Qual é o valor de x na equação logarítmica log₃(x + 2) = 2log₃(x - 1)?

Podemos resolver a equação logarítmica log₃(x + 2) = 2log₃(x - 1) usando as propriedades dos logaritmos.

A propriedade a ser utilizada é a seguinte: logₐ(b^c) = c * logₐ(b)

Então, podemos reescrever a equação como:

log₃(x + 2) = log₃[(x - 1)^2]

Usando a propriedade do logaritmo, temos:

x + 2 = (x - 1)^2

Expandindo o lado direito, temos:

x + 2 = x^2 - 2x + 1

Subtraindo x + 1 de ambos os lados, temos:

x + 2 - (x^2 - 2x + 1) = 0

-x^2 + 3x + 1 = 0

Para resolver essa equação quadrática, podemos usar a fórmula geral:

x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a

Substituindo os valores de a, b e c, temos:

x = [-3 ± sqrt(9 - 4(-1)(1))] / 2(-1)

Simplificando:

x = [-3 ± sqrt(13)] / -2

Portanto, as soluções da equação são:

x = (-3 + sqrt(13)) / -2 ou x = (-3 - sqrt(13)) / -2

As soluções podem ser simplificadas ainda mais, mas não podem ser combinadas em um único valor real. Portanto, a solução da equação logarítmica log₃(x + 2) = 2log₃(x - 1) são dois valores: (-3 + sqrt(13)) / -2 e (-3 - sqrt(13)) / -2.

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$x+2=(x-1)^2$x+2=(x−1)2

$x^2-2x+1=x+2\\x^2-3x-1=0$x2−2x+1=x+2x2−3x−1=0