resolver

V, V, F, V.

Considere o seguinte teorema:

Seja f(x) = a0xn + a1xn-1+ a2xn-2 + ... + an-1x + an um polinômio de grau n, portanto, a0 ≠ 0. Além disso, considere g(x) = x - a. O resto da divisão de f(x) por g(x) é igual ao valor numérico de f(x) em a.

Além disso, considere também o teorema de D’Alembert: se o polinômio

f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 +...+ an-1 x + an de grau n, portanto, a0 ≠ 0, é divisível por g(x) = x - a se, e somente se, a é raiz de f(x). Por esses dois teoremas, tem-se que a primeira e a última afirmações são verdadeiras.

Agora, avaliando o polinômio

f(x) = 5x5 - 4x4 - 3x3 - x2 - x + 4 em x = 1, tem-sef(1) = 5(1)5- 4(1)4- 3(1)3- (1)2- (1) + 4 = 5 - 4 - 3 - 1 - 1 + 4 = 9 - 9 = 0, ⇒ f(1) = 0. Logo, g(x) = x - 1 divide de forma exata f(x). Por sua vez, avaliando o polinômio f(x) = 3x3 - 5x2 - 3x -2 em x = 1, tem-se f(2) = 323 - 522-  3 ∙2 - 2 = -4, portanto g(x) = x - 2 não divide de forma exata f(x).