Sea V un espacio vectorial sobre F. Demuestre que un subconjunto A ⊆ V es linealmente dependiente si y solo si algún elemento de A es una combinaci...

Para demonstrar que um subconjunto A ⊆ V é linearmente dependente se e somente se algum elemento de A é uma combinação linear de outros elementos de A, podemos seguir os seguintes passos: 1. Suponha que A seja linearmente dependente. Isso significa que existe uma combinação linear dos elementos de A que resulta no vetor nulo. Ou seja, existem escalares c1, c2, ..., cn (não todos iguais a zero) e vetores v1, v2, ..., vn em A, tais que: c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0 2. Sem perda de generalidade, suponha que c1 ≠ 0. Podemos reescrever a equação acima como: v1 = (-c2/c1)v2 + (-c3/c1)v3 + ... + (-cn/c1)vn Observe que v1 é uma combinação linear dos outros elementos de A. 3. Agora, suponha que algum elemento de A seja uma combinação linear de outros elementos de A. Ou seja, existe um vetor v em A que pode ser escrito como uma combinação linear de outros vetores em A. Podemos escrever isso como: v = c1v1 + c2v2 + ... + cnvn onde c1, c2, ..., cn são escalares e v1, v2, ..., vn são vetores em A. 4. Se v = 0, então temos uma combinação linear dos elementos de A que resulta no vetor nulo, o que implica que A é linearmente dependente. 5. Se v ≠ 0, podemos reescrever a equação acima como: (-1)v + c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0 Observe que temos uma combinação linear dos elementos de A que resulta no vetor nulo, o que implica que A é linearmente dependente. Portanto, concluímos que um subconjunto A ⊆ V é linearmente dependente se e somente se algum elemento de A é uma combinação linear de outros elementos de A.