Depois de terem sido pesadas várias embalagens de 1 kg de café da marca “Apetitoso”, chegou-se à conclusão de que, embora a embalagem indique 1 kg,

(a) Para encontrar k, precisamos integrar a f.d.p. no intervalo [0,85 ; 1,05]:

1 = ∫0,85^1,05 k dx

1 = k(x)|1,05_0,85

1 = k(1,05 - 0,85)

1 = 0,2k

k = 5

Portanto, a f.d.p. é dada por:

f(x) = {5, 0,85 ≤ x ≤ 1,05

0, caso contrário}

Podemos representar graficamente a f.d.p. da seguinte forma:

^

5 | _____

| | |

| | |

| | |

| | |

|__||>

0,85 1 1,05 x

(b) A média do peso das embalagens pode ser encontrada utilizando a seguinte fórmula:

μ = (a + b) / 2, onde a = 0,85 e b = 1,05.

μ = (0,85 + 1,05) / 2 = 0,95 kg

A variância pode ser encontrada utilizando a seguinte fórmula:

σ^2 = (b - a)^2 / 12, onde a = 0,85 e b = 1,05.

σ^2 = (1,05 - 0,85)^2 / 12 = 0,0017 kg^2

(c) A probabilidade de uma embalagem pesar menos de 1 kg é dada pela área abaixo da curva da f.d.p. no intervalo [0,85 ; 1], que pode ser encontrada através da integral:

P(X < 1) = ∫0,85^1 f(x) dx

P(X < 1) = ∫0,85^1 5 dx

P(X < 1) = 5(x)|1_0,85

P(X < 1) = 5(1 - 0,85)

P(X < 1) = 0,75

Portanto, a probabilidade de uma embalagem pesar menos de 1 kg é de 0,75 ou 75%.

(d) A probabilidade de uma embalagem pesar mais do que 1 kg é dada pela área abaixo da curva da f.d.p. no intervalo [1 ; 1,05]:

P(X > 1) = ∫1^1,05 f(x) dx

P(X > 1) = ∫1^1,05 5 dx

P(X > 1) = 5(x)|1,05_1

P(X > 1) = 5(1,05 - 1)

P(X > 1) = 0,25

Portanto, a probabilidade de uma embalagem pesar mais do que 1 kg é de 0,25 ou 25%.

Para encontrar quantas das 200 embalagens esperamos que tenham peso superior ao indicado no rótulo, podemos multiplicar o número de embalagens pelo valor da probabilidade:

200 x 0,25 = 50

Portanto, esperamos que 50 das 200 embalagens tenham peso superior ao indicado no rótulo.