58. Uma esfera de raio R possui uma carga total Q. A densidade de carga volumétrica (em C/m3) no interior da esfera é dada por Essa densidade de ca...

A densidade de carga volumétrica no interior da esfera é dada por ρ(r) = 3Q(R-r)/4πR^3. Para encontrar a carga total Q, é necessário integrar a densidade de carga volumétrica em relação ao volume da esfera. A carga total Q é dada por: Q = ∫ρ(r) dV Onde dV é o elemento de volume da esfera, que pode ser expresso em coordenadas esféricas como dV = r²senθdrdθdφ. Substituindo a expressão da densidade de carga volumétrica, temos: Q = ∫(3Q(R-r)/4πR^3) r²senθdrdθdφ Integrando em relação a φ e θ, temos: Q = ∫∫(3Q(R-r)/4πR^3) r²senθdrdθdφ = 4π ∫(3Q(R-r)/4πR^3) r²dr = 3Q/4π ∫(R³-r³)/R³ dr = 3Q/4π [(R³/3) - (r³/3)]|0^R = 3Q/4π [(R³/3) - (0³/3)] = 3Q/4π (R³/3) = Q Portanto, a carga total Q é igual a Q, o que confirma que a densidade de carga volumétrica no interior da esfera é dada por ρ(r) = 3Q(R-r)/4πR^3. Para encontrar a densidade de carga volumétrica no centro da esfera, basta substituir r = 0 na expressão da densidade de carga volumétrica: ρ(0) = 3Q(R-0)/4πR^3 = 3Q/4πR^2 Para encontrar a densidade de carga volumétrica na borda da esfera, basta substituir r = R na expressão da densidade de carga volumétrica: ρ(R) = 3Q(R-R)/4πR^3 = 0 Portanto, a densidade de carga volumétrica decresce linearmente desde o valor 3Q/4πR^2 no centro até zero na borda da esfera. Para mostrar que 0 = 3Q/R^3, basta substituir a densidade de carga volumétrica no centro da esfera na expressão da densidade de carga volumétrica: 3Q/4πR^2 = 3Q(R-0)/4πR^3 = 3Q/R^3 Portanto, 0 = 3Q/R^3.