Anette Rachel Pinacho Mat́ıas Análisis Matemático May 6, 2023 Problem 1. Demuestra el Teorema 104. Un conjunto E ⊂ R es conexo si y solo si, para...

Anette Rachel Pinacho Mat́ıas
Análisis Matemático
May 6, 2023
Problem 1. Demuestra el Teorema 104.
Un conjunto E ⊂ R es conexo si y solo si, para todos los conjuntos disjuntos no vaćıos A y B que satisfacen
E = A∪B, siempre existe una secuencia convergente (xn) → x con (xn) contenida en A o B, y x un elemento
del otro.
Demostración. Demostraremos el teorema, utilizando una doble implicación.
⇐) Supongamos que Ā ∪ B es no vaćıo y sea x un elemento en ambos, x ∈ B implica x /∈ A, por lo tanto
x ∈ L (el conjunto de puntos ĺımite de A) lo que significa que debe existir una sucesión (xn) → x contenida
en A.
⇒) Ahora, supongamos que existe un (xn) → x en A con ĺımite en B, entonces claramente Ā ∩B ⊆ x es no
vaćıo.
a) Demostrar el Teorema 104.
b) Explicar el Teorema 104.
1. O Teorema 104 trata da conexão de um conjunto E ⊂ R.
2. O Teorema 104 afirma que sempre existe uma sequência convergente (xn) → x com (xn) contida em A ou B, e x um elemento do outro.
3. A demonstração do Teorema 104 é feita por uma dupla implicação.
4. Na demonstração do Teorema 104, é utilizado o conjunto de pontos limite de A.