1. (vale 2.0 pts) Um paralelogramo é determinado pelos vetores ~u = (−3,−2, 0) e ~v = (4, 2, 3). Calcule a sua área e a altura relativa à base definida por ~u.

Question

Ed · Answer

Para calcular a área de um paralelogramo determinado por dois vetores, podemos usar a fórmula da área do paralelogramo:

Área = ||~u x ~v||

Onde ~u e ~v são os vetores dados e x representa o produto vetorial.

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial entre ~u e ~v:

~u x ~v = (−3,−2, 0) x (4, 2, 3)

Para calcular o produto vetorial, podemos usar a seguinte fórmula:

~u x ~v = (u2v3 - u3v2, u3v1 - u1v3, u1v2 - u2v1)

Substituindo os valores, temos:

~u x ~v = ((-2 * 3) - (0 * 2), (0 * 4) - (-3 * 3), (-3 * 2) - (-2 * 4))

Simplificando, temos:

~u x ~v = (-6, 9, -2)

Agora, vamos calcular a área do paralelogramo:

Área = ||~u x ~v|| = ||(-6, 9, -2)||

Para calcular a norma de um vetor, usamos a fórmula:

||~u|| = sqrt(u1^2 + u2^2 + u3^2)

Aplicando a fórmula, temos:

||(-6, 9, -2)|| = sqrt((-6)^2 + 9^2 + (-2)^2) = sqrt(36 + 81 + 4) = sqrt(121) = 11

Portanto, a área do paralelogramo é 11 unidades de área.

Para calcular a altura relativa à base definida por ~u, podemos usar a fórmula:

Altura = ||~v - proj~v sobre ~u||

Onde proj~v sobre ~u representa a projeção do vetor ~v sobre o vetor ~u.

Para calcular a projeção, usamos a fórmula:

proj~v sobre ~u = ((~v . ~u) / ||~u||^2) * ~u

Onde . representa o produto escalar.

Substituindo os valores, temos:

proj~v sobre ~u = ((4 * -3 + 2 * -2 + 3 * 0) / (-3^2 + -2^2 + 0^2)) * (-3, -2, 0)

Simplificando, temos:

proj~v sobre ~u = (-12 / 13) * (-3, -2, 0) = (36/13, 24/13, 0)

Agora, vamos calcular a altura:

Altura = ||~v - proj~v sobre ~u|| = ||(4, 2, 3) - (36/13, 24/13, 0)||

Aplicando a fórmula, temos:

||(4, 2, 3) - (36/13, 24/13, 0)|| = sqrt((4 - 36/13)^2 + (2 - 24/13)^2 + (3 - 0)^2)

Simplificando, temos:

||(4, 2, 3) - (36/13, 24/13, 0)|| = sqrt((52/13 - 36/13)^2 + (26/13 - 24/13)^2 + 3^2) = sqrt((16/13)^2 + (2/13)^2 + 9) = sqrt(256/169 + 4/169 + 9) = sqrt(269/169) = sqrt(269)/13

Portanto, a altura relativa à base definida por ~u é sqrt(269)/13 unidades de altura.

1. (vale 2.0 pts) Um paralelogramo é determinado pelos vetores ~u = (−3,−2, 0) e ~v = (4, 2, 3). Calcule a sua área e a altura relativa à base defi...

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