z=0

x-y=0 então x=y

-z=0

Logo o Núcleo é gerado por (1,1,0)

Letra D

O núcleo de uma transformação linear \(T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) é o conjunto de vetores \(\mathbf{v}\) em \(\mathbb{R}^3\) tal que \(T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}\), onde \(\mathbf{0}\) é o vetor nulo em \(\mathbb{R}^3\).

A transformação \(T\) é definida por \(T(x, y, z) = (z, x - y, -z)\).

Então, queremos encontrar os vetores \((x, y, z)\) tais que \(T(x, y, z) = (z, x - y, -z) = \mathbf{0}\).

Isto implica que \(z = 0\), \(x - y = 0\), e \(-z = 0\).

A partir da última equação, temos \(z = 0\). Substituindo isso nas duas primeiras equações, obtemos \(x - y = 0\), o que significa que \(x = y\).

Portanto, os vetores no núcleo são da forma \((x, x, 0)\), onde \(x\) é um escalar.

Isso forma um subespaço unidimensional gerado pelo vetor \((1, 1, 0)\).

Assim, a opção correta é:

d. {(1, 1, 0)}