p>𝑭𝒊</p><p>FRECUENCIA</p><p>RELATIVA</p><p>𝒉𝒊</p><p>FRECUENCIA</p><p>RELATIVA</p><p>ACUMULADA</p><p>𝑯𝒊</p><p>𝒙𝒊 ∗ 𝒇𝒊</p><p>𝐋𝐢 𝐋𝒊+𝟏</p><p>-15 -5 -10 6 6 0.12 0.12 -60</p><p>-5 5 0 8 14 0.16 0.28 0</p><p>5 15 10 11 25 0.22 0.5 110</p><p>15 25 20 10 35 0.2 0.7 200</p><p>25 35 30 9 44 0.18 0.88 270</p><p>35 45 40 6 50 0.12 1 240</p><p>50 1 760</p><p>10. Se tiene una distribución de frecuencias simétricas con intervalos de clase de ancho constante y de</p><p>ella se conoce los siguientes datos:</p><p>𝑛 = 150 Y´5 = 60, f2 = f1 + 5</p><p>f3 = 30 Q1 = 43.50</p><p>Reconstruir la distribución.</p><p>SOLUCIÓN:</p><p>En una distribución simétrica se cumple:</p><p>{</p><p>𝑓1 = 𝑓6</p><p>𝑓2 = 𝑓5</p><p>𝑓3 = 𝑓4</p><p>Además, la suma de las frecuencias absolutas es igual a la cantidad de datos (n)</p><p>𝑓1 + 𝑓2 + 𝑓3 + 𝑓4 + 𝑓5 + 𝑓6 = 𝑛; según dato del problema 𝑓2 = 𝑓1 + 5</p><p>entonces 𝑓1 + (𝑓1 + 5) + 𝑓3 + 𝑓3 + (𝑓1 + 5) + 𝑓1 = 150</p><p>reemplazando valores 𝑓1 + 𝑓1 + 5 + 30 + 30 + 5 + 𝑓1 + 𝑓1 = 150</p><p>4𝑓1 = 80, 𝑓1 = 20</p><p>por lo tanto</p><p>▪ 𝑓1 = 20</p><p>▪ 𝑓2 = 25</p><p>▪ 𝑓3 = 30</p><p>▪ 𝑓4 = 30</p><p>▪ 𝑓5 = 25</p><p>▪ 𝑓6 = 20</p><p>El límite del quinto intervalo es Y´5 = 60, ósea</p><p>Li + 5𝐴 = 60…… (1)</p><p>el primer cuartil Q1 = 43.50</p><p>▪</p><p>𝐾𝑛</p><p>4</p><p>=</p><p>1∗150</p><p>4</p><p>= 37.5, por lo que el primer cuartil se ubica en el segundo intervalo</p><p>▪ QK = Li + (</p><p>kN</p><p>4</p><p>−Fi−1</p><p>Fi−Fi−1</p><p>) ∗ Ci</p><p>Q1 = (Li + 𝐴) + (</p><p>N</p><p>4</p><p>− Fi−1</p><p>Fi − Fi−1</p><p>) ∗ Ci</p><p>43.50 = (Li + 𝐴) + (</p><p>150</p><p>4</p><p>− 20</p><p>45 − 20</p><p>) ∗ A</p><p>43.50 = Li + 1.7A………… (2)</p><p>De las ecuaciones (1) y (2)</p><p>se obtiene el valor de la amplitud 𝐴 = 5</p><p>Finalmente, con los valores obtenidos reconstruimos la tabla</p><p>Intervalos</p><p>[𝑳𝒊 − 𝑳𝒊+𝟏 ></p><p>𝒀𝒊 𝒇𝒊 𝑭𝐢</p><p>[35 − 40 > 37.5 20 20</p><p>[40 − 45 > 42.5 25 45</p><p>[45 − 50 > 47.5 30 75</p><p>[50 − 55 > 52.5 30 105</p><p>[55 − 60 > 57.5 25 130</p><p>[60 − 65 > 62.5 20 150</p><p>150</p><p>RGR11</p>