¿Qué otros métodos hay para el cálculo de la matriz inversa, aparte del método de la adjunta o de cofactores?

Question

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Primero se debe resolver un sistema de ecuaciones.

Una vez comprendido esto, ya podemos sacar matriz inversa. Haciendo una matriz ampliada, mediante transformaciones elementales de matrices, en este caso transformaciones elementales fila.

Sea la matriz:

[a11a21a12a221001][a11a1210a21a2201]

Aquí hay que tener presente lo siguiente:

En el método de Gauss, que lo primero que se busca, es hacer que el término a21a21 sea cero. Luego de eso, si queremos continuar transformando la matriz, en una matriz identidad continuando como se hace con el algoritmo de Gauss-Jordan, recién al final se divide la fila 1 entre el término a11a11 , para que el término a11a11 sea finalmente 1.

Mientras que cuando se hace de frente el método de Gauss-Jordan lo primero que se hace es hacer que el elemento a11a11 sea 1, para luego hacer que el término a21a21 sea cero. Eso se verá a continuación en el siguiente ejemplo.

Ejemplo:

Hallar la matriz inversa primero por el método de Gauss - Jordan y luego por el método de Gauss, de la siguiente matriz.

A=[5243]A=[5423]

Calculando determinante:

|A|=∣∣∣5243∣∣∣=7|A|=|5423|=7

Ahora formamos la matriz ampliada:

[52431001][54102301]

Método de Gauss-Jordan:

Vamos a usar el método de Gauss-Jordan, así que lo primero que se va a hacer es que el término a11a11 sea igual a 1

Tenemos:

[52431001][54102301]

Las sucesivas transformaciones de la matriz ampliada son las siguientes:

F1(15):[1245315001]F1(15):[1451502301]

F21(−2):⎡⎣10457515−2501⎤⎦F21(−2):[145150075−251]

Continuando:

F2(57):⎡⎣1045115−27057⎤⎦F2(57):[14515001−2757]

F12(−45):⎡⎣100137−27−4757⎤⎦F12(−45):[1037−4701−2757]

Luego, la matriz inversa es:

A−1=[37−27−4757]=17[3−2−45]A−1=[37−47−2757]=17[3−4−25]

Habiendo terminado eso, se tiene la matriz inversa.

———————————

Gauss y luego formar matriz identidad:

Ahora hacemos lo mismo, usando el método de Gauss. Hacemos que inmediatamente a21a21 sea cero. Tenemos:

[52431001][54102301]

La transformación que se hace es:

F12(−25):[504751−2501]F12(−25):[5410075−251]

A partir de aquí ya se pueden calcular los elementos de la matriz inversa:

c21=−2/57/5=−27c22=17/5=57c21=−2/57/5=−27c22=17/5=57

c11=[1−4(−27)]5=27c12=[0−4(57)]5=−47c11=[1−4(−27)]5=27c12=[0−4(57)]5=−47

Ordenando en una matriz:

A−1=[c11c21c12c22]=[37−27−4757]A−1=[c11c12c21c22]=[37−47−2757]

Podemos explicar que es lo que se ha hecho aquí, aplicando las transformaciones a la matriz que está a la derecha de la línea divisoria, es decir a solo los elementos de la matriz ampliada. Pero si hacemos eso, se va a producir un desequilibrio, entre los diversos elementos que conforman la matriz ampliada, así que para mantener la igualdad, aplicamos las transformaciones a TODOS los elementos de la matriz.

Entonces , si continuamos donde nos quedamos, se tiene:

[504751−2501][5410075−251]

F2(57):[50411−27057]F2(57):[541001−2757]

F12(−4):⎡⎣5001157−27−20757⎤⎦F12(−4):[50157−20701−2757]

F1(15):⎡⎣100137−27−4757⎤⎦F1(15):[1037−4701−2757]

Y los elementos de la matriz inversa son:

A−1=[37−27−4757]A−1=[37−47−2757]

Se dieron cuenta que cuando hacemos el algoritmo de Gauss, y luego queremos continuar para formar la matriz identidad tal como se hace en el algoritmo de Gauss - Jordan recién al final dividimos a la fila 1 entre el elemento a11a11. Cuando se procede así recién al final el elemento a11a11 es 1. Mientras que si hacemos de frente el algoritmo de Gauss-Jordan al principio, ya el elemento a11a11 es 1 desde el inicio.

Para justificar el método se debe hacer lo mismo, pero con una matriz literal.

Pregunta: Sea la matriz A . Calcular su matriz inversa por el método de Gauss-Jordan.

A=[a11a21a21a22]A=[a11a21a21a22]

Solución:

Primero formamos, la matriz ampliada:

[a11a21a12a221001][a11a1210a21a2201]

Si el problema dice aplicando Gauss-Jordan, entonces desde un inicio el elemento a11a11 deberá ser 1, Luego aplicando las siguientes transformaciones:

F1(1a11):[1a21a12a11a221a11001]F1(1a11):[1a12a111a110a21a2201]

F21(−a21):⎡⎣⎢10a12a11|A|a111a11−a21a1101⎤⎦⎥F21(−a21):[1a12a111a1100|A|a11−a21a111]

F2(a11|A|):⎡⎣10a12a1111a11−a21|A|0a11|A|⎤⎦F2(a11|A|):[1a12a111a11001−a21|A|a11|A|]

F12(−a12a11)⎡⎣⎢1001c11−a21|A|−a12|A|a11|A|⎤⎦⎥F12(−a12a11)[10c11−a12|A|01−a21|A|a11|A|]

El término que aparece como c11c11 es:

c11=1a11−(−a21|A|a12a11)c11=1a11−(−a21|A|a12a11)

c11=1a11+a21a12|A|a11c11=1a11+a21a12|A|a11

c11=|A|+a21a12|A|a11c11=|A|+a21a12|A|a11

c11=a22|A|c11=a22|A|

Luego : La matriz ampliada final es:

⎡⎣⎢1001a22|A|−a21|A|−a12|A|a11|A|⎤⎦⎥[10a22|A|−a12|A|01−a21|A|a11|A|]

Por lo que la matriz inversa es:

A−1=[a22|A|−a21|A|−a12|A|a11|A|]=1|A|[a22−a21−a12a11]A−1=[a22|A|−a12|A|−a21|A|a11|A|]=1|A|[a22−a12−a21a11]

Expresión que coincide con la forma que tiene la matriz inversa calculada por cofactores o por matriz adjunta.

——————-

Pregunta: Sea la matriz A . Calcular su matriz inversa por el método de Gauss.

A=[a11a21a21a22]A=[a11a21a21a22]

Solución:

Primero formamos, la matriz ampliada:

[a11a21a12a221001][a11a1210a21a2201]

Las transformación que se hace:

F21(−a21a11):⎡⎣a110a12|A|a111−a21a1101⎤⎦F21(−a21a11):[a11a12100|A|a11−a21a111]

A partir de aquí ya se puede calcular la matriz inversa:

c21=−a21/a11|A|/a11=−a21|A|c22=1|A|/a11=a11|A|c21=−a21/a11|A|/a11=−a21|A|c22=1|A|/a11=a11|A|

c11=[1−a12(−a21|A|)]a11=a22|A|c12=[0−a11(−a21|A|)]a11=−a12|A|c11=[1−a12(−a21|A|)]a11=a22|A|c12=[0−a11(−a21|A|)]a11=−a12|A|

Ordenando en una matriz:

A−1=[c11c21c12c22]=[a22|A|−a21|A|−a12|A|a11|A|]A−1=[c11c12c21c22]=[a22|A|−a12|A|−a21|A|a11|A|]

O también podemos continuar haciendo transformaciones elementales fila hasta obtener en la parte izquierda una matriz identidad.

Nos habíamos quedado aquí:

⎡⎣a110a12|A|a111−a21a1101⎤⎦[a11a12100|A|a11−a21a111]

Se hacen las siguientes transformaciones:

F2(a11|A|):[a110a1211−a21|A|0a11|A|]F2(a11|A|):[a11a121001−a21|A|a11|A|]

F12(−a12):⎡⎣⎢a11001a11a22|A|−a21|A|−a11a12|A|a11|A|⎤⎦⎥F12(−a12):[a110a11a22|A|−a11a12|A|01−a21|A|a11|A|]

F1(1a11):⎡⎣⎢1001a22|A|−a21|A|−a12|A|a11|A|⎤⎦⎥F1(1a11):[10a22|A|−a12|A|01−a21|A|a11|A|]

Luego la matriz inversa es:

A−1=[a22|A|−a21|A|−a12|A|a11|A|]=1|A|[a22−a21−a12a11]A−1=[a22|A|−a12|A|−a21|A|a11|A|]=1|A|[a22−a12−a21a11]

Y si n = 3 ?

Suponiendo que se quiera obtener la matriz inversa de:

⎡⎣⎢2−13131−32−3⎤⎦⎥[21−3−13231−3]

Formamos la matriz ampliada.

⎡⎣⎢⎢2−13131−32−3100010001⎤⎦⎥⎥[21−3100−13201031−3001]

Hacemos las siguientes transformaciones:

F21(12)→F31(−32):F21(12)→F31(−32):

⎡⎣⎢⎢⎢200172−12−31232112−32010001⎤⎦⎥⎥⎥[21−31000721212100−1232−3201]

F32(17):⎡⎣⎢⎢⎢2001720−312117112−1070117001⎤⎦⎥⎥⎥F32(17):[21−310007212121000117−107171]

A partir de aquí ya se puede establecer los valores que corresponden a la matriz inversa.

c31=−10/711/7=−1011c32=1/711/7=111c33=111/7=711c31=−10/711/7=−1011c32=1/711/7=111c33=111/7=711

c21=[12−(12)(−1011)]7/2=311c22=[1−(12)(111)]7/2=311c23=[0−(12)(711)]7/2=−111c21=[12−(12)(−1011)]7/2=311c22=[1−(12)(111)]7/2=311c23=[0−(12)(711)]7/2=−111

c11=[1−(1)(311)−(−3)(−1011)]2=−1c12=[0−(1)(311)−(−3)(111)]2=0c13=[0−(1)(−111)−(−3)(711)]2=1c11=[1−(1)(311)−(−3)(−1011)]2=−1c12=[0−(1)(311)−(−3)(111)]2=0c13=[0−(1)(−111)−(−3)(711)]2=1

Ordenando en una matriz:

A−1=⎡⎣⎢⎢−1311−101103111111−111711⎤⎦⎥⎥=111⎡⎣⎢−113−1003111−17⎤⎦⎥A−1=[−101311311−111−1011111711]=111[−1101133−1−1017]

La otra opción es continuar con las transformaciones, hasta formar en la parte izquierda una matriz identidad, imitando el algoritmo de Gauss-Jordan.

⎡⎣⎢⎢⎢2001720−312117112−1070117001⎤⎦⎥⎥⎥[21−310007212121000117−107171]

F3(711):⎡⎣⎢⎢⎢2001720−3121112−10110111100711⎤⎦⎥⎥⎥F3(711):[21−3100072121210001−1011111711]

F23(−12):⎡⎣⎢⎢⎢2001720−30112122−1011021221110−722711⎤⎦⎥⎥⎥F23(−12):[21−3100072021222122−722001−1011111711]

F2(27):⎡⎣⎢⎢⎢200110−3011311−101103111110−111711⎤⎦⎥⎥⎥F2(27):[21−3100010311311−111001−1011111711]

Aplicamos las siguientes transformaciones:

F12(−1)→F13(−3):F12(−1)→F13(−3):

⎡⎣⎢⎢⎢200010001−2311−101103111112−111711⎤⎦⎥⎥⎥[200−202010311311−111001−1011111711]

F1(12):⎡⎣⎢⎢⎢100010001−1311−101103111111−111711⎤⎦⎥⎥⎥F1(12):[100−101010311311−111001−1011111711]

Y los elementos de la matriz inversa son:

A−1=⎡⎣⎢⎢−1311−101103111111−111711⎤⎦⎥⎥=111⎡⎣⎢−113−1003111−17⎤⎦⎥A−1=[−101311311−111−1011111711]=111[−1101133−1−1017]

——

Ahora vamos con una matriz literal. Suponiendo que se quiera obtener la matriz inversa de:

⎡⎣⎢a11a21a31a12a22a32a13a23a33⎤⎦⎥[a11a12a13a21a22a23a31a32a33]

Formamos la matriz ampliada.

⎡⎣⎢⎢a11a21a31a12a22a32a13a23a33100010001⎤⎦⎥⎥[a11a12a13100a21a22a23010a31a32a33001]

Haciendo las siguientes transformaciones:

F21(−a21a11)→F31(−a31a11):F21(−a21a11)→F31(−a31a11):

⎡⎣⎢⎢⎢⎢a1100a12|A33|a11|A23|a11a13|A32|a11|A22|a111−a21a11−a31a11010001⎤⎦⎥⎥⎥⎥[a11a12a131000|A33|a11|A32|a11−a21a11100|A23|a11|A22|a11−a31a1101]

Los elementos |A33|,|A32|,|A23||A33|,|A32|,|A23| y |A22||A22| son menores complementarios de la matriz A

Es decir:

|A33|=∣∣∣a11a21a12a22∣∣∣|A32|=∣∣∣a11a21a13a23∣∣∣|A33|=|a11a12a21a22||A32|=|a11a13a21a23|

|A23|=∣∣∣a11a31a12a32∣∣∣|A22|=∣∣∣a11a31a13a33∣∣∣|A23|=|a11a12a31a32||A22|=|a11a13a31a33|

Haciendo la transformación:

F32(−|A23||A33|):⎡⎣⎢⎢⎢⎢a1100a12|A33|a110a13|A32|a11a131−a21a11c3101−|A23||A33|001⎤⎦⎥⎥⎥⎥F32(−|A23||A33|):[a11a12a131000|A33|a11|A32|a11−a21a111000a13c31−|A23||A33|1]

—

Si llamamos | A | al determinante del sistema:

|A|=∣∣∣∣a11a21a31a12a22a32a13a23a33∣∣∣∣|A|=|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|

Los elementos a13a13 y c31c31 de la matriz ampliada tienen la siguiente forma:

a13=|A22||A33|−|A23||A32|a11|A33|a13=|A22||A33|−|A23||A32|a11|A33|

a13=a11|A|a11|A33|=|A||A33|a13=a11|A|a11|A33|=|A||A33|

c31=a21|A23|−a31|A33|a11|A33|c31=a21|A23|−a31|A33|a11|A33|

c31=a11|A13|a11|A33|=|A13||A33|c31=a11|A13|a11|A33|=|A13||A33|

Luego:

⎡⎣⎢⎢⎢⎢a1100a12|A33|a110a13|A32|a11|A||A33|1−a21a11|A13||A33|01−|A23||A33|001⎤⎦⎥⎥⎥⎥[a11a12a131000|A33|a11|A32|a11−a21a111000|A||A33||A13||A33|−|A23||A33|1]

Y a partir de aquí , ya se pueden obtener los elementos de la matriz inversa:

La siguiente notación, representa las posiciones que ocupan los diversos valores de la matriz ampliada. Luego:

c31=c31a33c32=c32a33c33=c33a33c31=c31a33c32=c32a33c33=c33a33

c21=[c21−a23c31]a22c22=[c22−a23c32]a22c23=[c23−a23c33]a22c21=[c21−a23c31]a22c22=[c22−a23c32]a22c23=[c23−a23c33]a22

c11=[c11−∑j=23a1jcj1]a11c12=[c12−∑j=23a1jcj2]a11c23=[c13−∑j=23a1jcj3]a11c11=[c11−∑j=23a1jcj1]a11c12=[c12−∑j=23a1jcj2]a11c23=[c13−∑j=23a1jcj3]a11

Por ejemplo, reemplazando los valores de c31c31 , c32c32 , c33c33 y a33a33 se obtienen los siguientes valores:

c31=|A13||A|c32=−|A23||A|c33=|A33||A|c31=|A13||A|c32=−|A23||A|c33=|A33||A|

Podemos determinar la forma de los siguientes elementos, es decir c21c21 , c22c22 , c23c23 reemplazando sus valores correspondientes en las fórmulas respectivas. Primero en los numeradores solamente.

Nc21=c21−a23c31Nc22=c22−a23c32Nc23=c23−a23c33Nc21=c21−a23c31Nc22=c22−a23c32Nc23=c23−a23c33

Nc21=−a21|A|+|A32||A13|a11|A|=−|A12||A33|a11|A|=−|A12||A33|a11|A|Nc21=−a21|A|+|A32||A13|a11|A|=−|A12||A33|a11|A|=−|A12||A33|a11|A|

Nc22=a11|A|+|A32||A23|a11|A|=|A22||A33|a11|A|Nc22=a11|A|+|A32||A23|a11|A|=|A22||A33|a11|A|

Nc23=0−|A32|a11A33|A|=−|A32||A33|a11|A|Nc23=0−|A32|a11A33|A|=−|A32||A33|a11|A|

Dividiendo entre el valor que ocupa la posición a22a22 en la matriz ampliada es decir entre |A33|/a11|A33|/a11

Se obtiene los siguientes valores:

c21=−|A12||A|c22=|A22||A|c23=−|A32||A|c21=−|A12||A|c22=|A22||A|c23=−|A32||A|

Entonces hasta aquí ya tenemos lo elementos de la matriz ampliada:

⎡⎣⎢⎢⎢⎢a1100a1210a13011−|A12||A||A13||A|0|A22||A|−|A23||A|0−|A32||A||A33||A|⎤⎦⎥⎥⎥⎥[a11a12a13100010−|A12||A||A22||A|−|A32||A|001|A13||A|−|A23||A||A33||A|]

Podemos continuar, como se ha estado haciendo, detallando cada coeficiente, pero en esta parte se necesita tener rápidamente los numeradores de c11c11 , c12c12 , c13c13 en los cuales figuran unos términos en sumatoria. Esas sumatorias tienen 2 elementos los cuales son cuando j = 2 y j = 3. Entonces para hacer rápidamente esas sumatorias hacemos las siguientes transformaciones:

F13(−a13)→F12(−a12)F13(−a13)→F12(−a12)

Y la matriz ampliada tiene la siguiente forma:

⎡⎣⎢⎢⎢⎢a1100010001c11−|A12||A||A13||A|c12|A22||A|−|A23||A|c13−|A32||A||A33||A|⎤⎦⎥⎥⎥⎥[a1100c11c12c13010−|A12||A||A22||A|−|A32||A|001|A13||A|−|A23||A||A33||A|]

Esos elementos son los numeradores de los elementos de la matriz inversa, los cuales tienen la siguiente forma:

c11=1+a12A12|A|−a13A13|A|=|A|+a12|A12|−a13|A13||A|=a11|A11||A|c11=1+a12A12|A|−a13A13|A|=|A|+a12|A12|−a13|A13||A|=a11|A11||A|

c12=0−a12A22|A|+a13A23|A|=0−a12|A22|−a13|A23||A|=a11|A21||A|c12=0−a12A22|A|+a13A23|A|=0−a12|A22|−a13|A23||A|=a11|A21||A|

c13=0+a12A32|A|−a13A33|A|=0+a12|A32|−a13|A33||A|=a11|A31||A|c13=0+a12A32|A|−a13A33|A|=0+a12|A32|−a13|A33||A|=a11|A31||A|

Dividiendo entre a11a11 tenemos los siguientes elementos.

c11=|A11||A|c12=|A21||A|c13=−|A31||A|c11=|A11||A|c12=|A21||A|c13=−|A31||A|

O también podríamos haber dividido entre a11a11 y obtener la siguiente matriz ampliada:

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢100010001|A11||A|−|A12||A||A13||A|−|A21||A||A22||A|−|A23||A||A31||A|−|A32||A||A33||A|⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥[100|A11||A|−|A21||A||A31||A|010−|A12||A||A22||A|−|A32||A|001|A13||A|−|A23||A||A33||A|]

Luego la matriz inversa será:

A−1=⎡⎣⎢c11c21c31c12c22c32c13c23c33⎤⎦⎥=1|A|⎡⎣⎢+|A11|−|A12|+|A13|−|A21|+|A22|−|A23|+|A31|−|A32|+|A33|⎤⎦⎥A−1=[c11c12c13c21c22c23c31c32c33]=1|A|[+|A11|−|A21|+|A31|−|A12|+|A22|−|A32|+|A13|−|A23|+|A33|]

Son los mismos valores que se obtienen al usar matriz adjunta tal como se demostró en la última matriz en la respuesta del siguiente enlace

Mas información:

Para los que quieran seguir aprendiendo sobre matrices:

Matriz de transformación - Wikipedia, la enciclopedi

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¿Qué otros métodos hay para el cálculo de la matriz inversa, aparte del método de la adjunta o de cofactores?

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