Métodos Quantitativos Aplicados a Gestão II

Question

Numa empresa serão distribuídos 10.000 frascos de certo produto cosmético, dos quais 500 apresentam problemas na embalagem. É efetuada uma inspeção sobre uma amostra de 10 desses produtos, escolhidos ao acaso. A inspeção rejeita o lote se encontrar mais que dois produtos defeituosos. Qual a probabilidade de rejeição do lote?

Ed · Answer

Para calcular a probabilidade de rejeição do lote, precisamos primeiro calcular a probabilidade de encontrar mais de dois produtos defeituosos na amostra de 10 produtos escolhidos aleatoriamente.

Podemos usar a distribuição binomial para calcular essa probabilidade. A fórmula da distribuição binomial é:

P(X = k) = (n choose k) * p^k * (1-p)^(n-k)

Onde:
- P(X = k) é a probabilidade de obter exatamente k sucessos em n tentativas
- (n choose k) é o número de combinações de n objetos tomados k de cada vez
- p é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa
- (1-p) é a probabilidade de falha em uma única tentativa

Neste caso, temos n = 10 (tamanho da amostra) e p = 500/10000 = 0,05 (probabilidade de um produto ser defeituoso). Queremos calcular a probabilidade de encontrar mais de dois produtos defeituosos na amostra, ou seja, P(X > 2).

Podemos calcular essa probabilidade somando as probabilidades de encontrar 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ou 10 produtos defeituosos na amostra:

P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10)

Usando a fórmula da distribuição binomial, temos:

P(X = 3) = (10 choose 3) * 0,05^3 * 0,95^7 = 0,0085
P(X = 4) = (10 choose 4) * 0,05^4 * 0,95^6 = 0,0008
P(X = 5) = (10 choose 5) * 0,05^5 * 0,95^5 = 0,00003
P(X = 6) = (10 choose 6) * 0,05^6 * 0,95^4 = 0,0000009
P(X = 7) = (10 choose 7) * 0,05^7 * 0,95^3 = 0,00000002
P(X = 8) = (10 choose 8) * 0,05^8 * 0,95^2 = 0,0000000003
P(X = 9) = (10 choose 9) * 0,05^9 * 0,95^1 = 0,000000000002
P(X = 10) = (10 choose 10) * 0,05^10 * 0,95^0 = 0,00000000000003

Portanto, a probabilidade de encontrar mais de dois produtos defeituosos na amostra é:

P(X > 2) = 0,0085 + 0,0008 + 0,00003 + 0,0000009 + 0,00000002 + 0,0000000003 + 0,000000000002 + 0,00000000000003
P(X > 2) = 0,0094

Agora podemos usar a distribuição binomial novamente para calcular a probabilidade de rejeição do lote, dado que a probabilidade de encontrar mais de dois produtos defeituosos na amostra é de 0,0094. Supondo que a inspeção é feita de forma aleatória e independente para cada produto, a probabilidade de rejeição do lote é:

P(rejeição do lote) = P(X > 2) = 0,0094

Portanto, a probabilidade de rejeição do lote é de aproximadamente 0,94%.

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