Nesse exercício vamos calcular o seguinte limite:

\(L(x)=\lim\limits_{h\rightarrow0}{{1\over\sqrt{x+h}}-1\over h}\)

Substituindo \(h=0\), não temos indeterminação, logo tal substituição nos leva ao resultado, porém o resultado depende do valor de \(x\). Se \(x<0\), o radical resultante não existe, de forma que:

\(\nexists L(x<0)\)

Para \(x=0\), temos frações com numeradores positivos e denominadores nulos:

\(L(x=0)=sign(h)\cdot\infty\)

Para \(0<x<1\), temos que a fação do numerador é um número real superior a 1, de forma que:

\(L(0<x<1)=sign(h)\cdot\infty\)

Para \(x>1\), temos que a primeira fração do numerador é menor que 1, o que faz com que o numerador se torne negativo:

\(L(x>1)=-sign(h)\cdot\infty\)

Para \(x=1\), vamos reescrever o limite:

\(L(x=1)=\lim\limits_{h\rightarrow0}{(1+h)^{-1/2}-1\over h}\)

Por aproximação de Taylor de primeira ordem, temos:

\(L(x=1)=\lim\limits_{h\rightarrow0}{\left(1-{1\over2}h\right)-1\over h}=-{1\over2}\)

Resumindo, temos:

\(\boxed{L(x)=\left\lbrace\begin{align} sinal(h)\cdot\infty,\ \ \ &0\leqslant x<1\\ -{1\over2},\ \ \ &x=1\\ -sinal(h)\cdot\infty,\ \ \ &x>1\\ \end{align}\right.}\)