Alguém sabea solução dessa questão?

Considere, por exemplo, uma peça quadrada de lados que é aquecida uma temperatura , de forma que esta sofra um aumento em suas dimensões, mas como há dilatação igual para os dois sentidos da peça, esta continua quadrada, mas passa a ter lados .

Podemos estabelecer que:

assim como:

E relacionando com cada lado podemos utilizar:

Para que possamos analisar as superfícies, podemos elevar toda a expressão ao quadrado, obtendo uma relação com suas áreas:

Mas a ordem de grandeza do coeficiente de dilatação linear (α) é , o que ao ser elevado ao quadrado passa a ter grandeza , sendo imensamente menor que α. Como a variação da temperatura (Δθ) dificilmente ultrapassa um valor de 10³ºC para corpos no estado sólido, podemos considerar o termo α²Δθ² desprezível em comparação com 2αΔθ, o que nos permite ignorá-lo durante o cálculo, assim:

Devemos provar que ΔA=(2α)A0.ΔT e para isso realizaremos os procedimentos abaixo:

\(∆L / L0  ∝  ∆T ∆L / L0  = α ∆T A0  = L0² \\ ∆A +  A0  = (∆L +  L0  )² \\ ∆A + A0  = (∆L)² +  L0²  + 2 L0 ∆L \)

Quando  ∆T e ∆L   são menores que 1 temos:
\(∆A + A0 = A0  + 2 L0 ∆L  \\ ∆A =  2∆L L0  \\ k  A0 ∆T = 2 A0  α ∆T \\ k = 2 α  \\ ∆A  = 2α . A0 . ∆T\)

Portanto, provamos que \(\boxed{\Delta A = 2\alpha \cdot {A_0} \cdot \Delta T}\) .