Questão física 3 distribuição volumétrica de Carga Elétrica

Boa tarde, Senhores conhecedores da física 3 poderiam me ajudar nesta questão?

Para r = 0, temos:

P = P0(1-e^-B(0)) = P0(1-1) = 0

Isso significa que a densidade volumétrica de carga é zero quando r é igual a zero. Isso é esperado, já que a carga elétrica é distribuída de forma volumétrica e não existe nenhuma região de carga pontual.

Para r → ∞, temos:

P = P0(1-e^-B(∞)) = P0(1-0) = P0

Isso significa que a densidade volumétrica de carga tende a P0 quando r tende a um valor muito grande. Isso é esperado, já que quanto maior a distância da origem, menor será a contribuição da carga elétrica para a densidade volumétrica de carga, e a densidade tende a uma constante.

A taxa de variação espacial de P é dP/dr = P0 * B * e^-Br. A taxa de variação espacial de P é nula quando dP/dr = 0, ou seja, quando e^-Br = 0, o que ocorre quando r tende a infinito. Portanto, não há uma relação entre r e b que faça a taxa de variação espacial de P ser nula em todos os pontos.

Para calcular o divergente do campo elétrico E, precisamos primeiro encontrar o campo elétrico a partir da distribuição de carga P. O campo elétrico pode ser encontrado a partir da equação:

E = -grad(V)

onde V é o potencial elétrico, e o gradiente é dado por:

grad = i (d/dx) + j (d/dy) + k (d/dz)

onde i, j, k são os vetores unitários nas direções x, y, z, respectivamente. Então, temos:

V = - ∫ E.dr

onde dr é um elemento de comprimento ao longo da linha que conecta o ponto em que o potencial elétrico é medido ao ponto onde a carga é P.

Para nossa distribuição de carga P = P0(1-e^-Br), podemos calcular o campo elétrico E a partir do potencial elétrico V:

V = - ∫ E.dr = - ∫ [ P0(1-e^-Br) / 4πεr ] dr

onde ε é a constante dielétrica do vácuo.

Fazendo a integração, obtemos:

V = - P0 / 4πε [ r + (1/B) e^-Br ]

Então, o campo elétrico é dado por:

E = -grad(V) = - [ dV/dx i + dV/dy j + dV/dz k ]

Fazendo as derivadas, obtemos:

E = ( P0 / 4πε ) [ (1/B) e^-Br x + r/B^2 y + r/B^2 z ]

O divergente de E é dado por:

div(E) = dEx/dx + dEy/dy + dEz/dz

Fazendo as derivadas, obtemos:

div(E) = P0 e^-Br / 4πε

Portanto, o divergente do campo elétrico é positivo e depende da densidade de carga P0 e da distância r. Isso indica que a carga elétrica está distribuída de forma não uniforme, e há uma fonte de carga elétrica dentro do volume em questão.

Para calcular a carga total q da distribuição volumétrica esférica, integramos a densidade volumétrica de carga P sobre a esfera:

q = ∫∫∫ P dV

Considerando que a distribuição é esférica e homogênea, podemos escrever P em termos do raio r e da densidade volumétrica de carga inicial P0 como:

P = P0(1-e^-Br)

Podemos substituir P na integral acima e integrar sobre a esfera de raio R:

q = ∫∫∫ P0(1-e^-Br) dV = P0 ∫∫∫ (1-e^-Br) dV

Considerando que a integração é sobre uma esfera de raio R, podemos mudar as coordenadas de integração para coordenadas esféricas e escrever o elemento de volume como dV = r^2sinθ dr dθ dφ:

q = P0 ∫₀²π ∫₀ⁿπ ∫₀ᴿ (1-e^-Br) r²sinθ dr dθ dφ

Fazendo a integração em relação a r primeiro, temos:

q = P0 ∫₀²π ∫₀ⁿπ [(1-e^-Bᴿ)R³/3 - (1-e^-B0)r³/3]sinθ dθ dφ

O resultado final depende do valor de R, que pode ser infinito ou finito. Se considerarmos que a distribuição se estende até o infinito, então R = ∞ e a integral converge para:

q = P0 (4πR³/3) = P0 V

onde V é o volume da esfera de raio R. Se considerarmos que a distribuição é limitada por um raio finito R, então podemos avaliar a integral numericamente.

Para calcular o campo elétrico E, podemos usar a Lei de Gauss, que nos permite determinar o campo elétrico para uma distribuição de carga esférica simétrica. A carga total q da distribuição esférica é dada por:

q = ∫ P dV

Substituindo P pela expressão fornecida, temos:

q = ∫ P0(1-e^-Br) dV

Considerando que a distribuição é esférica e homogênea, podemos escrever:

dV = 4πr^2 dr

Substituindo na integral, temos:

q = ∫ P0(1-e^-Br) 4πr^2 dr

Integrando, obtemos:

q = 4πP0/b [ r^3 + 3/(2b) r^2 + 3/(b^2) r + 3/(b^3) e^(-Br) - 3/(b^3) ]

Agora, para calcular o campo elétrico E em um ponto r > 0, podemos usar a Lei de Gauss:

E = q/(4πε0r^2)

Substituindo q pela expressão que encontramos, temos:

E = P0/b [ r + 3/(2b) + 3/(b^2r) (1-e^(-Br)) - 3/(b^2r^2) (1-e^(-Br)) ]

A análise da natureza desse campo elétrico depende dos valores de r e b. Em geral, podemos dizer que o campo elétrico é radial, isto é, aponta diretamente para o centro da distribuição esférica de carga. Além disso, o valor de E será máximo na superfície da esfera (r=R) e diminuirá conforme nos afastamos da superfície. Quando r tende a infinito, o campo elétrico tende a zero, pois a carga total da esfera é finita. O comportamento do campo elétrico para valores intermediários de r dependerá dos valores de P0 e b. Podemos fazer uma análise mais detalhada desses comportamentos se tivermos valores específicos para P0 e b.

Obrigado pela ajuda Antonio