ARITMÉTICA

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Aritmética 1
Presentación
Este libro de Aritmética es el producto de años de nuestra experiencia docente a 
nivel preuniversitario y del trabajo coordinado y efectivo en la diaria búsqueda 
de mejores alternativas didácticas, dirigidas a ayudar a los estudiantes del 
CEPREVI a lograr su objetivo de ingresar a la prestigiosa UNFV.
En esta ocasión se ha considerado una teoría explicita y más comprensible, 
que incluye nuevos tópicos como los capítulos de "Lógica proposicional" y de 
"Interés y descuento". Se ha buscado la sencillez del lenguaje y la facilidad de la 
lectura, para que todos los estudiantes lo puedan utilizar como una herramienta 
fundamental en la construcción de sus aprendizajes y comprendan que la 
aritmética es la parte de la matemática encargada del estudio de los números en 
su formación, representación, operaciones, propiedades y aplicaciones.
Finalmente, el Centro Pre Universitario de la Universidad Nacional Federico 
Villarreal (CEPREVI) promueve el logro de tus metas en nuestra casa de estudios, 
para que contribuyas de forma integral al desarrollo de nuestra sociedad.
LOS PROFESORES
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI2
Índice
UNIDAD 1 Lógica proposicional .......................................................................... 3
UNIDAD 2 Teoría de conjuntos ............................................................................ 12
UNIDAD 3 Operaciones de conjuntos ................................................................. 16
UNIDAD 4 Numeración ........................................................................................ 19
UNIDAD 5 Conteo de números ............................................................................ 26
UNIDAD 6 Cuatro operaciones ............................................................................ 31
UNIDAD 7 Teoría de la divisibilidad ................................................................... 44
UNIDAD 8 Números primos y compuestos ........................................................ 52
UNIDAD 9 MCD y MCM ...................................................................................... 55
UNIDAD 10 Razones y proporciones ..................................................................... 58
UNIDAD 11 Promedios ........................................................................................... 64
UNIDAD 12 Magnitudes proporcionales .............................................................. 67
UNIDAD 13 Reparto proporcional ......................................................................... 70
UNIDAD 14 Regla de tres ........................................................................................ 75
UNIDAD 15 Interés y descuento ............................................................................. 79
BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................. 85
Aritmética 3
UNIDAD 1
Lógica proposicional
1. PROPOSICIÓN LÓGICA
Es aquella expresión u oración que se puede calificar como verdadera (V) o 
como falsa (F), sin ambigüedad. Las proposiciones lógicas se denotan con letras 
minúsculas, tales como: p, q, r, s... etc.
Ejemplo:
p : 3 + 5 = 7 ( F )
q : Lima es la capital del Perú. ( V )
r : El gato es un felino. ( V )
No son proposiciones lógicas las oraciones interrogativas o exclamativas ya 
que de ellas no se puede afirmar si son verdaderas o falsas.
2. NEGACIÓN DE UNA PROPOSICIÓN
Consiste en cambiar el valor de verdad que tiene una proposición. Si la proposi-
ción es “p”, su negación se denota por “~p”:
 p ~p Se lee:
 V F No p
 F V Es falso que p
 No es cierto que p
Ejemplo:
p: 28 es un número perfecto. ( V )
Su negación es:
~p: No es cierto que 28 sea un número perfecto. ( F )
3. CONECTIVOS LÓGICOS
Son elementos que sirven de enlace entre las proposiciones, para formar otra, 
llamada proposición compuesta.
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI4
Ejemplo:
4 + 5 es mayor que 7 o 3 x 3 es menor que 10
 p q
 Conectivo lógico
 p q
 Conectivo
Los conectivos conocidos son la conjunción, la disyunción inclusiva, la con-
dicional, la bicondicional y la disyunción exclusiva.
3.1. CONJUNCIÓN
(Se simboliza: “∧” , se lee: “y”)
Dos proposiciones se pueden enlazar por medio de la palabra “y”, para formar 
otra nueva proposición llamada conjunción de ambas. 
La conjunción de las proposiciones “p y q” se denota: p ∧ q .
p q p ∧ q
V V V
V F F
F V F
F F F
p ∧ q es verdadero (V) cuando los dos son verdaderos.
Ejemplo:
p: 10 es mayor que 8 (V)
q: 12 es menor que 14 (V)
La conjunción de ambas será:
10 es mayor que 8 y 12 es menor que 14
Su valor de verdad: V ∧ V ≡ V
3.2. DISYUNCIÓN INCLUSIVA
(Se simboliza: “∨” , se lee: “o” )
Dos proposiciones se pueden enlazar por medio de la palabra “o”, para formar 
otra nueva proposición llamada disyunción de ambas.
∨
Aritmética 5
La disyunción de las proposiciones “p o q” se denota: p ∨ q .
p q p ∨ q
V V V
V F V
F V V
F F F
p ∨ q es verdadero (V) cuando cuando al menos uno de ellos es verdadero.
Ejemplo:
p: 5 es mayor que 3 ( V )
q: 7 es menor que 5 ( F )
La disyunción de ambas será:
5 es mayor que 3 o 7 es menor que 5
 p ∨ q
Su valor de verdad : V ∨ F ≡ V
3.3. CONDICIONAL
(Se simboliza: “→” , se lee: “entonces” )
Si se tienen dos proposiciones “p” y “q”, enlazadas de la forma “si p entonces q”, se 
dice que dichas proposiciones se llaman condicionales y se les denota por: “p → q”.
p q p → q
V V V
V F F
F V V
F F V
p → q es falsa (F) solamente cuando “p” es verdadera y “q” es falsa.
Ejemplo:
p: 10 es mayor que 8 (V)
q: 12 es menor que 10 (F)
La condicional de ambas será:
Si 10 es > que 8 entonces 12 es6. DESCUENTO SIMPLE
Es un procedimiento matemático que nos permite calcular la rebaja que se le 
hace a una letra por haberse hecho efectiva antes de la fecha de vencimiento.
D = Vn – Va
6.1. ELEMENTOS
6.1.1. Valor nominal (Vn)
Es el valor de toda la deuda y que figura impresa en letra o en pagaré.
6.1.2. Valor actual (Va)
Es la cantidad de dinero que se paga antes de la fecha de vencimiento, llamado 
también valor efectivo o presente.
6.1.3. Tiempo (t)
Son los días, meses o años entre la fecha de vencimiento y la fecha de pago anti-
cipado.
6.1.4. Tasa de descuento (r %)
Es el porcentaje aplicado sobre el valor nominal o el valor actual por el pago 
anticipado de la deuda.
6.2. CLASES DE DESCUENTO
6.2.1. Descuento comercial (Dc):
Es el interés que produce el valor nominal; llamado también descuento exterior 
o descuento abusivo.
 Dc = Vn × t × r DC = Vn – Va 100
Donde:
Vn : valor nominal
Va : valor actual
t : tiempo
r % : tasa de descuento
Aritmética 83
Observaciones:
• El denominador varía acorde con el tiempo, como en la regla de interés simple.
• La tasa de descuento debe ser anual para efectos de la fórmula; si no lo es, se 
halla una tasa anual equivalente.
Ejemplo:
¿Cuál es el descuento comercial que se le debe hacer a una letra de 3 000 soles 
con vencimiento en 9 meses a una tasa de descuento del 6 %?
Resolución
Identificando los datos:
Vn = 3 000
t = 9 meses
r = 6 %
Aplicamos la fórmula del descuento comercial:
 Dc = Vn × t × r
 100
 Dc = 3000 × 9 × 6
 100
 Dc = 135
6.2.2. Descuento Racional (DR):
Es el interés que produce el valor actual llamado también descuento interior o 
descuento matemático.
 DR = Va × t × r DR = Vn × t × r
 100 100 + t × r
Donde:
Vn : valor nominal
Va : valor actual
t : tiempo
r % : tasa de descuento
Observaciones:
• El denominador varía acorde con el tiempo, como en la regla de interés simple.
• La tasa de descuento debe ser anual para efectos de la fórmula; si no lo es, se 
halla una tasa anual equivalente.
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI84
Ejemplo:
El valor nominal es 8 veces el descuento racional. ¿Cuántas veces el descuento 
comercial es el valor nominal?
Resolución
Dato: Vn = 8 DR
 Vn = 8 Vn . r . t
 100 + r . t
 100 + r . t = 8 r . t
 100 = 7 r . t
 r . t = 100
 7
Ahora aplicamos la fórmula del descuento comercial:
 Dc = Vn × r × t
 100
 Dc = Vn × 100
 100 × 7
 Vn = 7 Dc
6.2.3. Propiedades
• El descuento comercial es mayor que el descuento racional.
 Dc > Dr
• La diferencia de los descuentos (comercial y racional) es igual al interés que 
produciría el descuento racional.
 Dc – Dr =
 Dr × t × r
 100
• El valor nominal de un descuento comercial es igual al producto de los des-
cuentos, dividido entre la diferencia de los mismos.
 Vn = Dc × Dr
 Dc – Dr
Aritmética 85
Asociación Fondo de Investigadores y Editores. 2006. Aritmética. Lima, Perú: 
Editorial Lumbreras.
CEPREVI. 2016. Libro de aritmética. Talleres gráficos de la Oficina de Imprenta 
de la UNFV.
Flores, Hernán V. 2005. Aritmética. Lima, Perú: Editorial Racso.
Editorial San Marcos. 2009. Compendio de aritmética. Primera edición. Lima, 
Perú.
Farfán Alarcón, Oscar. 1996. Aritmética. Curso práctico. Lima, Perú: Editorial 
San Marcos.
Lumbreras Editores. Aritmética. Análisis del número y sus aplicaciones. Lima, 
Perú.
Más Fernández, Hugo. 2016. Aritmética. Lima, Perú: Grupo Editorial Megabyte.
Más Fernández, Hugo. 2014. Lógica proposicional. Lima, Perú: Editorial 
Heurística E.I.R.L.
Tasaico Casas, Javier. 2009. Aritmética lógica proposicional. Lima, Perú: Editorial 
Cuzcano.
Bibliografía
	Tomo II Aritmética con VB Ceprevi final
	PAGINA EN BLANCOde los valores de verdad de “n” pro-
posiciones componentes es 2n.
Por ejemplo:
Si n =2 → hay: 22 = 4 combinaciones.
 p q
 V V
 V F
 F V
 F F
Si n = 3 → hay: 23 = 8 combinaciones.
 p q r
 V V V
 V V F
 V F V
 V F F
 F V V
 F V F
 F F V
 F F F
Ahora sí veamos cómo se construye una tabla de verdad:
p q p ∧ [ ( ~p → q ) ∨ ~q ) ]
V V
V F
F V
F F
Aritmética 9
4.2. TAUTOLOGÍA
Cuando los valores del operador principal son todos verdaderos.
Ejemplo: La proposición “p → ( p ∨ q )” es una tautología, tal como se puede 
comprobar en su tabla de verdad.
p q p → ( p ∨ q )
V V V V V
V F V V V
F V F V V
F F F V F
4.3. CONTRADICCIÓN
Cuando los valores del operador principal son todos falsos.
Ejemplo: La proposición “( p ∧ q ) ∧ ~q” es una contradicción, tal como se 
puede comprobar en su tabla de verdad.
p q ( p ∧ q ) ∧ ~q
V V V F F
V F F F V
F V F F F
F F F F V
4.4. CONTINGENCIA 
Cuando los valores del operador principal tienen por lo menos una verdad y por 
lo menos una falsedad.
Ejemplo: La proposición “( p ∨ q ) → ~p” es una contingencia, tal como se 
puede comprobar en su tabla de verdad.
p q ( p ∨ q ) → ~p
V V V F F
V F V F F
F V V V V
F F F V V
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI10
5. ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES
Son equivalencias lógicas que nos permiten reducir esquemas moleculares com-
plejos y expresarlos en forma más sencilla. Las demostraciones de dichas leyes 
se hacen construyendo la tabla de verdad en cada caso.
5.1. LEY DE IDEMPOTENCIA
 p ∨ p ≡ p
 p ∧ p ≡ p
5.2. LEY CONMUTATIVA
 p ∨ q ≡ q ∨ p
 p ∧ q ≡ q ∧ p
5.3. LEY ASOCIATIVA
 (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)
 (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
5.4. LEY DISTRIBUTIVA
 p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
 p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
5.5. LEY DE LA DOBLE NEGACIÓN
 ~(~p) ≡ p
5.6. LEY DE IDENTIDAD
 p ∨ V ≡ V ; p ∨ F ≡ p
 p ∧ V ≡ p ; p ∧ F ≡ F
5.7. LEY DE COMPLEMENTO
 p ∨ ~p ≡ V 
 p ∧ ~p ≡ F
5.8. LEY DE CONDICIONAL
p → q ≡ ~p ∨ q
Aritmética 11
5.9. LEY DE BICONDICIONAL
 p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
 p ↔ q ≡ (p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q)
5.10. LEY DE ABSORCIÓN
 p ∨ (p ∧ q) ≡ p
 p ∧ (p ∨ q) ≡ p
5.11. LEY DE MORGAN
 ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q
 ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI12
1. INTRODUCCIÓN
Sin duda alguna, la teoría de conjuntos es uno de los grandes aportes al desa-
rrollo de la matemática. No obstante que el concepto de conjunto nació en los 
albores de la humanidad, junto con el concepto de agrupación, fue sistematizado 
por primera vez por George Cantor (1845-1918) y desde entonces ha pasado a 
formar el punto de partida del estudio formal de la matemática y las ciencias que 
se sirven de ella.
2. CONCEPTO
Se entiende por conjunto a toda agrupación de objetos reales o imaginarios que 
tienen una o más características comunes; estos objetos reales o imaginarios son 
llamados elementos del conjunto, de manera que un conjunto está bien definido 
si es posible conocer todos sus elementos.
3. NOTACIÓN
Generalmente se denota a los conjuntos con letras mayúsculas de nuestro alfa-
beto y a sus elementos separados por comas y encerrados por signos de colec-
ción (llaves, corchetes), etc.
Ejemplo:
A = {do, re, mi, fa, sol, la, si}
P = {Ecuador, Perú, Bolivia, Argentina... Chile}
B = {a, e, i, o, u}
3.1. CARDINAL DE UN CONJUNTO (N):
Nos indica el número de elementos diferentes que tiene el conjunto considerado.
Ejemplo:
A = {8, 12, 17} → n(A) = 3
B = {9, 9, 6, 6, 6, 11, 11, 11, 11, 17} → n(B) = 4
UNIDAD 2
Teoría de conjuntos
Aritmética 13
4. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS
Los conjuntos se pueden determinar de dos maneras: por extensión o forma 
tabular y por comprensión o forma constructiva.
4.1. POR EXTENSIÓN O FORMA TABULAR
Cuando se indica todos y cada uno de los elementos del conjunto. Ejemplo:
V = {a, e, i, o, u}
P = {1, 2, 3, 4, 5}
* Observación: El orden en el cual son listados los elementos del conjunto no 
afecta su pertenencia al mismo.
D = {3, 5, 10, 17}
4.2. POR COMPRENSIÓN O FORMA CONSTRUCTIVA
Cuando se define al conjunto enunciando las propiedades comunes que caracte-
rizan a sus elementos. Ejemplo:
A= {x/x es una vocal}
→ Se lee: x tal que x es una vocal
B= {x/x ∈ N∧ x 5}
B = {las estrellas del universo}
6.5. CONJUNTO UNIVERSAL 
Es un conjunto de referencia; para el análisis de una situación particular, se elige 
en forma arbitraria. Se representa por el símbolo U.
6.6. CONJUNTO POTENCIA 
Está formado por todos los subconjuntos que es posible formar de un conjunto 
dado. Se simboliza por “P”. 
Notación: P(A), se lee potencia del conjunto A.
A = {a, b, c}
P(A) = {{a}; {b}; {c}; {a, b}; {a, c}; {b, c}; {a, b, c}; φ}
Para hallar el número de subconjuntos, se aplica la fórmula: 2n, en donde “n” es 
el número de elementos del conjunto.
Número de subconjuntos = 2n = 23 = 8.
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1. UNIÓN O REUNIÓN (∪)
Dados los conjuntos A y B, se llama conjunto unión al conjunto formado por 
todos los elementos que pertenecen a A o B o a ambos.
Notación: A ∪ B.
A ∪ B = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B}
Se lee: “A unión B”.
Ejemplo. Sean los conjuntos:
A = {2, 4, 7, 9}
B = {1, 7, 4, 12, 18}
El conjunto A ∪ B = {1, 2, 4, 7, 9, 12, 18}
Gráficamente:
2. INTERSECCIÓN (∩) 
Dados los conjuntos A y B, se llama conjunto intersección al conjunto formado 
por todos los elementos que pertenecen a A y B, es decir, que sean comunes a 
ambos conjuntos.
Notación: A ∩ B
A ∩ B = {x/x ∈ A ∧ x ∈ B}
Se lee: “A intersección B”.
UNIDAD 3
Operaciones de conjuntos
A B
12 4
79 12
18
U
Aritmética 17
Ejemplo. Sean los conjuntos:
A = {2, 4, 6, 9, 12}
B = {3, 6, 9, 4, 20, 23}
→ Conjunto A ∩ B = {4, 6, 9}
Gráficamente:
3. DIFERENCIA ( – )
Dados los conjuntos A y B, se llama conjunto diferencia (A – B) al conjunto for-
mado únicamente por los elementos que pertenecen a A pero no a B.
Notación: A – B
A – B = {x/x ∈ A ∧ x ∉ B}
Se lee: “A diferencia B”
Ejemplo. Sean los conjuntos:
A = {23, 19, 26, 25, 30}
B = {1, 9, 26, 23, 20, 18}
El conjunto A – B = {19, 25, 30}
Gráficamente:
* Observación: A – B ≠ B – A.
4. DIFERENCIA SIMÉTRICA (∆)
Dado los conjuntos A y B, se llama conjunto diferencia simétrica al conjunto 
cuyos elementos pertenecen al conjunto(A ∪ B) pero no al conjunto (A ∩ B).
A B
32 4
612 23
20
9
U
30
A B
125 2619
18
20
23 9
U
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI18
Notación: A ∆ B
A ∆ B = {x/x ∈ (A ∪ B) ∧ ∉ (A ∩ B)}
Ejemplo. Sean los conjuntos:
A = {2, 13, 19, 28, 30}
B = {1, 13, 19, 20, 29, 32}
El conjunto A ∆ B = {1, 2, 20, 28, 29, 30, 32}
Gráficamente:
5. COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO (A’)
Siendo A un subconjunto cualquiera del conjunto universal U, el complemento 
de A con respecto a U se define como el conjunto de elementos de U que no 
pertenecen a A.
Notación: A’ →
Se lee: el complemento de A.
A’ = {x/x ∈ U ∧ x ∉ A}
Ejemplo:
A = {4, 8, 10}
U = {x/x ∈ N ∧ 2 c
• Si un número se expresa en dos sistemas distintos, debe considerarse:
 Nº mayor Nº menor
2341 (5) = 424 (9)
 Base menor Base mayor
Aplicación
Si 203(n) = 104(m) y amb(7) está bien escrito, hallar el mayor valor de m + n.
Resolución
De la primera igualdad vemos que 3 0
Ordenando:
05 = 34
• Aplicando la 1a fórmula:
 No de términos = 199 – 34 = 33 5
1.2. CÁLCULO DE UN TÉRMINO CUALQUIERA
Toda progresión aritmética se podría representar por:
t1 , t2 , t3 , t4 … tk, tn
 r r r
1.3. FÓRMULA PARA CALCULAR EL TÉRMINO DE LUGAR “n”
 tn = t1 + (n – 1) . r
Aplicación
Hallar el término de lugar 30 en la progresión aritmética: 22, 27, 32, 37…
Solución
Reconociendo términos, observamos que:
t1 = 22
r = 27 – 22 = 5
n = 30 (lugar 30)
⇒ t30 = t1 + (30 – 1) r
 T30 = 22 + (29) (5) = 167
2. MÉTODO COMBINATORIO
2.1. PRINCIPIO FUNDAMENTAL
La cantidad de números o combinaciones que pueden formarse con varios 
órdenes o variables independientes entre si, es numéricamente igual al producto 
de las cantidades de valores que pueden tomar dichas órdenes o variables.
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI28
Ejemplo 1
¿Cuántos números de 3 cifras que empiecen y terminen en cifra impar existen?
Solución
Algunos números que cumplen la condición son: 101; 313; 343; 573; 799; etc.
Para calcular cuántos números son, se plantea:
Forma general:
a b c
Valores que puede 
tomar cada cifra
1 0 1
3 1 3
5 2 5
7 3 7
9 . 9
.
.
9
 5 . 10 . 5 = 250
Total de valores de 
cada orden
Total de números que cumplen 
con la condición
Ejemplo 2
¿Cuántos números de la forma abba existen en el sistema undecimal?
Solución
Forma general
a b b a(11)
 
Valores que pueden 
tomar las órdenes 
independientes
1 2 Cifras dependientes 
no se cuentan2 1
3 2
. 3
. .
. .
10 .
10
 10 . 11 = 110 números
Aritmética 29
PROBLEMAS RESUELTOS
1. ¿Cuántos números de 3 cifras mayores de 465 terminan en 25 o 75?
Resolución
Los números son:
475, 525, 575, 625… 975
y forman una P.A. de razón 50; por fórmula:
⇒ No términos = 975 – 475 = 500 = 10 números 50 50
2. En una P.A. desde el número 29 al 120 hay la mitad de los términos que 
desde el siguiente al 120 hasta 316. Hallar el término vigésimo.
Resolución
 r r
29, . . . , . . . , . . . , 120, (120 + r), . . . , . . . , . . . , 316
 "n" términos "2n" términos
n =
 120 – (29 – r) 
2n =
 316 – 120
 r r
Reemplazando: 2 91 + r = 196
 r r
 182 + 2r = 196 → 2r = 14
 r = 7
Luego:
 T(20) = 29 + (20 – 1)7 = 162
3. Dada la siguiente P. A., que tiene 7x términos y “r” como razón, hallar (x + r)
98, … … …, 1190
Resolución
No términos: 7x = 1190 – (98 – r)
 r
 7x . r = 1092 + r
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI30
 7x . r – r = 1092
 r ( 7x – 1) = 14 . 78
 r = 14
 7x = 79 → x = 9 ∴ x + r = 23
4. ¿Cuántos números de la forma ( a – 1) ( a ) (b – 3) ( b ) existen?
 2 3 (18)
 Resolución
(a – 1) (a/2) (b – 3) (b/3) (18)
1 0
3 3
. .
. .
17 15
9 6 = 54 números
5. ¿En qué sistema de numeración existen 180 números capicúas de 5 cifras? 
Dar la base.
 Resolución
a b c b a(0)
1 0 0
2 1 1
3 2 2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(n – 1) (n – 1) (n – 1)
 (n – 1) . n . n = 180
 n2 (n – 1) = 62 (6 – 1)
 \ n = 6
Aritmética 31
ADICIÓN
Es la operación aritmética que asocia cantidades de la misma especie (homogé-
neas) en una sola, llamada suma.
a1 + a2 + a3 + … + an = s
 sumandos suma
1. SUMAS NOTABLES
Suma de términos de una sucesión aritmética:
 t1 , t2 , t3 … tn
 r r
Suma = S =
 n (t1 + tn)
 2
Ejemplo 1
Calcular R en:
R = 24 + 27 + 30 + ... + 366
Resolución
Calculamos el número de términos:
# Térm. = 366 – 21 = 345 = 115 3 3
Luego:
R = 115 (24 + 366) = 115 x 390
 2 2
R = 22 425
UNIDAD 6
Cuatro operaciones
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI32
2. CASOS PARTICULARES
S1: suma de los «n» primeros números naturales.
S1 = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n =
 n (n + 1)
 2
S2: suma de los «n» primeros números pares.
S2 = 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n = n (n + 1)
S3: suma de los «n» primeros números impares
S3 = 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n − 1) = n2
Ejemplo 2
La suma de los «n» primeros números pares es un número de forma a00.
Hallar: a . n
Resolución
2 + 4 + 6 + … + 2n = a00
 n (n+1) = 100a
 n (n+1) = 25 . 4a ⇒ 4a = 24
Luego: n = 24 y a = 6
\ a . n = 144
4. OTROS CASOS
S4: suma de los «n» primeros cuadrados perfectos.
S4 = 12 + 22 + 32 + ... + n2 =
 n (n + 1) (2n + 1)
 6 
S5: suma de los «n» primeros cubos perfectos.
S5 = 13 + 23 + 33 + ... + n3 =
 n (n + 1) 
2
 2
Aritmética 33
S6: suma de los «n» primeros números oblongos.
S6 = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n (n + 1) =
 n (n + 1) (n + 2)
 3
S7: Si A ∈ Z+, y A > 1, entonces:
A0 + A1 + A2 + A3 + ... An =
 An+1 – 1
 A – 1
Ejemplo 3
Calcular:
y = 27 + 297 + 2997 + ... + 299 ... 997
 “n+1” cifras
Resolución
Dividiendo entre 3 ambos lados:
y
 = 9 + 99 + 999 + ... + 99 ... ... ... 99
3 “n” términos
y
 = (101 – 1) + (102 – 1)+ (103 – 1)+ ... + (10n – 1)
3
y
 = (100 + 101 + 102 + ... + 10n) – n – 1
3
y = 10n+1 – 9n – 10
3 9
y = 10n+1 – 9n – 10
 3
Ejemplo 4
La suma de 500 números consecutivos es igual a 999 veces el menor de dichos 
sumandos. Entonces, el mayor de dichos números es:
Resolución
a; a +1; a + 2; ... ; a + 499
 500 números
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI34
 S =
 (a1 + an) n
 2
 (a + a + 499) 500999a = 2
999a = (2a + 499) . 250
999a = 500a + 499 . 250
499a = 499 . 250
a = 250
\ No mayor: a + 499 = 749
SUSTRACCIÓN
Es la operación aritmética inversa a la adición, en la que dados el «minuendo 
(M)» y el «sustraendo (S)», se busca un tercero llamado «diferencia (D)», de tal 
modo que al adicionar la diferencia al sustraendo nos reproduce el minuendo.
Es decir:
M – S = D
1. PROPIEDADES
1.1. En toda sustracción:
 M + S + D = 2M
1.2. En todo número de tres cifras abc, donde a > b; si se tiene:
 abc –
Æ
n = 9
m + p = 9
También:
a − c = m + 1
 cba
mnp
Aritmética 35
Ejemplo 1
¿Cuántos numerales abc cumplen que: abc − cba = mn(2m)?
Resolución
n = 9 Entonces: a − c = 4
a b c –
c b a
mn(2m)
Æ
m + 2m = 9
3m = 9
m = 3
5 1
6 2
7 3
8 4
9 5
5 casos
Luego:
a b c
5 0 1
6 1 2
7 2 3
8 3 4
...
9
9 5
5 × 10 = 50 números.
COMPLEMENTO ARITMÉTICO (C.A.)
C.A. (7) = 10 – 7 = 3
C.A. (38) = 100 – 38 = 62
C.A. (547) = 1000 – 547 = 453
Æ C.A. ( abcd ) = 10 000 – abcd
Si N es un número entero de «K» cifras:
Æ C.A. (N) = 10k – N
1. MÉTODO PRÁCTICO
C.A. ( 35082 ) = 64918
 9 10
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI36
C.A. (4607300) = 5392700
 9 10
C.A. (abcd) = (9 − a)(9 − b)(9 − c)(10 − d)
 9 10
Donde d ≠ cero
Ejemplo 2
Hallar el valor de a + b, si el complemento aritmético de a7b es igual al producto 
de sus cifras de mayor y menor orden.
Resolución
Por dato: C.A. ( a7b ) = a.b (como máximo es 81).
O sea, a.b es un número de 2 cifras; por lo tanto a = 9.
Luego: C.A. ( 97b ) = 9b
 1000 − 97b = 9b
 1000 – 970 – b = 9b Æ 30 = 10b
 b = 3
 \ a + b = 12
Ejemplo 3
Se tiene un número de 4 cifras significativas que sumadas dan 32, entonces la 
suma de cifras de su C.A. es:
Resolución
Dado: abcd Æ a + b + c + d = 32
C.A. abcd = (9 − a) (9 − b) (9 − c) (10 − d)
Scifras = 9 – a + 9 – b + 9 – c + 10 – d
Scifras = 37 – a – b – c – d
Scifras = 37 – (a + b + c + d)
Scifras = 37 – 32
Scifras = 5
Ejemplo 4
La suma de los tres términos de una resta es 1480. Si el sustraendo es el C.A. del 
minuendo, calcular el cuádruplo de la tercera parte de la diferencia.
Aritmética 37
Resolución
 M + S + D = 1480
Propiedad: 2M = 1480
 M = 740 M – S = D
Luego: S = C.A. (M) 740 – 260 = D
 S = C.A. (740) Æ	 D = 480
 S = 260
Piden: 4 ( 480 ) = 640
 3
MULTIPLICACIÓN
Operación aritmética en la que una cantidad llamada multiplicando (M) se 
repite tantas veces como indica otra, llamada multiplicador (m), para obtener 
una tercera llamada producto (P).
Origen: Una adición del tipo:
a + a + a + ... + a = a × n
“n” veces
Es decir: M × m = P Producto
 Multiplicador (factor)
 Multiplicando (factor)
Observación: productos parciales
 N ×
 abc
 c × N
 b × N Productos parciales
 a × N
 P Producto final
1) (# par) (# entero) = (# par)
2) (# impar) (# impar) = (# impar)
3) (# impar) (...5) = (... 5)
4) (# par) (... 5) = (... 0)
 ... 0
5) n × (n + 1) = ... 2
 ... 6
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI38
DIVISIÓN
Es la operación inversa a la multiplicación, donde dados dos cantidades llamadas
dividendo (D) y divisor (d) (d ≠ 0), se busca un tercero llamado cociente (q); de 
tal modo que al multiplicarlo por el divisor nos reproduce el dividendo.
 Dividendo D d Divisor
 q Cociente
 D = d . q
 d ≠ 0
1. DIVISIÓN
En este caso todos los términos son números enteros y pueden ser de 2 clases.
1.1. D.E. EXACTA
Resulta cuando el residuo de la división entera es cero.
 D d
 0 q Æ D = d . q
1.2. D.E. INEXACTA
El residuo es diferente de cero.
Por defecto Por exceso
D d D d
rd q re q + 1
02, 4, 6 u 8
Ejemplo: 999998 = m2
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI48
DIVISIBILIDAD POR 5
Un número es divisible por 5 cuando la cifra de sus unidades es cero o cinco.
Si: ...abc = 5 c → 0 o 5
Ejemplo: 123450 = m5
2.4. DIVISIBILIDAD POR 4
Un número es divisible por 4 si sus 2 últimas cifras son ceros o forman un número 
múltiplo de 4 o cuando la suma del doble de la penúltima más la última es un 4.
Si: ...abc = 4 Æ bc = 00, 04, 08, … 96
o también: 2b + c = 4
Ejemplo: 14 352 = 4 ya que: 2(5) + 2 = 12 = m4
2.5. DIVISIBILIDAD POR 25
Un número es divisible por 25 cuando sus 2 últimas cifras son ceros o un 25.
Si: ...abcd = 25 Æ	 cd = 00 o 25
Ejemplo: 36975 = m25 ya que 75 = m25
2.6. DIVISIBILIDAD POR 8
Un número es divisible por 8 cuando sus 3 últimas cifras son ceros o un 8.
Si: ...abcd = 8 Æ bcd = 000 o 8
o también: 4b + 2c + d = 8
Ejemplo: 15432 = 8 ya que: 4(4) + 2(3) + 2 = 24 = 8
2.7. DIVISIBILIDAD POR 125
Un número es divisible por 125 cuando sus 3 últimas cifras son ceros o un 125.
Si: abcd = 125 Æ bcd = 000 o 125
Ejemplo: 87375 ya que 375 = 125
Aritmética 49
2.8. DIVISIBILIDAD POR 2n o 5n
Un número es divisible por 2n o 5n si sus últimas «n» cifras son ceros o forman 
un número que sea divisible por 2n o 5n, respectivamente.
2.9. DIVISIBILIDAD POR 3
Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.
Si: abcdef = 3 Æ	 a + b + c d + d + e + f = 3
Ejemplo: 123450 = m3 ya que Scifras = 15 = 3
2.10. DIVISIBILIDAD POR 9
Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
Si: abcdef = 9 Æ	 a + b + c d + d + e + f = 9
Ejemplo: 12345067890 = m9 ya que Scifras = 45 = 9
2.11. DIVISIBILIDAD POR 11
Un número es divisible por 11 cuando la suma de sus cifras de orden impar 
menos la suma de sus cifras de orden par es cero o 11.
→
Si
8° 7° 6° 5° 4° 3° 2° 1° órdenes
a b c d e f g h = 11
– + – + – + – + ←
Æ (h + f + d + b) – (g + e + c + a) = 0 o 11
(Σ de cifras orden impar) – (Σ de cifras orden par)
Ejemplo: 1836547295
Donde: (5 + 2 + 4 + 6 + 8) – (9 + 7 + 5 + 3 + 1) = 0 Æ el No es 11
2.12. DIVISIBILIDAD POR 7
Un número será divisible por 7 cuando se le aplique la siguiente regla: de dere-
cha a izquierda y cifra por cifra, se multiplique por los siguientes factores: 1, 3, 2, 
−1, −3, −2, 1, 3, 2, −1, ... después de realizar estos productos, se efectúa la suma 
algebraica, y si este resultado es 0 o 7 , el número será efectivamente múltiplo de 7.
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI50
←
Si a b c d e f g h = 7 Æ h + 3g + 2f – (2e + 3d + 2c) + 2b + 3a = 7
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
3 1 2 3 1 2 3 1
+ − +
Ejemplo: 760493636 es múltiplo de 7.
Comprobación:
7 6 0 4 9 3 6 3 6
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
2 3 1 2 3 1 2 3 1
+ − +
Æ 6 + 9 + 12 – (3 + 27 + 8) + 0 + 18 + 14
27 – 38 + 32 = 21 = 7
2.13. DIVISIBILIDAD POR 13
Regla práctica
Å
Si: a b c d e f g h = 13
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
3 1 4 3 1 4 3 1
− + − +
Æ	h − (3g + 4f + e) + (3d + 4c + b) − 3a = 13
Ejemplo: 283756174 es 13
2 8 3 7 5 6 1 7 4
4 3 1 4 3 1 4 3 1
− + − +
Æ 4 − (21 + 4 + 6) + (15 + 28 + 3) – (24 + 8)
4 – 31 + 46 – 32 = −13 = 13
➙
Aritmética 51
APLICACIÓN
¿Qué valor debe tomar «b» en el numeral 128b306 si es divisible entre 13?
Resolución
1 2 8 b 3 0 6 = 13
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
1 4 3 1 4 3 1
+ − +
Æ 1 + 8 + 24 − b − 12 − 0 + 6 = 13
 27 – b = 13
 \ b = 10
2.14. DIVISIBILIDAD POR 33
Å
Si: a b c d e f = 3
Æ ef + cd + ab = 33
2.15. DIVISIBILIDAD POR 99
Si: a b c d e f g = 99 Æ fg + de + bc + a = 99
Ejemplo:
¿Es: 2935647 = 99?
Resolución
Separando grupos de 2 cifras de derecha a izquierda:
 47 + 56 + 93 + 2 = 198 = 99
Æ	 el No es 99
➙
➙
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI52
1. NÚMERO PRIMO ABSOLUTO
Es aquel número entero positivo, mayor que 1, que se divide sin resto solo por 
la unidad y por sí mismo.
Ejemplos:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, ...
2. NÚMERO COMPUESTO
Es aquel número entero positivo que admite divisores distintos de la unidad y 
de sí mismo.
Ejemplo:
Divisores
4 Æ 1, 2, 4
10 Æ 1, 2, 5, 10
Observación
• La unidad es el único número entero positivo que no es primo ni com-
puesto, pues tiene 1 solo divisor.
• Se denominan NÚMEROS SIMPLES a aquellos que tienen a lo más 2 
divisores. (La unidad y los números primos absolutos) 
3. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ (PESI)
Son aquellos que admiten como único divisor común a la unidad.
Ejemplo:
Divisores
6 Æ 1, 2, 3, 6
15 Æ 1, 3, 5, 15
20 Æ 1, 2, 4, 5, 10, 20
UNIDAD 8
Números primos y compuestos
Aritmética 53
• 6, 15 y 20 son números PESI, ya que su único divisor común es la unidad.
• 6 y 20 no son PESI, ya que tienen dos divisores comunes, la unidad y el dos.
• 15 y 20 no son PESI.
4. DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA
Es la representación de un número mediante el producto indicado de potencias 
de exponente entero positivo, de los divisores primos del número. La descompo-
sición canónica de un número es única.
Ejemplo:
540 2
270 2
135 3
45 3 540 = 22 × 33 × 5
15 3
5 5
1
En general, todo número compuesto «N» se puede expresar:
N = An . Bm . Cp ...
Donde:
A, B, C, ... son números primos absolutos y diferentes.
m, n, p, ... son números enteros positivos.
5. PRINCIPALES FÓRMULAS
Dado el número «N» descompuesto canónicamente:
N = An . Bm . Cp ... M k
5.1. CANTIDAD DE DIVISORES (C.D.)
C.D.N = (n+1) (m+1) (p+1) ... (K+1)
Ejemplo:
180 = 22 . 32 . 5
C.D.180 = (2+1) (2+1) (1+1) = 18 divisores
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI54
5.2. SUMA DE DIVISORES (S.D.)
 
S.D.N =
 An+1 − 1 . Bm+1 − 1 . Cp+1 − 1 ... Mk +1 − 1
 A − 1 B − 1 C − 1 M − 1
Ejemplo:
180 = 22 . 32 . 5
 
S.D.180 =
 23 − 1 . 33 − 1 . 52 − 1 
= 546
 2 − 1 3 − 1 5 − 1
Aritmética 55
1. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)
Es el mayor de los divisores comunes de varios números. También se le conoce 
con el nombre de prodivisor.
Ejemplo: Hallar el MCD de 18 y 30.
18 Æ 1, 2, 3, 6, 9, 18
30 Æ 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
Divisores comunes: 1, 2, 3, 6
El mayor es el MCD
Así: MCD (18, 30) = 6
2. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)
Es el menor de los múltiplos comunes de varios números; también se le conoce 
con el nombre de promúltiplo.
Ejemplo: Hallar el MCM de 12 y 8.
12 Æ 12; 24; 36; 48; 60; 72; ...
8 Æ 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, ...
Múltiplos comunes: 24, 48, ...
El menor es el MCM
Así: MCM (12, 8) = 24
3. DETERMINACIÓN DEL MCD Y MCM
3.1. POR DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA
Ejemplo: Dados: A = 24 . 35 . 52 . 7 . 13
 B = 22 . 3 . 72 . 13 . 17
MCD: Factores comunes al menor exponente.
MCM: Factores comunes y no comunes al mayor exponente.
UNIDAD 9
MCD y MCM
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI56
Así: MCD (A, B) = 22 . 3 . 7 . 13
 MCM (A, B) = 24 . 35 . 52 . 72 . 13 . 17
3.2. POR DESCOMPOSICIÓN SIMULTÁNEA
Ejemplo:
Hallar el MCD y MCM de 360 y 480
MCD: Factores comunes.
MCM: Total de factores.
Así:
360 – 480 2 
180 – 240 2 
90 – 120 2 Factores comunes: MCD = 23. 3 . 5
45 – 60 3 MCD = 120
15 – 20 5
3 – 4
Para MCM seguimos descomponiendo:
360 – 480 2 
. – . 2 
. – . 2
. – . 3
. – . 5 Todos los factores: MCM = 25. 32 . 5
3 – 4 3 MCM = 1440
1 2
1 2
1
3.3. ALGORITMO DE EUCLIDES O DIVISIONES SUCESIVAS
Ejemplo: Hallar el MCD de 700 y 425
Cocientes
 1
700 425 700 425
275 1 275
residuos
Aritmética 57
Completando:
1 1 1 1 5
700 425 275 150 125 25 MCD
275 150 125 25 0
\ MCD (700; 425) = 25
4. PROPIEDADES
4.1. Si «A» y «B» son PESI: MCD (A, B) = 1
 MCM (A, B) = A.B
4.2. Dado: MCD (A, B, C) = d
 Æ MCD ( A.n, B.n, C.n) = d.n
 Así mismo: MCM (A, B, C) = m
 Æ MCM (A.n, B.n, C.n) = m.n
4.3. Si: MCD (A, B, C) = d
A = p ; B = q ; C = r siendo: «p», «q» y «r» PESI
d d d
 Entonces despejando: A = d . p
 B = d . q
 C = d . r
 Ejemplo: MCD (12, 16, 20) = 4
Si
12 = 3 16 = 4 20 = 5 3, 4 y 5 son PESI.
4 4 4
 También: 12 = 4(3)
 16 = 4(4)
 20 = 4(5)
4.4. Solo para dos números: MCD (A, B) = d
 MCM (A, B) = m
 Æ A.B = MCD . MCM = d.m
 Ejemplo: Dados los números: 12 y 15 Æ MCD = 3
 MCM = 60Æ 12 × 15 = 3 × 60
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI58
1. RAZÓN
Es una comparación entre dos cantidades, mediante la sustracción o la división, 
que se denomina razón aritmética en el primer caso y razón geométrica en el 
segundo.
Sin embargo, hay otras formas de comparar dos cantidades, como «la diferen-
cia de inversas», «la diferencia de cuadrados», etc.
1.1. RAZÓN ARITMÉTICA
Es el resultado obtenido al comparar dos cantidades mediante la sustracción.
La forma sencilla de escribir una razón aritmética es la siguiente:
a : antecedente
a − b = r donde b : consecuente
r : valor de la razón
1.2. RAZÓN GEOMÉTRICA
Es el resultado obtenido al comparan dos cantidades mediante la división.
La forma sencilla de escribir una razón geométrica es la siguiente:
 a = q donde
a : antecedente
b : consecuente
r : valor de la razón b
Cuando en un ejercicio se proponen el término «razón» o «relación», se debe enten-
der que se está haciendo referencia a la razón geométrica.
2. PROPORCIÓN
Así se denomina a la igualdad establecida entre dos razones del mismo valor y 
de una misma clase.
UNIDAD 10
Razones y proporciones
Aritmética 59
2.1. PROPORCIÓN ARITMÉTICA
Se forma cuando igualamos dos razones aritméticas del mismo valor. Es decir:
a – b = c – d
Para que la igualdad mostrada sea una proporción aritmética, necesariamente 
debe cumplirse que:
a + d = b + c
Los números «a» y «d» se denominan términos extremos mientras que los 
números «b» y «c» se denominan términos medios.
Por lo tanto, en una proporción aritmética «la suma de los extremos es igual 
a la suma de los medios».
2.1.1. Tipos de proporciones aritméticas
Dependiendo del valor que pueden tener los términos medios, las proporciones 
aritméticas son de dos formas: discreta y continua.
2.1.1.1. Proporción aritmética discreta
Es aquella donde los términos medios son diferentes, es decir:
a – b = c – d
Observación
Los cuatro términos son diferentes entre sí y cada uno de ellos se deno-
mina «cuarta diferencial»
2.1.1.2. Proporción aritmética continua
Es aquella donde los términos medios son iguales, es decir:
a – b = b – c
Observación
1. a, b y c son diferentes entre sí.
2. «b» es la «media diferencial» de «a» y «c» y su valor lo da la siguiente 
relación:
b = a + c
2
3. Generalmente, «c» es la «tercera diferencial» de «a» y «b».
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI60
2.2. PROPORCIÓN GEOMÉTRICA
Se forma cuando igualamos dos razones geométricas del mismo valor. Es decir:
a
=
c
c d
Para que la igualdad mostrada sea una proporción geométrica, necesariamente 
debe cumplirse
a × d = b × c
Los números «a» y «d» se denominan términos extremos, mientras que los 
números «b» y «c» se denominan términos medios.
Por lo tanto:
En una proporción geométrica, el producto de los extremos es igual al pro-
ducto de los medios.
2.2.1. Tipos de proporciones geométricas
Según el valor de los términos medios, hay dos tipos: discreta y continua.
2.2.1.1. Proporción geométrica discreta
Es aquella en la que los términos medios son diferentes; es decir:
a
=
c
b d
Los cuatro términos son diferentes entre sí y cada uno de ellos se denomina 
«cuarta proporcional».
2.2.1.2. Proporción geométrica continua
Es aquella en la que los términos medios son iguales, es decir:
a
=
b
b c
• a, b y c son diferentes entre sí.
• «b» es la «media proporcional» de «a» y «c» y su valor está dado por la siguiente 
relación:
b = a × c
• Generalmente «c» es la «tercera proporcional» de «a» y «b».
Aritmética 61
3. SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES
Es la igualdad establecida entre dos o más razones geométricas equivalentes, es 
decir, todas iguales a un mismo valor «k».
 a1 = b1 × k
 a1 =
 a2 =
 a3 =
 . . . 
=
 an 
= k 
a2 = b2 × k
 b1 b2 b3 bn
 a3 = b3 × k
Donde:
a1, a2, a3 …, an son los antecedentes.
b1, b2, b3 …, bn son los consecuentes.
«k» es la constante o razón de la serie.
3.1. PROPIEDADES
• «La suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes, como cada 
antecedente es a su respectivo consecuente». Es decir:
a1 + a2 + a3 + ... + an =
 a1 =
 a2 =
 a3 =
 
... =
 an =
 
k
b1 + b2 + b3 + ... + bn b1 b2 b3 bn
• «El cociente entre el producto de los antecedentes y producto de los con-
secuentes, es igual a la razón elevada al número de razones consideradas». 
Es decir:
 a1 × a2 × a3 × ... × an = kn b1 × b2 × b3 × ... × bn
4. SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES CONTINUAS
Ocurre cuando, «fija una razón inicial, las otras tienen como antecedente el con-
secuente de la razón anterior», es decir:
 a 
=
 b 
=
 c 
=
 d 
=
 ... =
 x 
=
 y 
=
 
k
 b c d e y z
Se nota que: a = z . k (número de razones)
. .
 .
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI62
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Hallar la cuarta proporcional de m, 52 y n, sabiendo que «m» es la media 
proporcional de 52 y 13 y que «n» es la tercera proporcional de 25 y 15.
Resolución
Si «x» es la cuarta proporcional de m, 52 y n, ⇒ m = n … (α)
 52 x
Si «m» es la media proporcional de 52 y 13, ⇒ 52 = m
 m 13
 25 = 15
 15 n
Entonces m2 = 52 × 13
 m = 26
Si «n» es la tercera proporcional de 25 y 15, ⇒ n = 15 × 15 n = 9
 25
Finalmente, en (α) 26 = 9
 52 x
 \ x = 18
2. Dos números son entre sí como 8 es a 5. Si la razón aritmética de sus cuadra-
dos es 351, hallar el mayor de los números.
Resolución
Si los números son entre sí como 8 es a 5 ⇒ a = 8k y b = 5k
Luego: a + b = 13k y a – b = 3k
Pero a2 – b2 = 351
entonces (a + b) (a – b) = 351 … (a)
Al reemplazar los valores de la suma y la diferencia de «a» y «b» en (a),
se obtiene: 13k . 3k = 351
 k . k = 3 . 3
 \ k = 3
Finalmente, el mayor de los números es: a = 8 × 3 = 24
3. Dos números están en la relación de 2 a 7. Al agregar 73 a uno de ellos y 138 
al otro, se obtienen cantidades iguales. Hallar la suma de los números.
Resolución
Si los números están en la relación de 2 a 7 ⇒ a = 2k y b = 7k
Agregamos «al menor 138 y al mayor 73»; es decir: a + 138 = b +73
Aritmética 63
Al reemplazar los valores de «a» y «b» tenemos: 2k + 138 = 7k + 73
\ k = 13
Finalmente, tenemos la suma a + b = 9k, es decir: a + b = 117
4. Las edades de Antonio y Beto están en la razón de 5 a 3. Las edades de Beto 
y César están en la razón de 4 a 7. Si la suma de las tres edades es 159 años, 
hallar la edad de César.
Resolución
Si a = b y b = c 
Æ
 a = b y b = c
 5 3 4 7 5 × 4 3 × 4 4 × 3 7 × 3
\ a = b = c = k Luego a+ b + c = 159 = k = 3
 20 12 21 53 53
Finalmente, la edad de César será c = 21 × 3 = 63 años.
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI64
1. CONCEPTO
Denominamos PROMEDIO a un número representativo de un conjunto de 
datos numéricos finitos o numerables. Está comprendido entre el menor y mayor 
valor de los datos a1b 5 10 5
 Luego podemos deducir que: a = 6 y b = 4
2. La MA de 15 números es 120; si le agregamos 5 nuevos números a los ante-
riores, la MA aumenta en 80. ¿Cuál es la suma de los 5 nuevos números?
Resolución
 S15 números = 120 ⇒ S15números = 1800 15
 S15 números + S5números = 200 20
 De la última expresión se tiene: S15 números + S5 números = 4000
 Entonces: 1800 + S5 números = 4000 \ S5 números = 2200
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI66
3. El promedio aritmético de las edades de 4 hombres es 48. Si ninguno de ellos 
es menor de 45 años, ¿cuál es la edad máxima que podría tener uno de ellos?
Resolución
 Interpretando el enunciado: a ≥ 45; b ≥ 45; c ≥ 45; d ≥ 45
 a + b + c + d = 48 4
 «Para que uno de ellos tenga la edad máxima, el resto debe tener la edad 
mínima», es decir:
 e (max) + 45 + 45 + 45 = 48
 4
 e (max) + 135 = 192 \ e (máx.) = 57
4. La MA de un número y su raíz cúbica excede a su MG en 2601. Hallar la suma 
de las cifras del número.
Resolución
 Interpretando el enunciado: a + 3 a – a.3 a = 2601 … (α)
 2
 Hagamos un cambio de variable: a = t3 entonces 3 a = t … (**)
 Reemplazando valores en (α)
 t3 + 1 – t3.t = 2601 ⇒ t3 + t – 2t2 = 2 × 2601 ⇒ t(t–1)2 = 5202 ⇒
 2
 t(t – 1)2 = 18(18 – 1)2 \ t = 18
 En (**) se tiene: 3 a = 18 ⇒ a = 18 × 18 × 18 a = 5832
 Finalmente, la suma de las cifras del número «a» es S = 18
Aritmética 67
1. MAGNITUD
Es todo lo susceptible de ser medido (sus valores aumentan o disminuyen).
2. CANTIDAD
Es la medida de un caso particular de la magnitud.
Ejemplos: Magnitud Cantidad
Temperatura
Peso
No de alumnos
37 ºC
4 kg
50
3. RELACIONES ENTRE MAGNITUDES
3.1. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES (DP)
Se dice que 2 magnitudes son DP cuando el cociente de sus valores correspon-
dientes es constante. Se observa que al aumentar (o disminuir) una de ellas, la 
otra también aumenta o disminuye proporcionalmente.
Ejemplo:
Si 1 lápiz cuesta S/ 3.00 × 2
Costo (S/) S/ 3 S/ 6 S/ 15 S/ 21
# lápices 1 2 5 7
Gráficamente:
UNIDAD 12
Magnitudes proporcionales
7
5
2
1
 3 6 15 21
Costo
N
o d
e 
lá
pi
ce
s Recta
La gráfica de dos 
magnitudes directamente 
proporcionales son puntos 
que descansan sobre una 
recta que pasa por el 
origen de coordenadas.
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI68
Se observa que: Costo = 3 = 6 = 15 = 21 = 3 No lápices 1 2 5 7
En general: Si A es DP con B:
Æ
 valor de A = k k: Constante de proporcionalidad
 valor de B
3.2. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (IP)
Se dice que 2 magnitudes son IP cuando el producto de sus valores correspon-
dientes es constante. Se observa que al aumentar (o disminuir) una de ellas, la 
otra disminuye (o aumenta).
Ejemplo: Si 5 obreros hacen una obra en 60 días.
 × 2
# de obreros 5 10 15 50
# de días 60 30 20 6
 ÷ 2
Gráficamente:
60
30
20
6
 5 10 15 50
# de
obreros
# de días
Hipérbola 
equilátera
Se observa que: (# obreros) × (# días) = 5 × 60 = 10 × 30 = 15 × 20 = 50 × 6 = 300
En general, si A es IP con B
Æ (Valor de A) (Valor de B) = k k = Constante de proporcionalidad
La gráfica de dos magnitudes 
inversamente proporcionales 
son puntos que descansan 
sobre una rama de la 
hipérbola equilátera.
Aritmética 69
4. PROPIEDADES
4.1. Si A es DP con B y C Æ A 
= k
 B × C
4.2. Si A es IP con B y C Æ A × (B × C) = k
4.3. Si A es IP con B Æ A es D.P. con 1/B
4.4. Si A es DP con B e IP con C Æ
 A × C = k (Proporcionalidad
 B compuesta)
4.5. Si A es DP con B Æ An es D.P. con Bn
4.6. Si A es IP con B Æ An es I.P. con Bn
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
1. A es proporcional a la suma de (B y C) e inversamente proporcional al cua-
drado de D. Cuando A = 2, B = 3 y D = 6, entonces C = 5. Hallar el valor de C 
cuando A = 9, B = 10 y D = 4.
Resolución
 A = k 
A × D B + C 
(B + C)
 = k
 A × D2 = k
Con los datos:
 2 × 62 = 9 × 42 \ C = 6
 (3 + 5) (10 + c)
2. Según la ley de Boyle, la presión es IP al volumen que contiene determinada 
cantidad de gas. ¿A qué presión está sometido un gas, si al aumentar esta pre-
sión en 2 atmósferas, el volumen varía en 40%?
Resolución
(presión) × (volumen) = k
entonces P × V = (P + 2) (60% V) Æ P = (P + 2) 60% Æ 5P = 3P + 6
\ P = 3
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI70
1. CONCEPTO
Consiste en repartir una cantidad en varias partes que sean proporcionales a 
otros varios números dados (índices del reparto).
2. CLASES
2.1. Reparto simple – directo
 – inverso
2.2. Reparto compuesto
2.1. REPARTO SIMPLE
2.1.1. Reparto simple directo
Las partes deben ser proporcionales a los números dados; es decir, los cocientes 
respectivos deben permanecer constantes.
Ejemplo 1:
Repartir 6 900 en partes que sean proporcionales a 1/2, 2/3 y 3/4.
Resolución
D.P. D.P. Partes
A = ½ ½ × 12 = 6 Æ 6 k
6 900 B = ⅔ ⅔ × 12 = 8 Æ 8 k
C = ¾ ¾ × 12 = 9 Æ 9 k
23 k
Cuando los índices son fracciones, es conveniente multiplicarlos por el MCM de 
sus denominadores; de esta manera trabajaremos con números enteros, lo cual 
es más cómodo.
MCM (2, 3, 4) = 12
Despejando cada parte: A = 6k, B = 8k y C = 9k
UNIDAD 13
Reparto proporcional
MCM (2, 3, 4)
Aritmética 71
La suma de las partes es 6 900: 6k + 8k+ 9k = 6 900
 23k = 6 900
 k = 300
Entonces las 3 partes son:
 A = 6(300) = 1 800
 B = 8(300) = 2 400
 C = 9(300) = 2 700
Ejemplo 2:
Repartir 1 800 en partes D.P. a 2a4, 3a4 y 4a4
Resolución
Según la regla práctica, a los índices se les puede multiplicar o dividir por una 
misma cantidad y el reparto no se altera.
D.P. D.P. Partes
A = 2a4 2 Æ 2 k
1 800 B = 3a4 3 Æ 3 k
C = 4a4 4 Æ 4 k
9 k
Se pudo observar que los índices fueron divididos por a4.
Despejando cada parte: A = 2k, B = 3k y C = 4k
La suma de las partes es 1 800: 2k + 3k + 4k = 1 800
 9k = 1 800
 k = 200
Entonces las 3 partes son: 
 A = 2 (200) = 400
 B = 3 (200) = 600
 C = 4 (200) = 800
2.1.2. Reparto simple inverso
Recordando la propiedad de magnitudes proporcionales:
Si A es I.P. con B
 A es D.P. con 1
 B
Interpretando la propiedad y aplicando a los problemas, significa que si una parte 
es I.P. al número dado; entonces dicha parte será D.P. a la inversa del número.
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI72
Ejemplo 1:
Repartir 4 500 en partes que sean inversamente proporcionales a los números 
1/4, 1/5 y 1/6.
Resolución
I.P. D.P. Partes
A = ¼ 4 Æ 4 k
4 500 B = ⅕ 5 Æ 5 k
C = ⅙ 6 Æ 6 k
15 k
Despejando cada parte: A = 4k, B = 5k y C = 6k
La suma de las partes es 4 500: 4k + 5k + 6k = 4 500
 15k = 4 500
 k = 300
Entonces las 3 partes son: A = 4 (300) = 1 200
 B = 5 (300) = 1 500
 C = 6 (300) = 1 800
Ejemplo 2:
Al repartir una cantidad de dinero en forma I.P. a 2, 3 y 5, la mayor de las partes 
fue S/ 150. ¿Cuál fue la cantidad de dinero repartida?
Resolución
I.P. D.P. Partes
A = 2 ½ × 30 Æ 15 k
N B = 3 ⅓ × 30 Æ 10 k
C = 5 ⅕ × 30 Æ 6 k
31 k Æ N = 31 k
Despejando cada parte: A = 15k, B = 10k y C = 6k 
Dato:
 15 k = 150
 k = 10
Luego, la suma de las partes es: 15 k + 10 k + 6 k = N
 31 k = N
 31(10) = N Æ N = 310
Nota. En el reparto inverso, al que tiene el número proporcional menor le toca 
la parte mayor y viceversa.
MCM (2, 3, 5)
Aritmética 73
2.2. REPARTO COMPUESTO
Es aquel en el cual cada parte es proporcional a varios números (índices de 
reparto) dados.
2.2.1. Propiedad
Si A es DP con B e I.P. con C
Æ A es D.P. con B y D.P. con 1
 C
Æ A es D.P. con (B × 1 )
 C
Ejemplo:
Repartir 2 225 en 3 partes que sean D.P. a los números 3, 5 y 8 e I.P. a los números 
4, 6 y 9.
Resolución
D.P. I.P. D.P. Partes
A = 2 4 1/4 Æ 3 × 1 = 3 × 36 =
 4 4 27 k
2 225 B = 3 6 1/6 Æ 5 × 1 = 5 × 36 =
 6 6 30 k
C = 5 9 1/9 Æ 8 × 1 = 8 × 36 =
 9 9 32 k
 89 k
Despejando cada parte: A = 27 k, B = 30 k y C = 32 k
La suma de las partes es 2 225: 27 k + 30 k+ 32 k = 2 225
 89 k = 2 225
 k = 25
Entonces las 3 partes son: A = 27 (25) = 675
 B = 30 (25) = 750
 C = 32 (25) = 800
3. REGLA DE COMPAÑÍA
La regla de compañía tiene porobjeto repartir entre varios socios los beneficios 
(ganancias) que han obtenido o las pérdidas que han sufrido en sus negocios.
La regla de compañía es un caso particular del repartimiento proporcional.
MCM (4, 6, 9)
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI74
Los beneficios o las pérdidas deben repartirse proporcionalmente a los capi-
tales de los socios y a los tiempos que dichos capitales quedaron invertidos en la 
empresa.
3.1. CASO GENERAL
Se han asociado 3 personas; aportando la primera 2 000 dólares durante 6 meses, 
la segunda 4 000 dólares durante 8 meses y la tercera 6 000 dólares durante 10 
meses. Al finalizar la operación obtuvieron una ganancia de 5 200 dólares.
¿Cuánto le corresponde a cada socio?
Resolución
La «G» es D.P. al capital y tiempo Æ G es D.P. (Capital × Tiempo)
Reduciendo:
Socio Capital t Capital t Partes
A = 2 000 6 1 3 Æ A = 3 k
G = 5 200 B = 4 000 8 2 4 Æ B = 8 k
C = 6 000 10 3 5 Æ C = 15 k
 26 k
La suma de las partes es 5 200: 3 k + 8 k+ 15 k = 5 200
 26 k = 5 200
 k = 200
A cada socio le toca: A = 3 (200) = 600
 B = 8 (200) = 1 600
 C = 15 (200) = 3 000
Aritmética 75
1. CONCEPTO
La regla de tres es un procedimiento aritmético que permite calcular algún 
valor desconocido, pero se establece una relación de linealidad entre valores 
involucrados, luego de comparar varias magnitudes.
2. CLASES
De acuerdo al número de magnitudes, hay 2 clases:
2.1. Regla de 3 simple – directa
 – inversa
2.2. Regla de 3 compuesta
2.1. REGLA DE 3 SIMPLE
2.1.1. Regla de tres simple directa
Se comparan 2 magnitudes directamente proporcionales.
Método: Multiplicación en aspa.
Si:
 Magnitud (A) DP Magnitud (B)
 a1 b1
 a2 x
 Æ a1 · x = a2 · b1 Æ x = 
a2 × b1
 
a1
Ejemplo:
Para pintar un cubo de 10 cm de arista se gastó 12 soles. ¿Cuánto se gastará 
para pintar otro cubo de 15 cm de arista?
UNIDAD 14
Regla de tres
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI76
Resolución
Al pintar las caras del cubo:
A mayor área habrá un mayor costo (D.P.)
 Área Costo
Si: 6 . 102 S/ 12 R3SD
 6 . 152 S/ x (aspa)
Æ 6 . 102 . x = 6 . 152 . 12 Æ x = 27
2.1.2. Regla de 3 simple inversa
Intervienen 2 magnitudes inversamente proporcionales.
Método: Multiplicación en paralelas.
Si:
 Magnitud (A) Magnitud (B)
 a1 b1
 a2 x
 Æ a2 · x = a1 · b1 Æ x = 
a1 × b1
 
a2
Ejemplo:
Ocho obreros pueden hacer una obra en 20 días; después de 5 días de trabajo se 
retiran 3 obreros. ¿Con cuántos días de atraso terminó la obra? 
Resolución
A = L2
L
Si luego del quinto día todo hubiese seguido normal:
 No obreros No días
	
Æ
 8 15 R3SD
 5 x (paralelas)
 5 . x = 8 . 15
 x = 24
	 Æ Retraso: 24 – 15 = 9 días
8 obrs.
3 obrs.
20 días
5 d
15 d
Aritmética 77
2.2. REGLA DE 3 COMPUESTA
Intervienen más de 2 magnitudes. La regla de tres compuesta es el procedi-
miento de cálculo que permite hallar un valor, cuando se conocen un conjunto 
de valores correspondientes a varias magnitudes.
Método de solución: Proporcionalidad.
Para resolver este tipo de problemas se relaciona la primera magnitud —que se 
mantiene constante, , pese a la variación de las magnitudes que intervienen— 
con cada una de las otras y se las compara. Si son DP, se expresa como división y 
si son IP, se expresa como multiplicación.
3. CASO GENERAL
Un grupo de obreros con determinada eficiencia construye en «d» días de «h» 
horas diarias, una obra que presenta cierta dificultad. Planteando:
 
Æ
 (Nº obreros) (Efic.) (No días) (No h/d) 
= k
 (Obra) (Dificultad)
Ejemplo 1:
10 obreros en 8 días hacen 40 m2 de una obra. 20 obreros en 24 días, ¿cuántos 
m2 harán?
Resolución
 Nº Obreros Nº días Obra
 10 8 40
 20 24 x
Se cumple:
10 . 8 . x = 20 . 24 . 40
Æ
 
x = 240
 No obreros Eficacia No días No horas/día Obra Dificultad
 IP
 DP
 DP
 IP
 IP
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI78
Ejemplo 2:
8 agricultores, trabajando 10 h/d durante 5 días, pueden arar un terreno cua-
drado de 40 m de lado. ¿Cuántos agricultores de doble rendimiento serán nece-
sarios para que en 6 días de 8 h/d aren otro terreno de 48 m de lado si su dureza 
es el doble del anterior.
Resolución
Por proporcionalidad:
 (Tiempo) . (Efic.) . (No de obreros) 
= k
 (Dificultad) . (Obra)
1.ra serie 2.da serie
(10 . 5) . 1 . 8
=
(6 . 8) . 2 . x
1 . 402 2 . 482
Simplificando: 48 = x
 4
 Æ x = 12
Ejemplo 3:
Una guarnición de 400 soldados sitiados en un fuerte tiene víveres para 180 días 
y se consume 900 gr por hombre y por día. Si recibe un refuerzo de 100 soldados 
pero no recibirá víveres antes de 240 días, ¿cuál deberá ser la ración de un hom-
bre por día para que los víveres puedan alcanzarles?
Resolución
Obreros Tiempo Obra
400 soldados 180 d 900 g/d víveres
500 soldados 240 d x g/d víveres
Por proporcionalidad:
1.ra serie 2.da serie
(180 . 900) . 400
=
(240 . x) . 500
(víveres) (víveres)
Simplificando: 540 = x
Aritmética 79
1. INTERÉS (I)
Es la ganancia, beneficio, utilidad o renta que genera un capital «C» al ser pres-
tado un tiempo «T» y sujeta a una tasa de «r %».
2. ELEMENTOS QUE INTERVIENEN EN EL CÁLCULO DEL INTERÉS
2.1. CAPITAL (C)
Es todo bien o servicio (generalmente dinero) que queda prestado o cedido 
generando ganancia.
2.2. TIEMPO (t)
Es el plazo o período que queda prestado el capital.
2.3. TASA (r %)
También llamado rédito, es la ganancia que se obtiene por cada cien unidades de 
capital en cierta unidad de tiempo; se expresa, generalmente, en tanto por ciento.
Ejemplo:
Una tasa de 5 % anual nos indica que por cada año que prestemos un capital, 
ganamos el 5 % de él.
3. FÓRMULAS PARA CALCULAR EL INTERÉS SIMPLE
3.1. I = C × t × r Cuando «t» está en años.
 100
3.2. I = C × t × r Cuando «t» está en meses.
 1200
3.3. I = C × t × r Cuando «t» está en días.
 3600
UNIDAD 15
Interés y descuento
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI80
4. EL MONTO (M)
Es la agregación o suma del capital más el interés que ha generado.
Monto = Capital + Interés
Observaciones
En las diferentes fórmulas para calcular el interés, la tasa (r) es siempre anual; si 
no fuera así, se busca una tasa equivalente:
5. TASAS EQUIVALENTES
Son aquellas que, expresadas de manera diferente, generan la misma ganancia al 
estar aplicadas al mismo capital y durante el mismo tiempo.
Ejemplos:
Si se presta un dinero al:
• 45 % anual (no se hace conversión)
• 25 % semestral (buscan tasa equivalente a anual)
1 año (anual)
 1 semestre 1 semestre
 25% 25%
 = 25 % semestral equivale al 50% en 1 año
• 5 % mensual 60 % anual
• 7 % bimestral 42 % anual
• 10 % trimestral 40 % anual
Nota: En el interés simple, el capital permanece constante a lo largo de todo el 
proceso, por lo que en los mismos tiempos genera los mismos intereses.
EJEMPLO: CASO GENERAL
Se presta S/ 100 en 3 años al 10% anual. Calcular el interés y el monto.
 C = 100 r = 10%
 1 año 1 año 1 año
 I = S/ 10 I = S/ 10 I = S/ 10
Entonces: I = 30
 M = 100 + 30 Æ M = 130
Siempre se gana S/ 10 por año (10 % de 100)
Aritmética 81
Se debe tener en cuenta que:
Mes comercial : 30 días
Año comercial : 360 días
Año común : 365 días
Año bisiesto : 366 días
Ejemplo 1
¿Qué interés produce un capital de S/ 120 000 durante 2 meses y 10 días, colo-
cado al 12 % trimestral?
Resolución
C = 120 000; t = 2 meses 10 d 70 días.
r = 12 % trimestral 12 × 4 = 48 % anual.
Aplicando la fórmula:
 C × t × r
 I = 36 000 ; «t» en días
 120 000 . 70 . 48
 I = 36 000 Æ I = 1 120
Ejemplo 2:
La tercera parte de un capital se coloca al 9% de interés simple. ¿A qué tanto por 
ciento deberá colocarse el resto para obtener un beneficio total del 11% anual de 
dicho capital?
Resolución
 Capital = 3k C1 = k; r = 9 %
 C1 = 2k; r = x %
Beneficio: I = 11 % (3 k); t = 1 año
De los datos: I1 + I2 = Itotal
Reemplazando:
 k. 1. 9 + 2 k . 1 . x = 11(3k)
 100 100 100
 9 k + 2 kx = 33 k
 2 kx = 24 k
 x = 12 k
Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI82