Enunciado del problema 1: Sea x1 = 2, y define xn+1 = 1/2(xn + 2/xn). Demuestra por inducción que x2n siempre es mayor o igual a 2, y entonces usa ...

Para demonstrar por indução que x2n é sempre maior ou igual a 2, podemos seguir os seguintes passos: 1. Base da indução: Verifique se a afirmação é verdadeira para n = 1. - Temos x2(1) = x2 = 2, que é maior ou igual a 2. Portanto, a base da indução é verdadeira. 2. Hipótese de indução: Suponha que a afirmação seja verdadeira para um certo valor k, ou seja, x2k ≥ 2. 3. Passo da indução: Vamos mostrar que a afirmação também é verdadeira para k + 1. - Temos x2(k+1) = x2k+2 = 1/2(x2k + 2/x2k). - Pela hipótese de indução, sabemos que x2k ≥ 2. Portanto, podemos escrever x2(k+1) = 1/2(x2k + 2/x2k) ≥ 1/2(2 + 2/2) = 1/2(2 + 1) = 1/2(3) = 3/2. - Como 3/2 é maior que 1, podemos concluir que x2(k+1) ≥ 2. Portanto, por indução, podemos afirmar que x2n é sempre maior ou igual a 2. Para provar que xn - xn+1 ≥ 0, podemos usar o resultado anterior: 1. Temos xn - xn+1 = xn - 1/2(xn + 2/xn). 2. Multiplicando ambos os lados por 2xn, obtemos 2xn(xn - xn+1) = 2xn^2 - xn(xn + 2/xn). 3. Simplificando, temos 2xn^2 - xn^2 - 2 = xn^2 - 2. 4. Como mostramos anteriormente que xn^2 é maior ou igual a 2, podemos concluir que xn^2 - 2 é maior ou igual a 0. 5. Portanto, xn - xn+1 ≥ 0. A partir disso, podemos concluir que a sequência (xn) é monótona decrescente. Para demonstrar que x = √2, podemos usar o fato de que x = limxn+1 = lim(1/2(xn + 2/xn)). 1. Tomando o limite quando n tende ao infinito, temos x = lim(1/2(xn + 2/xn)). 2. Substituindo x por seu valor limite, temos x = 1/2(x + 2/x). 3. Multiplicando ambos os lados por 2x, obtemos 2x^2 = x^2 + 2. 4. Rearranjando a equação, temos x^2 = 2. 5. Portanto, x = √2. Assim, usando o Teorema Algebraico de Límites, podemos concluir que x = √2.