Encontre a solução geral da equação diferencial (x2 + y)dx + (x - 2y)dy = 0, e assinale a alternativa correta:

Question

Ed · Answer

Primeiro, vamos verificar se a equação é uma equação diferencial linear. Para isso, precisamos verificar se os coeficientes de x e y são funções apenas de x ou apenas de y. Neste caso, os coeficientes não são funções apenas de x ou apenas de y, então não é uma equação diferencial linear.

Para resolvê-la, podemos usar o fator integrante. O fator integrante é dado por:

μ(x,y) = e^(∫(P(x,y)dy - Q(x,y)dx))

Onde P(x,y) e Q(x,y) são os coeficientes de dx e dy, respectivamente.

Neste caso, temos:

P(x,y) = x^2 + y
Q(x,y) = x - 2y

Então, o fator integrante é:

μ(x,y) = e^(∫(x-2y)dx) = e^(x^2/2 - 2xy)

Multiplicando a equação diferencial pelo fator integrante, obtemos:

e^(x^2/2 - 2xy)(x^2 + y)dx + e^(x^2/2 - 2xy)(x - 2y)dy = 0

Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Para isso, precisamos verificar se:

∂(e^(x^2/2 - 2xy)(x - 2y))/∂y = ∂(e^(x^2/2 - 2xy)(x^2 + y))/∂x

Calculando as derivadas parciais, obtemos:

∂(e^(x^2/2 - 2xy)(x - 2y))/∂y = -2xe^(x^2/2 - 2xy)
∂(e^(x^2/2 - 2xy)(x^2 + y))/∂x = 2xe^(x^2/2 - 2xy)

Como as derivadas parciais não são iguais, a equação não é exata.

No entanto, podemos usar o método de integração por partes múltiplas para encontrar a solução geral. Fazendo u = x^2 + y e dv = e^(x^2/2 - 2xy)dx, temos:

du = 2xdx + dy
v = -e^(x^2/2 - 2xy)

Substituindo na fórmula de integração por partes, obtemos:

∫e^(x^2/2 - 2xy)(x^2 + y)dx = -x^2e^(x^2/2 - 2xy) - ye^(x^2/2 - 2xy) + 2∫xe^(x^2/2 - 2xy)dx

Fazendo u = x^2/2 - 2xy e dv = xdx, temos:

du = (2x - 4y)dx
v = x^2/2

Substituindo na fórmula de integração por partes, obtemos:

∫xe^(x^2/2 - 2xy)dx = e^(x^2/2 - 2xy)(x^2/4 - y)

Substituindo na equação anterior, obtemos:

∫e^(x^2/2 - 2xy)(x^2 + y)dx = -x^2e^(x^2/2 - 2xy) - ye^(x^2/2 - 2xy) + e^(x^2/2 - 2xy)(x^2/2 - 2y) + Ce^(x^2/2 - 2xy)

Portanto, a solução geral da equação diferencial é:

-x^2e^(x^2/2 - 2xy) - ye^(x^2/2 - 2xy) + e^(x^2/2 - 2xy)(x^2/2 - 2y) + Ce^(x^2/2 - 2xy)

A alternativa correta depende do que é pedido na questão.

Encontre a solução geral da equação diferencial (x2 + y)dx + (x - 2y)dy = 0, e assinale a alternativa correta:

Matemática

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